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6.【新情境·传统文化】(2024·辽宁二模)我国古代数学著作中有“买椽多少”问题:六贯二百一十钱,倩人去买几株椽.每株脚钱三文足,无钱准与一株椽.大意是现请人代买一批椽,这批椽的总售价为6210文.如果每株椽的运费是3文,那么少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱.试问6210文能买多少株椽?设6210文购买椽的数量为x株,则符合题意的方程是 (
A.$\frac{6210}{x}=3x$
B.$3(x-1)=6210$
C.$3(x-1)=\frac{6210}{x}$
D.$3(x-1)=\frac{6210}{x-1}$
C
)A.$\frac{6210}{x}=3x$
B.$3(x-1)=6210$
C.$3(x-1)=\frac{6210}{x}$
D.$3(x-1)=\frac{6210}{x-1}$
答案
6.C
解析
【分析】
解题时首先要明确题目中的核心等量关系：少拿一株椽后剩下椽的总运费=1株椽的售价。我们先分别用含x的代数式表示出这两个量，再根据等量关系列出方程即可。首先已知总售价和购买椽的总数量x，可以先表示出单株椽的售价；再根据少拿一株的数量和单株运费，表示出对应的总运费，最后令两个式子相等就能得到符合题意的方程。
【解析】
设6210文购买椽的数量为x株。
1. 计算单株椽的售价：总售价为6210文，共x株，根据“单价=总价÷数量”，可得1株椽的售价为$\frac{6210}{x}$文。
2. 计算少拿一株后的总运费：少拿一株后，运输的椽数量为$(x-1)$株，每株运费3文，根据“总运费=单株运费×运输数量”，可得总运费为$3(x-1)$文。
3. 根据题意“剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”，可列方程：$3(x-1)=\frac{6210}{x}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 列分式方程解应用题
2. 单价数量总价关系
【点评】
本题以古代数学问题为背景，考查从实际情境中提取等量关系列方程的能力，解题的关键是读懂题意，准确找到两个相等的量，再对应列出代数式，整体考查形式灵活但难度不高，注意不要混淆总售价对应的数量和运费对应的数量即可。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确题目中的核心等量关系：少拿一株椽后剩下椽的总运费=1株椽的售价。我们先分别用含x的代数式表示出这两个量，再根据等量关系列出方程即可。首先已知总售价和购买椽的总数量x，可以先表示出单株椽的售价；再根据少拿一株的数量和单株运费，表示出对应的总运费，最后令两个式子相等就能得到符合题意的方程。
【解析】
设6210文购买椽的数量为x株。
1. 计算单株椽的售价：总售价为6210文，共x株，根据“单价=总价÷数量”，可得1株椽的售价为$\frac{6210}{x}$文。
2. 计算少拿一株后的总运费：少拿一株后，运输的椽数量为$(x-1)$株，每株运费3文，根据“总运费=单株运费×运输数量”，可得总运费为$3(x-1)$文。
3. 根据题意“剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”，可列方程：$3(x-1)=\frac{6210}{x}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 列分式方程解应用题
2. 单价数量总价关系
【点评】
本题以古代数学问题为背景，考查从实际情境中提取等量关系列方程的能力，解题的关键是读懂题意，准确找到两个相等的量，再对应列出代数式，整体考查形式灵活但难度不高，注意不要混淆总售价对应的数量和运费对应的数量即可。
【难度系数】
0.7
7.(2024·重庆B卷)某工程队承接了老旧小区改造工程中1 000平方米的外墙粉刷任务,选派甲、乙两人分别用A,B两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半.据测算需要A,B两种外墙漆各300千克,购买外墙漆的总费用为15 000元,已知A种外墙漆每千克的价格比B种外墙漆每千克的价格多2元.
(1)求A,B两种外墙漆每千克的价格各是多少元.
(2)已知乙每小时粉刷外墙的面积是甲每小时粉刷外墙面积的$\frac{4}{5}$,乙完成粉刷任务所需的时间比甲完成粉刷任务所需的时间多5小时.问:甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米?
(1)求A,B两种外墙漆每千克的价格各是多少元.
(2)已知乙每小时粉刷外墙的面积是甲每小时粉刷外墙面积的$\frac{4}{5}$,乙完成粉刷任务所需的时间比甲完成粉刷任务所需的时间多5小时.问:甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米?
答案
7.(1)A 种外墙漆每千克的价格是 26 元,B 种外墙漆每千克的价格是 24 元
(2)甲每小时粉刷外墙的面积是 25 平方米
(2)甲每小时粉刷外墙的面积是 25 平方米
解析
【分析】
(1) 本题属于费用类方程应用题，可设B种外墙漆单价为未知数，根据A、B两种漆的单价差表示出A种漆的单价，再结合“两种漆各买300千克总费用15000元”的等量关系列方程求解即可。
(2) 本题属于工程类分式方程应用题，首先明确甲、乙的粉刷任务均为总任务的一半即500平方米，设甲每小时粉刷面积为未知数，根据甲乙的效率关系表示出乙的效率，再利用“乙的工作时间 - 甲的工作时间=5小时”的等量关系列分式方程，求解后需检验根是否符合实际意义。
【解析】
(1) 设B种外墙漆每千克的价格为x元，则A种外墙漆每千克的价格为(x+2)元。
由题意得：
$300x + 300(x+2) = 15000$
去括号得：$300x + 300x + 600 = 15000$
合并同类项得：$600x = 14400$
解得：$x=24$
则A种外墙漆单价为$x+2=24+2=26$（元）
(2) 甲、乙各自需要完成的粉刷面积为$1000÷2=500$平方米。
设甲每小时粉刷外墙的面积为m平方米，则乙每小时粉刷外墙的面积为$\frac{4}{5}m$平方米。
根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合题意列方程：
$\frac{500}{\frac{4}{5}m} - \frac{500}{m} = 5$
化简得：$\frac{625}{m} - \frac{500}{m} =5$
合并得：$\frac{125}{m}=5$
解得：$m=25$
检验：当$m=25$时，$\frac{4}{5}m=20≠0$，所以$m=25$是原分式方程的解，且符合实际情况。
【答案】
(1)A种外墙漆每千克的价格是26元，B种外墙漆每千克的价格是24元
(2)甲每小时粉刷外墙的面积是25平方米
【知识点】
一元一次方程应用，分式方程应用，工程问题
【点评】
本题结合生活实际考查方程的应用，解题核心是准确找到等量关系列方程，需要注意分式方程求解后必须检验根的合理性，属于方程应用的常规考法。
【难度系数】
0.7
(1) 本题属于费用类方程应用题，可设B种外墙漆单价为未知数，根据A、B两种漆的单价差表示出A种漆的单价，再结合“两种漆各买300千克总费用15000元”的等量关系列方程求解即可。
(2) 本题属于工程类分式方程应用题，首先明确甲、乙的粉刷任务均为总任务的一半即500平方米，设甲每小时粉刷面积为未知数，根据甲乙的效率关系表示出乙的效率，再利用“乙的工作时间 - 甲的工作时间=5小时”的等量关系列分式方程，求解后需检验根是否符合实际意义。
【解析】
(1) 设B种外墙漆每千克的价格为x元，则A种外墙漆每千克的价格为(x+2)元。
由题意得：
$300x + 300(x+2) = 15000$
去括号得：$300x + 300x + 600 = 15000$
合并同类项得：$600x = 14400$
解得：$x=24$
则A种外墙漆单价为$x+2=24+2=26$（元）
(2) 甲、乙各自需要完成的粉刷面积为$1000÷2=500$平方米。
设甲每小时粉刷外墙的面积为m平方米，则乙每小时粉刷外墙的面积为$\frac{4}{5}m$平方米。
根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合题意列方程：
$\frac{500}{\frac{4}{5}m} - \frac{500}{m} = 5$
化简得：$\frac{625}{m} - \frac{500}{m} =5$
合并得：$\frac{125}{m}=5$
解得：$m=25$
检验：当$m=25$时，$\frac{4}{5}m=20≠0$，所以$m=25$是原分式方程的解，且符合实际情况。
【答案】
(1)A种外墙漆每千克的价格是26元，B种外墙漆每千克的价格是24元
(2)甲每小时粉刷外墙的面积是25平方米
【知识点】
一元一次方程应用，分式方程应用，工程问题
【点评】
本题结合生活实际考查方程的应用，解题核心是准确找到等量关系列方程，需要注意分式方程求解后必须检验根的合理性，属于方程应用的常规考法。
【难度系数】
0.7
8.某学校为筹备九年级学生们的毕业活动，准备为该校300名毕业生购进A，B两款衬衫，每件A款衬衫比每件B款衬衫多5元，用360元购进A款衬衫和用320元购进B款衬衫的数量相同.
(1)求A款衬衫和B款衬衫每件各多少元.
(2)学校计划用不多于13 000元的资金购买衬衫，那么最多可以购买A款衬衫多少件？
(3)在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款衬衫给予八折优惠，B款衬衫每件让利m元.采购人员发现无论怎样购买，所需资金都相同，求m值.
(1)求A款衬衫和B款衬衫每件各多少元.
(2)学校计划用不多于13 000元的资金购买衬衫，那么最多可以购买A款衬衫多少件？
(3)在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款衬衫给予八折优惠，B款衬衫每件让利m元.采购人员发现无论怎样购买，所需资金都相同，求m值.
答案
8.(1)A 款衬衫每件 45 元,B 款衬衫每件 40 元
(2)最多可以购买 A 款衬衫 200 件
(3)4
(2)最多可以购买 A 款衬衫 200 件
(3)4
解析
【分析】
(1) 已知两款衬衫的单价差和“不同总价购买数量相等”的条件，可设B款衬衫单价为未知数，根据“数量=总价÷单价”，利用两种衬衫购买数量相等列分式方程求解，注意分式方程需要验根；
(2) 总购买数量固定为300件，资金上限为13000元，设购买A款衬衫的数量为未知数，根据总费用不超过13000元列一元一次不等式，取最大正整数解即可；
(3) 先写出打折让利后的总费用代数式，“无论怎样购买所需资金都相同”说明总费用与A款的购买数量无关，即代数式中购买数量的系数为0，据此列方程求解m。
【解析】
(1) 设B款衬衫每件$x$元，则A款衬衫每件$(x+5)$元。
由题意列方程：$\frac{360}{x+5}=\frac{320}{x}$
交叉相乘得：$360x=320(x+5)$
化简得：$360x=320x+1600$
解得：$x=40$
检验：当$x=40$时，$x(x+5)=40×45=1800≠0$，所以$x=40$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则A款衬衫单价为$x+5=45$元。
(2) 设购买A款衬衫$a$件，则购买B款衬衫$(300-a)$件。
由总费用不超过13000元列不等式：
$45a+40(300-a)≤13000$
化简得：$45a+12000-40a≤13000$
$5a≤1000$
解得：$a≤200$
即最多可购买A款衬衫200件。
(3) 设购买A款衬衫$a$件，总费用为$W$元，则购买B款衬衫$(300-a)$件。
由题意得总费用：
$W=45×0.8· a + (40-m)(300-a)$
展开化简：
$W=36a + 12000 - 300m - (40-m)a$
$W=(m-4)a + 12000 - 300m$
因为无论$a$取何值，总资金$W$都相同，所以$a$的系数为0，即：
$m-4=0$
解得：$m=4$
【答案】
(1)A款衬衫每件45元，B款衬衫每件40元
(2)最多可以购买A款衬衫200件
(3)$m=4$
【知识点】
分式方程的应用、一元一次不等式的应用、代数式定值
【点评】
本题为生活实际类综合应用题，前两问侧重基础，考查学生寻找等量关系、不等关系并列式求解的能力，第三问的解题关键是理解“资金与购买方案无关”的含义，即总费用代数式中购买数量的系数为0，整体注重考查数学知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 已知两款衬衫的单价差和“不同总价购买数量相等”的条件，可设B款衬衫单价为未知数，根据“数量=总价÷单价”，利用两种衬衫购买数量相等列分式方程求解，注意分式方程需要验根；
(2) 总购买数量固定为300件，资金上限为13000元，设购买A款衬衫的数量为未知数，根据总费用不超过13000元列一元一次不等式，取最大正整数解即可；
(3) 先写出打折让利后的总费用代数式，“无论怎样购买所需资金都相同”说明总费用与A款的购买数量无关，即代数式中购买数量的系数为0，据此列方程求解m。
【解析】
(1) 设B款衬衫每件$x$元，则A款衬衫每件$(x+5)$元。
由题意列方程：$\frac{360}{x+5}=\frac{320}{x}$
交叉相乘得：$360x=320(x+5)$
化简得：$360x=320x+1600$
解得：$x=40$
检验：当$x=40$时，$x(x+5)=40×45=1800≠0$，所以$x=40$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则A款衬衫单价为$x+5=45$元。
(2) 设购买A款衬衫$a$件，则购买B款衬衫$(300-a)$件。
由总费用不超过13000元列不等式：
$45a+40(300-a)≤13000$
化简得：$45a+12000-40a≤13000$
$5a≤1000$
解得：$a≤200$
即最多可购买A款衬衫200件。
(3) 设购买A款衬衫$a$件，总费用为$W$元，则购买B款衬衫$(300-a)$件。
由题意得总费用：
$W=45×0.8· a + (40-m)(300-a)$
展开化简：
$W=36a + 12000 - 300m - (40-m)a$
$W=(m-4)a + 12000 - 300m$
因为无论$a$取何值，总资金$W$都相同，所以$a$的系数为0，即：
$m-4=0$
解得：$m=4$
【答案】
(1)A款衬衫每件45元，B款衬衫每件40元
(2)最多可以购买A款衬衫200件
(3)$m=4$
【知识点】
分式方程的应用、一元一次不等式的应用、代数式定值
【点评】
本题为生活实际类综合应用题，前两问侧重基础，考查学生寻找等量关系、不等关系并列式求解的能力，第三问的解题关键是理解“资金与购买方案无关”的含义，即总费用代数式中购买数量的系数为0，整体注重考查数学知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.6
