21. ［北京模拟］(9分)如图，在$ Rt\triangle ABC$中，$\angle ABC = 90^{\circ}$，以直角边$AB$为直径的$\odot O$交$AC$于点$D$，在$AC$上截取$AE = AB$，连接$BE$交$\odot O$于点$F$.
(1)求证：$\angle EBC = \frac{1}{2} \angle BAC$；
(2)若$\odot O$的半径长$r = 5$，$\tan\angle EBC = \frac{1}{2}$，求$CE$的长.

21.解:(1)证明:如图，连接AF.
　　　　　　
　
∵AB为⊙0的直径，
　
∴∠AFB=90°.
　
∴∠BAF+∠ABF=90°.　(2分)
∵∠ABC=90°,
　
∴∠ABF+∠EBC=90°.
　
∴∠BAF=∠EBC.
　
∵AB=AE,∠AFB=90°,
　
∴∠BAF=$\frac{1}{2}$∠BAC.
　
∴∠EBC=$\frac{1}{2}$∠BAC.　(4分)
　　(2)如图,过点E作EG⊥BC于点G,则∠AFB=∠BGE=90°.
　
∵∠BAF=∠EBC,
　
∴△BAF∽△EBG.
　
∴$\frac{AB}{BE}$=$\frac{BF}{EG}$=$\frac{AF}{BG}$.
　
∵tan∠BAF=tan∠EBC=$\frac{1}{2}$,tan∠BAF=$\frac{BF}{AF}$,
　
∴AF=2BF.
　
∵r=5,
∴AB=2r=10.
　
∴AE=AB=10.
　　在Rt△ABF中,BF²+AF²=AB²,
　　即BF²+(2BF)²=100.
　
∴BF=2$\sqrt{5}$.
∴AF=4$\sqrt{5}$　(7分)
　
∵AF⊥BE,AB=AE,
　
∴BE=2BF=4$\sqrt{5}$
　
∴$\frac{10}{4\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{EG}$=$\frac{4\sqrt{5}}{BG}$.
　
∴EG=4,BG=8.
　
∵∠EGC=∠ABC=90°,∠C=∠C,
　
∴△EGC∽△ABC;
　
∴$\frac{EG}{AB}$=$\frac{CE}{AC}$,即$\frac{4}{10}$=$\frac{CE}{10+CE}$.
　
∴CE=$\frac{20}{3}$　(9分)

22. ［河南中考］(10分)位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一.某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度.如图所示，他们在地面一条水平步道$MP$上架设测角仪，先在点$M$处测得观星台最高点$A$的仰角为$22^{\circ}$，然后沿$MP$方向前进$16\ m$到达点$N$处，测得点$A$的仰角为$45^{\circ}$.测角仪的高度为$1.6\ m$.
(1)求观星台最高点$A$距离地面的高度；
(结果精确到$0.1\ m$，参考数据：$\sin 22^{\circ} \approx 0.37$，$\cos 22^{\circ} \approx 0.93$，$\tan 22^{\circ} \approx 0.40$，$\sqrt{2} \approx 1.41$.)
(2)“景点简介”显示，观星台的高度为$12.6\ m$，请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议.

22.解:(1)如图,过点A作AF⊥MP,垂足为F,交BC的延长线于点E.
　　　　
　　由题意知，四边形MBCN和四边形NCEF均为矩形.　(2分)
　　设AE=xm,在Rt△ACE中,∠AEC=90°,∠ACE=45°,
　
∴CE=AE=x.　(3分)
　　在Rt△ABE中,∠AEB=90°,∠ABE=22°.
　
∵tan∠ABE=$\frac{AE}{BE}$,
∴BE=$\frac{AE}{\tan22°}$≈$\frac{x}{0.40}$=$\frac{5}{2}x$.　(4分)
　
∵BE−CE=BC,
　
∴$\frac{5}{2}x - x = 16$.
　　解得x=$\frac{32}{3}$.　(6分)
　
∵EF=CN=BM=1.6,
　
∴AF=AE+EF=$\frac{32}{3}$+1.6≈12.3(m).
　　答:观星台最高点A距离地面的高度约为12.3m.　(7分)
　　(2)误差为12.6−12.3=0.3(m).　(8分)
　　建议:可多次测量，取测量数据的平均值.
　　(答案不唯一，合理即可)(10分)