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1.某工程队要铺建一条长2000米的管道，采用新的施工方式，工作效率提高了25%，结果比原计划提前2天完成了任务.设这个工程队原计划每天要铺建x米管道，则根据题意所列方程正确的是（
A.$\frac{2000}{x} - 2 = \frac{2000}{(1+25\%)x}$
B.$\frac{2000}{x} + \frac{2000}{(1+25\%)x} = 2$
C.$\frac{2000}{x} = \frac{2000}{(1+25\%)x} - 2$
D.$\frac{2000}{(1-25\%)x} - \frac{2000}{x} = 2$
A
）A.$\frac{2000}{x} - 2 = \frac{2000}{(1+25\%)x}$
B.$\frac{2000}{x} + \frac{2000}{(1+25\%)x} = 2$
C.$\frac{2000}{x} = \frac{2000}{(1+25\%)x} - 2$
D.$\frac{2000}{(1-25\%)x} - \frac{2000}{x} = 2$
答案
1.A
解析
【分析】
这是一道工程类的分式方程应用题，解题核心是抓住“工作时间=工作总量÷工作效率”的基本关系，以原计划和实际施工的时间差为等量关系列方程。首先分别表示出原计划施工时间和实际施工时间：原计划每天铺x米，结合总长度可直接算出原计划用时；效率提高25%后，先求出实际效率，再算出实际施工用时；最后根据“实际比原计划提前2天完成”的条件，整理等式对照选项即可得到答案。
【解析】
1. 计算原计划施工时间：工作总量为2000米，原计划工作效率为每天x米，根据工作时间计算公式，原计划施工时间为$\frac{2000}{x}$天。
2. 计算实际施工时间：工作效率提高25%后，实际工作效率为$(1+25\%)x$米/天，因此实际施工时间为$\frac{2000}{(1+25\%)x}$天。
3. 根据时间差列等式：实际比原计划提前2天完成，说明原计划用时比实际用时多2天，可得等式：
$\frac{2000}{x} - \frac{2000}{(1+25\%)x} = 2$
移项后得$\frac{2000}{x} - 2 = \frac{2000}{(1+25\%)x}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的实际应用；工程问题等量关系
【点评】
本题是分式方程应用的基础题型，解题关键是准确梳理原计划、实际施工中工作效率、工作时间的对应关系，尤其要注意“提前2天”的含义，不要混淆原计划用时和实际用时的大小关系。
【难度系数】
0.7
这是一道工程类的分式方程应用题，解题核心是抓住“工作时间=工作总量÷工作效率”的基本关系，以原计划和实际施工的时间差为等量关系列方程。首先分别表示出原计划施工时间和实际施工时间：原计划每天铺x米，结合总长度可直接算出原计划用时；效率提高25%后，先求出实际效率，再算出实际施工用时；最后根据“实际比原计划提前2天完成”的条件，整理等式对照选项即可得到答案。
【解析】
1. 计算原计划施工时间：工作总量为2000米，原计划工作效率为每天x米，根据工作时间计算公式，原计划施工时间为$\frac{2000}{x}$天。
2. 计算实际施工时间：工作效率提高25%后，实际工作效率为$(1+25\%)x$米/天，因此实际施工时间为$\frac{2000}{(1+25\%)x}$天。
3. 根据时间差列等式：实际比原计划提前2天完成，说明原计划用时比实际用时多2天，可得等式：
$\frac{2000}{x} - \frac{2000}{(1+25\%)x} = 2$
移项后得$\frac{2000}{x} - 2 = \frac{2000}{(1+25\%)x}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的实际应用；工程问题等量关系
【点评】
本题是分式方程应用的基础题型，解题关键是准确梳理原计划、实际施工中工作效率、工作时间的对应关系，尤其要注意“提前2天”的含义，不要混淆原计划用时和实际用时的大小关系。
【难度系数】
0.7
2.一艘轮船在静水中的最大航速为 40 km/h,它以最大航速沿河顺流航行 100 km 所用的时间和它以最大航速沿河逆流航行 80 km 所用的时间相等.设河水的流速为 v km/h,则可列方程为 （
A.$\frac{100}{v+40}=\frac{80}{v-40}$
B.$\frac{100}{v-40}=\frac{80}{v+40}$
C.$\frac{100}{40+v}=\frac{80}{40-v}$
D.$\frac{100}{40-v}=\frac{80}{40+v}$
3.(2024·大连中山区期末)甲、乙两人分别从距离目的地 6 km 和 10 km 的两地同时出发,匀速前进.已知两人的速度之比是$3:4$,结果甲比乙提前 20 min 到达目的地.求甲、乙两人的速度.
C
）A.$\frac{100}{v+40}=\frac{80}{v-40}$
B.$\frac{100}{v-40}=\frac{80}{v+40}$
C.$\frac{100}{40+v}=\frac{80}{40-v}$
D.$\frac{100}{40-v}=\frac{80}{40+v}$
3.(2024·大连中山区期末)甲、乙两人分别从距离目的地 6 km 和 10 km 的两地同时出发,匀速前进.已知两人的速度之比是$3:4$,结果甲比乙提前 20 min 到达目的地.求甲、乙两人的速度.
答案
2.C
解析
【分析】
首先回忆流水行船问题的速度关系：顺流航行的实际速度=静水速度+水流速度，逆流航行的实际速度=静水速度-水流速度。再结合行程问题的基本公式“时间=路程÷速度”，分别表示出顺流航行100km的时间和逆流航行80km的时间，最后根据题目给出的“两个时间相等”的等量关系，就能列出对应的分式方程，匹配选项即可。
【解析】
第一步：计算顺流、逆流的实际航行速度
已知轮船在静水中的最大航速为40km/h，河水流速为v km/h，
所以顺流航行的实际速度为：$(40+v)$ km/h，
逆流航行的实际速度为：$(40-v)$ km/h。
第二步：分别表示两个行程的时间
根据“时间=路程÷速度”，
顺流航行100km所用时间为：$\frac{100}{40+v}$ h，
逆流航行80km所用时间为：$\frac{80}{40-v}$ h。
第三步：根据等量关系列方程
题目明确两个时间相等，因此可列方程：
$\frac{100}{40+v}=\frac{80}{40-v}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
流水行船速度关系，列分式方程，行程问题公式
【点评】
本题是列分式方程解决行程问题的基础题型，解题核心是准确掌握顺流、逆流状态下的实际速度计算方法，再结合题干给出的等量关系列式即可，注意不要搞反顺流和逆流的速度公式。
【难度系数】
0.8
首先回忆流水行船问题的速度关系：顺流航行的实际速度=静水速度+水流速度，逆流航行的实际速度=静水速度-水流速度。再结合行程问题的基本公式“时间=路程÷速度”，分别表示出顺流航行100km的时间和逆流航行80km的时间，最后根据题目给出的“两个时间相等”的等量关系，就能列出对应的分式方程，匹配选项即可。
【解析】
第一步：计算顺流、逆流的实际航行速度
已知轮船在静水中的最大航速为40km/h，河水流速为v km/h，
所以顺流航行的实际速度为：$(40+v)$ km/h，
逆流航行的实际速度为：$(40-v)$ km/h。
第二步：分别表示两个行程的时间
根据“时间=路程÷速度”，
顺流航行100km所用时间为：$\frac{100}{40+v}$ h，
逆流航行80km所用时间为：$\frac{80}{40-v}$ h。
第三步：根据等量关系列方程
题目明确两个时间相等，因此可列方程：
$\frac{100}{40+v}=\frac{80}{40-v}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
流水行船速度关系，列分式方程，行程问题公式
【点评】
本题是列分式方程解决行程问题的基础题型，解题核心是准确掌握顺流、逆流状态下的实际速度计算方法，再结合题干给出的等量关系列式即可，注意不要搞反顺流和逆流的速度公式。
【难度系数】
0.8
4.(2024·鞍山期末)为筹办元旦联欢会，八年级一班两次到超市购买同一款饮料.第一次按标价购买，用了96元；第二次超市有优惠活动，按标价的六折购买，用了72元.若两次一共购买了54瓶饮料，则这种饮料的标价是多少？
答案
4.这种饮料的标价是 4 元/瓶
解析
【分析】
解决本题首先要明确购物问题的基本数量关系：购买数量=总花费÷单价。我们可以将饮料的标价设为未知数，分别表示出两次购买饮料的数量，再根据“两次一共购买了54瓶”的等量关系列方程求解，注意分式方程求出解后需要检验根是否符合实际意义。
【解析】
解：设这种饮料的标价是$x$元/瓶。
第一次按标价购买的数量为$\frac{96}{x}$瓶，第二次按标价六折购买的单价为$0.6x$元/瓶，第二次购买的数量为$\frac{72}{0.6x}$瓶。
根据两次总购买量为54瓶，列方程：
$\frac{96}{x} + \frac{72}{0.6x} = 54$
化简方程：$\frac{72}{0.6x}=\frac{120}{x}$，代入得：
$\frac{96}{x}+\frac{120}{x}=54$
合并同类项得：
$\frac{216}{x}=54$
解得：$x=4$
检验：当$x=4$时，$x≠0$，$0.6x=2.4≠0$，代入原方程左边得$\frac{96}{4}+\frac{72}{2.4}=24+30=54$，与右边相等，所以$x=4$是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
这种饮料的标价是4元/瓶
【知识点】
1.分式方程的实际应用
2.分式方程的求解
3.总价、单价、数量关系
【点评】
本题是生活场景类的基础分式方程应用题，解题核心是找准两次购买数量之和的等量关系，求解后要注意检验分式方程的根是否符合实际意义，掌握基础数量关系就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确购物问题的基本数量关系：购买数量=总花费÷单价。我们可以将饮料的标价设为未知数，分别表示出两次购买饮料的数量，再根据“两次一共购买了54瓶”的等量关系列方程求解，注意分式方程求出解后需要检验根是否符合实际意义。
【解析】
解：设这种饮料的标价是$x$元/瓶。
第一次按标价购买的数量为$\frac{96}{x}$瓶，第二次按标价六折购买的单价为$0.6x$元/瓶，第二次购买的数量为$\frac{72}{0.6x}$瓶。
根据两次总购买量为54瓶，列方程：
$\frac{96}{x} + \frac{72}{0.6x} = 54$
化简方程：$\frac{72}{0.6x}=\frac{120}{x}$，代入得：
$\frac{96}{x}+\frac{120}{x}=54$
合并同类项得：
$\frac{216}{x}=54$
解得：$x=4$
检验：当$x=4$时，$x≠0$，$0.6x=2.4≠0$，代入原方程左边得$\frac{96}{4}+\frac{72}{2.4}=24+30=54$，与右边相等，所以$x=4$是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
这种饮料的标价是4元/瓶
【知识点】
1.分式方程的实际应用
2.分式方程的求解
3.总价、单价、数量关系
【点评】
本题是生活场景类的基础分式方程应用题，解题核心是找准两次购买数量之和的等量关系，求解后要注意检验分式方程的根是否符合实际意义，掌握基础数量关系就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
5.【新情境·生活情境】(2024·沈阳皇姑区期末)辽宁省新中考体育考试新增专项技能三选一项目(足球运球绕杆、篮球运球绕杆往返、排球垫球),其中篮球运球路线的总路程为36米.在一次练习测试中,小红和小强依次完成篮球运球绕杆往返跑后,根据两人的测试成绩,小强说:“咱俩共用时42秒.”小红说:“如果我的平均速度不变,用你这次测试的用时,那么我只能跑20米.”求这次测试小红和小强各用时多少秒.
答案
5.这次测试小红用时 27 秒,小强用时 15 秒
解析
【分析】
本题属于行程类分式方程应用题，解题思路如下：①先明确题中的两个核心等量关系：一是两人总用时为42秒，二是小红的平均速度保持不变；②设小红的用时为未知数，用总用时表示出小强的用时；③根据“速度=路程÷时间”，分别用“小红跑36米的速度”和“小红用小强的用时跑20米的速度”两个表达式表示小红的速度，结合速度不变列分式方程；④解方程后检验解是否符合方程和实际意义，最后求出两人的用时即可。
【解析】
解：设这次测试小红用时$ x $秒，则小强用时$ (42-x) $秒。
根据小红平均速度不变，可列分式方程：
$\frac{36}{x}=\frac{20}{42-x}$
交叉相乘得：$36(42-x)=20x$
展开计算：$1512-36x=20x$
移项合并同类项得：$56x=1512$
解得：$x=27$
检验：当$x=27$时，$x(42-x)=27×15=405≠0$，因此$x=27$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则小强的用时为：$42-27=15$（秒）
【答案】
这次测试小红用时27秒，小强用时15秒
【知识点】
分式方程的实际应用、行程问题基本公式、分式方程的检验
【点评】
本题结合新中考体育测试的生活情境命题，贴近学生日常，主要考查学生从实际问题中提取等量关系、建立分式方程模型解决问题的能力，解题时需注意分式方程要进行双重检验，既要验证是方程的解，也要符合实际情境要求。
【难度系数】
0.7
本题属于行程类分式方程应用题，解题思路如下：①先明确题中的两个核心等量关系：一是两人总用时为42秒，二是小红的平均速度保持不变；②设小红的用时为未知数，用总用时表示出小强的用时；③根据“速度=路程÷时间”，分别用“小红跑36米的速度”和“小红用小强的用时跑20米的速度”两个表达式表示小红的速度，结合速度不变列分式方程；④解方程后检验解是否符合方程和实际意义，最后求出两人的用时即可。
【解析】
解：设这次测试小红用时$ x $秒，则小强用时$ (42-x) $秒。
根据小红平均速度不变，可列分式方程：
$\frac{36}{x}=\frac{20}{42-x}$
交叉相乘得：$36(42-x)=20x$
展开计算：$1512-36x=20x$
移项合并同类项得：$56x=1512$
解得：$x=27$
检验：当$x=27$时，$x(42-x)=27×15=405≠0$，因此$x=27$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则小强的用时为：$42-27=15$（秒）
【答案】
这次测试小红用时27秒，小强用时15秒
【知识点】
分式方程的实际应用、行程问题基本公式、分式方程的检验
【点评】
本题结合新中考体育测试的生活情境命题，贴近学生日常，主要考查学生从实际问题中提取等量关系、建立分式方程模型解决问题的能力，解题时需注意分式方程要进行双重检验，既要验证是方程的解，也要符合实际情境要求。
【难度系数】
0.7
3.(2024·大连中山区期末)甲、乙两人分别从距离目的地6 km和10 km的两地同时出发，匀速前进.已知两人的速度之比是3：4，结果甲比乙提前20 min到达目的地.求甲、乙两人的速度.
答案
3.甲的速度为 4.5 km/h,乙的速度为 6 km/h
解析
【分析】
这是行程类分式方程应用题，解题思路如下：1. 回忆行程问题核心公式：时间=路程÷速度；2. 已知两人速度比为3:4，可按比例设未知数（设甲速度为3x km/h，乙速度为4x km/h）简化计算；3. 统一单位：20分钟需换算为$\frac{1}{3}$h，和速度单位匹配；4. 找等量关系：乙的行驶时间 - 甲的行驶时间 = $\frac{1}{3}$h；5. 代入公式列分式方程，求解后需检验根的合理性（既要满足方程，又要符合实际意义），最后计算两人速度。
【解析】
解：首先统一单位，$20\ \mathrm{min}=\frac{20}{60}\ \mathrm{h}=\frac{1}{3}\ \mathrm{h}$。
设甲的速度为$3x\ \mathrm{km/h}$，则乙的速度为$4x\ \mathrm{km/h}$，根据题意列方程：
$\frac{10}{4x} - \frac{6}{3x} = \frac{1}{3}$
化简方程左边：
$\frac{5}{2x} - \frac{2}{x} = \frac{1}{3}$
通分计算得：
$\frac{5 - 4}{2x} = \frac{1}{3}$
即$\frac{1}{2x} = \frac{1}{3}$，解得$x=1.5$。
检验：当$x=1.5$时，分母$3x=4.5≠0$，$4x=6≠0$，因此$x=1.5$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则甲的速度：$3x=3×1.5=4.5\ \mathrm{km/h}$，
乙的速度：$4x=4×1.5=6\ \mathrm{km/h}$。
【答案】
甲的速度为 4.5 km/h,乙的速度为 6 km/h
【知识点】
分式方程的应用、行程问题数量关系、分式方程验根
【点评】
本题是典型的行程类分式方程应用题，解题的核心是抓住时间差建立等量关系，需注意统一单位避免出错，求解分式方程后务必检验根是否符合方程要求和实际场景。
【难度系数】
0.7
这是行程类分式方程应用题，解题思路如下：1. 回忆行程问题核心公式：时间=路程÷速度；2. 已知两人速度比为3:4，可按比例设未知数（设甲速度为3x km/h，乙速度为4x km/h）简化计算；3. 统一单位：20分钟需换算为$\frac{1}{3}$h，和速度单位匹配；4. 找等量关系：乙的行驶时间 - 甲的行驶时间 = $\frac{1}{3}$h；5. 代入公式列分式方程，求解后需检验根的合理性（既要满足方程，又要符合实际意义），最后计算两人速度。
【解析】
解：首先统一单位，$20\ \mathrm{min}=\frac{20}{60}\ \mathrm{h}=\frac{1}{3}\ \mathrm{h}$。
设甲的速度为$3x\ \mathrm{km/h}$，则乙的速度为$4x\ \mathrm{km/h}$，根据题意列方程：
$\frac{10}{4x} - \frac{6}{3x} = \frac{1}{3}$
化简方程左边：
$\frac{5}{2x} - \frac{2}{x} = \frac{1}{3}$
通分计算得：
$\frac{5 - 4}{2x} = \frac{1}{3}$
即$\frac{1}{2x} = \frac{1}{3}$，解得$x=1.5$。
检验：当$x=1.5$时，分母$3x=4.5≠0$，$4x=6≠0$，因此$x=1.5$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则甲的速度：$3x=3×1.5=4.5\ \mathrm{km/h}$，
乙的速度：$4x=4×1.5=6\ \mathrm{km/h}$。
【答案】
甲的速度为 4.5 km/h,乙的速度为 6 km/h
【知识点】
分式方程的应用、行程问题数量关系、分式方程验根
【点评】
本题是典型的行程类分式方程应用题，解题的核心是抓住时间差建立等量关系，需注意统一单位避免出错，求解分式方程后务必检验根是否符合方程要求和实际场景。
【难度系数】
0.7
