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例1 解下列方程：(1)$(x+1)(x-2)=0$； (2)$5x^2-3x=0$。
【思路导析】(1)解一元一次方程$x+1=0$和$x-2=0$即可；(2)将$5x^2-3x$分解因式为$x(5x-3)$。
【请你解答】
答案
解：
(1) 由$(x+1)(x-2)=0$，可得
$x+1=0$ 或 $x-2=0$
解得 $x_1=-1$，$x_2=2$。
(2) 对$5x^2-3x=0$因式分解，得
$x(5x-3)=0$
所以 $x=0$ 或 $5x-3=0$
解得 $x_1=0$，$x_2=\frac{3}{5}$。
(1) 由$(x+1)(x-2)=0$，可得
$x+1=0$ 或 $x-2=0$
解得 $x_1=-1$，$x_2=2$。
(2) 对$5x^2-3x=0$因式分解，得
$x(5x-3)=0$
所以 $x=0$ 或 $5x-3=0$
解得 $x_1=0$，$x_2=\frac{3}{5}$。
解析
【分析】
这两道题考查用因式分解法解一元二次方程，解题核心依据是：若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0，借此将一元二次方程降阶为两个一元一次方程求解。第(1)题方程左侧已经是两个一次因式乘积的形式，直接令每个因式等于0，分别解一元一次方程即可得到答案；第(2)题先对左侧多项式提取公因式x，分解为两个一次因式的乘积，再按照同样的思路求解即可。
【解析】
(1) 由$(x+1)(x-2)=0$，可得
$x+1=0$ 或 $x-2=0$
解得 $x_1=-1$，$x_2=2$。
(2) 对$5x^2-3x=0$因式分解，得
$x(5x-3)=0$
所以 $x=0$ 或 $5x-3=0$
解得 $x_1=0$，$x_2=\frac{3}{5}$。
【答案】
(1) $x_1=-1$，$x_2=2$；(2) $x_1=0$，$x_2=\frac{3}{5}$
【知识点】
因式分解法解方程、提公因式因式分解、零乘积性质
【点评】
本题是因式分解法解一元二次方程的基础题型，重点考查对因式分解法解方程逻辑的理解，熟练掌握基础因式分解方法和零乘积的性质即可快速解题，是解更复杂一元二次方程的重要基础。
【难度系数】
0.9
这两道题考查用因式分解法解一元二次方程，解题核心依据是：若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0，借此将一元二次方程降阶为两个一元一次方程求解。第(1)题方程左侧已经是两个一次因式乘积的形式，直接令每个因式等于0，分别解一元一次方程即可得到答案；第(2)题先对左侧多项式提取公因式x，分解为两个一次因式的乘积，再按照同样的思路求解即可。
【解析】
(1) 由$(x+1)(x-2)=0$，可得
$x+1=0$ 或 $x-2=0$
解得 $x_1=-1$，$x_2=2$。
(2) 对$5x^2-3x=0$因式分解，得
$x(5x-3)=0$
所以 $x=0$ 或 $5x-3=0$
解得 $x_1=0$，$x_2=\frac{3}{5}$。
【答案】
(1) $x_1=-1$，$x_2=2$；(2) $x_1=0$，$x_2=\frac{3}{5}$
【知识点】
因式分解法解方程、提公因式因式分解、零乘积性质
【点评】
本题是因式分解法解一元二次方程的基础题型，重点考查对因式分解法解方程逻辑的理解，熟练掌握基础因式分解方法和零乘积的性质即可快速解题，是解更复杂一元二次方程的重要基础。
【难度系数】
0.9
例2 解下列方程：
(1)$x^2 - x + \frac{1}{4} = 0$；
(2)$(x - 4)^2 = (5 - 2x)^2$。
【思路导析】(1)原方程可化为$(x - \frac{1}{2})^2 = 0$；
(2)先移项，再用平方差公式分解因式。
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
(1)$x^2 - x + \frac{1}{4} = 0$；
(2)$(x - 4)^2 = (5 - 2x)^2$。
【思路导析】(1)原方程可化为$(x - \frac{1}{2})^2 = 0$；
(2)先移项，再用平方差公式分解因式。
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
答案
解：
(1) 原方程可变形为
$(x - \frac{1}{2})^2 = 0$
得 $x - \frac{1}{2} = 0$，
所以 $x_1 = x_2 = \frac{1}{2}$。
(2) 移项，得
$(x - 4)^2 - (5 - 2x)^2 = 0$
由平方差公式分解因式，得
$[(x - 4) + (5 - 2x)][(x - 4) - (5 - 2x)] = 0$
整理得
$(-x + 1)(3x - 9) = 0$
所以 $-x + 1 = 0$ 或 $3x - 9 = 0$，
解得 $x_1 = 1$，$x_2 = 3$。
(1) 原方程可变形为
$(x - \frac{1}{2})^2 = 0$
得 $x - \frac{1}{2} = 0$，
所以 $x_1 = x_2 = \frac{1}{2}$。
(2) 移项，得
$(x - 4)^2 - (5 - 2x)^2 = 0$
由平方差公式分解因式，得
$[(x - 4) + (5 - 2x)][(x - 4) - (5 - 2x)] = 0$
整理得
$(-x + 1)(3x - 9) = 0$
所以 $-x + 1 = 0$ 或 $3x - 9 = 0$，
解得 $x_1 = 1$，$x_2 = 3$。
解析
【分析】
(1) 观察第一个方程，左边$x^2 - x + \frac{1}{4}$符合完全平方公式的结构，可先将左边因式分解为完全平方式，再根据“乘积为0的若干因式中至少有一个因式为0”的规则求解；
(2) 第二个方程左右两边均为平方形式，先移项使方程右侧为0，左侧可看作两个数的平方差，利用平方差公式分解为两个一次因式的乘积，再分别令每个因式为0即可求解。
【解析】
(1) 原方程可变形为
$(x - \frac{1}{2})^2 = 0$
得 $x - \frac{1}{2} = 0$，
所以 $x_1 = x_2 = \frac{1}{2}$。
(2) 移项，得
$(x - 4)^2 - (5 - 2x)^2 = 0$
由平方差公式分解因式，得
$[(x - 4) + (5 - 2x)][(x - 4) - (5 - 2x)] = 0$
整理得
$(-x + 1)(3x - 9) = 0$
所以 $-x + 1 = 0$ 或 $3x - 9 = 0$，
解得 $x_1 = 1$，$x_2 = 3$。
【答案】
(1) $x_1=x_2=\frac{1}{2}$；
(2) $x_1=1$，$x_2=3$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；完全平方公式；平方差公式
【点评】
本题考查一元二次方程的因式分解解法，解题核心是将方程转化为“左边因式乘积、右边为0”的形式，根据方程特征选择对应的因式分解方法可简化计算，求解时注意去括号的符号变化，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
(1) 观察第一个方程，左边$x^2 - x + \frac{1}{4}$符合完全平方公式的结构，可先将左边因式分解为完全平方式，再根据“乘积为0的若干因式中至少有一个因式为0”的规则求解；
(2) 第二个方程左右两边均为平方形式，先移项使方程右侧为0，左侧可看作两个数的平方差，利用平方差公式分解为两个一次因式的乘积，再分别令每个因式为0即可求解。
【解析】
(1) 原方程可变形为
$(x - \frac{1}{2})^2 = 0$
得 $x - \frac{1}{2} = 0$，
所以 $x_1 = x_2 = \frac{1}{2}$。
(2) 移项，得
$(x - 4)^2 - (5 - 2x)^2 = 0$
由平方差公式分解因式，得
$[(x - 4) + (5 - 2x)][(x - 4) - (5 - 2x)] = 0$
整理得
$(-x + 1)(3x - 9) = 0$
所以 $-x + 1 = 0$ 或 $3x - 9 = 0$，
解得 $x_1 = 1$，$x_2 = 3$。
【答案】
(1) $x_1=x_2=\frac{1}{2}$；
(2) $x_1=1$，$x_2=3$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；完全平方公式；平方差公式
【点评】
本题考查一元二次方程的因式分解解法，解题核心是将方程转化为“左边因式乘积、右边为0”的形式，根据方程特征选择对应的因式分解方法可简化计算，求解时注意去括号的符号变化，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
例3 解方程 $4(x-1)^2 = x^2 - x$. 阅读
下列解题过程:
解:将方程变形,得
$4(x-1)^2 = x(x-1),$
两边约去 $x-1$,得 $4(x-1)=x$,
$\therefore \quad 3x=4$,
即 $x=\dfrac{4}{3}$.
上述解答正确吗？为什么？如果不正确,请你写出正确的解答过程.
【探究点拨】因为 $x-1$ 可能为 $0$,故方程两边不能直接约去 $x-1$,应将右边项移到左边,运用因式分解法求解.
【规范解答】将原方程变形,得
$4(x-1)^2 - (x^2 - x) = 0,$
即 $4(x-1)^2 - x(x-1) = 0$,
化简得 $(x-1)[4(x-1)-x] = 0$,
$\therefore \quad x-1=0$ 或 $4(x-1)-x = 0$.
即 $x_1=1, x_2=\dfrac{4}{3}$.
下列解题过程:
解:将方程变形,得
$4(x-1)^2 = x(x-1),$
两边约去 $x-1$,得 $4(x-1)=x$,
$\therefore \quad 3x=4$,
即 $x=\dfrac{4}{3}$.
上述解答正确吗？为什么？如果不正确,请你写出正确的解答过程.
【探究点拨】因为 $x-1$ 可能为 $0$,故方程两边不能直接约去 $x-1$,应将右边项移到左边,运用因式分解法求解.
【规范解答】将原方程变形,得
$4(x-1)^2 - (x^2 - x) = 0,$
即 $4(x-1)^2 - x(x-1) = 0$,
化简得 $(x-1)[4(x-1)-x] = 0$,
$\therefore \quad x-1=0$ 或 $4(x-1)-x = 0$.
即 $x_1=1, x_2=\dfrac{4}{3}$.
答案
解：上述解答不正确。
理由：方程两边直接约去含未知数的整式$x-1$时，未考虑$x-1=0$的情况，会造成方程丢根。
正确解答过程如下：
将原方程变形，得
$4(x-1)^2 = x(x-1)$
移项，得
$4(x-1)^2 - x(x-1) = 0$
提取公因式$(x-1)$，得
$(x-1)[4(x-1)-x] = 0$
化简得
$(x-1)(3x-4) = 0$
$\therefore x-1=0$ 或 $3x-4=0$
解得 $x_1=1$，$x_2=\dfrac{4}{3}$。
理由：方程两边直接约去含未知数的整式$x-1$时，未考虑$x-1=0$的情况，会造成方程丢根。
正确解答过程如下：
将原方程变形，得
$4(x-1)^2 = x(x-1)$
移项，得
$4(x-1)^2 - x(x-1) = 0$
提取公因式$(x-1)$，得
$(x-1)[4(x-1)-x] = 0$
化简得
$(x-1)(3x-4) = 0$
$\therefore x-1=0$ 或 $3x-4=0$
解得 $x_1=1$，$x_2=\dfrac{4}{3}$。
解析
【分析】
这道题需先判断给出的解方程过程是否正确，思考时要结合等式的基本性质：等式两边只能同时除以不为0的数或整式，等式才仍然成立。原解题过程直接约去含未知数的整式$x-1$，没有考虑$x-1=0$的情况，会漏掉$x=1$这个根。正确的解题思路是先把方程所有项移到等号左侧，再提取公因式$(x-1)$，利用“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理，分两种情况求解，即可得到方程的全部根。
【解析】
上述解答不正确。
理由：方程两边直接约去含未知数的整式$x-1$时，未考虑$x-1=0$的情况，会造成方程丢根。
正确解答过程如下：
将原方程变形，得
$4(x-1)^2 = x(x-1)$
移项，得
$4(x-1)^2 - x(x-1) = 0$
提取公因式$(x-1)$，得
$(x-1)[4(x-1)-x] = 0$
化简得
$(x-1)(3x-4) = 0$
$\therefore x-1=0$ 或 $3x-4=0$
解得 $x_1=1$，$x_2=\dfrac{4}{3}$。
【答案】
上述解答不正确，原方程的解为$x_1=1$，$x_2=\dfrac{4}{3}$。
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 等式的基本性质
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题是解方程的典型易错题，核心考查解方程时的严谨性，切记不可直接约去含未知数的整式，避免出现丢根的问题，用因式分解法求解一元二次方程时，要先将方程整理为一边为0的形式，再分解因式求解。
【难度系数】
0.7
这道题需先判断给出的解方程过程是否正确，思考时要结合等式的基本性质：等式两边只能同时除以不为0的数或整式，等式才仍然成立。原解题过程直接约去含未知数的整式$x-1$，没有考虑$x-1=0$的情况，会漏掉$x=1$这个根。正确的解题思路是先把方程所有项移到等号左侧，再提取公因式$(x-1)$，利用“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理，分两种情况求解，即可得到方程的全部根。
【解析】
上述解答不正确。
理由：方程两边直接约去含未知数的整式$x-1$时，未考虑$x-1=0$的情况，会造成方程丢根。
正确解答过程如下：
将原方程变形，得
$4(x-1)^2 = x(x-1)$
移项，得
$4(x-1)^2 - x(x-1) = 0$
提取公因式$(x-1)$，得
$(x-1)[4(x-1)-x] = 0$
化简得
$(x-1)(3x-4) = 0$
$\therefore x-1=0$ 或 $3x-4=0$
解得 $x_1=1$，$x_2=\dfrac{4}{3}$。
【答案】
上述解答不正确，原方程的解为$x_1=1$，$x_2=\dfrac{4}{3}$。
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 等式的基本性质
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题是解方程的典型易错题，核心考查解方程时的严谨性，切记不可直接约去含未知数的整式，避免出现丢根的问题，用因式分解法求解一元二次方程时，要先将方程整理为一边为0的形式，再分解因式求解。
【难度系数】
0.7
1.用因式分解法解下列方程：
(1)$\sqrt{3}x^2 - \sqrt{6}x = 0$；
(2)$4x^2 - 8x = -4$。
(1)$\sqrt{3}x^2 - \sqrt{6}x = 0$；
(2)$4x^2 - 8x = -4$。
答案
解：
(1) 对左边提取公因式，得
$\sqrt{3}x(x - \sqrt{2}) = 0$
$\therefore \sqrt{3}x = 0$ 或 $x - \sqrt{2} = 0$
解得 $x_1 = 0$，$x_2 = \sqrt{2}$。
(2) 移项，得
$4x^2 - 8x + 4 = 0$
方程两边同时除以4，得
$x^2 - 2x + 1 = 0$
因式分解，得
$(x - 1)^2 = 0$
$\therefore x - 1 = 0$
解得 $x_1 = x_2 = 1$。
(1) 对左边提取公因式，得
$\sqrt{3}x(x - \sqrt{2}) = 0$
$\therefore \sqrt{3}x = 0$ 或 $x - \sqrt{2} = 0$
解得 $x_1 = 0$，$x_2 = \sqrt{2}$。
(2) 移项，得
$4x^2 - 8x + 4 = 0$
方程两边同时除以4，得
$x^2 - 2x + 1 = 0$
因式分解，得
$(x - 1)^2 = 0$
$\therefore x - 1 = 0$
解得 $x_1 = x_2 = 1$。
解析
【分析】
用因式分解法解一元二次方程的核心思路是将方程变形为“几个一次因式的乘积等于0”的形式，再根据“若ab=0，则a=0或b=0”转化为一元一次方程求解。
对于(1)：方程右侧已经是0，左侧两项含有公因式$\sqrt{3}x$，直接提取公因式即可将左侧分解为两个一次因式的乘积，再分别令两个因式为0求解。
对于(2)：先将右侧的-4移到左侧，使方程右侧为0，观察左侧各项可先提取公因数4简化，再用完全平方公式将左侧分解为完全平方式，最后令因式为0求解。
【解析】
(1) 对左边提取公因式，得
$\sqrt{3}x(x - \sqrt{2}) = 0$
$\therefore \sqrt{3}x = 0$ 或 $x - \sqrt{2} = 0$
解得 $x_1 = 0$，$x_2 = \sqrt{2}$。
(2) 移项，得
$4x^2 - 8x + 4 = 0$
方程两边同时除以4，得
$x^2 - 2x + 1 = 0$
因式分解，得
$(x - 1)^2 = 0$
$\therefore x - 1 = 0$
解得 $x_1 = x_2 = 1$。
【答案】
(1) $x_1=0$，$x_2=\sqrt{2}$；
(2) $x_1=x_2=1$
【知识点】
因式分解法解方程；提公因式法因式分解；完全平方公式
【点评】
本题是因式分解法解方程的基础题型，重点考查对提公因式、公式法因式分解的掌握程度，熟练将一元二次方程左边分解为一次因式乘积是解题的关键，属于需熟练掌握的常规考点。
【难度系数】
0.8
用因式分解法解一元二次方程的核心思路是将方程变形为“几个一次因式的乘积等于0”的形式，再根据“若ab=0，则a=0或b=0”转化为一元一次方程求解。
对于(1)：方程右侧已经是0，左侧两项含有公因式$\sqrt{3}x$，直接提取公因式即可将左侧分解为两个一次因式的乘积，再分别令两个因式为0求解。
对于(2)：先将右侧的-4移到左侧，使方程右侧为0，观察左侧各项可先提取公因数4简化，再用完全平方公式将左侧分解为完全平方式，最后令因式为0求解。
【解析】
(1) 对左边提取公因式，得
$\sqrt{3}x(x - \sqrt{2}) = 0$
$\therefore \sqrt{3}x = 0$ 或 $x - \sqrt{2} = 0$
解得 $x_1 = 0$，$x_2 = \sqrt{2}$。
(2) 移项，得
$4x^2 - 8x + 4 = 0$
方程两边同时除以4，得
$x^2 - 2x + 1 = 0$
因式分解，得
$(x - 1)^2 = 0$
$\therefore x - 1 = 0$
解得 $x_1 = x_2 = 1$。
【答案】
(1) $x_1=0$，$x_2=\sqrt{2}$；
(2) $x_1=x_2=1$
【知识点】
因式分解法解方程；提公因式法因式分解；完全平方公式
【点评】
本题是因式分解法解方程的基础题型，重点考查对提公因式、公式法因式分解的掌握程度，熟练将一元二次方程左边分解为一次因式乘积是解题的关键，属于需熟练掌握的常规考点。
【难度系数】
0.8
