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9.对于实数$a,b$,定义一种新运算“$\otimes$”: $a\otimes b=\dfrac{1}{a-b^2}$.例如, $1\otimes 3=\dfrac{1}{1-3^2}=-\dfrac{1}{8}$.方程 $x\otimes (-2)=\dfrac{2}{x-4}-1$ 的解是 （
A.$x=4$
B.$x=5$
C.$x=6$
D.$x=7$
B
）A.$x=4$
B.$x=5$
C.$x=6$
D.$x=7$
答案
9.B
解析
【分析】
首先根据题目给出的新运算“⊗”的定义，先将方程左边的$x\otimes (-2)$转化为常规的分式形式，得到分式方程；再按照分式方程的求解步骤：去分母转化为整式方程、解整式方程、检验根是否为增根，最终得到方程的解即可。
【解析】
根据新运算的定义$a\otimes b=\dfrac{1}{a-b^2}$，可得：
$x\otimes (-2)=\dfrac{1}{x-(-2)^2}=\dfrac{1}{x-4}$
代入原方程得：
$\dfrac{1}{x-4}=\dfrac{2}{x-4}-1$
由分式有意义的条件得$x-4≠ 0$，即$x≠ 4$，
方程两边同时乘以$(x-4)$去分母得：
$1=2-(x-4)$
去括号得：$1=2-x+4$
整理得：$1=6-x$
移项解得：$x=5$
检验：将$x=5$代入$x-4=5-4=1≠ 0$，故$x=5$是原分式方程的解。
【答案】
B
【知识点】
新定义运算、分式方程的解法、分式方程的检验
【点评】
本题将新定义运算与分式方程结合考查，解题的关键是准确理解新运算规则转化为常规分式方程，解分式方程时注意要检验，避免增根导致错解。
【难度系数】
0.8
首先根据题目给出的新运算“⊗”的定义，先将方程左边的$x\otimes (-2)$转化为常规的分式形式，得到分式方程；再按照分式方程的求解步骤：去分母转化为整式方程、解整式方程、检验根是否为增根，最终得到方程的解即可。
【解析】
根据新运算的定义$a\otimes b=\dfrac{1}{a-b^2}$，可得：
$x\otimes (-2)=\dfrac{1}{x-(-2)^2}=\dfrac{1}{x-4}$
代入原方程得：
$\dfrac{1}{x-4}=\dfrac{2}{x-4}-1$
由分式有意义的条件得$x-4≠ 0$，即$x≠ 4$，
方程两边同时乘以$(x-4)$去分母得：
$1=2-(x-4)$
去括号得：$1=2-x+4$
整理得：$1=6-x$
移项解得：$x=5$
检验：将$x=5$代入$x-4=5-4=1≠ 0$，故$x=5$是原分式方程的解。
【答案】
B
【知识点】
新定义运算、分式方程的解法、分式方程的检验
【点评】
本题将新定义运算与分式方程结合考查，解题的关键是准确理解新运算规则转化为常规分式方程，解分式方程时注意要检验，避免增根导致错解。
【难度系数】
0.8
10.(2024·遂宁)若分式方程$\frac{2}{x-1}=1-\frac{m}{x-1}$的解为正数，则$m$的取值范围是（
A.$m＞-3$
B.$m＞-3$且$m≠-2$
C.$m＜3$
D.$m＜3$且$m≠-2$
B
）A.$m＞-3$
B.$m＞-3$且$m≠-2$
C.$m＜3$
D.$m＜3$且$m≠-2$
答案
10.B
解析
【分析】
要解决这个问题，需分三步思考：第一步，先将分式方程去分母转化为整式方程，用含m的式子表示出方程的解x；第二步，根据“解为正数”的条件列出不等式，求出m的初步范围；第三步，注意分式方程分母不能为0，即x≠1，排除增根对应的m的取值，最终得到m的完整取值范围。
【解析】
解：给分式方程两边同时乘以最简公分母$(x-1)$（注意$x ≠ 1$），去分母得：
$2 = (x - 1) - m$
移项整理得：$x = 3 + m$
∵ 方程的解为正数
∴ $x ＞ 0$，即$3 + m ＞ 0$，解得$m ＞ -3$
又
∵ 分母$x - 1 ≠ 0$，即$x ≠ 1$
∴ $3 + m ≠ 1$，解得$m ≠ -2$
综上，m的取值范围是$m ＞ -3$且$m ≠ -2$。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的解法；分式方程的增根；解一元一次不等式
【点评】
本题是分式方程解的取值范围类的典型题型，解题的易错点是容易忽略分式方程分母不为零的限制条件，漏掉排除增根对应的m值，从而错选A，解题时要牢记分式方程求解后必须验根。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需分三步思考：第一步，先将分式方程去分母转化为整式方程，用含m的式子表示出方程的解x；第二步，根据“解为正数”的条件列出不等式，求出m的初步范围；第三步，注意分式方程分母不能为0，即x≠1，排除增根对应的m的取值，最终得到m的完整取值范围。
【解析】
解：给分式方程两边同时乘以最简公分母$(x-1)$（注意$x ≠ 1$），去分母得：
$2 = (x - 1) - m$
移项整理得：$x = 3 + m$
∵ 方程的解为正数
∴ $x ＞ 0$，即$3 + m ＞ 0$，解得$m ＞ -3$
又
∵ 分母$x - 1 ≠ 0$，即$x ≠ 1$
∴ $3 + m ≠ 1$，解得$m ≠ -2$
综上，m的取值范围是$m ＞ -3$且$m ≠ -2$。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的解法；分式方程的增根；解一元一次不等式
【点评】
本题是分式方程解的取值范围类的典型题型，解题的易错点是容易忽略分式方程分母不为零的限制条件，漏掉排除增根对应的m值，从而错选A，解题时要牢记分式方程求解后必须验根。
【难度系数】
0.6
11.(2024·盘锦兴隆台区月考)若关于$x$的分式方程$\frac{ax}{x-2}=\frac{4}{x-2}+1$无解，则$a$的值是
1或2
.答案
11.1或2
解析
【分析】
分式方程无解包含两种情况：一是去分母后得到的整式方程本身无解；二是整式方程的解是原分式方程的增根（即使原分式分母为0的未知数的值）。本题中原分式方程的分母为x-2，因此增根为x=2，解题时先将分式方程化为整式方程，再分上述两种情况讨论a的取值即可。
【解析】
解：给原方程两边同时乘$(x-2)$（$x≠2$），去分母得：
$ax = 4 + (x - 2)$
整理整式方程：
$ax - x = 2$
$(a - 1)x = 2$
分两种情况讨论：
① 当整式方程无解时，一次项系数为0，常数项不为0：
即$a - 1 = 0$，解得$a = 1$，此时方程变为$0=2$，不成立，整式方程无解，因此原分式方程无解；
② 当整式方程的解是原分式方程的增根时，增根为$x=2$，将$x=2$代入$(a - 1)x = 2$得：
$2(a - 1) = 2$
解得$a = 2$，此时整式方程的解为增根，原分式方程无解。
综上，a的值为1或2。
【答案】
1或2
【知识点】
1. 分式方程的增根
2. 分式方程无解的判定
3. 解一元一次方程
【点评】
本题是分式方程章节的典型题型，解题的关键是明确分式方程无解的两种情况，易错点是容易遗漏整式方程本身无解的情况，仅考虑增根导致漏解，解题时需注意分类讨论，全面分析所有可能性。
【难度系数】
0.6
分式方程无解包含两种情况：一是去分母后得到的整式方程本身无解；二是整式方程的解是原分式方程的增根（即使原分式分母为0的未知数的值）。本题中原分式方程的分母为x-2，因此增根为x=2，解题时先将分式方程化为整式方程，再分上述两种情况讨论a的取值即可。
【解析】
解：给原方程两边同时乘$(x-2)$（$x≠2$），去分母得：
$ax = 4 + (x - 2)$
整理整式方程：
$ax - x = 2$
$(a - 1)x = 2$
分两种情况讨论：
① 当整式方程无解时，一次项系数为0，常数项不为0：
即$a - 1 = 0$，解得$a = 1$，此时方程变为$0=2$，不成立，整式方程无解，因此原分式方程无解；
② 当整式方程的解是原分式方程的增根时，增根为$x=2$，将$x=2$代入$(a - 1)x = 2$得：
$2(a - 1) = 2$
解得$a = 2$，此时整式方程的解为增根，原分式方程无解。
综上，a的值为1或2。
【答案】
1或2
【知识点】
1. 分式方程的增根
2. 分式方程无解的判定
3. 解一元一次方程
【点评】
本题是分式方程章节的典型题型，解题的关键是明确分式方程无解的两种情况，易错点是容易遗漏整式方程本身无解的情况，仅考虑增根导致漏解，解题时需注意分类讨论，全面分析所有可能性。
【难度系数】
0.6
12.解下列方程：
(1)$\frac{1}{x+2}+\frac{4x}{x^2-4}=\frac{2}{x-2};$
(2)$\frac{x}{x-2}-1=\frac{4}{x^2-4x+4};$
(3)$\frac{x+1}{4x^2-1}=\frac{3}{2x+1}-\frac{4}{4x-2}.$
(1)$\frac{1}{x+2}+\frac{4x}{x^2-4}=\frac{2}{x-2};$
(2)$\frac{x}{x-2}-1=\frac{4}{x^2-4x+4};$
(3)$\frac{x+1}{4x^2-1}=\frac{3}{2x+1}-\frac{4}{4x-2}.$
答案
12.(1)原分式方程无解
(2)$x=4$
(3)$x=6$
(2)$x=4$
(3)$x=6$
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为已学的整式方程求解，具体步骤为：①对各分母因式分解，确定最简公分母，明确分母不为0的未知数取值范围；②方程两边同乘最简公分母，约去分母得到整式方程；③解整式方程得到未知数的值；④检验：将所得值代入最简公分母，若公分母为0则是增根，原方程无解，若公分母不为0则是原方程的解。三个小题均按照该思路逐步求解即可。
【解析】
(1) 先对分母因式分解：$x^2-4=(x+2)(x-2)$，可知最简公分母为$(x+2)(x-2)$，且$x≠\pm2$。
方程两边同乘$(x+2)(x-2)$去分母得：
$x-2 + 4x = 2(x+2)$
整理得：$5x-2=2x+4$
移项合并同类项得$3x=6$，解得$x=2$。
检验：当$x=2$时，最简公分母$(x+2)(x-2)=0$，因此$x=2$是增根，原分式方程无解。
(2) 对分母因式分解：$x^2-4x+4=(x-2)^2$，可知最简公分母为$(x-2)^2$，且$x≠2$。
方程两边同乘$(x-2)^2$去分母得：
$x(x-2) - (x-2)^2 = 4$
展开整理得：$x^2-2x - (x^2-4x+4) =4$，即$2x-4=4$
解得$2x=8$，$x=4$。
检验：当$x=4$时，最简公分母$(x-2)^2=(4-2)^2=4≠0$，因此$x=4$是原方程的解。
(3) 对分母因式分解：$4x^2-1=(2x+1)(2x-1)$，$4x-2=2(2x-1)$，可知最简公分母为$2(2x+1)(2x-1)$，且$x≠\pm\frac{1}{2}$。
方程两边同乘$2(2x+1)(2x-1)$去分母得：
$2(x+1) = 3×2(2x-1) -4(2x+1)$
展开整理得：$2x+2 = 12x -6 -8x -4$，即$2x+2=4x-10$
移项合并同类项得$2x=12$，解得$x=6$。
检验：当$x=6$时，最简公分母$2(2×6+1)(2×6-1)=2×13×11≠0$，因此$x=6$是原方程的解。
【答案】
(1)原分式方程无解；(2)$x=4$；(3)$x=6$
【知识点】
分式方程解法，增根检验，因式分解
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，重点考查将分式方程转化为整式方程求解的思想，需注意验根是分式方程求解必不可少的步骤，避免因增根导致错解。
【难度系数】
0.7
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为已学的整式方程求解，具体步骤为：①对各分母因式分解，确定最简公分母，明确分母不为0的未知数取值范围；②方程两边同乘最简公分母，约去分母得到整式方程；③解整式方程得到未知数的值；④检验：将所得值代入最简公分母，若公分母为0则是增根，原方程无解，若公分母不为0则是原方程的解。三个小题均按照该思路逐步求解即可。
【解析】
(1) 先对分母因式分解：$x^2-4=(x+2)(x-2)$，可知最简公分母为$(x+2)(x-2)$，且$x≠\pm2$。
方程两边同乘$(x+2)(x-2)$去分母得：
$x-2 + 4x = 2(x+2)$
整理得：$5x-2=2x+4$
移项合并同类项得$3x=6$，解得$x=2$。
检验：当$x=2$时，最简公分母$(x+2)(x-2)=0$，因此$x=2$是增根，原分式方程无解。
(2) 对分母因式分解：$x^2-4x+4=(x-2)^2$，可知最简公分母为$(x-2)^2$，且$x≠2$。
方程两边同乘$(x-2)^2$去分母得：
$x(x-2) - (x-2)^2 = 4$
展开整理得：$x^2-2x - (x^2-4x+4) =4$，即$2x-4=4$
解得$2x=8$，$x=4$。
检验：当$x=4$时，最简公分母$(x-2)^2=(4-2)^2=4≠0$，因此$x=4$是原方程的解。
(3) 对分母因式分解：$4x^2-1=(2x+1)(2x-1)$，$4x-2=2(2x-1)$，可知最简公分母为$2(2x+1)(2x-1)$，且$x≠\pm\frac{1}{2}$。
方程两边同乘$2(2x+1)(2x-1)$去分母得：
$2(x+1) = 3×2(2x-1) -4(2x+1)$
展开整理得：$2x+2 = 12x -6 -8x -4$，即$2x+2=4x-10$
移项合并同类项得$2x=12$，解得$x=6$。
检验：当$x=6$时，最简公分母$2(2×6+1)(2×6-1)=2×13×11≠0$，因此$x=6$是原方程的解。
【答案】
(1)原分式方程无解；(2)$x=4$；(3)$x=6$
【知识点】
分式方程解法，增根检验，因式分解
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，重点考查将分式方程转化为整式方程求解的思想，需注意验根是分式方程求解必不可少的步骤，避免因增根导致错解。
【难度系数】
0.7
13.【新考法·阅读理解】对于非零实数$a,b$,若关于$x$的分式$\frac{(x-a)(x-b)}{x}$的值为零,则解得$x_1=a,x_2=b$.又$\because \frac{(x-a)(x-b)}{x}=\frac{x^2-(a+b)x+ab}{x}=x+\frac{ab}{x}-(a+b),\therefore$关于$x$的分式方程$x+\frac{ab}{x}=a+b$的解为$x_1=a,x_2=b$.
(1)[理解应用]方程$\frac{x^2+2}{x}=5+\frac{2}{5}$的解为$x_1=$
(2)[知识迁移]若关于$x$的方程$x+\frac{3}{x}=7$的解为$x_1=a,x_2=b$,求$a^2+b^2$的值;
(3)[拓展提升]若关于$x$的方程$\frac{6}{x-1}=k-x$的解为$x_1=t+1,x_2=t^2+2$,求$k^2-4k+4t^3$的值.
(1)[理解应用]方程$\frac{x^2+2}{x}=5+\frac{2}{5}$的解为$x_1=$
5
,$x_2=$$\frac{2}{5}$
;(2)[知识迁移]若关于$x$的方程$x+\frac{3}{x}=7$的解为$x_1=a,x_2=b$,求$a^2+b^2$的值;
(3)[拓展提升]若关于$x$的方程$\frac{6}{x-1}=k-x$的解为$x_1=t+1,x_2=t^2+2$,求$k^2-4k+4t^3$的值.
答案
13.(1)$5\ \ \frac{2}{5}$
(2)$43$
(3)$32$
(2)$43$
(3)$32$
解析
【分析】
本题先给出形如$x+\frac{ab}{x}=a+b$的分式方程的解为$x_1=a,x_2=b$的规律，解题时需将各小问的方程变形为该规律对应的形式，结合解的和与积的关系求解：
(1) 直接将给定方程整理为题干给出的标准形式，对应$a、b$的值即可得解；
(2) 先根据规律得到$a+b$和$ab$的值，再利用完全平方公式的变形$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$代入计算；
(3) 先通过变形将方程转化为标准规律形式，得到两个解对应的和与积的表达式，再结合已知的解用$t$表示$k$和$t^3$的关系，最后代入所求代数式化简求值。
【解析】
(1) 方程$\frac{x^2+2}{x}=5+\frac{2}{5}$整理得：$x+\frac{2}{x}=5+\frac{2}{5}$，对比规律$x+\frac{ab}{x}=a+b$，可知$ab=2$，$a+b=5+\frac{2}{5}$，对应得$a=5,b=\frac{2}{5}$，所以方程的解为$x_1=5,x_2=\frac{2}{5}$。
(2) 方程$x+\frac{3}{x}=7$符合规律形式，其中$ab=3$，$a+b=7$。
由完全平方公式变形得：
$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$
代入$a+b=7,ab=3$得：
$a^2+b^2=7^2-2×3=49-6=43$
(3) 先整理方程$\frac{6}{x-1}=k-x$：
移项得$x+\frac{6}{x-1}=k$，将$x$改写为$(x-1)+1$，则：
$(x-1)+\frac{6}{x-1}+1=k$，即$(x-1)+\frac{6}{x-1}=k-1$
已知方程的解为$x_1=t+1,x_2=t^2+2$，则对应的$x-1$的值为$t$和$t^2+1$，根据规律可得：
两根之积：$t(t^2+1)=6$，即$t^3+t=6$ ①
两根之和：$t+(t^2+1)=k-1$，整理得$k=t^2+t+2$ ②
化简$k^2-4k+4t^3$：
$k^2-4k=(k-2)^2-4$，将②代入得$(k-2)^2-4=(t^2+t)^2-4$
由①得$t^3=6-t$，则$t^4=t· t^3=6t-t^2$，代入得：
$(t^2+t)^2-4=t^4+2t^3+t^2-4=6t-t^2+2(6-t)+t^2-4=4t+8$
因此$k^2-4k+4t^3=4t+8+4t^3=4(t^3+t)+8$，将①代入得：
$4×6+8=32$
【答案】
(1)$5$，$\frac{2}{5}$；(2)$43$；(3)$32$
【知识点】
分式方程的解，完全平方公式，代数式化简求值
【点评】
本题属于新定义阅读理解类题型，需要先准确理解题干给出的分式方程解的规律，再灵活应用规律解决问题，重点考查知识迁移能力和代数式的变形运算能力。
【难度系数】
0.6
本题先给出形如$x+\frac{ab}{x}=a+b$的分式方程的解为$x_1=a,x_2=b$的规律，解题时需将各小问的方程变形为该规律对应的形式，结合解的和与积的关系求解：
(1) 直接将给定方程整理为题干给出的标准形式，对应$a、b$的值即可得解；
(2) 先根据规律得到$a+b$和$ab$的值，再利用完全平方公式的变形$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$代入计算；
(3) 先通过变形将方程转化为标准规律形式，得到两个解对应的和与积的表达式，再结合已知的解用$t$表示$k$和$t^3$的关系，最后代入所求代数式化简求值。
【解析】
(1) 方程$\frac{x^2+2}{x}=5+\frac{2}{5}$整理得：$x+\frac{2}{x}=5+\frac{2}{5}$，对比规律$x+\frac{ab}{x}=a+b$，可知$ab=2$，$a+b=5+\frac{2}{5}$，对应得$a=5,b=\frac{2}{5}$，所以方程的解为$x_1=5,x_2=\frac{2}{5}$。
(2) 方程$x+\frac{3}{x}=7$符合规律形式，其中$ab=3$，$a+b=7$。
由完全平方公式变形得：
$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$
代入$a+b=7,ab=3$得：
$a^2+b^2=7^2-2×3=49-6=43$
(3) 先整理方程$\frac{6}{x-1}=k-x$：
移项得$x+\frac{6}{x-1}=k$，将$x$改写为$(x-1)+1$，则：
$(x-1)+\frac{6}{x-1}+1=k$，即$(x-1)+\frac{6}{x-1}=k-1$
已知方程的解为$x_1=t+1,x_2=t^2+2$，则对应的$x-1$的值为$t$和$t^2+1$，根据规律可得：
两根之积：$t(t^2+1)=6$，即$t^3+t=6$ ①
两根之和：$t+(t^2+1)=k-1$，整理得$k=t^2+t+2$ ②
化简$k^2-4k+4t^3$：
$k^2-4k=(k-2)^2-4$，将②代入得$(k-2)^2-4=(t^2+t)^2-4$
由①得$t^3=6-t$，则$t^4=t· t^3=6t-t^2$，代入得：
$(t^2+t)^2-4=t^4+2t^3+t^2-4=6t-t^2+2(6-t)+t^2-4=4t+8$
因此$k^2-4k+4t^3=4t+8+4t^3=4(t^3+t)+8$，将①代入得：
$4×6+8=32$
【答案】
(1)$5$，$\frac{2}{5}$；(2)$43$；(3)$32$
【知识点】
分式方程的解，完全平方公式，代数式化简求值
【点评】
本题属于新定义阅读理解类题型，需要先准确理解题干给出的分式方程解的规律，再灵活应用规律解决问题，重点考查知识迁移能力和代数式的变形运算能力。
【难度系数】
0.6
