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10.已知$x^2 -8x +16 -m^2=0(m≠0)$是关于$x$的一元二次方程.
(1)求证:此方程总有两个不相等的实数根；
(2)若等腰三角形$ABC$的一边长$a=6$，另两边长$b,c$是该方程的两个实数根，求$△ ABC$的面积.
(1)求证:此方程总有两个不相等的实数根；
(2)若等腰三角形$ABC$的一边长$a=6$，另两边长$b,c$是该方程的两个实数根，求$△ ABC$的面积.
答案
(1) 证明：
对于一元二次方程 $x^2 -8x +16 -m^2=0$，
判别式 $\Delta=(-8)^2 -4×1×(16-m^2)=64-64+4m^2=4m^2$，
$\because m≠0$，
$\therefore 4m^2＞0$，即 $\Delta＞0$，
$\therefore$ 此方程总有两个不相等的实数根。
---
(2) 解：
由求根公式得：
$x=\frac{8\pm\sqrt{4m^2}}{2}=4\pm m$，
即方程的两个实数根为 $x_1=4+m$，$x_2=4-m$。
$\because b,c$ 是方程的两个不等实数根，等腰 $△ ABC$ 中边长 $a=6$，分两种情况讨论：
① 若腰长为6，即 $b=6$ 或 $c=6$，代入根的表达式得 $4+m=6$ 或 $4-m=6$，
解得 $m=\pm2$，此时方程的两个根为6和2，
即三角形三边长为6，6，2，满足三角形三边关系 $6+2＞6$。
设底边上的高为 $h$，由勾股定理得：
$h=\sqrt{6^2-(\frac{2}{2})^2}=\sqrt{35}$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{35}=\sqrt{35}$；
② 若底边长为6，即 $b=c$，此时方程有两个相等实数根，$\Delta=4m^2=0$，得 $m=0$，与题设 $m≠0$ 矛盾，该情况不存在。
综上，$△ ABC$ 的面积为 $\sqrt{35}$。
对于一元二次方程 $x^2 -8x +16 -m^2=0$，
判别式 $\Delta=(-8)^2 -4×1×(16-m^2)=64-64+4m^2=4m^2$，
$\because m≠0$，
$\therefore 4m^2＞0$，即 $\Delta＞0$，
$\therefore$ 此方程总有两个不相等的实数根。
---
(2) 解：
由求根公式得：
$x=\frac{8\pm\sqrt{4m^2}}{2}=4\pm m$，
即方程的两个实数根为 $x_1=4+m$，$x_2=4-m$。
$\because b,c$ 是方程的两个不等实数根，等腰 $△ ABC$ 中边长 $a=6$，分两种情况讨论：
① 若腰长为6，即 $b=6$ 或 $c=6$，代入根的表达式得 $4+m=6$ 或 $4-m=6$，
解得 $m=\pm2$，此时方程的两个根为6和2，
即三角形三边长为6，6，2，满足三角形三边关系 $6+2＞6$。
设底边上的高为 $h$，由勾股定理得：
$h=\sqrt{6^2-(\frac{2}{2})^2}=\sqrt{35}$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{35}=\sqrt{35}$；
② 若底边长为6，即 $b=c$，此时方程有两个相等实数根，$\Delta=4m^2=0$，得 $m=0$，与题设 $m≠0$ 矛盾，该情况不存在。
综上，$△ ABC$ 的面积为 $\sqrt{35}$。
解析
【分析】
(1) 要判断一元二次方程根的情况，核心是计算判别式$\Delta$的符号，若$\Delta＞0$则方程有两个不相等的实数根。本题可先根据方程系数求出$\Delta$，结合已知$m≠0$即可证明$\Delta＞0$。
(2) 首先用求根公式求出方程的两个根，再结合等腰三角形“两腰相等”的性质分类讨论：①若边长$a=6$为腰长，则6是方程的一个根，代入求出$m$的值后得到另外两边长，验证符合三角形三边关系后，用勾股定理求出底边上的高，进而计算面积；②若$a=6$为底边长，则要求方程两根相等（即两腰长相等），此时$\Delta=0$，与题设$m≠0$矛盾，该情况不成立，最终即可得到三角形的面积。
【解析】
(1) 证明：
对于一元二次方程 $x^2 -8x +16 -m^2=0$，
判别式 $\Delta=(-8)^2 -4×1×(16-m^2)=64-64+4m^2=4m^2$，
$\because m≠0$，
$\therefore 4m^2＞0$，即 $\Delta＞0$，
$\therefore$ 此方程总有两个不相等的实数根。
(2) 解：
由求根公式得：
$x=\frac{8\pm\sqrt{4m^2}}{2}=4\pm m$，
即方程的两个实数根为 $x_1=4+m$，$x_2=4-m$。
$\because b,c$ 是方程的两个不等实数根，等腰 $△ ABC$ 中边长 $a=6$，分两种情况讨论：
① 若腰长为6，即 $b=6$ 或 $c=6$，代入根的表达式得 $4+m=6$ 或 $4-m=6$，
解得 $m=\pm2$，此时方程的两个根为6和2，
即三角形三边长为6，6，2，满足三角形三边关系 $6+2＞6$。
设底边上的高为 $h$，由勾股定理得：
$h=\sqrt{6^2-(\frac{2}{2})^2}=\sqrt{35}$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{35}=\sqrt{35}$；
② 若底边长为6，即 $b=c$，此时方程有两个相等实数根，$\Delta=4m^2=0$，得 $m=0$，与题设 $m≠0$ 矛盾，该情况不存在。
综上，$△ ABC$ 的面积为 $\sqrt{35}$。
【答案】
(1) 此方程总有两个不相等的实数根得证；(2) $\sqrt{35}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，等腰三角形性质，三角形三边关系
【点评】
本题综合考查一元二次方程与三角形的相关知识，解题时需要运用分类讨论思想，对等腰三角形的边长分情况分析，同时要注意验证所得结果是否符合题设条件和三角形三边关系，避免出现多余的错解。
【难度系数】
0.6
(1) 要判断一元二次方程根的情况，核心是计算判别式$\Delta$的符号，若$\Delta＞0$则方程有两个不相等的实数根。本题可先根据方程系数求出$\Delta$，结合已知$m≠0$即可证明$\Delta＞0$。
(2) 首先用求根公式求出方程的两个根，再结合等腰三角形“两腰相等”的性质分类讨论：①若边长$a=6$为腰长，则6是方程的一个根，代入求出$m$的值后得到另外两边长，验证符合三角形三边关系后，用勾股定理求出底边上的高，进而计算面积；②若$a=6$为底边长，则要求方程两根相等（即两腰长相等），此时$\Delta=0$，与题设$m≠0$矛盾，该情况不成立，最终即可得到三角形的面积。
【解析】
(1) 证明：
对于一元二次方程 $x^2 -8x +16 -m^2=0$，
判别式 $\Delta=(-8)^2 -4×1×(16-m^2)=64-64+4m^2=4m^2$，
$\because m≠0$，
$\therefore 4m^2＞0$，即 $\Delta＞0$，
$\therefore$ 此方程总有两个不相等的实数根。
(2) 解：
由求根公式得：
$x=\frac{8\pm\sqrt{4m^2}}{2}=4\pm m$，
即方程的两个实数根为 $x_1=4+m$，$x_2=4-m$。
$\because b,c$ 是方程的两个不等实数根，等腰 $△ ABC$ 中边长 $a=6$，分两种情况讨论：
① 若腰长为6，即 $b=6$ 或 $c=6$，代入根的表达式得 $4+m=6$ 或 $4-m=6$，
解得 $m=\pm2$，此时方程的两个根为6和2，
即三角形三边长为6，6，2，满足三角形三边关系 $6+2＞6$。
设底边上的高为 $h$，由勾股定理得：
$h=\sqrt{6^2-(\frac{2}{2})^2}=\sqrt{35}$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{35}=\sqrt{35}$；
② 若底边长为6，即 $b=c$，此时方程有两个相等实数根，$\Delta=4m^2=0$，得 $m=0$，与题设 $m≠0$ 矛盾，该情况不存在。
综上，$△ ABC$ 的面积为 $\sqrt{35}$。
【答案】
(1) 此方程总有两个不相等的实数根得证；(2) $\sqrt{35}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，等腰三角形性质，三角形三边关系
【点评】
本题综合考查一元二次方程与三角形的相关知识，解题时需要运用分类讨论思想，对等腰三角形的边长分情况分析，同时要注意验证所得结果是否符合题设条件和三角形三边关系，避免出现多余的错解。
【难度系数】
0.6
11.若干人参加一次聚会.
(1)如果有4人,每两人之间握一次手,共握了次手;
(2)如果有x人,每两人之间握一次手,共握了21次手,请列出关于x的方程,并求其解.
(1)如果有4人,每两人之间握一次手,共握了次手;
(2)如果有x人,每两人之间握一次手,共握了21次手,请列出关于x的方程,并求其解.
答案
解：
(1) 6
(2) 由题意列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=21$
整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2 - x - 42 = 0$
其中$a=1$，$b=-1$，$c=-42$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×1×(-42) = 169 ＞ 0$，
代入求根公式：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{1\pm13}{2}$
解得$x_1=7$，$x_2=-6$。
因为人数为正整数，$x=-6$不符合实际意义，舍去。
所以$x=7$。
(1) 6
(2) 由题意列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=21$
整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2 - x - 42 = 0$
其中$a=1$，$b=-1$，$c=-42$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×1×(-42) = 169 ＞ 0$，
代入求根公式：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{1\pm13}{2}$
解得$x_1=7$，$x_2=-6$。
因为人数为正整数，$x=-6$不符合实际意义，舍去。
所以$x=7$。
解析
【分析】
本题属于单循环计数类的实际应用题，解题思路清晰如下：1. 第一问中，每两人仅握1次手，若直接计算每人握手次数会出现重复计数：4个人中每个人要和其余3人握手，直接计算4×3会把同一次握手算2次（甲和乙握手既计入甲的次数也计入乙的次数，因此总次数需要除以2消除重复。2. 第二问先类比第一问的计数规律，推导x人时的总握手次数表达式，再根据总握手次数为21列方程，用求根公式求解一元二次方程，最后结合人数为正整数的实际要求，舍去不符合题意的根。
【解析】
(1) 4人每两人握一次手，总握手次数为：
$\frac{4×(4-1)}{2}=6$次。
(2) 若有$x$人，每人需和其余$(x-1)$人各握一次手，由于每一次握手被重复计算2次，因此总握手次数为$\frac{1}{2}x(x-1)$次。
由题意列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=21$
整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2 - x - 42 = 0$
其中$a=1$，$b=-1$，$c=-42$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×1×(-42) = 169＞0$，
代入求根公式：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{1\pm13}{2}$
解得$x_1=7$，$x_2=-6$。
因为人数为正整数，$x=-6$不符合实际意义，舍去。
所以$x=7$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{6}$；(2) 所列方程为$\boldsymbol{\frac{1}{2}x(x-1)=21}$，方程的解为$\boldsymbol{x=7}$
【知识点】
单循环计数，求根公式应用，实际问题验根
【点评】
本题以生活中常见的握手场景为载体，既考查了学生从实际问题中抽象出数学模型的能力，也考查了一元二次方程的求解能力，易错点为计数时忘记除以2导致重复计算，以及忽略实际意义保留不符合要求的负根。
【难度系数】
0.7
本题属于单循环计数类的实际应用题，解题思路清晰如下：1. 第一问中，每两人仅握1次手，若直接计算每人握手次数会出现重复计数：4个人中每个人要和其余3人握手，直接计算4×3会把同一次握手算2次（甲和乙握手既计入甲的次数也计入乙的次数，因此总次数需要除以2消除重复。2. 第二问先类比第一问的计数规律，推导x人时的总握手次数表达式，再根据总握手次数为21列方程，用求根公式求解一元二次方程，最后结合人数为正整数的实际要求，舍去不符合题意的根。
【解析】
(1) 4人每两人握一次手，总握手次数为：
$\frac{4×(4-1)}{2}=6$次。
(2) 若有$x$人，每人需和其余$(x-1)$人各握一次手，由于每一次握手被重复计算2次，因此总握手次数为$\frac{1}{2}x(x-1)$次。
由题意列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=21$
整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2 - x - 42 = 0$
其中$a=1$，$b=-1$，$c=-42$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×1×(-42) = 169＞0$，
代入求根公式：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{1\pm13}{2}$
解得$x_1=7$，$x_2=-6$。
因为人数为正整数，$x=-6$不符合实际意义，舍去。
所以$x=7$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{6}$；(2) 所列方程为$\boldsymbol{\frac{1}{2}x(x-1)=21}$，方程的解为$\boldsymbol{x=7}$
【知识点】
单循环计数，求根公式应用，实际问题验根
【点评】
本题以生活中常见的握手场景为载体，既考查了学生从实际问题中抽象出数学模型的能力，也考查了一元二次方程的求解能力，易错点为计数时忘记除以2导致重复计算，以及忽略实际意义保留不符合要求的负根。
【难度系数】
0.7
12.已知关于$x$的一元二次方程为$(m-1)x^2 -2mx +m+1=0$.
(1)用公式法求出方程的根；
(2)$m$为何整数时,此方程的两个根都为正整数?
(1)用公式法求出方程的根；
(2)$m$为何整数时,此方程的两个根都为正整数?
答案
解：
(1) 由一元二次方程定义可知，$m-1 ≠ 0$，即 $m ≠ 1$。
在方程 $(m-1)x^2 - 2mx + m + 1 = 0$ 中，
$a = m-1$，$b = -2m$，$c = m+1$，
判别式 $\Delta = b^2 - 4ac = (-2m)^2 - 4(m-1)(m+1) = 4m^2 - 4m^2 + 4 = 4 ＞ 0$，
代入求根公式得：
$x = \frac{2m \pm \sqrt{4}}{2(m-1)} = \frac{2m \pm 2}{2(m-1)}$
化简得：
$x_1 = \frac{m+1}{m-1}$，$x_2 = 1$。
(2) 由(1)得 $x_1 = \frac{m+1}{m-1} = \frac{(m-1) + 2}{m-1} = 1 + \frac{2}{m-1}$，
已知$x_2=1$是正整数，要使两个根都为正整数，只需$\frac{2}{m-1}$为正整数，
则$m-1$是2的正整数因数，即$m-1=1$或$m-1=2$，
解得$m=2$或$m=3$。
综上，当$m$为2或3时，此方程的两个根都为正整数。
(1) 由一元二次方程定义可知，$m-1 ≠ 0$，即 $m ≠ 1$。
在方程 $(m-1)x^2 - 2mx + m + 1 = 0$ 中，
$a = m-1$，$b = -2m$，$c = m+1$，
判别式 $\Delta = b^2 - 4ac = (-2m)^2 - 4(m-1)(m+1) = 4m^2 - 4m^2 + 4 = 4 ＞ 0$，
代入求根公式得：
$x = \frac{2m \pm \sqrt{4}}{2(m-1)} = \frac{2m \pm 2}{2(m-1)}$
化简得：
$x_1 = \frac{m+1}{m-1}$，$x_2 = 1$。
(2) 由(1)得 $x_1 = \frac{m+1}{m-1} = \frac{(m-1) + 2}{m-1} = 1 + \frac{2}{m-1}$，
已知$x_2=1$是正整数，要使两个根都为正整数，只需$\frac{2}{m-1}$为正整数，
则$m-1$是2的正整数因数，即$m-1=1$或$m-1=2$，
解得$m=2$或$m=3$。
综上，当$m$为2或3时，此方程的两个根都为正整数。
解析
【分析】
(1) 要使用公式法解一元二次方程，首先需满足一元二次方程的定义，即二次项系数不为0，先确定m的取值范围；再依次确定方程中a、b、c的值，计算判别式Δ判断根的情况，最后代入求根公式化简得到方程的根。
(2) 由(1)得到的两个根可知x₂=1已经是正整数，因此只需保证另一个根x₁为正整数即可。将x₁的分式表达式拆分变形，分析得出m-1是2的正因数，即可求出符合条件的整数m。
【解析】
(1) 由一元二次方程定义可知，$m-1 ≠ 0$，即 $m ≠ 1$。
在方程 $(m-1)x^2 - 2mx + m + 1 = 0$ 中，
$a = m-1$，$b = -2m$，$c = m+1$，
判别式 $\Delta = b^2 - 4ac = (-2m)^2 - 4(m-1)(m+1) = 4m^2 - 4m^2 + 4 = 4 ＞ 0$，
代入求根公式得：
$x = \frac{2m \pm \sqrt{4}}{2(m-1)} = \frac{2m \pm 2}{2(m-1)}$
化简得：
$x_1 = \frac{m+1}{m-1}$，$x_2 = 1$。
(2) 由(1)得 $x_1 = \frac{m+1}{m-1} = \frac{(m-1) + 2}{m-1} = 1 + \frac{2}{m-1}$，
已知$x_2=1$是正整数，要使两个根都为正整数，只需$\frac{2}{m-1}$为正整数，
则$m-1$是2的正整数因数，即$m-1=1$或$m-1=2$，
解得$m=2$或$m=3$。
综上，当$m$为2或3时，此方程的两个根都为正整数。
【答案】
(1) $x_1=\frac{m+1}{m-1}$，$x_2=1$（$m≠1$）；
(2) $m=2$或$m=3$
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 公式法解一元二次方程
3. 整数根判定
【点评】
本题综合考查一元二次方程的解法与整数根问题，解题时要注意二次项系数不为0的隐含条件，第二问拆分分式简化整数分析的技巧，在处理含参数的整数类问题时实用性较强。
【难度系数】
0.7
(1) 要使用公式法解一元二次方程，首先需满足一元二次方程的定义，即二次项系数不为0，先确定m的取值范围；再依次确定方程中a、b、c的值，计算判别式Δ判断根的情况，最后代入求根公式化简得到方程的根。
(2) 由(1)得到的两个根可知x₂=1已经是正整数，因此只需保证另一个根x₁为正整数即可。将x₁的分式表达式拆分变形，分析得出m-1是2的正因数，即可求出符合条件的整数m。
【解析】
(1) 由一元二次方程定义可知，$m-1 ≠ 0$，即 $m ≠ 1$。
在方程 $(m-1)x^2 - 2mx + m + 1 = 0$ 中，
$a = m-1$，$b = -2m$，$c = m+1$，
判别式 $\Delta = b^2 - 4ac = (-2m)^2 - 4(m-1)(m+1) = 4m^2 - 4m^2 + 4 = 4 ＞ 0$，
代入求根公式得：
$x = \frac{2m \pm \sqrt{4}}{2(m-1)} = \frac{2m \pm 2}{2(m-1)}$
化简得：
$x_1 = \frac{m+1}{m-1}$，$x_2 = 1$。
(2) 由(1)得 $x_1 = \frac{m+1}{m-1} = \frac{(m-1) + 2}{m-1} = 1 + \frac{2}{m-1}$，
已知$x_2=1$是正整数，要使两个根都为正整数，只需$\frac{2}{m-1}$为正整数，
则$m-1$是2的正整数因数，即$m-1=1$或$m-1=2$，
解得$m=2$或$m=3$。
综上，当$m$为2或3时，此方程的两个根都为正整数。
【答案】
(1) $x_1=\frac{m+1}{m-1}$，$x_2=1$（$m≠1$）；
(2) $m=2$或$m=3$
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 公式法解一元二次方程
3. 整数根判定
【点评】
本题综合考查一元二次方程的解法与整数根问题，解题时要注意二次项系数不为0的隐含条件，第二问拆分分式简化整数分析的技巧，在处理含参数的整数类问题时实用性较强。
【难度系数】
0.7
