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5 [2024长沙]如图,在$\odot O$中,弦AB的长为8,圆心O到AB的距离$OE=4$,则$\odot O$的半径为（
A.4
B.$4\sqrt{2}$
C.5
D.$5\sqrt{2}$
B
）A.4
B.$4\sqrt{2}$
C.5
D.$5\sqrt{2}$
答案
B
解析
【分析】
首先观察图形，已知圆心O到弦AB的垂线OE，首先想到运用垂径定理，可得OE平分弦AB，先求出弦AB一半的长度；此时△OAE为直角三角形，两条直角边长度已知，再运用勾股定理即可求出斜边OA的长度，也就是⊙O的半径。
【解析】
解：
∵OE⊥AB，且OE过圆心O，
根据垂径定理可得：$AE = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×8 = 4$，
在$Rt△ OAE$中，$OE=4$，$AE=4$，由勾股定理得：
$OA = \sqrt{OE^2 + AE^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$，
即$\odot O$的半径为$4\sqrt{2}$。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆中线段计算的基础题型，解题的关键是熟练掌握垂径定理，结合勾股定理求解半径，这类题型是圆章节的常考基础题，需熟练掌握计算方法。
【难度系数】
0.8
首先观察图形，已知圆心O到弦AB的垂线OE，首先想到运用垂径定理，可得OE平分弦AB，先求出弦AB一半的长度；此时△OAE为直角三角形，两条直角边长度已知，再运用勾股定理即可求出斜边OA的长度，也就是⊙O的半径。
【解析】
解：
∵OE⊥AB，且OE过圆心O，
根据垂径定理可得：$AE = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×8 = 4$，
在$Rt△ OAE$中，$OE=4$，$AE=4$，由勾股定理得：
$OA = \sqrt{OE^2 + AE^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$，
即$\odot O$的半径为$4\sqrt{2}$。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆中线段计算的基础题型，解题的关键是熟练掌握垂径定理，结合勾股定理求解半径，这类题型是圆章节的常考基础题，需熟练掌握计算方法。
【难度系数】
0.8
6 如图，AB是$\odot O$的直径，$OD ⊥ AC$于点D，DO的延长线交$\odot O$于点E，连接BC。若$AC=4\sqrt{2}$，$DE=4$，则BC的长是
2
。答案
2
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：1. 由OD⊥AC结合垂径定理，可得D是AC中点，算出AD的长度；2. 由AB是直径，利用直径所对圆周角为直角，得∠C=90°，可知OD//BC，结合O是AB中点，得OD是△ABC的中位线，推出BC=2OD的数量关系；3. 设圆的半径为r，用r表示出OD=DE-OE=4-r，在Rt△ADO中利用勾股定理列方程求解r，进而求出OD，最终得到BC的长。
【解析】
解：
∵OD⊥AC，OD过圆心O，$AC=4\sqrt{2}$
根据垂径定理，得 $AD=DC=\frac{1}{2}AC=2\sqrt{2}$
∵AB是$\odot O$的直径
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）
∴BC⊥AC，又OD⊥AC
∴$OD// BC$
∵O为AB中点，D为AC中点
∴OD是△ABC的中位线
∴$BC=2OD$
设$\odot O$的半径为r，则$OA=OE=r$
∵$DE=4$，
∴$OD=DE-OE=4-r$
在$Rt△ ADO$中，由勾股定理得：
$OA^2=AD^2+OD^2$
代入数据得：$r^2=(2\sqrt{2})^2+(4-r)^2$
展开化简：$r^2=8+16-8r+r^2$
消去$r^2$得：$8r=24$，解得$r=3$
∴$OD=4-3=1$
∴$BC=2×1=2$
【答案】
2
【知识点】
垂径定理，勾股定理，三角形中位线定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础综合题，核心是结合圆的性质得到线段的位置和数量关系，再通过勾股定理列方程求解，解题时要注意挖掘图中隐含的直角、中点等条件。
【难度系数】
0.6
解题时可按以下思路推导：1. 由OD⊥AC结合垂径定理，可得D是AC中点，算出AD的长度；2. 由AB是直径，利用直径所对圆周角为直角，得∠C=90°，可知OD//BC，结合O是AB中点，得OD是△ABC的中位线，推出BC=2OD的数量关系；3. 设圆的半径为r，用r表示出OD=DE-OE=4-r，在Rt△ADO中利用勾股定理列方程求解r，进而求出OD，最终得到BC的长。
【解析】
解：
∵OD⊥AC，OD过圆心O，$AC=4\sqrt{2}$
根据垂径定理，得 $AD=DC=\frac{1}{2}AC=2\sqrt{2}$
∵AB是$\odot O$的直径
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）
∴BC⊥AC，又OD⊥AC
∴$OD// BC$
∵O为AB中点，D为AC中点
∴OD是△ABC的中位线
∴$BC=2OD$
设$\odot O$的半径为r，则$OA=OE=r$
∵$DE=4$，
∴$OD=DE-OE=4-r$
在$Rt△ ADO$中，由勾股定理得：
$OA^2=AD^2+OD^2$
代入数据得：$r^2=(2\sqrt{2})^2+(4-r)^2$
展开化简：$r^2=8+16-8r+r^2$
消去$r^2$得：$8r=24$，解得$r=3$
∴$OD=4-3=1$
∴$BC=2×1=2$
【答案】
2
【知识点】
垂径定理，勾股定理，三角形中位线定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础综合题，核心是结合圆的性质得到线段的位置和数量关系，再通过勾股定理列方程求解，解题时要注意挖掘图中隐含的直角、中点等条件。
【难度系数】
0.6
7 如图，在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，则$∠ BOC$的度数为（
A.$100°$
B.$110°$
C.$120°$
D.$150°$
C
）A.$100°$
B.$110°$
C.$120°$
D.$150°$
答案
C
解析
【分析】
解题时先从已知条件$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$入手：首先整个圆周对应的总度数为360°，三段弧相等即可求出每段弧的度数，再根据“圆心角的度数等于它所对弧的度数”直接得到∠BOC的度数；也可先由等弧对等弦推出△ABC是等边三角形，得到圆周角∠BAC的度数，再利用圆周角定理“同弧所对的圆心角是圆周角的2倍”求解∠BOC。
【解析】
方法一：
∵整个圆周的度数为$360°$，且$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴$\overset{\frown}{BC}$的度数为$360°÷3=120°$。
∵圆心角的度数与它所对弧的度数相等，$∠ BOC$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角，
∴$∠ BOC=120°$。
方法二：
∵在同圆中，相等的弧所对的弦相等，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴$AB=AC=BC$，即$△ ABC$是等边三角形，
∴$∠ BAC=60°$。
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，$∠ BOC$和$∠ BAC$均对应$\overset{\frown}{BC}$，
∴$∠ BOC=2∠ BAC=2×60°=120°$。
【答案】
C
【知识点】
1. 弧与圆心角的关系
2. 圆周角定理
3. 等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆性质的基础应用题，核心考查同圆内弧、弦、圆心角的转化关系，以及圆周角与圆心角的数量关系，解题时选择任意一种方法都能快速得到结果，是圆章节的典型基础题。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$入手：首先整个圆周对应的总度数为360°，三段弧相等即可求出每段弧的度数，再根据“圆心角的度数等于它所对弧的度数”直接得到∠BOC的度数；也可先由等弧对等弦推出△ABC是等边三角形，得到圆周角∠BAC的度数，再利用圆周角定理“同弧所对的圆心角是圆周角的2倍”求解∠BOC。
【解析】
方法一：
∵整个圆周的度数为$360°$，且$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴$\overset{\frown}{BC}$的度数为$360°÷3=120°$。
∵圆心角的度数与它所对弧的度数相等，$∠ BOC$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角，
∴$∠ BOC=120°$。
方法二：
∵在同圆中，相等的弧所对的弦相等，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴$AB=AC=BC$，即$△ ABC$是等边三角形，
∴$∠ BAC=60°$。
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，$∠ BOC$和$∠ BAC$均对应$\overset{\frown}{BC}$，
∴$∠ BOC=2∠ BAC=2×60°=120°$。
【答案】
C
【知识点】
1. 弧与圆心角的关系
2. 圆周角定理
3. 等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆性质的基础应用题，核心考查同圆内弧、弦、圆心角的转化关系，以及圆周角与圆心角的数量关系，解题时选择任意一种方法都能快速得到结果，是圆章节的典型基础题。
【难度系数】
0.8
8 [2024泰安]如图，AB是$\odot O$的直径，C，D是$\odot O$上两点，BA平分$∠ CBD$。若$∠ AOD = 50°$，则$∠ A$的度数为（
A.$65°$
B.$55°$
C.$50°$
D.$75°$
A
）A.$65°$
B.$55°$
C.$50°$
D.$75°$
答案
A
解析
【分析】
解题可按三步推导：第一步利用圆周角定理，由已知的圆心角∠AOD求出同弧对应的圆周角∠ABD的度数；第二步根据角平分线的性质，得到∠ABC与∠ABD相等；最后结合直径所对圆周角为直角的性质，利用直角三角形两锐角互余即可算出∠A的度数。
【解析】
1.
∵∠AOD是弧AD所对的圆心角，∠ABD是弧AD所对的圆周角，根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半，
∴$∠ ABD=\frac{1}{2}∠ AOD=\frac{1}{2}×50°=25°$。
2.
∵BA平分$∠ CBD$，
∴$∠ ABC=∠ ABD=25°$。
3.
∵AB是$\odot O$的直径，直径所对的圆周角为直角，
∴$∠ ACB=90°$。
4. 在$Rt△ ACB$中，$∠ CAB+∠ ABC=90°$，
∴$∠ CAB=90°-25°=65°$。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理、角平分线的性质、直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于圆的基础综合题，难度不大，解题的关键是熟练掌握圆周角定理及其推论，结合角平分线的性质梳理清楚各个角之间的数量关系即可求解。
【难度系数】
0.7
解题可按三步推导：第一步利用圆周角定理，由已知的圆心角∠AOD求出同弧对应的圆周角∠ABD的度数；第二步根据角平分线的性质，得到∠ABC与∠ABD相等；最后结合直径所对圆周角为直角的性质，利用直角三角形两锐角互余即可算出∠A的度数。
【解析】
1.
∵∠AOD是弧AD所对的圆心角，∠ABD是弧AD所对的圆周角，根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半，
∴$∠ ABD=\frac{1}{2}∠ AOD=\frac{1}{2}×50°=25°$。
2.
∵BA平分$∠ CBD$，
∴$∠ ABC=∠ ABD=25°$。
3.
∵AB是$\odot O$的直径，直径所对的圆周角为直角，
∴$∠ ACB=90°$。
4. 在$Rt△ ACB$中，$∠ CAB+∠ ABC=90°$，
∴$∠ CAB=90°-25°=65°$。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理、角平分线的性质、直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于圆的基础综合题，难度不大，解题的关键是熟练掌握圆周角定理及其推论，结合角平分线的性质梳理清楚各个角之间的数量关系即可求解。
【难度系数】
0.7
9 如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，AC为$\odot O$的直径，$∠ ADB=∠ CDB$.
（1）试判断$△ ABC$的形状，并给出证明；
（2）若$AB=\sqrt{2}$，$AD=1$，求CD的长.
（1）试判断$△ ABC$的形状，并给出证明；
（2）若$AB=\sqrt{2}$，$AD=1$，求CD的长.
答案
（1）$△ ABC$ 是等腰直角三角形 $\because$ AC 为 $\odot O$ 的直径，$\therefore ∠ ADC=∠ ABC=90°. \because ∠ ADB=∠ CDB, \therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}. \therefore AB=BC. \therefore △ ABC$ 是等腰直角三角形
（2）在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$AB=BC=\sqrt{2}, \therefore AC=2.$ 在 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 中，$AD=1, AC=2,$ $\therefore CD=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3},$ 即 $CD$ 的长为 $\sqrt{3}$
（2）在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$AB=BC=\sqrt{2}, \therefore AC=2.$ 在 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 中，$AD=1, AC=2,$ $\therefore CD=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3},$ 即 $CD$ 的长为 $\sqrt{3}$
解析
【分析】
（1）判断△ABC的形状：首先根据AC是⊙O的直径，可联想到直径所对的圆周角为直角，得到∠ABC=90°，确定△ABC是直角三角形；再结合已知∠ADB=∠CDB，根据圆周角定理，相等的圆周角所对的弧相等，可得弧AB=弧BC，进而得到AB=BC，即可判断三角形的形状。
（2）求CD的长：先利用（1）的结论，在等腰直角△ABC中，根据已知AB的长度，用勾股定理算出直径AC的长度；再根据直径所对的圆周角为直角，得到∠ADC=90°，在Rt△ADC中，已知AD和AC的长度，用勾股定理即可求出CD的长度。
【解析】
（1）△ABC是等腰直角三角形，证明如下：
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∵∠ADB=∠CDB，且∠ADB对应$\overset{\frown}{AB}$，∠CDB对应$\overset{\frown}{BC}$，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，
∴AB=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形。
（2）在Rt△ABC中，AB=BC=$\sqrt{2}$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=2$，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，AD=1，AC=2，
由勾股定理得：$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
【答案】
（1）$△ ABC$是等腰直角三角形；（2）$CD$的长为$\sqrt{3}$
【知识点】
圆周角定理，等腰直角三角形的判定，勾股定理
【点评】
本题结合圆的性质考查直角三角形的相关计算，解题的关键是熟练掌握直径所对圆周角为直角、圆周角与弧的对应关系等性质，计算时正确运用勾股定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
（1）判断△ABC的形状：首先根据AC是⊙O的直径，可联想到直径所对的圆周角为直角，得到∠ABC=90°，确定△ABC是直角三角形；再结合已知∠ADB=∠CDB，根据圆周角定理，相等的圆周角所对的弧相等，可得弧AB=弧BC，进而得到AB=BC，即可判断三角形的形状。
（2）求CD的长：先利用（1）的结论，在等腰直角△ABC中，根据已知AB的长度，用勾股定理算出直径AC的长度；再根据直径所对的圆周角为直角，得到∠ADC=90°，在Rt△ADC中，已知AD和AC的长度，用勾股定理即可求出CD的长度。
【解析】
（1）△ABC是等腰直角三角形，证明如下：
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∵∠ADB=∠CDB，且∠ADB对应$\overset{\frown}{AB}$，∠CDB对应$\overset{\frown}{BC}$，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，
∴AB=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形。
（2）在Rt△ABC中，AB=BC=$\sqrt{2}$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=2$，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，AD=1，AC=2，
由勾股定理得：$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
【答案】
（1）$△ ABC$是等腰直角三角形；（2）$CD$的长为$\sqrt{3}$
【知识点】
圆周角定理，等腰直角三角形的判定，勾股定理
【点评】
本题结合圆的性质考查直角三角形的相关计算，解题的关键是熟练掌握直径所对圆周角为直角、圆周角与弧的对应关系等性质，计算时正确运用勾股定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
10 [2024 滨州]如图,四边形ABCD内接于$\odot O$.若四边形OABC是菱形,则$∠ D=$
60
°。答案
60
解析
【分析】
解题时需结合三类图形的性质建立角的数量关系：首先，圆内接四边形的对角互补，可得∠D与∠B的和为180°；其次，菱形的对角相等，可得∠B与圆心角∠AOC相等；最后，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得∠AOC=2∠D，将三个关系联立即可求出∠D的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴$∠ D + ∠ B = 180°$（圆内接四边形对角互补）。
∵四边形OABC是菱形，
∴$∠ AOC = ∠ B$（菱形对角相等）。
又
∵$∠ AOC$是弧$AC$所对的圆心角，$∠ D$是弧$AC$所对的圆周角，
∴$∠ AOC = 2∠ D$（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍）。
将$∠ B=2∠ D$代入$∠ D + ∠ B = 180°$，得：
$∠ D + 2∠ D = 180°$，
$3∠ D = 180°$，
解得$∠ D = 60°$。
【答案】
60
【知识点】
圆内接四边形的性质，圆周角定理，菱形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，将圆的性质与特殊四边形的性质结合考查，解题的核心是找准不同图形中角的等量关系，通过代换建立方程求解角度。
【难度系数】
0.7
解题时需结合三类图形的性质建立角的数量关系：首先，圆内接四边形的对角互补，可得∠D与∠B的和为180°；其次，菱形的对角相等，可得∠B与圆心角∠AOC相等；最后，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得∠AOC=2∠D，将三个关系联立即可求出∠D的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴$∠ D + ∠ B = 180°$（圆内接四边形对角互补）。
∵四边形OABC是菱形，
∴$∠ AOC = ∠ B$（菱形对角相等）。
又
∵$∠ AOC$是弧$AC$所对的圆心角，$∠ D$是弧$AC$所对的圆周角，
∴$∠ AOC = 2∠ D$（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍）。
将$∠ B=2∠ D$代入$∠ D + ∠ B = 180°$，得：
$∠ D + 2∠ D = 180°$，
$3∠ D = 180°$，
解得$∠ D = 60°$。
【答案】
60
【知识点】
圆内接四边形的性质，圆周角定理，菱形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，将圆的性质与特殊四边形的性质结合考查，解题的核心是找准不同图形中角的等量关系，通过代换建立方程求解角度。
【难度系数】
0.7
11 [2024 贵州]如图, 在扇形纸扇中, 若∠AOB=150°, OA=24 cm, 则$\overset{\frown}{AB}$的长为 (
A.$30π$ cm
B.$25π$ cm
C.$20π$ cm
D.$10π$ cm
C
)A.$30π$ cm
B.$25π$ cm
C.$20π$ cm
D.$10π$ cm
答案
C
解析
【分析】
要计算弧$\overset{\frown}{AB}$的长，首先回忆弧长计算公式：$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为弧所对的圆心角度数，$r$为扇形所在圆的半径）。从题目中提取已知条件：圆心角$∠ AOB=150°$，半径$OA=24\mathrm{cm}$，将两个数值直接代入公式计算即可得到结果。
【解析】
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，其中$n=150°$，$r=OA=24\mathrm{cm}$，代入得：
$\overset{\frown}{AB}$的长$l=\frac{150×π×24}{180}=20π(\mathrm{cm})$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
弧长的计算
【点评】
本题属于基础题，直接考查弧长公式的应用，解题的关键是熟记弧长公式，准确代入对应数值计算即可，没有复杂的变形和陷阱。
【难度系数】
0.8
要计算弧$\overset{\frown}{AB}$的长，首先回忆弧长计算公式：$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为弧所对的圆心角度数，$r$为扇形所在圆的半径）。从题目中提取已知条件：圆心角$∠ AOB=150°$，半径$OA=24\mathrm{cm}$，将两个数值直接代入公式计算即可得到结果。
【解析】
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，其中$n=150°$，$r=OA=24\mathrm{cm}$，代入得：
$\overset{\frown}{AB}$的长$l=\frac{150×π×24}{180}=20π(\mathrm{cm})$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
弧长的计算
【点评】
本题属于基础题，直接考查弧长公式的应用，解题的关键是熟记弧长公式，准确代入对应数值计算即可，没有复杂的变形和陷阱。
【难度系数】
0.8
12 如图，将扇形OAB沿OB方向平移，使点O平移到OB的中点O'处，得到扇形O'A'B'。若∠O=90°,OA=2,则涂色部分的面积为
$\dfrac{π}{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
。答案
$\dfrac{π}{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
【解析】设 $O'A'$ 交 $\overset{\frown}{AB}$ 于点 $T$, 连接 $OT. \because O'$ 是 $OB$ 的中点, $\therefore OO'=O'B=1. \because OT=OB, \therefore OT=2OO'. \because ∠ OO'T=90°, \therefore ∠ O'TO=30°, ∠ TOO'=60°.$ 在 $\mathrm{Rt}△ OTO'$ 中, 由勾股定理, 易得 $O'T=\sqrt{3}. \therefore S_{\mathrm{涂色}}=S_{\mathrm{扇形}O'A'B'} - (S_{\mathrm{扇形}OTB} - S_{△ OTO'}) = \dfrac{90π×2^2}{360} - (\dfrac{60π×2^2}{360} - \dfrac{1}{2}×1×\sqrt{3}) = \dfrac{π}{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$
【解析】设 $O'A'$ 交 $\overset{\frown}{AB}$ 于点 $T$, 连接 $OT. \because O'$ 是 $OB$ 的中点, $\therefore OO'=O'B=1. \because OT=OB, \therefore OT=2OO'. \because ∠ OO'T=90°, \therefore ∠ O'TO=30°, ∠ TOO'=60°.$ 在 $\mathrm{Rt}△ OTO'$ 中, 由勾股定理, 易得 $O'T=\sqrt{3}. \therefore S_{\mathrm{涂色}}=S_{\mathrm{扇形}O'A'B'} - (S_{\mathrm{扇形}OTB} - S_{△ OTO'}) = \dfrac{90π×2^2}{360} - (\dfrac{60π×2^2}{360} - \dfrac{1}{2}×1×\sqrt{3}) = \dfrac{π}{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$
解析
【分析】
本题要求不规则涂色部分的面积，可利用平移的性质解题：平移前后图形的面积不变，因此扇形O'A'B'和原扇形OAB面积相等。涂色部分面积可转化为扇形O'A'B'的面积减去两扇形重叠部分的空白面积。我们先作辅助线连接OT，结合O'是OB中点的已知条件，可得到Rt△OTO'的边长关系，先求出对应角度和O'T的长度，再分别计算各规则图形的面积，最后通过面积和差运算即可得到结果。
【解析】
设$O'A'$交 $\overset{\frown}{AB}$ 于点$T$, 连接 $OT$.
$\because O'$ 是 $OB$ 的中点，扇形半径$OA=OB=OT=2$,
$\therefore OO'=O'B=\frac{1}{2}OB=1$.
$\because ∠OO'T=∠O=90°$,
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ OTO'$中，$OO'=\frac{1}{2}OT$, 可得$∠ O'TO=30°, ∠ TOO'=60°$.
由勾股定理计算得：$O'T=\sqrt{OT^2-OO'^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$.
根据平移性质，$S_{\mathrm{扇形}O'A'B'}=S_{\mathrm{扇形}OAB}$，因此涂色部分面积可列式：
$S_{\mathrm{涂色}}=S_{\mathrm{扇形}O'A'B'} - (S_{\mathrm{扇形}OTB} - S_{△ OTO'})$
代入扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$、三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$计算：
$= \dfrac{90π×2^2}{360} - (\dfrac{60π×2^2}{360} - \dfrac{1}{2}×1×\sqrt{3})$
$=π - (\frac{2π}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2})$
$= \dfrac{π}{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
【答案】
$\dfrac{π}{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
平移的性质，扇形面积计算，直角三角形性质
【点评】
本题核心是用割补法将不规则图形面积转化为规则图形面积的和差，解题关键是正确作出辅助线，结合平移性质、直角三角形的边角关系求出对应参数，需要熟练掌握扇形、三角形的面积计算公式。
【难度系数】
0.6
本题要求不规则涂色部分的面积，可利用平移的性质解题：平移前后图形的面积不变，因此扇形O'A'B'和原扇形OAB面积相等。涂色部分面积可转化为扇形O'A'B'的面积减去两扇形重叠部分的空白面积。我们先作辅助线连接OT，结合O'是OB中点的已知条件，可得到Rt△OTO'的边长关系，先求出对应角度和O'T的长度，再分别计算各规则图形的面积，最后通过面积和差运算即可得到结果。
【解析】
设$O'A'$交 $\overset{\frown}{AB}$ 于点$T$, 连接 $OT$.
$\because O'$ 是 $OB$ 的中点，扇形半径$OA=OB=OT=2$,
$\therefore OO'=O'B=\frac{1}{2}OB=1$.
$\because ∠OO'T=∠O=90°$,
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ OTO'$中，$OO'=\frac{1}{2}OT$, 可得$∠ O'TO=30°, ∠ TOO'=60°$.
由勾股定理计算得：$O'T=\sqrt{OT^2-OO'^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$.
根据平移性质，$S_{\mathrm{扇形}O'A'B'}=S_{\mathrm{扇形}OAB}$，因此涂色部分面积可列式：
$S_{\mathrm{涂色}}=S_{\mathrm{扇形}O'A'B'} - (S_{\mathrm{扇形}OTB} - S_{△ OTO'})$
代入扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$、三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$计算：
$= \dfrac{90π×2^2}{360} - (\dfrac{60π×2^2}{360} - \dfrac{1}{2}×1×\sqrt{3})$
$=π - (\frac{2π}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2})$
$= \dfrac{π}{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
【答案】
$\dfrac{π}{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
平移的性质，扇形面积计算，直角三角形性质
【点评】
本题核心是用割补法将不规则图形面积转化为规则图形面积的和差，解题关键是正确作出辅助线，结合平移性质、直角三角形的边角关系求出对应参数，需要熟练掌握扇形、三角形的面积计算公式。
【难度系数】
0.6
