18. ［洛阳市］(9分)如图，在$\triangle ABC$中，$AD$是$BC$边上的高，$\tan B = \cos\angle DAC$.
(1)求证：$AC = BD$；
(2)若$\sin C = \frac{12}{13}$，$BC = 12$，求$AD$的长.

18.解:(1)证明:
∵AD是BC上的高，
∴AD⊥BC.
　
∴∠ADB=∠ADC=90°.　(1分)
在Rt△ABD中,tanB=$\frac{AD}{BD}$.
在Rt△ADC中,cos∠DAC=$\frac{AD}{AC}$,
　
∵tanB=cos∠DAC,
∴$\frac{AD}{BD}$=$\frac{AD}{AC}$.　(3分)
　
∴AC=BD.　(4分)
　　(2)在Rt△ADC中,
∵sinC=$\frac{AD}{AC}$=$\frac{12}{13}$,
　
∴设AD=12k,AC=13k,则CD=$\sqrt{AC²−AD²}$=5k.　(6分)
　　由(1)知AC=BD,
　
∴BC=BD+CD=18k.
　
∵BC=12,
∴18k=12.解得k=$\frac{2}{3}$.
　
∴AD=12k=8.　(9分)

19. (9分)小明决定利用周末时间去爬山锻炼身体.如图，小明在山脚$A$观测山顶$D$的仰角为$\alpha$，他先沿着坡度为$5 : 12$的斜坡前进$117\ m$到达$B$处平地，继续沿平地前进到达$C$处，此时测得斜坡$CD$的坡角为$37^{\circ}$，再沿着斜坡$CD$前进$1200\ m$到达点$D$，求点$D$距离山脚$A$的垂直高度.
(参考数据：$\sin 37^{\circ} \approx 0.6$，$\cos 37^{\circ} \approx 0.8$，$\tan 37^{\circ} \approx 0.75$.结果精确到$1\ m$.)

19.解:如图，过点B,C,D分别作水平线的垂线，垂足分别为E,F,G,延长BC交DG于点H,则四边形BCFE,BHGE是矩形.
　　　　
　
∴BE=HG.
　
∵小明沿着坡度为5:12的斜坡前进117m到达B处平地，
∴tan∠BAE=$\frac{5}{12}$,AB=117.
　设BE=5x,则AE=12x.
∴AB=13x.
　
∴13x=117.解得x=9.
　
∴BE=45.　(5分)
　在Rt△DCH中,CD=1200,
DH=DC·sin∠DCH≈1200×0.6=720.
　
∴DG=DH+HG=DH+BE=765m.
　答:点D距离山脚A的垂直高度约为765m.(9分)

20. (9分)“五一”期间，许多露营爱好者在某市郊区露营，为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”，其截面示意图(如图)是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆$AB$所在的直线，用绳子拉直$AD$后系在树干$EF$上的点$E$处，使得$A$，$D$，$E$在一条直线上，通过调节点$E$的高度可控制“天幕”的张开程度，$AC = AD = 2\ m$，$BF = 3\ m$.
(1)天晴时打开“天幕”，若$\angle \alpha = 65^{\circ}$，求遮阳宽度$CD$；
(2)下雨时收拢“天幕”，$\angle \alpha$从$65^{\circ}$减小到$45^{\circ}$，求点$E$下降的高度.
(结果精确到$0.1\ m$，参考数据：$\sin 65^{\circ} \approx 0.91$，$\cos 65^{\circ} \approx 0.42$，$\tan 65^{\circ} \approx 2.14$，$\sqrt{2} \approx 1.41$.)

20.解:(1)由对称性知CD=2OD,∠AOD=90°.
　　在Rt△AOD中,∠OAD=∠α=65°,AD=AC=2,sinα=$\frac{OD}{AD}$.
　
∴OD=AD·sinα=2×sin65°≈2×0.91=1.82.
　
∴CD=2OD≈3.6m.　(3分)
　　答:若∠α=65°,则遮阳宽度CD约为3.6m.　(4分)
　　(2)如图,过点E作EH⊥AB于点H,则∠BHE=90°.
　　　　　　 　　　　　　　根据题意，得四边形EFBH为矩形.
　
∴EH=BF=3.
　　在Rt△AHE中,tanα=$\frac{EH}{AH}$,
　
∴AH=$\frac{EH}{\tan\alpha}$.　(6分)
　　当∠α=65°时,AH=$\frac{3}{\tan65°}$≈$\frac{3}{2.14}$≈1.40.
　　当α=45°时,AH=$\frac{3}{\tan45°}$=3.
　
∴3−1.40=1.6(m).
　　答:当∠α从65°减小到45°时，点E下降的高度约为1.6m.　(9分)