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5.同学们在学习了质量与密度的知识后，对空心球问题做了进一步的探究：假设一空心金属球，在空心部分装满水时，测得其总质量为287 g；在空心部分装一半体积的水时，测得其总质量为277 g。已知$\rho_{水}=1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3$。
(1)求该空心球空心部分的体积。
(2)若在空心部分装满密度为$0.8×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3$的酒精，则球的总质量为多少克？
(3)如果该空心金属球的总体积为50 cm³，则该金属的密度是多少克每立方厘米？
(1)求该空心球空心部分的体积。
(2)若在空心部分装满密度为$0.8×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3$的酒精，则球的总质量为多少克？
(3)如果该空心金属球的总体积为50 cm³，则该金属的密度是多少克每立方厘米？
答案
(1)设空心体积为$V_{\mathrm{空}}$,球的质量为$m_{\mathrm{球}}$,空心球装满水时总的质量$m_{\mathrm{总}}=m_{\mathrm{水}}+m_{\mathrm{球}}$;根据密度公式 $\rho =\frac{m}{V}$ 可得 $287 \ \mathrm{g}=\rho_{\mathrm{水}} V_{\mathrm{空}} +m_{\mathrm{球}}=1.0 \ \mathrm{g/cm}^3 × V_{\mathrm{空}} +m_{\mathrm{球}}$ ①;空心球装一半体积的水时, $277 \ \mathrm{g}=\rho_{\mathrm{水}} × \frac{1}{2} V_{\mathrm{空}} +m_{\mathrm{球}}=1.0 \ \mathrm{g/cm}^3 × \frac{1}{2} V_{\mathrm{空}} +m_{\mathrm{球}}$ ②,解得 $V_{\mathrm{空}}=20 \ \mathrm{cm}^3$,$m_{\mathrm{球}}=267 \ \mathrm{g}$,空心球空心部分的体积为 $20 \ \mathrm{cm}^3$
(2)在空心部分装满密度为 $0.8 × 10^3 \ \mathrm{kg/m}^3$ 的酒精,$m_{\mathrm{酒精}}=\rho_{\mathrm{酒精}} V_{\mathrm{空}}=0.8 \ \mathrm{g/cm}^3 × 20 \ \mathrm{cm}^3 =16 \ \mathrm{g}$,$m_{\mathrm{总}} '=m_{\mathrm{酒精}} +m_{\mathrm{球}}=16 \ \mathrm{g}+267 \ \mathrm{g}=283 \ \mathrm{g}$
(3)实心部分的体积 $V_{\mathrm{实}}=V_{\mathrm{球}}-V_{\mathrm{空}}=50 \ \mathrm{cm}^3 -20 \ \mathrm{cm}^3 =30 \ \mathrm{cm}^3$,金属的密度 $\rho_{\mathrm{金}} =\frac{m_{\mathrm{球}}}{V_{\mathrm{实}}} =\frac{267 \ \mathrm{g}}{30 \ \mathrm{cm}^3} =8.9 \ \mathrm{g/cm}^3$
(2)在空心部分装满密度为 $0.8 × 10^3 \ \mathrm{kg/m}^3$ 的酒精,$m_{\mathrm{酒精}}=\rho_{\mathrm{酒精}} V_{\mathrm{空}}=0.8 \ \mathrm{g/cm}^3 × 20 \ \mathrm{cm}^3 =16 \ \mathrm{g}$,$m_{\mathrm{总}} '=m_{\mathrm{酒精}} +m_{\mathrm{球}}=16 \ \mathrm{g}+267 \ \mathrm{g}=283 \ \mathrm{g}$
(3)实心部分的体积 $V_{\mathrm{实}}=V_{\mathrm{球}}-V_{\mathrm{空}}=50 \ \mathrm{cm}^3 -20 \ \mathrm{cm}^3 =30 \ \mathrm{cm}^3$,金属的密度 $\rho_{\mathrm{金}} =\frac{m_{\mathrm{球}}}{V_{\mathrm{实}}} =\frac{267 \ \mathrm{g}}{30 \ \mathrm{cm}^3} =8.9 \ \mathrm{g/cm}^3$
解析
【分析】
本题为空心球相关的密度计算问题，解题思路是通过两次不同装水情况的总质量差求出空心部分体积，再结合密度公式依次解决后续问题。具体步骤：1. 利用“装满水总质量”与“装一半水总质量”的差值，等于一半体积水的质量，从而算出空心体积；2. 用空心体积结合酒精密度算出酒精质量，加金属球质量得装酒精后的总质量；3. 用球的总体积减去空心体积得金属实心部分体积，再结合金属球质量算出金属密度。
【解析】
(1) 设空心部分体积为$V_{\mathrm{空}}$，金属球质量为$m_{\mathrm{球}}$，根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，可得：
装满水时总质量：$m_{\mathrm{总1}}=\rho_{\mathrm{水}}V_{\mathrm{空}} + m_{\mathrm{球}}=287\ \mathrm{g}$ ①
装一半体积水时总质量：$m_{\mathrm{总2}}=\rho_{\mathrm{水}}·\frac{1}{2}V_{\mathrm{空}} + m_{\mathrm{球}}=277\ \mathrm{g}$ ②
用①-②得：$m_{\mathrm{总1}} - m_{\mathrm{总2}}=\rho_{\mathrm{水}}·\frac{1}{2}V_{\mathrm{空}}$
代入$\rho_{\mathrm{水}}=1.0\ \mathrm{g/cm}^3$，$m_{\mathrm{总1}}-m_{\mathrm{总2}}=10\ \mathrm{g}$，解得$\frac{1}{2}V_{\mathrm{空}}=10\ \mathrm{cm}^3$，故$V_{\mathrm{空}}=20\ \mathrm{cm}^3$；
将$V_{\mathrm{空}}$代入①式，得$m_{\mathrm{球}}=287\ \mathrm{g} - 1.0\ \mathrm{g/cm}^3×20\ \mathrm{cm}^3=267\ \mathrm{g}$。
(2) 空心部分装满酒精时，酒精体积等于空心体积$V_{\mathrm{空}}=20\ \mathrm{cm}^3$，酒精密度$\rho_{\mathrm{酒精}}=0.8\ \mathrm{g/cm}^3$，则酒精质量：$m_{\mathrm{酒精}}=\rho_{\mathrm{酒精}}V_{\mathrm{空}}=0.8\ \mathrm{g/cm}^3×20\ \mathrm{cm}^3=16\ \mathrm{g}$，总质量：$m_{\mathrm{总}}'=16\ \mathrm{g}+267\ \mathrm{g}=283\ \mathrm{g}$。
(3) 金属实心部分体积：$V_{\mathrm{实}}=V_{\mathrm{球总}} - V_{\mathrm{空}}=50\ \mathrm{cm}^3 -20\ \mathrm{cm}^3=30\ \mathrm{cm}^3$，金属密度：$\rho_{\mathrm{金}}=\frac{m_{\mathrm{球}}}{V_{\mathrm{实}}}=\frac{267\ \mathrm{g}}{30\ \mathrm{cm}^3}=8.9\ \mathrm{g/cm}^3$。
【答案】
(1) $20\ \mathrm{cm}^3$；(2) $283\ \mathrm{g}$；(3) $8.9\ \mathrm{g/cm}^3$
【知识点】
密度公式的应用，空心球问题，质量与密度的计算
【点评】
本题是典型的空心球密度计算题型，核心是利用两次装水的总质量差推导空心体积，再结合密度公式依次求解各问，考察学生对密度公式的灵活运用能力，属于常规中档题。
【难度系数】
0.6
本题为空心球相关的密度计算问题，解题思路是通过两次不同装水情况的总质量差求出空心部分体积，再结合密度公式依次解决后续问题。具体步骤：1. 利用“装满水总质量”与“装一半水总质量”的差值，等于一半体积水的质量，从而算出空心体积；2. 用空心体积结合酒精密度算出酒精质量，加金属球质量得装酒精后的总质量；3. 用球的总体积减去空心体积得金属实心部分体积，再结合金属球质量算出金属密度。
【解析】
(1) 设空心部分体积为$V_{\mathrm{空}}$，金属球质量为$m_{\mathrm{球}}$，根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，可得：
装满水时总质量：$m_{\mathrm{总1}}=\rho_{\mathrm{水}}V_{\mathrm{空}} + m_{\mathrm{球}}=287\ \mathrm{g}$ ①
装一半体积水时总质量：$m_{\mathrm{总2}}=\rho_{\mathrm{水}}·\frac{1}{2}V_{\mathrm{空}} + m_{\mathrm{球}}=277\ \mathrm{g}$ ②
用①-②得：$m_{\mathrm{总1}} - m_{\mathrm{总2}}=\rho_{\mathrm{水}}·\frac{1}{2}V_{\mathrm{空}}$
代入$\rho_{\mathrm{水}}=1.0\ \mathrm{g/cm}^3$，$m_{\mathrm{总1}}-m_{\mathrm{总2}}=10\ \mathrm{g}$，解得$\frac{1}{2}V_{\mathrm{空}}=10\ \mathrm{cm}^3$，故$V_{\mathrm{空}}=20\ \mathrm{cm}^3$；
将$V_{\mathrm{空}}$代入①式，得$m_{\mathrm{球}}=287\ \mathrm{g} - 1.0\ \mathrm{g/cm}^3×20\ \mathrm{cm}^3=267\ \mathrm{g}$。
(2) 空心部分装满酒精时，酒精体积等于空心体积$V_{\mathrm{空}}=20\ \mathrm{cm}^3$，酒精密度$\rho_{\mathrm{酒精}}=0.8\ \mathrm{g/cm}^3$，则酒精质量：$m_{\mathrm{酒精}}=\rho_{\mathrm{酒精}}V_{\mathrm{空}}=0.8\ \mathrm{g/cm}^3×20\ \mathrm{cm}^3=16\ \mathrm{g}$，总质量：$m_{\mathrm{总}}'=16\ \mathrm{g}+267\ \mathrm{g}=283\ \mathrm{g}$。
(3) 金属实心部分体积：$V_{\mathrm{实}}=V_{\mathrm{球总}} - V_{\mathrm{空}}=50\ \mathrm{cm}^3 -20\ \mathrm{cm}^3=30\ \mathrm{cm}^3$，金属密度：$\rho_{\mathrm{金}}=\frac{m_{\mathrm{球}}}{V_{\mathrm{实}}}=\frac{267\ \mathrm{g}}{30\ \mathrm{cm}^3}=8.9\ \mathrm{g/cm}^3$。
【答案】
(1) $20\ \mathrm{cm}^3$；(2) $283\ \mathrm{g}$；(3) $8.9\ \mathrm{g/cm}^3$
【知识点】
密度公式的应用，空心球问题，质量与密度的计算
【点评】
本题是典型的空心球密度计算题型，核心是利用两次装水的总质量差推导空心体积，再结合密度公式依次求解各问，考察学生对密度公式的灵活运用能力，属于常规中档题。
【难度系数】
0.6
6.有一个空玻璃瓶质量为0.1 kg，当瓶装满水后，瓶和水的总质量为0.4 kg，若先在瓶内装一些金属颗粒，使瓶和金属颗粒的总质量为0.8 kg，然后在瓶内再装水至瓶满，瓶、金属颗粒和水的总质量为0.9 kg，求：
(1)玻璃瓶的容积。
(2)金属颗粒的质量。
(3)金属颗粒的密度。
(1)玻璃瓶的容积。
(2)金属颗粒的质量。
(3)金属颗粒的密度。
答案
(1)水的质量 $m_1=m_{\mathrm{瓶和水}} -m_{\mathrm{瓶}}=0.4 \ \mathrm{kg}-0.1 \ \mathrm{kg}=0.3 \ \mathrm{kg}$,玻璃瓶的容积等于水的体积 $V_{\mathrm{瓶}}=V_1=\frac{m_1}{\rho_{\mathrm{水}}} =\frac{0.3 \ \mathrm{kg}}{1.0 × 10^3 \ \mathrm{kg/m}^3} =3 × 10^{-4} \ \mathrm{m}^3$
(2)金属颗粒的质量 $m_{\mathrm{金}}=m_{\mathrm{瓶和金}} -m_{\mathrm{瓶}}=0.8 \ \mathrm{kg}-0.1 \ \mathrm{kg}=0.7 \ \mathrm{kg}$
(3)瓶中装金属颗粒后再装水至瓶满时,瓶子内水的质量 $m_2=m_{\mathrm{总}} -m_{\mathrm{瓶和金}}=0.9 \ \mathrm{kg}-0.8 \ \mathrm{kg}=0.1 \ \mathrm{kg}$,水的体积 $V_2=\frac{m_2}{\rho_{\mathrm{水}}} =\frac{0.1 \ \mathrm{kg}}{1.0 × 10^3 \ \mathrm{kg/m}^3} =1 × 10^{-4} \ \mathrm{m}^3$,金属颗粒的体积$V_{\mathrm{金}}=V_{\mathrm{瓶}}-V_2=3 × 10^{-4} \ \mathrm{m}^3 -1 × 10^{-4} \ \mathrm{m}^3 =2 × 10^{-4} \ \mathrm{m}^3$,金属颗粒的密度 $\rho_{\mathrm{金}} =\frac{m_{\mathrm{金}}}{V_{\mathrm{金}}} =\frac{0.7 \ \mathrm{kg}}{2 × 10^{-4} \ \mathrm{m}^3} =3.5 × 10^3 \ \mathrm{kg/m}^3$
(2)金属颗粒的质量 $m_{\mathrm{金}}=m_{\mathrm{瓶和金}} -m_{\mathrm{瓶}}=0.8 \ \mathrm{kg}-0.1 \ \mathrm{kg}=0.7 \ \mathrm{kg}$
(3)瓶中装金属颗粒后再装水至瓶满时,瓶子内水的质量 $m_2=m_{\mathrm{总}} -m_{\mathrm{瓶和金}}=0.9 \ \mathrm{kg}-0.8 \ \mathrm{kg}=0.1 \ \mathrm{kg}$,水的体积 $V_2=\frac{m_2}{\rho_{\mathrm{水}}} =\frac{0.1 \ \mathrm{kg}}{1.0 × 10^3 \ \mathrm{kg/m}^3} =1 × 10^{-4} \ \mathrm{m}^3$,金属颗粒的体积$V_{\mathrm{金}}=V_{\mathrm{瓶}}-V_2=3 × 10^{-4} \ \mathrm{m}^3 -1 × 10^{-4} \ \mathrm{m}^3 =2 × 10^{-4} \ \mathrm{m}^3$,金属颗粒的密度 $\rho_{\mathrm{金}} =\frac{m_{\mathrm{金}}}{V_{\mathrm{金}}} =\frac{0.7 \ \mathrm{kg}}{2 × 10^{-4} \ \mathrm{m}^3} =3.5 × 10^3 \ \mathrm{kg/m}^3$
解析
【分析】
本题是密度相关的计算应用题，需分三步逐步求解：①求玻璃瓶容积，利用“装满水时水的体积等于玻璃瓶容积”，先算水的质量，再由密度公式变形求体积；②求金属颗粒质量，直接用瓶和金属的总质量减去空瓶质量；③求金属颗粒密度，需先算出装金属后剩余水的体积，再用玻璃瓶容积减去剩余水的体积得到金属体积，最后结合金属质量，利用密度公式计算密度。
【解析】
(1) 装满水时水的质量：$m_1 = m_{\mathrm{瓶和水}} - m_{\mathrm{瓶}} = 0.4\ \mathrm{kg} - 0.1\ \mathrm{kg} = 0.3\ \mathrm{kg}$，
玻璃瓶的容积等于水的体积：$V_{\mathrm{瓶}} = V_1 = \frac{m_1}{\rho_{\mathrm{水}}} = \frac{0.3\ \mathrm{kg}}{1.0 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3} = 3 × 10^{-4}\ \mathrm{m}^3$；
(2) 金属颗粒的质量：$m_{\mathrm{金}} = m_{\mathrm{瓶和金}} - m_{\mathrm{瓶}} = 0.8\ \mathrm{kg} - 0.1\ \mathrm{kg} = 0.7\ \mathrm{kg}$；
(3) 装金属后再装满水时，瓶内水的质量：$m_2 = m_{\mathrm{总}} - m_{\mathrm{瓶和金}} = 0.9\ \mathrm{kg} - 0.8\ \mathrm{kg} = 0.1\ \mathrm{kg}$，
此时水的体积：$V_2 = \frac{m_2}{\rho_{\mathrm{水}}} = \frac{0.1\ \mathrm{kg}}{1.0 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3} = 1 × 10^{-4}\ \mathrm{m}^3$，
金属颗粒的体积：$V_{\mathrm{金}} = V_{\mathrm{瓶}} - V_2 = 3 × 10^{-4}\ \mathrm{m}^3 - 1 × 10^{-4}\ \mathrm{m}^3 = 2 × 10^{-4}\ \mathrm{m}^3$，
金属颗粒的密度：$\rho_{\mathrm{金}} = \frac{m_{\mathrm{金}}}{V_{\mathrm{金}}} = \frac{0.7\ \mathrm{kg}}{2 × 10^{-4}\ \mathrm{m}^3} = 3.5 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
【答案】
(1) 玻璃瓶的容积为$3 × 10^{-4}\ \mathrm{m}^3$；
(2) 金属颗粒的质量为$0.7\ \mathrm{kg}$；
(3) 金属颗粒的密度为$3.5 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
【知识点】
密度公式应用、体积与质量的计算
【点评】
本题是密度测量的经典基础题，通过分步计算，利用等效替代法确定金属颗粒的体积，考查学生对密度公式的灵活运用能力，解题思路清晰，步骤明确，适合中等水平学生作答。
【难度系数】
0.6
本题是密度相关的计算应用题，需分三步逐步求解：①求玻璃瓶容积，利用“装满水时水的体积等于玻璃瓶容积”，先算水的质量，再由密度公式变形求体积；②求金属颗粒质量，直接用瓶和金属的总质量减去空瓶质量；③求金属颗粒密度，需先算出装金属后剩余水的体积，再用玻璃瓶容积减去剩余水的体积得到金属体积，最后结合金属质量，利用密度公式计算密度。
【解析】
(1) 装满水时水的质量：$m_1 = m_{\mathrm{瓶和水}} - m_{\mathrm{瓶}} = 0.4\ \mathrm{kg} - 0.1\ \mathrm{kg} = 0.3\ \mathrm{kg}$，
玻璃瓶的容积等于水的体积：$V_{\mathrm{瓶}} = V_1 = \frac{m_1}{\rho_{\mathrm{水}}} = \frac{0.3\ \mathrm{kg}}{1.0 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3} = 3 × 10^{-4}\ \mathrm{m}^3$；
(2) 金属颗粒的质量：$m_{\mathrm{金}} = m_{\mathrm{瓶和金}} - m_{\mathrm{瓶}} = 0.8\ \mathrm{kg} - 0.1\ \mathrm{kg} = 0.7\ \mathrm{kg}$；
(3) 装金属后再装满水时，瓶内水的质量：$m_2 = m_{\mathrm{总}} - m_{\mathrm{瓶和金}} = 0.9\ \mathrm{kg} - 0.8\ \mathrm{kg} = 0.1\ \mathrm{kg}$，
此时水的体积：$V_2 = \frac{m_2}{\rho_{\mathrm{水}}} = \frac{0.1\ \mathrm{kg}}{1.0 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3} = 1 × 10^{-4}\ \mathrm{m}^3$，
金属颗粒的体积：$V_{\mathrm{金}} = V_{\mathrm{瓶}} - V_2 = 3 × 10^{-4}\ \mathrm{m}^3 - 1 × 10^{-4}\ \mathrm{m}^3 = 2 × 10^{-4}\ \mathrm{m}^3$，
金属颗粒的密度：$\rho_{\mathrm{金}} = \frac{m_{\mathrm{金}}}{V_{\mathrm{金}}} = \frac{0.7\ \mathrm{kg}}{2 × 10^{-4}\ \mathrm{m}^3} = 3.5 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
【答案】
(1) 玻璃瓶的容积为$3 × 10^{-4}\ \mathrm{m}^3$；
(2) 金属颗粒的质量为$0.7\ \mathrm{kg}$；
(3) 金属颗粒的密度为$3.5 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
【知识点】
密度公式应用、体积与质量的计算
【点评】
本题是密度测量的经典基础题，通过分步计算，利用等效替代法确定金属颗粒的体积，考查学生对密度公式的灵活运用能力，解题思路清晰，步骤明确，适合中等水平学生作答。
【难度系数】
0.6
