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2.如图，小明在A时测得某树的影长为8 m，B时又测得该树的影长为2 m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 m. 
答案
解：
设树的高度为$ h \, \mathrm{m} $，记树的底部为点$ C $，树顶为点$ D $，A时影长的端点为$ E $，B时影长的端点为$ F $。
由题意得：$ EC=8 \, \mathrm{m} $，$ CF=2 \, \mathrm{m} $，$ DC ⊥ EF $，$ ED ⊥ DF $。
∴ $ ∠ E + ∠ EDC = 90° $，$ ∠ EDC + ∠ FDC = 90° $，
∴ $ ∠ E = ∠ FDC $。
又∵ $ ∠ ECD = ∠ DCF = 90° $，
∴ $ \mathrm{Rt}△ EDC ∽ \mathrm{Rt}△ DFC $。
∴ $ \frac{EC}{DC} = \frac{DC}{FC} $，即 $ DC^2 = EC · FC $。
代入数据得：$ h^2 = 8 × 2 = 16 $，
解得$ h=4 $（负值舍去）。
答：树的高度为$\boldsymbol{4}$ m。
设树的高度为$ h \, \mathrm{m} $，记树的底部为点$ C $，树顶为点$ D $，A时影长的端点为$ E $，B时影长的端点为$ F $。
由题意得：$ EC=8 \, \mathrm{m} $，$ CF=2 \, \mathrm{m} $，$ DC ⊥ EF $，$ ED ⊥ DF $。
∴ $ ∠ E + ∠ EDC = 90° $，$ ∠ EDC + ∠ FDC = 90° $，
∴ $ ∠ E = ∠ FDC $。
又∵ $ ∠ ECD = ∠ DCF = 90° $，
∴ $ \mathrm{Rt}△ EDC ∽ \mathrm{Rt}△ DFC $。
∴ $ \frac{EC}{DC} = \frac{DC}{FC} $，即 $ DC^2 = EC · FC $。
代入数据得：$ h^2 = 8 × 2 = 16 $，
解得$ h=4 $（负值舍去）。
答：树的高度为$\boldsymbol{4}$ m。
解析
【分析】
首先将实际投影场景转化为几何模型：树垂直于地面，两次日照光线互相垂直，可得到两个共直角边的直角三角形。先利用直角三角形两锐角互余的性质推导相等的锐角，证明两个直角三角形相似，再根据相似三角形对应边成比例的性质建立关于树高的等式，求解后舍去不符合实际的负根即可得到树高。
【解析】
设树的高度为$ h \, \mathrm{m} $，记树的底部为点$ C $，树顶为点$ D $，A时影长的端点为$ E $，B时影长的端点为$ F $。
由题意得：$ EC=8 \, \mathrm{m} $，$ CF=2 \, \mathrm{m} $，$ DC ⊥ EF $，$ ED ⊥ DF $。
∴ $ ∠ E + ∠ EDC = 90° $，$ ∠ EDC + ∠ FDC = 90° $，
∴ $ ∠ E = ∠ FDC $。
又
∵ $ ∠ ECD = ∠ DCF = 90° $，
∴ $ \mathrm{Rt}△ EDC ∽ \mathrm{Rt}△ DFC $。
∴ $ \frac{EC}{DC} = \frac{DC}{FC} $，即 $ DC^2 = EC · FC $。
代入数据得：$ h^2 = 8 × 2 = 16 $，
解得$ h=4 $（负值不符合实际，舍去）。
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，相似的实际应用，直角三角形的性质
【点评】
本题结合生活中的投影场景考查相似三角形的应用，解题核心是通过角的互余关系证明三角形相似，再借助相似性质建立等量关系求解，能够有效锻炼学生将实际问题转化为几何模型的能力。
【难度系数】
0.7
首先将实际投影场景转化为几何模型：树垂直于地面，两次日照光线互相垂直，可得到两个共直角边的直角三角形。先利用直角三角形两锐角互余的性质推导相等的锐角，证明两个直角三角形相似，再根据相似三角形对应边成比例的性质建立关于树高的等式，求解后舍去不符合实际的负根即可得到树高。
【解析】
设树的高度为$ h \, \mathrm{m} $，记树的底部为点$ C $，树顶为点$ D $，A时影长的端点为$ E $，B时影长的端点为$ F $。
由题意得：$ EC=8 \, \mathrm{m} $，$ CF=2 \, \mathrm{m} $，$ DC ⊥ EF $，$ ED ⊥ DF $。
∴ $ ∠ E + ∠ EDC = 90° $，$ ∠ EDC + ∠ FDC = 90° $，
∴ $ ∠ E = ∠ FDC $。
又
∵ $ ∠ ECD = ∠ DCF = 90° $，
∴ $ \mathrm{Rt}△ EDC ∽ \mathrm{Rt}△ DFC $。
∴ $ \frac{EC}{DC} = \frac{DC}{FC} $，即 $ DC^2 = EC · FC $。
代入数据得：$ h^2 = 8 × 2 = 16 $，
解得$ h=4 $（负值不符合实际，舍去）。
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，相似的实际应用，直角三角形的性质
【点评】
本题结合生活中的投影场景考查相似三角形的应用，解题核心是通过角的互余关系证明三角形相似，再借助相似性质建立等量关系求解，能够有效锻炼学生将实际问题转化为几何模型的能力。
【难度系数】
0.7
1. 如图，小亮在做小孔成像实验时，测得物距为6 cm，像距为9 cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是3 cm，则蜡烛火焰的高度是 cm.
答案
解：设蜡烛火焰的高度是$x\ \mathrm{cm}$。
根据小孔成像原理，蜡烛火焰与其倒立的像所在的两个三角形相似，可得：
$\frac{x}{3}=\frac{6}{9}$
解得 $x=2$。
答：蜡烛火焰的高度是$\boldsymbol{2}$ cm。
根据小孔成像原理，蜡烛火焰与其倒立的像所在的两个三角形相似，可得：
$\frac{x}{3}=\frac{6}{9}$
解得 $x=2$。
答：蜡烛火焰的高度是$\boldsymbol{2}$ cm。
解析
【分析】
解题时首先结合小孔成像的特点分析：蜡烛火焰与它的倒立像分别和小孔组成的两个三角形为相似三角形，根据相似三角形的性质，相似三角形对应边成比例，即物高与像高的比等于物距与像距的比，因此我们可以设蜡烛火焰的高度为未知数，列比例式求解即可。
【解析】
设蜡烛火焰的高度是$x\ \mathrm{cm}$。
根据小孔成像原理，蜡烛火焰与其倒立的像分别和小孔构成的两个三角形相似，由相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{x}{3}=\frac{6}{9}$
解得 $x=2$。
【答案】
2
【知识点】
相似三角形对应边成比例；相似三角形的实际应用；小孔成像原理
【点评】
本题结合物理小孔成像场景考查相似三角形性质的实际应用，解题的核心是找准物高、像高、物距、像距的对应比例关系，解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合小孔成像的特点分析：蜡烛火焰与它的倒立像分别和小孔组成的两个三角形为相似三角形，根据相似三角形的性质，相似三角形对应边成比例，即物高与像高的比等于物距与像距的比，因此我们可以设蜡烛火焰的高度为未知数，列比例式求解即可。
【解析】
设蜡烛火焰的高度是$x\ \mathrm{cm}$。
根据小孔成像原理，蜡烛火焰与其倒立的像分别和小孔构成的两个三角形相似，由相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{x}{3}=\frac{6}{9}$
解得 $x=2$。
【答案】
2
【知识点】
相似三角形对应边成比例；相似三角形的实际应用；小孔成像原理
【点评】
本题结合物理小孔成像场景考查相似三角形性质的实际应用，解题的核心是找准物高、像高、物距、像距的对应比例关系，解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
2.如图是一位同学用激光笔测量某古城墙高度的示意图.点P处放置一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处,若$AB ⊥ BD$,$CD ⊥ BD$,测得$AB=1.5\ \mathrm{m}$,$BP=2\ \mathrm{m}$,$PD=6\ \mathrm{m}$,则该古城墙的高度CD是 m.
答案
解：由光的反射原理可知∠APB=∠CPD，
∵ $AB⊥BD$，$CD⊥BD$，
∴ $∠ABP=∠CDP=90°$，
∴ $△ ABP ∽ △ CDP$，
∴ $\frac{AB}{CD}=\frac{BP}{PD}$，
将$AB=1.5\ \mathrm{m}$，$BP=2\ \mathrm{m}$，$PD=6\ \mathrm{m}$代入得：
$\frac{1.5}{CD}=\frac{2}{6}$，
解得$CD=4.5$。
答：该古城墙的高度CD是4.5 m。
∵ $AB⊥BD$，$CD⊥BD$，
∴ $∠ABP=∠CDP=90°$，
∴ $△ ABP ∽ △ CDP$，
∴ $\frac{AB}{CD}=\frac{BP}{PD}$，
将$AB=1.5\ \mathrm{m}$，$BP=2\ \mathrm{m}$，$PD=6\ \mathrm{m}$代入得：
$\frac{1.5}{CD}=\frac{2}{6}$，
解得$CD=4.5$。
答：该古城墙的高度CD是4.5 m。
解析
【分析】
解题时首先根据光的反射原理得到相等的角，再结合两条线段都垂直于地面得到相等的直角，即可证明两个三角形相似，最后利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长就能计算出古城墙的高度。
【解析】
由光的反射原理可知∠APB=∠CPD，
∵ $AB⊥BD$，$CD⊥BD$，
∴ $∠ABP=∠CDP=90°$，
∴ $△ ABP ∽ △ CDP$，
∴ $\frac{AB}{CD}=\frac{BP}{PD}$，
将$AB=1.5\ \mathrm{m}$，$BP=2\ \mathrm{m}$，$PD=6\ \mathrm{m}$代入得：
$\frac{1.5}{CD}=\frac{2}{6}$，
解得$CD=4.5$。
【答案】
4.5
【知识点】
相似三角形判定，相似三角形性质，相似三角形应用
【点评】
本题结合物理镜面反射知识考查相似三角形的实际应用，解题的核心是准确找到相似三角形的对应边，避免比例关系混淆，属于基础的实际应用类习题。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据光的反射原理得到相等的角，再结合两条线段都垂直于地面得到相等的直角，即可证明两个三角形相似，最后利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长就能计算出古城墙的高度。
【解析】
由光的反射原理可知∠APB=∠CPD，
∵ $AB⊥BD$，$CD⊥BD$，
∴ $∠ABP=∠CDP=90°$，
∴ $△ ABP ∽ △ CDP$，
∴ $\frac{AB}{CD}=\frac{BP}{PD}$，
将$AB=1.5\ \mathrm{m}$，$BP=2\ \mathrm{m}$，$PD=6\ \mathrm{m}$代入得：
$\frac{1.5}{CD}=\frac{2}{6}$，
解得$CD=4.5$。
【答案】
4.5
【知识点】
相似三角形判定，相似三角形性质，相似三角形应用
【点评】
本题结合物理镜面反射知识考查相似三角形的实际应用，解题的核心是准确找到相似三角形的对应边，避免比例关系混淆，属于基础的实际应用类习题。
【难度系数】
0.8
3.如图,墙MN上挂着一个平面镜EF,身高1.6 m的小明(用线段AB表示)站在镜子前,其中点A表示头顶,点B表示脚底,点C表示眼睛(位于AB上),线段A'B'是小明在镜中的虚像,虚像A'B'和线段AB关于镜面EF对称,则小明能看到全身像(线段A'B')的最短镜子(即EF)的长度为 m.
答案
解：
由题意得，$AB // EF // A'B'$，$AB = A'B' = 1.6\ \mathrm{m}$，
且$AB$与$A'B'$关于镜面$EF$对称，因此点$C$到$EF$的距离是点$C$到$A'B'$的距离的$\frac{1}{2}$。
$\because EF // A'B'$，
$\therefore △ CEF ∽ △ CA'B'$，
$\therefore \frac{EF}{A'B'} = \frac{1}{2}$，
$\therefore EF = \frac{1}{2}A'B' = \frac{1}{2} × 1.6 = 0.8\ \mathrm{m}$。
答：最短镜子$EF$的长度为$\boldsymbol{0.8}$ m。
由题意得，$AB // EF // A'B'$，$AB = A'B' = 1.6\ \mathrm{m}$，
且$AB$与$A'B'$关于镜面$EF$对称，因此点$C$到$EF$的距离是点$C$到$A'B'$的距离的$\frac{1}{2}$。
$\because EF // A'B'$，
$\therefore △ CEF ∽ △ CA'B'$，
$\therefore \frac{EF}{A'B'} = \frac{1}{2}$，
$\therefore EF = \frac{1}{2}A'B' = \frac{1}{2} × 1.6 = 0.8\ \mathrm{m}$。
答：最短镜子$EF$的长度为$\boldsymbol{0.8}$ m。
解析
【分析】
首先结合平面镜成像的对称性特点，明确线段AB、镜面EF、像A'B'的位置关系：三者互相平行，且AB与A'B'关于EF对称，因此眼睛C到镜面EF的距离是C到像A'B'距离的$\frac{1}{2}$。接下来观察包含EF和A'B'的三角形，由EF平行于A'B'可判定两个三角形相似，利用相似三角形对应边成比例的性质，即可求出EF的长度，也就是最短镜子的长度。
【解析】
由题意得，$AB // EF // A'B'$，$AB = A'B' = 1.6\ \mathrm{m}$，
且$AB$与$A'B'$关于镜面$EF$对称，因此点$C$到$EF$的距离是点$C$到$A'B'$的距离的$\frac{1}{2}$。
$\because EF // A'B'$，
$\therefore △ CEF ∽ △ CA'B'$，
$\therefore \frac{EF}{A'B'} = \frac{1}{2}$，
$\therefore EF = \frac{1}{2}A'B' = \frac{1}{2} × 1.6 = 0.8\ \mathrm{m}$。
【答案】
$\boldsymbol{0.8}$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，平面镜成像特点
【点评】
这是一道跨学科的基础应用题，结合了物理平面镜成像规律和数学相似三角形的相关知识，解题的关键是根据平行关系判定相似三角形，准确找到相似比，整体解题思路清晰，难度不高。
【难度系数】
0.7
首先结合平面镜成像的对称性特点，明确线段AB、镜面EF、像A'B'的位置关系：三者互相平行，且AB与A'B'关于EF对称，因此眼睛C到镜面EF的距离是C到像A'B'距离的$\frac{1}{2}$。接下来观察包含EF和A'B'的三角形，由EF平行于A'B'可判定两个三角形相似，利用相似三角形对应边成比例的性质，即可求出EF的长度，也就是最短镜子的长度。
【解析】
由题意得，$AB // EF // A'B'$，$AB = A'B' = 1.6\ \mathrm{m}$，
且$AB$与$A'B'$关于镜面$EF$对称，因此点$C$到$EF$的距离是点$C$到$A'B'$的距离的$\frac{1}{2}$。
$\because EF // A'B'$，
$\therefore △ CEF ∽ △ CA'B'$，
$\therefore \frac{EF}{A'B'} = \frac{1}{2}$，
$\therefore EF = \frac{1}{2}A'B' = \frac{1}{2} × 1.6 = 0.8\ \mathrm{m}$。
【答案】
$\boldsymbol{0.8}$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，平面镜成像特点
【点评】
这是一道跨学科的基础应用题，结合了物理平面镜成像规律和数学相似三角形的相关知识，解题的关键是根据平行关系判定相似三角形，准确找到相似比，整体解题思路清晰，难度不高。
【难度系数】
0.7
4.如图,一张等腰三角形纸片ABC,底边BC=12,高AD=10.若用这张等腰三角形纸片制作一个正方体的纸盒,阴影部分为正方体展开图,点M,N均落在腰上,则正方体的棱长为.
答案
解：设正方体的棱长为x。
由题意得，MN//BC，
∴△AMN∽△ABC。
由正方体展开图的特征可知，MN=2x，MN到BC的竖直距离为4x，
则△AMN的高为 $ AD - 4x = 10 - 4x $。
根据相似三角形对应高的比等于对应边的比，得：
$\frac{MN}{BC} = \frac{10 - 4x}{AD}$
将MN=2x，BC=12，AD=10代入得：
$\frac{2x}{12} = \frac{10 - 4x}{10}$
化简得：
$\frac{x}{6} = \frac{10 - 4x}{10}$
交叉相乘：
$10x = 6(10 - 4x)$
$10x = 60 - 24x$
$34x = 60$
解得：
$x = \frac{30}{17}$
答：正方体的棱长为$\boldsymbol{\frac{30}{17}}$。
由题意得，MN//BC，
∴△AMN∽△ABC。
由正方体展开图的特征可知，MN=2x，MN到BC的竖直距离为4x，
则△AMN的高为 $ AD - 4x = 10 - 4x $。
根据相似三角形对应高的比等于对应边的比，得：
$\frac{MN}{BC} = \frac{10 - 4x}{AD}$
将MN=2x，BC=12，AD=10代入得：
$\frac{2x}{12} = \frac{10 - 4x}{10}$
化简得：
$\frac{x}{6} = \frac{10 - 4x}{10}$
交叉相乘：
$10x = 6(10 - 4x)$
$10x = 60 - 24x$
$34x = 60$
解得：
$x = \frac{30}{17}$
答：正方体的棱长为$\boldsymbol{\frac{30}{17}}$。
解析
【分析】
解决本题可按照以下思路思考：①先设正方体的棱长为x，结合正方体展开图的特征，确定线段MN的长度，以及MN到底边BC的竖直距离；②由等腰三角形的性质可知MN平行于BC，可得△AMN∽△ABC；③根据相似三角形对应边的比等于对应高的比，列出关于x的一元一次方程，求解即可得到正方体的棱长。
【解析】
设正方体的棱长为x。
由题意得，$MN// BC$，
$\therefore△ AMN∽△ ABC$。
由正方体展开图的特征可知，$MN=2x$，MN到BC的竖直距离为$4x$，
则$△ AMN$的高为 $AD - 4x = 10 - 4x$。
根据相似三角形对应高的比等于对应边的比，得：
$\frac{MN}{BC} = \frac{10 - 4x}{AD}$
将$MN=2x$，$BC=12$，$AD=10$代入得：
$\frac{2x}{12} = \frac{10 - 4x}{10}$
化简得：
$\frac{x}{6} = \frac{10 - 4x}{10}$
交叉相乘：
$10x = 6(10 - 4x)$
$10x = 60 - 24x$
$34x = 60$
解得：
$x = \frac{30}{17}$
【答案】
$\frac{30}{17}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，正方体展开图，一元一次方程的应用
【点评】
本题是几何与代数结合的典型题型，需要结合空间想象能力分析正方体展开图各边与三角形各边的关系，再利用相似三角形的性质建立方程求解，较好地考查了数形结合思想和方程思想的应用。
【难度系数】
0.6
解决本题可按照以下思路思考：①先设正方体的棱长为x，结合正方体展开图的特征，确定线段MN的长度，以及MN到底边BC的竖直距离；②由等腰三角形的性质可知MN平行于BC，可得△AMN∽△ABC；③根据相似三角形对应边的比等于对应高的比，列出关于x的一元一次方程，求解即可得到正方体的棱长。
【解析】
设正方体的棱长为x。
由题意得，$MN// BC$，
$\therefore△ AMN∽△ ABC$。
由正方体展开图的特征可知，$MN=2x$，MN到BC的竖直距离为$4x$，
则$△ AMN$的高为 $AD - 4x = 10 - 4x$。
根据相似三角形对应高的比等于对应边的比，得：
$\frac{MN}{BC} = \frac{10 - 4x}{AD}$
将$MN=2x$，$BC=12$，$AD=10$代入得：
$\frac{2x}{12} = \frac{10 - 4x}{10}$
化简得：
$\frac{x}{6} = \frac{10 - 4x}{10}$
交叉相乘：
$10x = 6(10 - 4x)$
$10x = 60 - 24x$
$34x = 60$
解得：
$x = \frac{30}{17}$
【答案】
$\frac{30}{17}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，正方体展开图，一元一次方程的应用
【点评】
本题是几何与代数结合的典型题型，需要结合空间想象能力分析正方体展开图各边与三角形各边的关系，再利用相似三角形的性质建立方程求解，较好地考查了数形结合思想和方程思想的应用。
【难度系数】
0.6
5.如图,将一个装有水的杯子倾斜放置在水平桌面上,其截面可看作一个宽$BC=6\ \mathrm{cm}$,长$CD=16\ \mathrm{cm}$的矩形.当水面触到杯口边缘时,边$CD$恰有一半露出水面,那么此时水面高度是()
A.9.6 cm
B.9.3 cm
C.8.6 cm
D.7.2 cm
第5题图 第6题图
A.9.6 cm
B.9.3 cm
C.8.6 cm
D.7.2 cm
第5题图 第6题图
答案
A
解析
【分析】
解题思路如下：首先明确截面是矩形，∠C为直角，已知CD一半露出水面，可先求出露出部分CE的长度；接着在Rt△BCE中用勾股定理算出水面截线EB的长度；最后通过证明直角三角形相似，利用相似三角形对应边成比例求出水面EB到桌面的垂直距离，即所求的水面高度。
【解析】
解：
∵截面ABCD是矩形，
∴∠C=90°，AB=CD=16cm，
∵CD恰有一半露出水面，
∴$CE=\frac{1}{2}CD=8\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，$BC=6\ \mathrm{cm}$，$CE=8\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$EB=\sqrt{BC^2+CE^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\ \mathrm{cm}$，
过点B作$BF⊥$桌面于点F，则BF为水面高度，
易证$∠ ABF=∠ BEC$（两角均与$∠ EBC$互余），且$∠ C=∠ AFB=90°$，
∴$△ BCE ∽ △ AFB$，
根据相似三角形对应边成比例得：$\frac{BC}{BF}=\frac{EB}{AB}$，
代入数据得：$\frac{6}{BF}=\frac{10}{16}$，
解得：$BF=\frac{6×16}{10}=9.6\ \mathrm{cm}$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，相似三角形的应用，矩形的性质
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识的应用，解题的核心是将实际问题转化为几何计算，找到图中的直角三角形和相似关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先明确截面是矩形，∠C为直角，已知CD一半露出水面，可先求出露出部分CE的长度；接着在Rt△BCE中用勾股定理算出水面截线EB的长度；最后通过证明直角三角形相似，利用相似三角形对应边成比例求出水面EB到桌面的垂直距离，即所求的水面高度。
【解析】
解：
∵截面ABCD是矩形，
∴∠C=90°，AB=CD=16cm，
∵CD恰有一半露出水面，
∴$CE=\frac{1}{2}CD=8\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，$BC=6\ \mathrm{cm}$，$CE=8\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$EB=\sqrt{BC^2+CE^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\ \mathrm{cm}$，
过点B作$BF⊥$桌面于点F，则BF为水面高度，
易证$∠ ABF=∠ BEC$（两角均与$∠ EBC$互余），且$∠ C=∠ AFB=90°$，
∴$△ BCE ∽ △ AFB$，
根据相似三角形对应边成比例得：$\frac{BC}{BF}=\frac{EB}{AB}$，
代入数据得：$\frac{6}{BF}=\frac{10}{16}$，
解得：$BF=\frac{6×16}{10}=9.6\ \mathrm{cm}$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，相似三角形的应用，矩形的性质
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识的应用，解题的核心是将实际问题转化为几何计算，找到图中的直角三角形和相似关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
6.一个正在装修的房间里，有一个靠墙竖立的
梯子OP(梯子顶端靠在墙上，底端在地面).
离梯子底端1 m处(OE)有一把垂直于地面
的椅子DE，椅子的影长EF=3 m(影子投射
在地面上).为了测量椅子的高度，小明在梯
子的另一侧离梯子底端4 m处(OB)竖起一
根1 m高的竹竿AB，测得竹竿的影长BC=
4 m，则椅子的高度为()
A.2 m
B.1.5 m
C.3 m
D.2.5 m
梯子OP(梯子顶端靠在墙上，底端在地面).
离梯子底端1 m处(OE)有一把垂直于地面
的椅子DE，椅子的影长EF=3 m(影子投射
在地面上).为了测量椅子的高度，小明在梯
子的另一侧离梯子底端4 m处(OB)竖起一
根1 m高的竹竿AB，测得竹竿的影长BC=
4 m，则椅子的高度为()
A.2 m
B.1.5 m
C.3 m
D.2.5 m
答案
B
解析
【分析】
本题是相似三角形在实际测量中的应用，解题核心是利用“同一时刻下，垂直于地面的物体与影子构成的直角三角形相似，对应边成比例”的规律。首先通过已知的竹竿高度、影长及竹竿到梯子底端的距离，求出梯子的高度，再将梯子高度作为中间量，结合椅子的影长、椅子到梯子底端的距离，计算出椅子的高度。
【解析】
解：
∵ $AB⊥ CF$，$OP⊥ CF$
∴ $AB// OP$，可得 $△ CAB ∽ △ CPO$
∴ $\frac{AB}{PO}=\frac{CB}{CO}$
由题意得：$AB=1\ \mathrm{m}$，$CB=4\ \mathrm{m}$，$BO=4\ \mathrm{m}$，则 $CO=CB+BO=4+4=8\ \mathrm{m}$
代入比例式得：$\frac{1}{PO}=\frac{4}{8}$，解得 $PO=2\ \mathrm{m}$
同理，$DE⊥ CF$，$OP⊥ CF$，则 $DE// OP$，可得 $△ FDE ∽ △ FPO$
∴ $\frac{DE}{PO}=\frac{FE}{FO}$
由题意得：$FE=3\ \mathrm{m}$，$OE=1\ \mathrm{m}$，则 $FO=OE+FE=1+3=4\ \mathrm{m}$
将$PO=2\ \mathrm{m}$代入比例式得：$\frac{DE}{2}=\frac{3}{4}$，解得 $DE=1.5\ \mathrm{m}$
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的应用，平行投影
【点评】
本题结合生活场景考查相似三角形的实际应用，解题关键是准确找到两组相似三角形，理清各段线段的长度关系，先求出中间量梯子的高度，再计算椅子高度，避免混淆线段总长。
【难度系数】
0.7
本题是相似三角形在实际测量中的应用，解题核心是利用“同一时刻下，垂直于地面的物体与影子构成的直角三角形相似，对应边成比例”的规律。首先通过已知的竹竿高度、影长及竹竿到梯子底端的距离，求出梯子的高度，再将梯子高度作为中间量，结合椅子的影长、椅子到梯子底端的距离，计算出椅子的高度。
【解析】
解：
∵ $AB⊥ CF$，$OP⊥ CF$
∴ $AB// OP$，可得 $△ CAB ∽ △ CPO$
∴ $\frac{AB}{PO}=\frac{CB}{CO}$
由题意得：$AB=1\ \mathrm{m}$，$CB=4\ \mathrm{m}$，$BO=4\ \mathrm{m}$，则 $CO=CB+BO=4+4=8\ \mathrm{m}$
代入比例式得：$\frac{1}{PO}=\frac{4}{8}$，解得 $PO=2\ \mathrm{m}$
同理，$DE⊥ CF$，$OP⊥ CF$，则 $DE// OP$，可得 $△ FDE ∽ △ FPO$
∴ $\frac{DE}{PO}=\frac{FE}{FO}$
由题意得：$FE=3\ \mathrm{m}$，$OE=1\ \mathrm{m}$，则 $FO=OE+FE=1+3=4\ \mathrm{m}$
将$PO=2\ \mathrm{m}$代入比例式得：$\frac{DE}{2}=\frac{3}{4}$，解得 $DE=1.5\ \mathrm{m}$
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的应用，平行投影
【点评】
本题结合生活场景考查相似三角形的实际应用，解题关键是准确找到两组相似三角形，理清各段线段的长度关系，先求出中间量梯子的高度，再计算椅子高度，避免混淆线段总长。
【难度系数】
0.7
