5 [2024长沙]如图,在$\odot O$中,弦AB的长为8,圆心O到AB的距离$OE=4$,则$\odot O$的半径为（）

A.4
B.$4\sqrt{2}$
C.5
D.$5\sqrt{2}$

B

6 如图，AB是$\odot O$的直径，$OD ⊥ AC$于点D，DO的延长线交$\odot O$于点E，连接BC。若$AC=4\sqrt{2}$，$DE=4$，则BC的长是。

2

7 如图，在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，则$∠ BOC$的度数为（）

A.$100°$
B.$110°$
C.$120°$
D.$150°$

C

8 [2024泰安]如图，AB是$\odot O$的直径，C，D是$\odot O$上两点，BA平分$∠ CBD$。若$∠ AOD = 50°$，则$∠ A$的度数为（）


A.$65°$
B.$55°$
C.$50°$
D.$75°$

A

9 如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，AC为$\odot O$的直径，$∠ ADB=∠ CDB$.
（1）试判断$△ ABC$的形状，并给出证明；
（2）若$AB=\sqrt{2}$，$AD=1$，求CD的长.

（1）$△ ABC$ 是等腰直角三角形 $\because$ AC 为 $\odot O$ 的直径，$\therefore ∠ ADC=∠ ABC=90°. \because ∠ ADB=∠ CDB, \therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}. \therefore AB=BC. \therefore △ ABC$ 是等腰直角三角形
（2）在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$AB=BC=\sqrt{2}, \therefore AC=2.$ 在 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 中，$AD=1, AC=2,$ $\therefore CD=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3},$ 即 $CD$ 的长为 $\sqrt{3}$

10 [2024 滨州]如图,四边形ABCD内接于$\odot O$.若四边形OABC是菱形,则$∠ D=$°。

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11 [2024 贵州]如图, 在扇形纸扇中, 若∠AOB=150°, OA=24 cm, 则$\overset{\frown}{AB}$的长为 ()

A.$30π$ cm
B.$25π$ cm
C.$20π$ cm
D.$10π$ cm

C

12 如图，将扇形OAB沿OB方向平移，使点O平移到OB的中点O'处，得到扇形O'A'B'。若∠O=90°,OA=2,则涂色部分的面积为。

$\dfrac{π}{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
【解析】设 $O'A'$ 交 $\overset{\frown}{AB}$ 于点 $T$, 连接 $OT. \because O'$ 是 $OB$ 的中点, $\therefore OO'=O'B=1. \because OT=OB, \therefore OT=2OO'. \because ∠ OO'T=90°, \therefore ∠ O'TO=30°, ∠ TOO'=60°.$ 在 $\mathrm{Rt}△ OTO'$ 中, 由勾股定理, 易得 $O'T=\sqrt{3}. \therefore S_{\mathrm{涂色}}=S_{\mathrm{扇形}O'A'B'} - (S_{\mathrm{扇形}OTB} - S_{△ OTO'}) = \dfrac{90π×2^2}{360} - (\dfrac{60π×2^2}{360} - \dfrac{1}{2}×1×\sqrt{3}) = \dfrac{π}{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$