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【例】已知关于 $ x $ 的分式方程 $ \frac{2}{x - 3} + \frac{mx}{x^2 - 9} = \frac{5}{x + 3} $。
(1)若 $ x = 7 $ 是分式方程的解，求 $ m $ 的值；
(2)若分式方程的解是负数，求 $ m $ 的取值范围；
(3)若分式方程无解，求 $ m $ 的值。
(1)若 $ x = 7 $ 是分式方程的解，求 $ m $ 的值；
(2)若分式方程的解是负数，求 $ m $ 的取值范围；
(3)若分式方程无解，求 $ m $ 的值。
答案
(1)$m=0$
(2)$m＞3$ 且 $m≠10$
(3)$m=3$ 或 $m=10$ 或 $m=-4$
(2)$m＞3$ 且 $m≠10$
(3)$m=3$ 或 $m=10$ 或 $m=-4$
解析
【分析】
(1) 方程的解满足原方程，可先将分式方程化为整式方程，再把x=7代入整式方程即可求出m的值；
(2) 先通过整式方程用含m的代数式表示x，根据解为负数得到关于m的不等式，同时要排除使原分式分母为0的增根情况，即可求出m的取值范围；
(3) 分式方程无解分两种情况：①整式方程本身无解（未知数系数为0，等式不成立）；②整式方程的解是原分式方程的增根（使分母为0的x值），分情况讨论即可求出所有符合条件的m值。
【解析】
首先对原分式方程去分母，两边同乘最简公分母$(x+3)(x-3)$（注意$x≠±3$），得：
$2(x+3) + mx = 5(x-3)$
展开整理得：$(m - 3)x = -21$ ---①
(1) 把$x=7$代入整式方程①，得：
$7(m - 3) = -21$
解得：$m - 3 = -3$，即$m=0$。
(2) 若分式方程的解为负数，首先当$m≠3$时，由①得$x = \frac{21}{3 - m}$
由解为负数，得$x ＜ 0$，即$\frac{21}{3 - m} ＜ 0$，解得$3 - m ＜ 0$，即$m ＞ 3$。
又
∵原分式分母不能为0，即$x≠±3$：
当$x = -3$时，$\frac{21}{3 - m} = -3$，解得$m=10$，此时$x=-3$是增根，需舍去；
当$x=3$时，$\frac{21}{3 - m}=3$，解得$m=-4$，此时$x=3$为正数，不在解为负数的范围内，无需排除。
综上，$m$的取值范围是$m ＞ 3$且$m≠10$。
(3) 分式方程无解分两种情况讨论：
① 整式方程①本身无解：当$m-3=0$即$m=3$时，方程①变为$0·x = -21$，等式不成立，整式方程无解，即原分式方程无解；
② 整式方程①有解，但解为原分式方程的增根（$x=3$或$x=-3$）：
若$x=3$，代入①得$3(m-3) = -21$，解得$m=-4$；
若$x=-3$，代入①得$-3(m-3) = -21$，解得$m=10$。
综上，$m$的值为3或10或-4。
【答案】
(1) $m=0$
(2) $m＞3$ 且 $m≠10$
(3) $m=3$ 或 $m=10$ 或 $m=-4$
【知识点】
分式方程的解，分式方程的增根，分式方程无解的判定
【点评】
本题是分式方程根的情况的典型题型，解题时需注意分式方程有隐含条件“分母不为0”，求解无解类问题时要分整式方程本身无解、解为增根两种情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.5
(1) 方程的解满足原方程，可先将分式方程化为整式方程，再把x=7代入整式方程即可求出m的值；
(2) 先通过整式方程用含m的代数式表示x，根据解为负数得到关于m的不等式，同时要排除使原分式分母为0的增根情况，即可求出m的取值范围；
(3) 分式方程无解分两种情况：①整式方程本身无解（未知数系数为0，等式不成立）；②整式方程的解是原分式方程的增根（使分母为0的x值），分情况讨论即可求出所有符合条件的m值。
【解析】
首先对原分式方程去分母，两边同乘最简公分母$(x+3)(x-3)$（注意$x≠±3$），得：
$2(x+3) + mx = 5(x-3)$
展开整理得：$(m - 3)x = -21$ ---①
(1) 把$x=7$代入整式方程①，得：
$7(m - 3) = -21$
解得：$m - 3 = -3$，即$m=0$。
(2) 若分式方程的解为负数，首先当$m≠3$时，由①得$x = \frac{21}{3 - m}$
由解为负数，得$x ＜ 0$，即$\frac{21}{3 - m} ＜ 0$，解得$3 - m ＜ 0$，即$m ＞ 3$。
又
∵原分式分母不能为0，即$x≠±3$：
当$x = -3$时，$\frac{21}{3 - m} = -3$，解得$m=10$，此时$x=-3$是增根，需舍去；
当$x=3$时，$\frac{21}{3 - m}=3$，解得$m=-4$，此时$x=3$为正数，不在解为负数的范围内，无需排除。
综上，$m$的取值范围是$m ＞ 3$且$m≠10$。
(3) 分式方程无解分两种情况讨论：
① 整式方程①本身无解：当$m-3=0$即$m=3$时，方程①变为$0·x = -21$，等式不成立，整式方程无解，即原分式方程无解；
② 整式方程①有解，但解为原分式方程的增根（$x=3$或$x=-3$）：
若$x=3$，代入①得$3(m-3) = -21$，解得$m=-4$；
若$x=-3$，代入①得$-3(m-3) = -21$，解得$m=10$。
综上，$m$的值为3或10或-4。
【答案】
(1) $m=0$
(2) $m＞3$ 且 $m≠10$
(3) $m=3$ 或 $m=10$ 或 $m=-4$
【知识点】
分式方程的解，分式方程的增根，分式方程无解的判定
【点评】
本题是分式方程根的情况的典型题型，解题时需注意分式方程有隐含条件“分母不为0”，求解无解类问题时要分整式方程本身无解、解为增根两种情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.5
1.已知关于$x$的分式方程$\frac{m}{x-1}+\frac{6}{1-x}=1$的解是非负数，那么$m$的取值范围是（
A.$m＞5$
B.$m≥5$
C.$m≥5$且$m≠6$
D.$m＞5$且$m≠6$
C
）A.$m＞5$
B.$m≥5$
C.$m≥5$且$m≠6$
D.$m＞5$且$m≠6$
答案
1.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需按照分式方程的求解步骤求出用参数m表示的方程的解，再结合两个限制条件确定m的取值范围：一是分式方程的解是非负数，二是分式方程的分母不能为0（避免增根），最后合并两个条件的结果即可。
【解析】
首先对原分式方程进行变形，将$\frac{6}{1-x}$改写为$-\frac{6}{x-1}$，原方程可化为：
$\frac{m}{x-1}-\frac{6}{x-1}=1$
方程两边同时乘以最简公分母$x-1$（注意$x≠1$，否则分母为0，方程无意义），去分母得：
$m - 6 = x - 1$
解得：$x = m - 5$
第一步，根据方程的解是非负数，可得不等式：
$x≥0$，即$m - 5≥0$，解得$m≥5$
第二步，根据分式分母不为0的要求，$x≠1$，即：
$m - 5≠1$，解得$m≠6$
综合两个条件，m的取值范围是$m≥5$且$m≠6$。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的解法，分式方程的增根，一元一次不等式的应用
【点评】
本题是分式方程求参数范围的典型题型，易错点是容易忽略分式方程分母不能为0的限制，漏掉$m≠6$的条件。解题时要先将分式方程转化为整式方程求根，再结合解的限制条件和增根排除要求，共同确定参数的取值范围。
【难度系数】
0.65
要解决这道题，首先需按照分式方程的求解步骤求出用参数m表示的方程的解，再结合两个限制条件确定m的取值范围：一是分式方程的解是非负数，二是分式方程的分母不能为0（避免增根），最后合并两个条件的结果即可。
【解析】
首先对原分式方程进行变形，将$\frac{6}{1-x}$改写为$-\frac{6}{x-1}$，原方程可化为：
$\frac{m}{x-1}-\frac{6}{x-1}=1$
方程两边同时乘以最简公分母$x-1$（注意$x≠1$，否则分母为0，方程无意义），去分母得：
$m - 6 = x - 1$
解得：$x = m - 5$
第一步，根据方程的解是非负数，可得不等式：
$x≥0$，即$m - 5≥0$，解得$m≥5$
第二步，根据分式分母不为0的要求，$x≠1$，即：
$m - 5≠1$，解得$m≠6$
综合两个条件，m的取值范围是$m≥5$且$m≠6$。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的解法，分式方程的增根，一元一次不等式的应用
【点评】
本题是分式方程求参数范围的典型题型，易错点是容易忽略分式方程分母不能为0的限制，漏掉$m≠6$的条件。解题时要先将分式方程转化为整式方程求根，再结合解的限制条件和增根排除要求，共同确定参数的取值范围。
【难度系数】
0.65
2.若关于$x$的分式方程$\dfrac{2m - 1}{x - 1} - \dfrac{7x}{x - 1} = 5$无解，则$m$的值为（
A.4
B.3
C.2
D.1
A
）A.4
B.3
C.2
D.1
答案
2.A
解析
【分析】
解决本题首先要明确分式方程无解的两种常见情况：①去分母后得到的整式方程本身无解；②整式方程的解是原分式方程的增根（即使原分式方程分母为0的未知数的值）。本题中先将分式方程化为整式方程，观察可知得到的是一元一次方程，必然存在解，因此只需考虑解为增根的情况：原方程分母为x-1，因此增根为x=1，将x=1代入去分母后的整式方程即可求出m的值。
【解析】
原分式方程的分母为$x-1$，因此若方程无解，存在增根$x=1$。
给方程两边同时乘最简公分母$(x-1)$，消去分母得：
$2m - 1 - 7x = 5(x - 1)$
展开并整理整式方程：
$2m - 1 -7x = 5x -5$
移项合并同类项得：$-12x = -2m -4$
化简得：$x = \dfrac{m + 2}{6}$
因为方程无解，所以$x = \dfrac{m + 2}{6}$是增根$x=1$，代入得：
$\dfrac{m + 2}{6} = 1$
解得$m = 4$。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的增根；分式方程无解的条件；解一元一次方程
【点评】
本题是分式方程无解类的基础典型题，解题核心是掌握分式方程无解的两种情形，先判断整式方程的解的情况，再结合增根的定义代入计算即可，解题时注意不要遗漏增根的情况。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确分式方程无解的两种常见情况：①去分母后得到的整式方程本身无解；②整式方程的解是原分式方程的增根（即使原分式方程分母为0的未知数的值）。本题中先将分式方程化为整式方程，观察可知得到的是一元一次方程，必然存在解，因此只需考虑解为增根的情况：原方程分母为x-1，因此增根为x=1，将x=1代入去分母后的整式方程即可求出m的值。
【解析】
原分式方程的分母为$x-1$，因此若方程无解，存在增根$x=1$。
给方程两边同时乘最简公分母$(x-1)$，消去分母得：
$2m - 1 - 7x = 5(x - 1)$
展开并整理整式方程：
$2m - 1 -7x = 5x -5$
移项合并同类项得：$-12x = -2m -4$
化简得：$x = \dfrac{m + 2}{6}$
因为方程无解，所以$x = \dfrac{m + 2}{6}$是增根$x=1$，代入得：
$\dfrac{m + 2}{6} = 1$
解得$m = 4$。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的增根；分式方程无解的条件；解一元一次方程
【点评】
本题是分式方程无解类的基础典型题，解题核心是掌握分式方程无解的两种情形，先判断整式方程的解的情况，再结合增根的定义代入计算即可，解题时注意不要遗漏增根的情况。
【难度系数】
0.7
3.若关于$x$的分式方程$\frac{3}{x}+\frac{6}{x-1}-\frac{x+k}{x(x-1)}=0$有解，则$k$满足
$k≠-3$ 且 $k≠5$
。答案
3.$k≠-3$ 且 $k≠5$
解析
【分析】
要确定分式方程有解时k的取值，首先需明确分式有意义的前提是分母不为0，即$x≠0$且$x≠1$；再将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，最后令该解不满足原分母为0的情况，即可得到k的限制条件。
【解析】
第一步：确定原分式分母不为0的条件：
$x≠0$且$x-1≠0$，即$x≠0$且$x≠1$。
第二步：去分母，将分式方程转化为整式方程：
方程两边同时乘以最简公分母$x(x-1)$，得：
$3(x-1) + 6x - (x + k) = 0$
第三步：解整式方程：
展开括号得：$3x - 3 + 6x - x - k = 0$
合并同类项得：$8x - 3 - k = 0$
移项得：$8x = k + 3$
解得：$x = \frac{k+3}{8}$
第四步：根据分式方程有解的条件列不等式：
∵ 原分式方程有解，
∴ 所得整式方程的解不能使原分母为0，即：
① 当$x≠0$时：$\frac{k+3}{8} ≠ 0$，解得$k ≠ -3$；
② 当$x≠1$时：$\frac{k+3}{8} ≠ 1$，解得$k ≠ 5$。
综上，k的取值需满足$k≠-3$且$k≠5$。
【答案】
$k≠-3$且$k≠5$
【知识点】
分式有意义的条件，解分式方程，分式方程的增根
【点评】
本题重点考查分式方程有解的条件，解题时需注意先将分式方程转化为整式方程求解，再排除使原分式分母为0的增根对应的参数值，避免因忽略增根情况导致取值范围错误。
【难度系数】
0.7
要确定分式方程有解时k的取值，首先需明确分式有意义的前提是分母不为0，即$x≠0$且$x≠1$；再将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，最后令该解不满足原分母为0的情况，即可得到k的限制条件。
【解析】
第一步：确定原分式分母不为0的条件：
$x≠0$且$x-1≠0$，即$x≠0$且$x≠1$。
第二步：去分母，将分式方程转化为整式方程：
方程两边同时乘以最简公分母$x(x-1)$，得：
$3(x-1) + 6x - (x + k) = 0$
第三步：解整式方程：
展开括号得：$3x - 3 + 6x - x - k = 0$
合并同类项得：$8x - 3 - k = 0$
移项得：$8x = k + 3$
解得：$x = \frac{k+3}{8}$
第四步：根据分式方程有解的条件列不等式：
∵ 原分式方程有解，
∴ 所得整式方程的解不能使原分母为0，即：
① 当$x≠0$时：$\frac{k+3}{8} ≠ 0$，解得$k ≠ -3$；
② 当$x≠1$时：$\frac{k+3}{8} ≠ 1$，解得$k ≠ 5$。
综上，k的取值需满足$k≠-3$且$k≠5$。
【答案】
$k≠-3$且$k≠5$
【知识点】
分式有意义的条件，解分式方程，分式方程的增根
【点评】
本题重点考查分式方程有解的条件，解题时需注意先将分式方程转化为整式方程求解，再排除使原分式分母为0的增根对应的参数值，避免因忽略增根情况导致取值范围错误。
【难度系数】
0.7
4. 已知关于 $ x $ 的分式方程 $ \frac{x}{x-3} - 1 = \frac{m}{(x-3)(x-4)} $。
(1)当 $ m $ 为何值时，这个方程的解是 $ x=5 $？
(2)当 $ m $ 为何值时，这个方程无解？
(3)当 $ m $ 为何值时，这个方程一定有解？
(4)当 $ m $ 为何值时，这个方程的解大于 $ \frac{7}{2} $？
(1)当 $ m $ 为何值时，这个方程的解是 $ x=5 $？
(2)当 $ m $ 为何值时，这个方程无解？
(3)当 $ m $ 为何值时，这个方程一定有解？
(4)当 $ m $ 为何值时，这个方程的解大于 $ \frac{7}{2} $？
答案
(1)$m=3$
(2)$m$ 的值为$-3$ 或 $0$
(3)$m≠-3$ 且 $m≠0$
(4)$m＞-\frac{3}{2}$ 且 $m≠0$
(2)$m$ 的值为$-3$ 或 $0$
(3)$m≠-3$ 且 $m≠0$
(4)$m＞-\frac{3}{2}$ 且 $m≠0$
解析
【分析】
解决分式方程相关问题的通用思路是：第一步先去分母将分式方程转化为整式方程，同时明确原分式方程的分母不能为0，即增根为x=3、x=4，再结合不同问题的要求逐一分析：
1. 已知方程的解求参数：直接将解代入整式方程计算即可；
2. 分式方程无解：分两种情况，一是整式方程的解为增根，二是整式方程本身无解，本题整式方程为一元一次方程，一次项系数不为0，仅需考虑增根情况；
3. 方程一定有解：直接排除无解对应的参数值即可；
4. 解满足大小要求：先列不等式求出参数范围，再排除增根对应的参数值，避免出现增根的情况。
【解析】
先将原分式方程去分母转化为整式方程：
方程两边同乘最简公分母$(x-3)(x-4)$，得：
$x(x-4) - (x-3)(x-4) = m$
化简左边：
$x^2-4x - (x^2-7x+12) = 3x - 12$
因此得到整式方程：$3x = m + 12$，即$x = \frac{m+12}{3}$
---
(1) 已知方程的解为$x=5$，代入整式方程得：
$5 = \frac{m+12}{3}$
解得$m=3$
---
(2) 分式方程无解，则整式方程的解为原方程的增根，原方程增根为$x=3$或$x=4$：
① 把$x=3$代入$x = \frac{m+12}{3}$，得$3 = \frac{m+12}{3}$，解得$m=-3$
② 把$x=4$代入$x = \frac{m+12}{3}$，得$4 = \frac{m+12}{3}$，解得$m=0$
又因为整式方程$3x=m+12$是一元一次方程，总有解，因此当$m=-3$或$m=0$时原方程无解。
---
(3) 方程一定有解，即排除无解的情况，因此$m≠-3$且$m≠0$。
---
(4) 方程的解大于$\frac{7}{2}$，则：
$\frac{m+12}{3} ＞ \frac{7}{2}$
解得$m ＞ -\frac{3}{2}$
同时解不能为增根：$x=3$对应$m=-3$，不在$m ＞ -\frac{3}{2}$范围内，无需排除；$x=4$对应$m=0$，在上述范围内，需排除。
因此$m ＞ -\frac{3}{2}$且$m≠0$。
【答案】
(1)$m=3$
(2)$m$的值为$-3$ 或 $0$
(3)$m≠-3$ 且 $m≠0$
(4)$m＞-\frac{3}{2}$ 且 $m≠0$
【知识点】
分式方程的解，分式方程的增根，一元一次不等式解法
【点评】
本题围绕分式方程根的不同情况设置问题，解题核心是先将分式方程转化为整式方程，需特别注意增根的存在，避免忽略分母不为0的限制条件导致错误，是分式方程章节的经典题型。
【难度系数】
0.6
解决分式方程相关问题的通用思路是：第一步先去分母将分式方程转化为整式方程，同时明确原分式方程的分母不能为0，即增根为x=3、x=4，再结合不同问题的要求逐一分析：
1. 已知方程的解求参数：直接将解代入整式方程计算即可；
2. 分式方程无解：分两种情况，一是整式方程的解为增根，二是整式方程本身无解，本题整式方程为一元一次方程，一次项系数不为0，仅需考虑增根情况；
3. 方程一定有解：直接排除无解对应的参数值即可；
4. 解满足大小要求：先列不等式求出参数范围，再排除增根对应的参数值，避免出现增根的情况。
【解析】
先将原分式方程去分母转化为整式方程：
方程两边同乘最简公分母$(x-3)(x-4)$，得：
$x(x-4) - (x-3)(x-4) = m$
化简左边：
$x^2-4x - (x^2-7x+12) = 3x - 12$
因此得到整式方程：$3x = m + 12$，即$x = \frac{m+12}{3}$
---
(1) 已知方程的解为$x=5$，代入整式方程得：
$5 = \frac{m+12}{3}$
解得$m=3$
---
(2) 分式方程无解，则整式方程的解为原方程的增根，原方程增根为$x=3$或$x=4$：
① 把$x=3$代入$x = \frac{m+12}{3}$，得$3 = \frac{m+12}{3}$，解得$m=-3$
② 把$x=4$代入$x = \frac{m+12}{3}$，得$4 = \frac{m+12}{3}$，解得$m=0$
又因为整式方程$3x=m+12$是一元一次方程，总有解，因此当$m=-3$或$m=0$时原方程无解。
---
(3) 方程一定有解，即排除无解的情况，因此$m≠-3$且$m≠0$。
---
(4) 方程的解大于$\frac{7}{2}$，则：
$\frac{m+12}{3} ＞ \frac{7}{2}$
解得$m ＞ -\frac{3}{2}$
同时解不能为增根：$x=3$对应$m=-3$，不在$m ＞ -\frac{3}{2}$范围内，无需排除；$x=4$对应$m=0$，在上述范围内，需排除。
因此$m ＞ -\frac{3}{2}$且$m≠0$。
【答案】
(1)$m=3$
(2)$m$的值为$-3$ 或 $0$
(3)$m≠-3$ 且 $m≠0$
(4)$m＞-\frac{3}{2}$ 且 $m≠0$
【知识点】
分式方程的解，分式方程的增根，一元一次不等式解法
【点评】
本题围绕分式方程根的不同情况设置问题，解题核心是先将分式方程转化为整式方程，需特别注意增根的存在，避免忽略分母不为0的限制条件导致错误，是分式方程章节的经典题型。
【难度系数】
0.6
