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1 如图，$\odot O$是等边三角形$ABC$的外接圆.若$AB=3$,则$\odot O$的半径是 (
A.$\dfrac{3}{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.$\dfrac{5}{2}$
C
)A.$\dfrac{3}{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.$\dfrac{5}{2}$
答案
C
解析
【分析】
要求等边三角形外接圆的半径，首先回忆等边三角形的特殊性质：它的外心、重心、垂心、内心重合，均在三角形的高线上。我们可以先求出等边三角形的高，再利用重心分高线为2:1的关系，得到外接圆半径（外心到顶点的距离）；也可以通过连接外心与顶点，作底边的垂线构造直角三角形，结合垂径定理和三角函数求解。
【解析】
方法一：
∵△ABC是等边三角形，$AB=3$
∴等边三角形ABC的高$h = \sqrt{AB^2 - (\frac{BC}{2})^2} = \sqrt{3^2 - (\frac{3}{2})^2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$
∵等边三角形的外接圆圆心（外心）与重心重合，重心到顶点的距离为高的$\frac{2}{3}$
∴外接圆半径$R = \frac{2}{3}h = \frac{2}{3} × \frac{3\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$
方法二：
连接$OB$，过点$O$作$OD⊥ BC$于点$D$
∵△ABC是等边三角形，
∴$BC=AB=3$，$∠ ABC=60°$
∵$O$是外接圆圆心，
∴$OB$平分$∠ ABC$，$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{3}{2}$，$∠ OBD=30°$
在$Rt△ OBD$中，$\cos∠ OBD = \frac{BD}{OB}$
∴$OB = \frac{BD}{\cos30°} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{3}$，即外接圆半径为$\sqrt{3}$
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质，三角形外接圆与外心，垂径定理
【点评】
本题是圆与等边三角形结合的基础题型，解题的关键是熟练掌握等边三角形外心的特点，通过构造直角三角形或利用重心性质即可快速求解，是外接圆相关的常考题型。
【难度系数】
0.8
要求等边三角形外接圆的半径，首先回忆等边三角形的特殊性质：它的外心、重心、垂心、内心重合，均在三角形的高线上。我们可以先求出等边三角形的高，再利用重心分高线为2:1的关系，得到外接圆半径（外心到顶点的距离）；也可以通过连接外心与顶点，作底边的垂线构造直角三角形，结合垂径定理和三角函数求解。
【解析】
方法一：
∵△ABC是等边三角形，$AB=3$
∴等边三角形ABC的高$h = \sqrt{AB^2 - (\frac{BC}{2})^2} = \sqrt{3^2 - (\frac{3}{2})^2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$
∵等边三角形的外接圆圆心（外心）与重心重合，重心到顶点的距离为高的$\frac{2}{3}$
∴外接圆半径$R = \frac{2}{3}h = \frac{2}{3} × \frac{3\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$
方法二：
连接$OB$，过点$O$作$OD⊥ BC$于点$D$
∵△ABC是等边三角形，
∴$BC=AB=3$，$∠ ABC=60°$
∵$O$是外接圆圆心，
∴$OB$平分$∠ ABC$，$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{3}{2}$，$∠ OBD=30°$
在$Rt△ OBD$中，$\cos∠ OBD = \frac{BD}{OB}$
∴$OB = \frac{BD}{\cos30°} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{3}$，即外接圆半径为$\sqrt{3}$
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质，三角形外接圆与外心，垂径定理
【点评】
本题是圆与等边三角形结合的基础题型，解题的关键是熟练掌握等边三角形外心的特点，通过构造直角三角形或利用重心性质即可快速求解，是外接圆相关的常考题型。
【难度系数】
0.8
2 如图，$△ ABC$ 的外心为点$O$，连接$OB$.若$∠ OBA=18°$,则$∠ C$ 的度数为 （
A.$60°$
B.$68°$
C.$70°$
D.$72°$
D
）A.$60°$
B.$68°$
C.$70°$
D.$72°$
答案
D
解析
【分析】
首先明确三角形外心是其外接圆的圆心，外心到三角形三个顶点的距离相等，因此OA=OB，△OAB为等腰三角形。已知∠OBA=18°，可先根据等腰三角形内角和计算出圆心角∠AOB的度数，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求出∠C的度数。
【解析】
连接OA，
∵O是△ABC的外心，
∴OA=OB，即△OAB为等腰三角形，
∴∠OAB=∠OBA=18°，
根据三角形内角和为180°，可得：
∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=180°-18°-18°=144°，
∵∠C是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴∠C=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×144°=72°。
【答案】
D
【知识点】
三角形外心的性质；等腰三角形的性质；圆周角定理
【点评】
本题是基础角度计算题，解题核心是熟练运用外心性质得到等线段，再结合等腰三角形和圆周角定理完成角度推导，熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
首先明确三角形外心是其外接圆的圆心，外心到三角形三个顶点的距离相等，因此OA=OB，△OAB为等腰三角形。已知∠OBA=18°，可先根据等腰三角形内角和计算出圆心角∠AOB的度数，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求出∠C的度数。
【解析】
连接OA，
∵O是△ABC的外心，
∴OA=OB，即△OAB为等腰三角形，
∴∠OAB=∠OBA=18°，
根据三角形内角和为180°，可得：
∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=180°-18°-18°=144°，
∵∠C是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴∠C=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×144°=72°。
【答案】
D
【知识点】
三角形外心的性质；等腰三角形的性质；圆周角定理
【点评】
本题是基础角度计算题，解题核心是熟练运用外心性质得到等线段，再结合等腰三角形和圆周角定理完成角度推导，熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3 如图,在$\odot O$中,AB是弦,$OC⊥ AB$于点C.若用反证法证明“OC是点O到直线AB的最短距离”,则下列假设正确的是 (
A.OC不是点O到直线AB的距离
B.存在一点P在直线AB上,使得$OP＜OC$
C.存在一点P在直线AB上,使得$OP＞OC$
D.点O到直线AB的距离大于OC
B
)A.OC不是点O到直线AB的距离
B.存在一点P在直线AB上,使得$OP＜OC$
C.存在一点P在直线AB上,使得$OP＞OC$
D.点O到直线AB的距离大于OC
答案
B
解析
【分析】
本题是反证法的假设类题目，解题思路如下：首先回忆反证法的第一步要求：反设，即假设原命题的结论不成立，也就是结论的反面成立。首先明确原命题的结论是“OC是点O到直线AB的最短距离”，该结论的含义是直线AB上所有点与点O的连线长度都≥OC，OC是最小值。要否定这个结论，只需说明存在反例，即直线AB上存在某个点P，使得OP的长度小于OC，对应选项判断即可。
【解析】
反证法证明命题时，首先要对原命题的结论进行否定，假设结论不成立：
1. 原结论“OC是点O到直线AB的最短距离”等价于：直线AB上任意一点P，都满足$OP≥ OC$。
2. 对该结论否定后得到：存在直线AB上的一点P，使得$OP＜OC$。
3. 逐一分析选项：
A：OC垂直AB，本身就是点O到AB的距离，原结论讨论的是“最短”而非“是不是距离”，假设错误。
B：符合结论否定后的表述，正确。
C：存在P使$OP＞OC$是原结论成立时也存在的情况，不是对结论的否定，错误。
D：点到直线的距离就是垂线段长度，OC⊥AB，因此OC就是O到AB的距离，表述本身错误，错误。
【答案】
B
【知识点】
反证法；点到直线的距离；垂线段性质
【点评】
本题考查反证法的反设环节，解题核心是准确把握原结论的含义，正确写出结论的否定形式，注意反设需是对原结论的完全否定，避免偷换概念出现表述偏差。
【难度系数】
0.7
本题是反证法的假设类题目，解题思路如下：首先回忆反证法的第一步要求：反设，即假设原命题的结论不成立，也就是结论的反面成立。首先明确原命题的结论是“OC是点O到直线AB的最短距离”，该结论的含义是直线AB上所有点与点O的连线长度都≥OC，OC是最小值。要否定这个结论，只需说明存在反例，即直线AB上存在某个点P，使得OP的长度小于OC，对应选项判断即可。
【解析】
反证法证明命题时，首先要对原命题的结论进行否定，假设结论不成立：
1. 原结论“OC是点O到直线AB的最短距离”等价于：直线AB上任意一点P，都满足$OP≥ OC$。
2. 对该结论否定后得到：存在直线AB上的一点P，使得$OP＜OC$。
3. 逐一分析选项：
A：OC垂直AB，本身就是点O到AB的距离，原结论讨论的是“最短”而非“是不是距离”，假设错误。
B：符合结论否定后的表述，正确。
C：存在P使$OP＞OC$是原结论成立时也存在的情况，不是对结论的否定，错误。
D：点到直线的距离就是垂线段长度，OC⊥AB，因此OC就是O到AB的距离，表述本身错误，错误。
【答案】
B
【知识点】
反证法；点到直线的距离；垂线段性质
【点评】
本题考查反证法的反设环节，解题核心是准确把握原结论的含义，正确写出结论的否定形式，注意反设需是对原结论的完全否定，避免偷换概念出现表述偏差。
【难度系数】
0.7
4 用反证法证明“圆的两条平行弦所夹的弧相等”时，第一步应假设
圆的两条平行弦所夹的弧不相等
.答案
圆的两条平行弦所夹的弧不相等
解析
【分析】
解这道题首先要回忆反证法的基本步骤：反证法证明命题时，第一步需要先假设命题的结论不成立，也就是假设结论的反面是成立的。接下来我们拆分原命题，原命题“圆的两条平行弦所夹的弧相等”的结论是“两条平行弦所夹的弧相等”，我们只需要否定这个结论，就能得到第一步要假设的内容。
【解析】
根据反证法的规则，证明命题首先要假设命题的结论不成立。
原命题的结论为：圆的两条平行弦所夹的弧相等，对该结论进行否定，可得第一步需要假设的内容为：圆的两条平行弦所夹的弧不相等。
【答案】
圆的两条平行弦所夹的弧不相等
【知识点】
反证法；圆的弦与弧
【点评】
本题是对反证法基础应用的考查，解题关键是明确反证法的第一步操作逻辑，准确找到原命题的结论并正确否定，属于基础类考题。
【难度系数】
0.9
解这道题首先要回忆反证法的基本步骤：反证法证明命题时，第一步需要先假设命题的结论不成立，也就是假设结论的反面是成立的。接下来我们拆分原命题，原命题“圆的两条平行弦所夹的弧相等”的结论是“两条平行弦所夹的弧相等”，我们只需要否定这个结论，就能得到第一步要假设的内容。
【解析】
根据反证法的规则，证明命题首先要假设命题的结论不成立。
原命题的结论为：圆的两条平行弦所夹的弧相等，对该结论进行否定，可得第一步需要假设的内容为：圆的两条平行弦所夹的弧不相等。
【答案】
圆的两条平行弦所夹的弧不相等
【知识点】
反证法；圆的弦与弧
【点评】
本题是对反证法基础应用的考查，解题关键是明确反证法的第一步操作逻辑，准确找到原命题的结论并正确否定，属于基础类考题。
【难度系数】
0.9
