23. (11分)如图1，正方形$ABCD$的对角线交于点$O$，点$E$在边$BC$上，$BE = \frac{1}{n}BC$，$AE$交$OB$于点$F$，过点$B$作$AE$的垂线$BG$交$OC$于点$G$，连接$GE$.
(1)求证：$OF = OG$；
(2)用含有$n$的代数式表示$\tan\angle OBG$的值；
(3)如图2，若$\angle GEC = 90^{\circ}$，则$n$的值为.

23.解:(1)证明:
∵四边形ABCD是正方形，
　
∴AO=BO,AC⊥BD,∠OAB=∠OBC=45°.
　
∴∠AF0+∠FA0=90°.
　
∵AE⊥BG,
∴∠BFE+∠FBG=90°.
　
∵∠BFE=∠AFO,
∴∠FAO=∠FBG.　(2分)
　
∵AO=B0,∠AOF=∠BOG,
　
∴△AOF≌△BOG.
　
∴OF=OG.　(3分)
　　(2)延长BG交CD于点H.
　
∵∠OAF+∠BAE=45°,∠OBG+∠CBH=45°,∠OAF=∠OBG,
　
∴∠BAE=∠CBH.
　
∵AB=BC,∠ABE=∠BCH=90°,
　
∴△ABE≌△BCH.
　
∴BE=CH.　(5分)
　
∵BE=$\frac{1}{n}$BC,
∴CH=$\frac{1}{n}$BC=$\frac{1}{n}$AB.
　
∵CH//AB,
∴△CHG∽△ABG.
　
∴$\frac{CH}{AB}$=$\frac{CG}{AG}$=$\frac{1}{n}$
设$CG = a$，则$AG = an$，$AC = CG + AG = a(n + 1)$.
$\therefore AO = BO = \frac{1}{2}AC = \frac{a(n + 1)}{2}$，
$OG = AG - AO = \frac{a(n - 1)}{2}$.
$\therefore\tan\angle OBG = \frac{OG}{BO} = \frac{n - 1}{n + 1}$.(9分)
(3)$\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ (11分)
[解析]延长$BG$交$CD$于点$M$.设$BE = 1$，则$BC = n$.同(2)可得$CM = BE = 1$.
$\because\angle GEC = 90^{\circ}$，
$\therefore GE// CM$，$CE = GE = n - 1$.
$\therefore\triangle BGE \backsim \triangle BMC$.
$\therefore\frac{GE}{CM} = \frac{BE}{BC}$，即$\frac{n - 1}{1} = \frac{1}{n}$
解得$n_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$，$n_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$(舍去)．
$\therefore$若$\angle GEC = 90^{\circ}$，则$n$的值为$\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.