初中数学
八年级
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8.「2026福建厦门期中，★☆」如图，在平面直角坐标系中，点$A(0,2)$，点$D$在第一象限，且$∠ AOD=19°$，$OD=4$.点$B$是$x$轴正半轴上的一个动点，连接$AB$.作$△ AOB$的两个外角平分线交于点$C$，点$B$在运动过程中，当线段$CD$的长取最小值时，$∠ ODC$的度数为.

8.答案 64°
解析 如图,连接 OC,过点 C 作 CE⊥x 轴于点 E,CF⊥y 轴于点 F,CG⊥AB 于点 G,
∵ △AOB 的两个外角平分线交于点 C,
∴ CE=CG,CF=CG,
∴ CF=CE,
∴ OC 平分∠AOB,
∵ ∠AOB=90°,
∴ ∠AOC=45°,
∵ ∠AOD=19°,
∴ ∠COD=∠AOC−∠AOD=45°−19°=26°,
∵ 当 CD⊥OC 时,线段 CD 的长取最小值,
∴ ∠OCD=90°,
∴ ∠ODC=90°−∠COD=90°−26°=64°.故答案为 64°.

9.「2026北京海淀期末改编，★★」如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB，∠OCD=∠ODC，OC=OD，OA＞OC，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M，连接OM，则∠CMO=°。

9.答案 70
解析
∵ ∠AOB = ∠COD = 40°,
∴ ∠AOC = ∠BOD =40°+∠AOD,∠ODC=∠OCD=$\frac{1}{2}$×(180°−40°)=70°,
∵ OA = OB, OC = OD,
∴ △AOC ≌ △BOD(SAS),
∴ ∠OCA=∠ODB,AC=BD,$S_{△AOC}=S_{△BOD}$,
∴ ∠CMB=∠MDC+∠MCD = ∠ODC+∠ODB+∠MCD = ∠ODC+∠OCA+∠MCD = ∠ODC+∠OCD=140°,
如图,过点 O 作 OI⊥AC 于点 I,OL⊥BD 于点 L,
则 $S_{△AOC}=\frac{1}{2}AC·OI$,$S_{△BOD}=\frac{1}{2}BD·OL$,
∵ $S_{△AOC}=S_{△BOD}$,AC=BD,
∴ OI=OL,
∴ 点 O 在∠BMC 的平分线上,
∴ MO 平分∠BMC,
∴ ∠CMO=70°.

10.「2026湖南娄底月考，★☆」如图，在$△ ABC$中，点D在BC边上，$∠ BAD = 100°$，$∠ ABC$的平分线交AC于点E，过点E作$EF ⊥ AB$，垂足为F，且$∠ AEF = 50°$，连接DE。
(1)求$∠ CAD$的度数。
(2)求证：DE平分$∠ ADC$。
(3)若$AB = 6$，$AD + CD = 12$，且$S_{△ ACD} = 12$，求$△ ABE$的面积。

10.解析 (1)
∵ EF⊥AB,
∴ ∠F=90°,
∵ ∠AEF=50°,
∴ ∠FAE=90°−50°=40°,
∵ ∠BAD=100°,
∴ ∠CAD=180°−100°−40°=40°.
(2)证明:如图,过点 E 作 EG⊥AD 于点 G,EH⊥BC于点 H,
∵ ∠FAE=∠DAE=40°,
∴ AC 是∠FAD 的平分线,
∵ EF⊥BF,EG⊥AD,
∴ EF=EG,
∵ BE 平分∠ABC,EF⊥BF,EH⊥BC,
∴ EF=EH,
∴ EG=EH,
∴ DE 平分∠ADC.
(3)
∵ $S_{△ACD}=S_{△AED}+S_{△CED}=12$,EG=EH,
∴ $\frac{1}{2}AD·EG+\frac{1}{2}CD·EH=\frac{1}{2}(AD+CD)·EG=12$,
∵ AD+CD=12,
∴ $\frac{1}{2}×12EG=12$,
∴ EG=2,
∴ EF=2,
∴ $S_{△ABE}=\frac{1}{2}AB·EF=\frac{1}{2}×6×2=6$.

11. 核心素养 推理能力 「2026江西南昌月考」【母题呈现】
如图,在三角形纸片中,AB=8 cm,BC=6 cm,AC=5 cm.沿过点B的直线折叠这个三角形,使点C落在AB边上的点E处,折痕为BD,则△AED的周长为.

【知识应用】
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,沿过点B的直线折叠这个三角形,使点C落在AB边上的点E处,折痕为BD,作∠BED的平分线交BD于点P,过点P作PH⊥AB于点H,连接AP.
(1)求证:AP平分∠CAB.
(2)若AB=15 cm,BC=12 cm,AC=9 cm,求PH的长.

11.解析 【母题呈现】7 cm.
详解:由折叠得△BDE≌△BDC,
∴ BE = BC = 6 cm,DE=DC,
∵ AB=8 cm,
∴ AE=AB−BE=2 cm,
∵ AC=5 cm,
∴ AD+DE=AD+DC=5 cm,
∴ △AED 的周长为 AD+DE+AE=7 cm.
【知识应用】(1)证明:如图1,过点 P 分别作 ED,AC的垂线,垂足分别为点 F,M,由折叠得△BDE≌△BDC,
∴ ∠PDE=∠PDC,
∴ PF=PM,
∵ EP 平分∠BED,
∴ PF=PH,
∴ PM=PH,
∴ AP 平分∠CAB.
(2)如图2,过点 P 分别作 BC,AC 的垂线,垂足分别为点 G,M,连接 PC,
由题意可知,∠DBE=∠DBC,
∴ PH=PG,由(1)可知 PH=PM,
∴ PH=PM=PG,
∵ $S_{△ABC}=S_{△ABP}+S_{△BCP}+S_{△ACP}$,∠ACB=90°,
∴ $\frac{1}{2}BC·AC=\frac{1}{2}AB·PH+\frac{1}{2}BC·PG+\frac{1}{2}AC·PM$,
∵ AB=15 cm,BC=12 cm,AC=9 cm,
∴ $\frac{1}{2}×12×9=\frac{1}{2}×15PH+\frac{1}{2}×12PH+\frac{1}{2}×9PH$,解得PH=3 cm,
∴ PH 的长为 3 cm.