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2.已知关于$x$的方程$2x^2 - kx + 1 = 0$的一个根与方程$2x + 1 = 4 - 4x$的解相同。
(1)求$k$的值；
(2)用公式法求方程$2x^2 - kx + 1 = 0$的另一个根。
(1)求$k$的值；
(2)用公式法求方程$2x^2 - kx + 1 = 0$的另一个根。
答案
解：
(1) 解方程$2x + 1 = 4 - 4x$，
移项得：$2x + 4x = 4 - 1$，
合并同类项得：$6x = 3$，
解得：$x = \frac{1}{2}$。
将$x=\frac{1}{2}$代入方程$2x^2 - kx + 1 = 0$，得：
$2×(\frac{1}{2})^2 - k×\frac{1}{2} + 1 = 0$，
化简得：$\frac{1}{2} - \frac{k}{2} + 1 = 0$，
解得：$k = 3$。
(2) 由(1)得对应方程为$2x^2 - 3x + 1 = 0$，
其中$a=2$，$b=-3$，$c=1$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×2×1 = 1 ＞ 0$，
代入求根公式$x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$得：
$x = \frac{3\pm\sqrt{1}}{2×2} = \frac{3\pm1}{4}$，
解得$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=1$，
所以方程的另一个根为$1$。
(1) 解方程$2x + 1 = 4 - 4x$，
移项得：$2x + 4x = 4 - 1$，
合并同类项得：$6x = 3$，
解得：$x = \frac{1}{2}$。
将$x=\frac{1}{2}$代入方程$2x^2 - kx + 1 = 0$，得：
$2×(\frac{1}{2})^2 - k×\frac{1}{2} + 1 = 0$，
化简得：$\frac{1}{2} - \frac{k}{2} + 1 = 0$，
解得：$k = 3$。
(2) 由(1)得对应方程为$2x^2 - 3x + 1 = 0$，
其中$a=2$，$b=-3$，$c=1$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×2×1 = 1 ＞ 0$，
代入求根公式$x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$得：
$x = \frac{3\pm\sqrt{1}}{2×2} = \frac{3\pm1}{4}$，
解得$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=1$，
所以方程的另一个根为$1$。
解析
【分析】
解决第(1)问的思路：先求解一元一次方程$2x + 1 = 4 - 4x$得到它的解，这个解同时是二次方程$2x^2 - kx + 1 = 0$的一个根，将该根代入二次方程即可得到关于k的一元一次方程，解方程就能求出k的值。解决第(2)问的思路：把求出的k代入二次方程，确定二次方程一般形式中的a、b、c的值，先计算判别式验证方程有实根，再代入求根公式求出两个根，排除已知的根即可得到另一个根。
【解析】
(1) 解方程$2x + 1 = 4 - 4x$：
移项得：$2x + 4x = 4 - 1$，
合并同类项得：$6x = 3$，
解得：$x = \frac{1}{2}$。
将$x=\frac{1}{2}$代入方程$2x^2 - kx + 1 = 0$，得：
$2×(\frac{1}{2})^2 - k×\frac{1}{2} + 1 = 0$，
化简得：$\frac{1}{2} - \frac{k}{2} + 1 = 0$，
解得：$k = 3$。
(2) 把$k=3$代入得二次方程为$2x^2 - 3x + 1 = 0$，
其中$a=2$，$b=-3$，$c=1$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×2×1 = 1 ＞ 0$，
代入求根公式$x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$得：
$x = \frac{3\pm\sqrt{1}}{2×2} = \frac{3\pm1}{4}$，
解得$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=1$，
因此方程的另一个根为$1$。
【答案】
(1)$k=3$；(2)另一个根为$1$
【知识点】
一元一次方程解法；一元二次方程根的定义；公式法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础综合题，结合了一元一次方程和一元二次方程的核心基础知识点，解题关键是先求出两个方程的公共根，再代入求参数，最后按公式法的规范步骤求解二次方程，能很好地巩固方程相关的基础运算能力。
【难度系数】
0.8
解决第(1)问的思路：先求解一元一次方程$2x + 1 = 4 - 4x$得到它的解，这个解同时是二次方程$2x^2 - kx + 1 = 0$的一个根，将该根代入二次方程即可得到关于k的一元一次方程，解方程就能求出k的值。解决第(2)问的思路：把求出的k代入二次方程，确定二次方程一般形式中的a、b、c的值，先计算判别式验证方程有实根，再代入求根公式求出两个根，排除已知的根即可得到另一个根。
【解析】
(1) 解方程$2x + 1 = 4 - 4x$：
移项得：$2x + 4x = 4 - 1$，
合并同类项得：$6x = 3$，
解得：$x = \frac{1}{2}$。
将$x=\frac{1}{2}$代入方程$2x^2 - kx + 1 = 0$，得：
$2×(\frac{1}{2})^2 - k×\frac{1}{2} + 1 = 0$，
化简得：$\frac{1}{2} - \frac{k}{2} + 1 = 0$，
解得：$k = 3$。
(2) 把$k=3$代入得二次方程为$2x^2 - 3x + 1 = 0$，
其中$a=2$，$b=-3$，$c=1$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×2×1 = 1 ＞ 0$，
代入求根公式$x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$得：
$x = \frac{3\pm\sqrt{1}}{2×2} = \frac{3\pm1}{4}$，
解得$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=1$，
因此方程的另一个根为$1$。
【答案】
(1)$k=3$；(2)另一个根为$1$
【知识点】
一元一次方程解法；一元二次方程根的定义；公式法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础综合题，结合了一元一次方程和一元二次方程的核心基础知识点，解题关键是先求出两个方程的公共根，再代入求参数，最后按公式法的规范步骤求解二次方程，能很好地巩固方程相关的基础运算能力。
【难度系数】
0.8
1.(1)方程$2x^2 - x = 3$化为一般形式为；；
(2)若代数式$2x^2 + 1$与$4x^2 - 2x -5$的值互为相反数，则$x=$。
(2)若代数式$2x^2 + 1$与$4x^2 - 2x -5$的值互为相反数，则$x=$。
答案
(1) $\boldsymbol{2x^2 - x - 3 = 0}$
(2) $\boldsymbol{1或-\dfrac{2}{3}}$
(2) $\boldsymbol{1或-\dfrac{2}{3}}$
解析
【分析】
(1) 一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），解题时只需把方程右侧的项移到左侧，合并同类项即可得到一般形式。
(2) 互为相反数的两个数和为0，先根据该性质列方程，再整理为一元二次方程的标准形式，最后求解方程即可得到x的取值。
【解析】
(1) 原方程为$2x^2 - x = 3$，将右侧的3移到左侧（移项变号），可得$2x^2 - x - 3 = 0$，即为方程的一般形式。
(2) 由题意，$2x^2 + 1$与$4x^2 - 2x -5$互为相反数，因此两式相加等于0：
$\begin{aligned}2x^2 + 1 + 4x^2 - 2x -5 &= 0 \\6x^2 - 2x - 4 &= 0 \\\mathrm{两边同除以2得：}3x^2 - x - 2 &= 0 \\\mathrm{因式分解得：}(3x + 2)(x - 1) &= 0\end{aligned}$
解得$x-1=0$或$3x+2=0$，即$x=1$或$x=-\dfrac{2}{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2x^2 - x - 3 = 0}$；(2) $\boldsymbol{1或-\dfrac{2}{3}}$
【知识点】
一元二次方程的一般形式；相反数的性质；一元二次方程的解法
【点评】
本题是基础题型，侧重考查一元二次方程相关基础概念和计算能力，熟练掌握移项规则、相反数性质以及一元二次方程的常见解法，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
(1) 一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），解题时只需把方程右侧的项移到左侧，合并同类项即可得到一般形式。
(2) 互为相反数的两个数和为0，先根据该性质列方程，再整理为一元二次方程的标准形式，最后求解方程即可得到x的取值。
【解析】
(1) 原方程为$2x^2 - x = 3$，将右侧的3移到左侧（移项变号），可得$2x^2 - x - 3 = 0$，即为方程的一般形式。
(2) 由题意，$2x^2 + 1$与$4x^2 - 2x -5$互为相反数，因此两式相加等于0：
$\begin{aligned}2x^2 + 1 + 4x^2 - 2x -5 &= 0 \\6x^2 - 2x - 4 &= 0 \\\mathrm{两边同除以2得：}3x^2 - x - 2 &= 0 \\\mathrm{因式分解得：}(3x + 2)(x - 1) &= 0\end{aligned}$
解得$x-1=0$或$3x+2=0$，即$x=1$或$x=-\dfrac{2}{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2x^2 - x - 3 = 0}$；(2) $\boldsymbol{1或-\dfrac{2}{3}}$
【知识点】
一元二次方程的一般形式；相反数的性质；一元二次方程的解法
【点评】
本题是基础题型，侧重考查一元二次方程相关基础概念和计算能力，熟练掌握移项规则、相反数性质以及一元二次方程的常见解法，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
2. 用求根公式解方程 $x^2 + 3x = -1$，先求得 $b^2 - 4ac = \_\_\_\_\_\_$，则 $x_1 = \_\_\_\_\_\_$，$x_2 = \_\_\_\_\_\_$。
答案
解：将原方程整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2 + 3x + 1 = 0$
可得 $a=1$，$b=3$，$c=1$，
则 $b^2 - 4ac = 3^2 - 4×1×1 = 5$。
代入求根公式 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，得
$x=\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}$，
所以 $x_1=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$。
答案依次为：$\boldsymbol{5}$；$\boldsymbol{\frac{-3+\sqrt{5}}{2}}$；$\boldsymbol{\frac{-3-\sqrt{5}}{2}}$
$x^2 + 3x + 1 = 0$
可得 $a=1$，$b=3$，$c=1$，
则 $b^2 - 4ac = 3^2 - 4×1×1 = 5$。
代入求根公式 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，得
$x=\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}$，
所以 $x_1=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$。
答案依次为：$\boldsymbol{5}$；$\boldsymbol{\frac{-3+\sqrt{5}}{2}}$；$\boldsymbol{\frac{-3-\sqrt{5}}{2}}$
解析
【分析】
要使用求根公式解一元二次方程，首先需将方程化为一元二次方程的一般形式 $ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），再准确确定系数$a、b、c$的值（注意系数要包含符号）；接着代入判别式公式$b^2-4ac$计算判别式的值，最后将系数和判别式的值代入求根公式，即可求出方程的两个根。
【解析】
第一步：将原方程整理为一元二次方程的一般形式：
移项得 $x^2 + 3x + 1 = 0$，
第二步：确定各项系数：$a=1$，$b=3$，$c=1$，
第三步：计算判别式：
$b^2 - 4ac = 3^2 - 4×1×1 = 9-4=5$，
第四步：代入求根公式 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 计算根：
将对应值代入得 $x=\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}$，
因此两个根分别为 $x_1=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
$5$；$\boldsymbol{\frac{-3+\sqrt{5}}{2}}$；$\boldsymbol{\frac{-3-\sqrt{5}}{2}}$
【知识点】
一元二次方程的一般形式；根的判别式；公式法解一元二次方程
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础题型，解题关键是先将方程化为一般形式，再准确识别各项系数，避免因符号错误导致计算失误，掌握固定解题步骤即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
要使用求根公式解一元二次方程，首先需将方程化为一元二次方程的一般形式 $ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），再准确确定系数$a、b、c$的值（注意系数要包含符号）；接着代入判别式公式$b^2-4ac$计算判别式的值，最后将系数和判别式的值代入求根公式，即可求出方程的两个根。
【解析】
第一步：将原方程整理为一元二次方程的一般形式：
移项得 $x^2 + 3x + 1 = 0$，
第二步：确定各项系数：$a=1$，$b=3$，$c=1$，
第三步：计算判别式：
$b^2 - 4ac = 3^2 - 4×1×1 = 9-4=5$，
第四步：代入求根公式 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 计算根：
将对应值代入得 $x=\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}$，
因此两个根分别为 $x_1=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
$5$；$\boldsymbol{\frac{-3+\sqrt{5}}{2}}$；$\boldsymbol{\frac{-3-\sqrt{5}}{2}}$
【知识点】
一元二次方程的一般形式；根的判别式；公式法解一元二次方程
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础题型，解题关键是先将方程化为一般形式，再准确识别各项系数，避免因符号错误导致计算失误，掌握固定解题步骤即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
3. 用公式法解一元二次方程，得 $x = $
$$，则该一元二次方程是。
$$，则该一元二次方程是。答案
解：
一元二次方程 $ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$ 的求根公式为 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
将已知的求根结果 $x=\frac{-5\pm\sqrt{5^2-4×3×1}}{2×3}$ 与求根公式对比，可得：
$a=3$，$b=5$，$c=1$，
因此该一元二次方程是 $3x^2+5x+1=0$。
一元二次方程 $ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$ 的求根公式为 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
将已知的求根结果 $x=\frac{-5\pm\sqrt{5^2-4×3×1}}{2×3}$ 与求根公式对比，可得：
$a=3$，$b=5$，$c=1$，
因此该一元二次方程是 $3x^2+5x+1=0$。
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆一元二次方程求根公式的结构：对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。只需将题目给出的求根式子和标准求根公式逐部分对应，找到$a、b、c$的取值，再代入一般式即可得到对应的一元二次方程。
【解析】
一元二次方程$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$的求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
将已知的求根结果$x=\frac{-5\pm\sqrt{5^2-4×3×1}}{2×3}$与求根公式对比：
分母对应得$2a=2×3$，即$a=3$；
分子的一次项部分对应得$-b=-5$，即$b=5$；
根号内的常数项部分对应得$4ac=4×3×1$，结合$a=3$得$c=1$。
将$a=3、b=5、c=1$代入一元二次方程一般式，即可得到所求方程。
【答案】
$3x^2+5x+1=0$
【知识点】
1.一元二次方程求根公式 2.一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于求根公式的逆向应用题目，解题核心是熟练掌握求根公式的各部分对应关系，解题时要注意一次项系数的符号不要混淆。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆一元二次方程求根公式的结构：对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。只需将题目给出的求根式子和标准求根公式逐部分对应，找到$a、b、c$的取值，再代入一般式即可得到对应的一元二次方程。
【解析】
一元二次方程$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$的求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
将已知的求根结果$x=\frac{-5\pm\sqrt{5^2-4×3×1}}{2×3}$与求根公式对比：
分母对应得$2a=2×3$，即$a=3$；
分子的一次项部分对应得$-b=-5$，即$b=5$；
根号内的常数项部分对应得$4ac=4×3×1$，结合$a=3$得$c=1$。
将$a=3、b=5、c=1$代入一元二次方程一般式，即可得到所求方程。
【答案】
$3x^2+5x+1=0$
【知识点】
1.一元二次方程求根公式 2.一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于求根公式的逆向应用题目，解题核心是熟练掌握求根公式的各部分对应关系，解题时要注意一次项系数的符号不要混淆。
【难度系数】
0.8
4.关于x的一元二次方程$3x^2 -7x + m + 2 = 0$根的判别式的值是6，则此方程的根为
答案
解：
在一元二次方程$3x^2 -7x + m + 2 = 0$中，
$a=3$，$b=-7$，$c=m+2$。
由题意可知根的判别式$\Delta=6$，代入一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$x=\frac{-(-7)\pm\sqrt{6}}{2×3}=\frac{7\pm\sqrt{6}}{6}$
即方程的根为$x_1=\frac{7+\sqrt{6}}{6}$，$x_2=\frac{7-\sqrt{6}}{6}$。
在一元二次方程$3x^2 -7x + m + 2 = 0$中，
$a=3$，$b=-7$，$c=m+2$。
由题意可知根的判别式$\Delta=6$，代入一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$x=\frac{-(-7)\pm\sqrt{6}}{2×3}=\frac{7\pm\sqrt{6}}{6}$
即方程的根为$x_1=\frac{7+\sqrt{6}}{6}$，$x_2=\frac{7-\sqrt{6}}{6}$。
解析
【分析】
解题时无需先求解参数m，思路如下：第一步先从给定的一元二次方程中提取对应的二次项系数a、一次项系数b；第二步结合题干给出的根的判别式Δ的取值，直接代入一元二次方程求根公式计算，即可得到方程的根。
【解析】
在一元二次方程$3x^2 -7x + m + 2 = 0$中，$a=3$，$b=-7$。
由题意得根的判别式$\Delta=6$，将$a、b、\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$x=\frac{-(-7)\pm\sqrt{6}}{2×3}=\frac{7\pm\sqrt{6}}{6}$
因此方程的根为$x_1=\frac{7+\sqrt{6}}{6}$，$x_2=\frac{7-\sqrt{6}}{6}$。
【答案】
$x_1=\frac{7+\sqrt{6}}{6}$，$x_2=\frac{7-\sqrt{6}}{6}$
【知识点】
一元二次方程求根公式，根的判别式
【点评】
本题是基础应用题，直接考查求根公式的使用，解题时要注意利用题干给出的判别式条件，无需额外计算参数m，避免做无用功。
【难度系数】
0.8
解题时无需先求解参数m，思路如下：第一步先从给定的一元二次方程中提取对应的二次项系数a、一次项系数b；第二步结合题干给出的根的判别式Δ的取值，直接代入一元二次方程求根公式计算，即可得到方程的根。
【解析】
在一元二次方程$3x^2 -7x + m + 2 = 0$中，$a=3$，$b=-7$。
由题意得根的判别式$\Delta=6$，将$a、b、\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$x=\frac{-(-7)\pm\sqrt{6}}{2×3}=\frac{7\pm\sqrt{6}}{6}$
因此方程的根为$x_1=\frac{7+\sqrt{6}}{6}$，$x_2=\frac{7-\sqrt{6}}{6}$。
【答案】
$x_1=\frac{7+\sqrt{6}}{6}$，$x_2=\frac{7-\sqrt{6}}{6}$
【知识点】
一元二次方程求根公式，根的判别式
【点评】
本题是基础应用题，直接考查求根公式的使用，解题时要注意利用题干给出的判别式条件，无需额外计算参数m，避免做无用功。
【难度系数】
0.8
5.方程$x^2 + x -1=0$的根是()
A.$\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$
B.$\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{5}\pm1}{2}$
D.$\frac{-\sqrt{5}\pm1}{2}$
A.$\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$
B.$\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{5}\pm1}{2}$
D.$\frac{-\sqrt{5}\pm1}{2}$
答案
B
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的求根，解题思路如下：首先明确方程已经是一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，可直接用求根公式求解；第一步先确定方程中二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的取值；第二步计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，判断根的情况；第三步将$a、b、\Delta$代入求根公式计算结果，最后匹配选项即可。
【解析】
对于方程$x^2 + x -1=0$，可知$a=1$，$b=1$，$c=-1$。
先计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = 1^2 - 4×1×(-1) = 1+4=5＞0$，因此方程有两个不相等的实数根。
代入一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，可得：
$x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2×1}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程求根公式；判别式的应用
【点评】
本题是基础题型，重点考查求根公式的直接应用，解题时要注意准确识别各项系数的正负，避免因符号出错导致计算错误。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程的求根，解题思路如下：首先明确方程已经是一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，可直接用求根公式求解；第一步先确定方程中二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的取值；第二步计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，判断根的情况；第三步将$a、b、\Delta$代入求根公式计算结果，最后匹配选项即可。
【解析】
对于方程$x^2 + x -1=0$，可知$a=1$，$b=1$，$c=-1$。
先计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = 1^2 - 4×1×(-1) = 1+4=5＞0$，因此方程有两个不相等的实数根。
代入一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，可得：
$x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2×1}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程求根公式；判别式的应用
【点评】
本题是基础题型，重点考查求根公式的直接应用，解题时要注意准确识别各项系数的正负，避免因符号出错导致计算错误。
【难度系数】
0.8
6.已知关于$x$的一元二次方程$x^2-(k+1)x+2k-2=0$有一根不大于1，则$k$的取值范围为()
A.$k≥2$
B.$k≤1$
C.$k≤2$
D.$k≤0$
A.$k≥2$
B.$k≤1$
C.$k≤2$
D.$k≤0$
答案
C
解析
【分析】
解题思路：首先求解一元二次方程得到两个根，结合根的判别式确认方程总有实根，再根据“有一根不大于1”的条件列不等式求解k的范围。步骤：1. 对给定的一元二次方程因式分解（或用求根公式）求出两个根；2. 计算判别式，确认方程恒有实根；3. 观察到其中一个根为2，大于1，因此只需另一个根满足≤1即可，列不等式求解得到k的取值范围。
【解析】
解：对一元二次方程$x^2-(k+1)x+2k-2=0$左边因式分解：
$x^2-(k+1)x+2(k-1)=(x-2)(x-(k-1))=0$
解得方程的两个根为：$x_1=2$，$x_2=k-1$
计算根的判别式：
$\Delta=(k+1)^2-4×1×(2k-2)=k^2+2k+1-8k+8=(k-3)^2≥0$
因此对任意实数k，方程都有两个实数根。
已知方程有一根不大于1（即$≤1$），而$x_1=2＞1$，因此只需$x_2≤1$：
$k-1≤1$
解得$k≤2$
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的解法；根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题通过求解一元二次方程的根，结合根的取值要求列不等式求解，解题时先找到固定根2可大幅简化计算，避免了分类讨论的复杂步骤。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先求解一元二次方程得到两个根，结合根的判别式确认方程总有实根，再根据“有一根不大于1”的条件列不等式求解k的范围。步骤：1. 对给定的一元二次方程因式分解（或用求根公式）求出两个根；2. 计算判别式，确认方程恒有实根；3. 观察到其中一个根为2，大于1，因此只需另一个根满足≤1即可，列不等式求解得到k的取值范围。
【解析】
解：对一元二次方程$x^2-(k+1)x+2k-2=0$左边因式分解：
$x^2-(k+1)x+2(k-1)=(x-2)(x-(k-1))=0$
解得方程的两个根为：$x_1=2$，$x_2=k-1$
计算根的判别式：
$\Delta=(k+1)^2-4×1×(2k-2)=k^2+2k+1-8k+8=(k-3)^2≥0$
因此对任意实数k，方程都有两个实数根。
已知方程有一根不大于1（即$≤1$），而$x_1=2＞1$，因此只需$x_2≤1$：
$k-1≤1$
解得$k≤2$
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的解法；根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题通过求解一元二次方程的根，结合根的取值要求列不等式求解，解题时先找到固定根2可大幅简化计算，避免了分类讨论的复杂步骤。
【难度系数】
0.7
7.已知α是一元二次方程$x^2 - x -1=0$较大的根,则对α值的范围估计正确的是()
A.$0＜α＜1$
B.$1＜α＜1.5$
C.$1.5＜α＜2$
D.$2＜α＜3$
A.$0＜α＜1$
B.$1＜α＜1.5$
C.$1.5＜α＜2$
D.$2＜α＜3$
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按三步思考：首先，题目对应求根公式的课时，所以先用求根公式求出一元二次方程的两个实数根；其次，根据“较大的根”的要求，筛选出α对应的表达式；最后，通过估算无理数的取值范围，推导得到α的范围，匹配选项即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - x - 1 = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-1$，常数项$c=-1$。
1. 计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×1×(-1) = 1 + 4 = 5 ＞ 0$，因此方程有两个不相等的实数根。
2. 代入求根公式$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$，得：
$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$
因为$\sqrt{5} ＞ 2$，所以$\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$是负数，因此较大的根$α = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$。
3. 估算$α$的范围：
因为$4 ＜ 5 ＜ 9$，所以$\sqrt{4} ＜ \sqrt{5} ＜ \sqrt{9}$，即$2 ＜ \sqrt{5} ＜ 3$。
推导下限：由$\sqrt{5} ＞ 2$，得$1 + \sqrt{5} ＞ 3$，因此$α = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} ＞ 1.5$。
推导上限：由$\sqrt{5} ＜ 3$，得$1 + \sqrt{5} ＜ 4$，因此$α = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} ＜ 2$。
综上可得$1.5 ＜ α ＜ 2$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程求根公式；无理数估算；实数大小比较
【点评】
本题属于基础常考题，将一元二次方程的求解和无理数估算结合考查，解题核心是先准确得到较大根的表达式，再通过常见平方数确定无理数的范围，进而得到目标根的取值区间。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以按三步思考：首先，题目对应求根公式的课时，所以先用求根公式求出一元二次方程的两个实数根；其次，根据“较大的根”的要求，筛选出α对应的表达式；最后，通过估算无理数的取值范围，推导得到α的范围，匹配选项即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - x - 1 = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-1$，常数项$c=-1$。
1. 计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×1×(-1) = 1 + 4 = 5 ＞ 0$，因此方程有两个不相等的实数根。
2. 代入求根公式$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$，得：
$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$
因为$\sqrt{5} ＞ 2$，所以$\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$是负数，因此较大的根$α = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$。
3. 估算$α$的范围：
因为$4 ＜ 5 ＜ 9$，所以$\sqrt{4} ＜ \sqrt{5} ＜ \sqrt{9}$，即$2 ＜ \sqrt{5} ＜ 3$。
推导下限：由$\sqrt{5} ＞ 2$，得$1 + \sqrt{5} ＞ 3$，因此$α = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} ＞ 1.5$。
推导上限：由$\sqrt{5} ＜ 3$，得$1 + \sqrt{5} ＜ 4$，因此$α = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} ＜ 2$。
综上可得$1.5 ＜ α ＜ 2$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程求根公式；无理数估算；实数大小比较
【点评】
本题属于基础常考题，将一元二次方程的求解和无理数估算结合考查，解题核心是先准确得到较大根的表达式，再通过常见平方数确定无理数的范围，进而得到目标根的取值区间。
【难度系数】
0.7
8.若$x=-2$是关于$x$的一元二次方程$2x^2 -5ax +2a^2=0$的一个根，则$a$的值为（）
A.1或4
B.$-1$或$-4$
C.$-1$或4
D.1或$-4$
A.1或4
B.$-1$或$-4$
C.$-1$或4
D.1或$-4$
答案
B
解析
【分析】
解题的核心依据是一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根。因此我们可以将已知根x=-2代入原方程，将原方程转化为只含有参数a的一元二次方程，再求解这个方程即可得到a的取值，最后对应选项选出答案即可。具体步骤为：第一步代入x=-2到原方程，第二步整理得到关于a的一元二次方程，第三步解方程得到a的值。
【解析】
∵x=-2是一元二次方程$2x^2 -5ax +2a^2=0$的根
∴将x=-2代入方程，等式成立，即：
$2×(-2)^2 -5a×(-2) +2a^2=0$
计算化简得：$8 + 10a + 2a^2=0$
两边同时除以2得：$a^2 +5a +4=0$
因式分解得：$(a+1)(a+4)=0$
∴$a+1=0$ 或 $a+4=0$
解得：$a=-1$ 或 $a=-4$
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义；一元二次方程的求解
【点评】
本题属于一元二次方程的基础应用题型，解题关键是熟练运用方程根的定义将已知根代入原方程，转化为关于参数的方程求解，计算时注意符号问题即可避免出错。
【难度系数】
0.7
解题的核心依据是一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根。因此我们可以将已知根x=-2代入原方程，将原方程转化为只含有参数a的一元二次方程，再求解这个方程即可得到a的取值，最后对应选项选出答案即可。具体步骤为：第一步代入x=-2到原方程，第二步整理得到关于a的一元二次方程，第三步解方程得到a的值。
【解析】
∵x=-2是一元二次方程$2x^2 -5ax +2a^2=0$的根
∴将x=-2代入方程，等式成立，即：
$2×(-2)^2 -5a×(-2) +2a^2=0$
计算化简得：$8 + 10a + 2a^2=0$
两边同时除以2得：$a^2 +5a +4=0$
因式分解得：$(a+1)(a+4)=0$
∴$a+1=0$ 或 $a+4=0$
解得：$a=-1$ 或 $a=-4$
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义；一元二次方程的求解
【点评】
本题属于一元二次方程的基础应用题型，解题关键是熟练运用方程根的定义将已知根代入原方程，转化为关于参数的方程求解，计算时注意符号问题即可避免出错。
【难度系数】
0.7
9.用公式法解下列方程：
(1)$y^2 - 2y - 2 = 0$；
(2)$3x^2 - 2x = 4$；
(3)$x^2 + 5 = 2(x + 1)$；
(4)$5x^2 - 2\sqrt{5}x + 1 = 0$。
(1)$y^2 - 2y - 2 = 0$；
(2)$3x^2 - 2x = 4$；
(3)$x^2 + 5 = 2(x + 1)$；
(4)$5x^2 - 2\sqrt{5}x + 1 = 0$。
答案
解：
(1) 对于方程$y^2 - 2y - 2 = 0$，
$a=1$，$b=-2$，$c=-2$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×1×(-2) = 12 ＞ 0$，
代入求根公式$y=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$y=\frac{2\pm\sqrt{12}}{2×1}=1\pm\sqrt{3}$，
$\therefore y_1=1+\sqrt{3}$，$y_2=1-\sqrt{3}$。
(2) 将方程$3x^2 - 2x = 4$化为一般形式：$3x^2 - 2x - 4 = 0$，
$a=3$，$b=-2$，$c=-4$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×3×(-4) = 52 ＞ 0$，
代入求根公式得：
$x=\frac{2\pm\sqrt{52}}{2×3}=\frac{1\pm\sqrt{13}}{3}$，
$\therefore x_1=\frac{1+\sqrt{13}}{3}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{13}}{3}$。
(3) 将方程$x^2 + 5 = 2(x + 1)$整理为一般形式：$x^2 - 2x + 3 = 0$，
$a=1$，$b=-2$，$c=3$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×1×3 = -8 ＜ 0$，
$\therefore$ 原方程没有实数根。
(4) 对于方程$5x^2 - 2\sqrt{5}x + 1 = 0$，
$a=5$，$b=-2\sqrt{5}$，$c=1$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-2\sqrt{5})^2 - 4×5×1 = 0$，
代入求根公式得：
$x=\frac{2\sqrt{5}\pm\sqrt{0}}{2×5}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
$\therefore x_1=x_2=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
(1) 对于方程$y^2 - 2y - 2 = 0$，
$a=1$，$b=-2$，$c=-2$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×1×(-2) = 12 ＞ 0$，
代入求根公式$y=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$y=\frac{2\pm\sqrt{12}}{2×1}=1\pm\sqrt{3}$，
$\therefore y_1=1+\sqrt{3}$，$y_2=1-\sqrt{3}$。
(2) 将方程$3x^2 - 2x = 4$化为一般形式：$3x^2 - 2x - 4 = 0$，
$a=3$，$b=-2$，$c=-4$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×3×(-4) = 52 ＞ 0$，
代入求根公式得：
$x=\frac{2\pm\sqrt{52}}{2×3}=\frac{1\pm\sqrt{13}}{3}$，
$\therefore x_1=\frac{1+\sqrt{13}}{3}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{13}}{3}$。
(3) 将方程$x^2 + 5 = 2(x + 1)$整理为一般形式：$x^2 - 2x + 3 = 0$，
$a=1$，$b=-2$，$c=3$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×1×3 = -8 ＜ 0$，
$\therefore$ 原方程没有实数根。
(4) 对于方程$5x^2 - 2\sqrt{5}x + 1 = 0$，
$a=5$，$b=-2\sqrt{5}$，$c=1$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-2\sqrt{5})^2 - 4×5×1 = 0$，
代入求根公式得：
$x=\frac{2\sqrt{5}\pm\sqrt{0}}{2×5}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
$\therefore x_1=x_2=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
解析
【分析】
用公式法解一元二次方程需遵循固定步骤：①先将方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，移项时注意符号变化；②对应确定系数$a$、$b$、$c$的值，需保留系数本身的符号；③计算判别式$\Delta = b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根；④若$\Delta≥0$，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算，最后将根式化简为最简形式即可。
【解析】
(1) 对于方程$y^2 - 2y - 2 = 0$，
$a=1$，$b=-2$，$c=-2$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×1×(-2) = 12 ＞ 0$，
代入求根公式$y=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$y=\frac{2\pm\sqrt{12}}{2×1}=1\pm\sqrt{3}$，
$\therefore y_1=1+\sqrt{3}$，$y_2=1-\sqrt{3}$。
(2) 将方程$3x^2 - 2x = 4$化为一般形式：$3x^2 - 2x - 4 = 0$，
$a=3$，$b=-2$，$c=-4$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×3×(-4) = 52 ＞ 0$，
代入求根公式得：
$x=\frac{2\pm\sqrt{52}}{2×3}=\frac{1\pm\sqrt{13}}{3}$，
$\therefore x_1=\frac{1+\sqrt{13}}{3}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{13}}{3}$。
(3) 将方程$x^2 + 5 = 2(x + 1)$整理为一般形式：$x^2 - 2x + 3 = 0$，
$a=1$，$b=-2$，$c=3$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×1×3 = -8 ＜ 0$，
$\therefore$ 原方程没有实数根。
(4) 对于方程$5x^2 - 2\sqrt{5}x + 1 = 0$，
$a=5$，$b=-2\sqrt{5}$，$c=1$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-2\sqrt{5})^2 - 4×5×1 = 0$，
代入求根公式得：
$x=\frac{2\sqrt{5}\pm\sqrt{0}}{2×5}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
$\therefore x_1=x_2=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
(1)$y_1=1+\sqrt{3}$，$y_2=1-\sqrt{3}$；
(2)$x_1=\frac{1+\sqrt{13}}{3}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{13}}{3}$；
(3)原方程没有实数根；
(4)$x_1=x_2=\frac{\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
公式法解一元二次方程，根的判别式，一元二次方程一般形式
【点评】
本题是公式法解方程的基础训练题，解题核心是严格遵循标准步骤，需特别注意确定系数时不要漏带符号，根式结果要化简为最简形式，熟练掌握步骤即可避免错误。
【难度系数】
0.75
用公式法解一元二次方程需遵循固定步骤：①先将方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，移项时注意符号变化；②对应确定系数$a$、$b$、$c$的值，需保留系数本身的符号；③计算判别式$\Delta = b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根；④若$\Delta≥0$，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算，最后将根式化简为最简形式即可。
【解析】
(1) 对于方程$y^2 - 2y - 2 = 0$，
$a=1$，$b=-2$，$c=-2$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×1×(-2) = 12 ＞ 0$，
代入求根公式$y=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$y=\frac{2\pm\sqrt{12}}{2×1}=1\pm\sqrt{3}$，
$\therefore y_1=1+\sqrt{3}$，$y_2=1-\sqrt{3}$。
(2) 将方程$3x^2 - 2x = 4$化为一般形式：$3x^2 - 2x - 4 = 0$，
$a=3$，$b=-2$，$c=-4$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×3×(-4) = 52 ＞ 0$，
代入求根公式得：
$x=\frac{2\pm\sqrt{52}}{2×3}=\frac{1\pm\sqrt{13}}{3}$，
$\therefore x_1=\frac{1+\sqrt{13}}{3}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{13}}{3}$。
(3) 将方程$x^2 + 5 = 2(x + 1)$整理为一般形式：$x^2 - 2x + 3 = 0$，
$a=1$，$b=-2$，$c=3$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×1×3 = -8 ＜ 0$，
$\therefore$ 原方程没有实数根。
(4) 对于方程$5x^2 - 2\sqrt{5}x + 1 = 0$，
$a=5$，$b=-2\sqrt{5}$，$c=1$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-2\sqrt{5})^2 - 4×5×1 = 0$，
代入求根公式得：
$x=\frac{2\sqrt{5}\pm\sqrt{0}}{2×5}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
$\therefore x_1=x_2=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
(1)$y_1=1+\sqrt{3}$，$y_2=1-\sqrt{3}$；
(2)$x_1=\frac{1+\sqrt{13}}{3}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{13}}{3}$；
(3)原方程没有实数根；
(4)$x_1=x_2=\frac{\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
公式法解一元二次方程，根的判别式，一元二次方程一般形式
【点评】
本题是公式法解方程的基础训练题，解题核心是严格遵循标准步骤，需特别注意确定系数时不要漏带符号，根式结果要化简为最简形式，熟练掌握步骤即可避免错误。
【难度系数】
0.75
