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例1 如图,有一块
三角形余料ABC,它的面积为$36\ \mathrm{cm}^2$,边$BC=12\ \mathrm{cm}$,要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上,则加工成的正方形零件的边长为 cm.
【思路导析】过点A作$AM ⊥ BC$于点M,交EF于点N,证明$△ AEF ∽ △ ABC$.
【请你解答】.
三角形余料ABC,它的面积为$36\ \mathrm{cm}^2$,边$BC=12\ \mathrm{cm}$,要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上,则加工成的正方形零件的边长为 cm.【思路导析】过点A作$AM ⊥ BC$于点M,交EF于点N,证明$△ AEF ∽ △ ABC$.
【请你解答】.
答案
解：
过点A作$AM ⊥ BC$于点M，交EF于点N。
$\because S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · BC · AM = 36$，$BC=12\ \mathrm{cm}$，
$\therefore \frac{1}{2} × 12 × AM = 36$，
解得 $AM = 6\ \mathrm{cm}$。
设正方形零件的边长为$x\ \mathrm{cm}$，
$\because$ 四边形EFQP是正方形，
$\therefore EF // BC$，$EF = QP = x\ \mathrm{cm}$，
$\therefore NM = EQ = x\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AN = AM - NM = (6 - x)\ \mathrm{cm}$。
$\because EF // BC$，
$\therefore △ AEF ∽ △ ABC$，
由相似三角形对应高的比等于相似比，得：
$\frac{EF}{BC} = \frac{AN}{AM}$
即 $\frac{x}{12} = \frac{6 - x}{6}$，
解得 $x = 4$。
答：加工成的正方形零件的边长为$\boldsymbol{4}$ cm。
过点A作$AM ⊥ BC$于点M，交EF于点N。
$\because S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · BC · AM = 36$，$BC=12\ \mathrm{cm}$，
$\therefore \frac{1}{2} × 12 × AM = 36$，
解得 $AM = 6\ \mathrm{cm}$。
设正方形零件的边长为$x\ \mathrm{cm}$，
$\because$ 四边形EFQP是正方形，
$\therefore EF // BC$，$EF = QP = x\ \mathrm{cm}$，
$\therefore NM = EQ = x\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AN = AM - NM = (6 - x)\ \mathrm{cm}$。
$\because EF // BC$，
$\therefore △ AEF ∽ △ ABC$，
由相似三角形对应高的比等于相似比，得：
$\frac{EF}{BC} = \frac{AN}{AM}$
即 $\frac{x}{12} = \frac{6 - x}{6}$，
解得 $x = 4$。
答：加工成的正方形零件的边长为$\boldsymbol{4}$ cm。
解析
【分析】
本题求解三角形内接正方形的边长，解题思路如下：1. 先根据已知的三角形面积和底边BC的长度，求出BC边上的高AM；2. 由正方形对边平行的性质可得EF//BC，即可判定△AEF∽△ABC；3. 利用相似三角形对应高的比等于相似比的性质，结合总高与正方形边长的数量关系，设正方形边长为未知数列方程，求解即可得到结果。
【解析】
过点A作$AM ⊥ BC$于点M，交EF于点N。
$\because S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · BC · AM = 36$，$BC=12\ \mathrm{cm}$，
$\therefore \frac{1}{2} × 12 × AM = 36$，
解得 $AM = 6\ \mathrm{cm}$。
设正方形零件的边长为$x\ \mathrm{cm}$，
$\because$ 四边形EFQP是正方形，
$\therefore EF // BC$，$EF = x\ \mathrm{cm}$，$NM = x\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AN = AM - NM = (6 - x)\ \mathrm{cm}$。
$\because EF // BC$，
$\therefore △ AEF ∽ △ ABC$，
根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{EF}{BC} = \frac{AN}{AM}$
代入数据得 $\frac{x}{12} = \frac{6 - x}{6}$，
解得 $x = 4$。
【答案】
4
【知识点】
相似三角形的性质，三角形面积计算，正方形的性质
【点评】
本题是相似三角形实际应用的典型题型，解题核心是通过作高构造相似三角形，利用相似三角形的性质建立方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
本题求解三角形内接正方形的边长，解题思路如下：1. 先根据已知的三角形面积和底边BC的长度，求出BC边上的高AM；2. 由正方形对边平行的性质可得EF//BC，即可判定△AEF∽△ABC；3. 利用相似三角形对应高的比等于相似比的性质，结合总高与正方形边长的数量关系，设正方形边长为未知数列方程，求解即可得到结果。
【解析】
过点A作$AM ⊥ BC$于点M，交EF于点N。
$\because S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · BC · AM = 36$，$BC=12\ \mathrm{cm}$，
$\therefore \frac{1}{2} × 12 × AM = 36$，
解得 $AM = 6\ \mathrm{cm}$。
设正方形零件的边长为$x\ \mathrm{cm}$，
$\because$ 四边形EFQP是正方形，
$\therefore EF // BC$，$EF = x\ \mathrm{cm}$，$NM = x\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AN = AM - NM = (6 - x)\ \mathrm{cm}$。
$\because EF // BC$，
$\therefore △ AEF ∽ △ ABC$，
根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{EF}{BC} = \frac{AN}{AM}$
代入数据得 $\frac{x}{12} = \frac{6 - x}{6}$，
解得 $x = 4$。
【答案】
4
【知识点】
相似三角形的性质，三角形面积计算，正方形的性质
【点评】
本题是相似三角形实际应用的典型题型，解题核心是通过作高构造相似三角形，利用相似三角形的性质建立方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
例2 根据凸透镜的成像规律，当物体到凸透镜的距离大于两倍焦距时，会在凸透镜的另一侧形成倒立、缩小的实像。如图所示，物体AB到凸透镜EF的距离$OA＝8$，凸透镜的焦距$OF_1＝OF_2＝3$，则实像与物体的比值$\frac{CD}{AB}$为（）
A.$\frac{3}{8}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{4}{5}$
D.$\frac{2}{3}$
【思路导析】证明$△ ABF_1 ∽ △ OFF_1$，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答。
【请你解答】.
探究解题规律 总结方法技巧
典例探究 跨学科综合应用
A.$\frac{3}{8}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{4}{5}$
D.$\frac{2}{3}$
【思路导析】证明$△ ABF_1 ∽ △ OFF_1$，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答。
【请你解答】.
探究解题规律 总结方法技巧
典例探究 跨学科综合应用
答案
B
解析
【分析】
本题结合凸透镜成像规律考查相似三角形的应用，解题思路如下：1. 首先观察到AB、OF都垂直于主光轴AC，可得AB//OF，结合对顶角相等可证明△ABF₁∽△OFF₁，得到AB与OF的比例关系；2. 再根据凸透镜的光学性质：过焦点的光线经折射后平行于主光轴，可得折射光线FD平行于AC，结合CD、OF都垂直于AC，可判定四边形OFDC是矩形，得到CD=OF的等量关系；3. 最后将CD替换为OF代入比例式，即可求出CD与AB的比值。
【解析】
解：
∵ AB⊥AC，EF⊥AC，
∴ AB//OF，
∴ ∠BAF₁=∠FOF₁=90°，
又
∵ ∠AF₁B=∠OF₁F（对顶角相等），
∴ △ABF₁∽△OFF₁，
∴ $\frac{AB}{OF}=\frac{AF_1}{OF_1}$。
由题意可知OA=8，OF₁=3，
∴ AF₁=OA-OF₁=8-3=5，
代入比例式得：$\frac{AB}{OF}=\frac{5}{3}$，即$OF=\frac{3}{5}AB$。
根据凸透镜成像性质，过焦点的光线经折射后平行于主光轴，故FD//AC，
又
∵ CD⊥AC，OF⊥AC，
∴ 四边形OFDC是矩形，
∴ CD=OF，
∴ $\frac{CD}{AB}=\frac{\frac{3}{5}AB}{AB}=\frac{3}{5}$。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，矩形的性质
【点评】
本题属于跨学科综合题，结合物理凸透镜成像规律考查数学相似、矩形相关知识的应用，解题的关键是结合光学性质找到边的位置关系和等量关系，能较好地考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.65
本题结合凸透镜成像规律考查相似三角形的应用，解题思路如下：1. 首先观察到AB、OF都垂直于主光轴AC，可得AB//OF，结合对顶角相等可证明△ABF₁∽△OFF₁，得到AB与OF的比例关系；2. 再根据凸透镜的光学性质：过焦点的光线经折射后平行于主光轴，可得折射光线FD平行于AC，结合CD、OF都垂直于AC，可判定四边形OFDC是矩形，得到CD=OF的等量关系；3. 最后将CD替换为OF代入比例式，即可求出CD与AB的比值。
【解析】
解：
∵ AB⊥AC，EF⊥AC，
∴ AB//OF，
∴ ∠BAF₁=∠FOF₁=90°，
又
∵ ∠AF₁B=∠OF₁F（对顶角相等），
∴ △ABF₁∽△OFF₁，
∴ $\frac{AB}{OF}=\frac{AF_1}{OF_1}$。
由题意可知OA=8，OF₁=3，
∴ AF₁=OA-OF₁=8-3=5，
代入比例式得：$\frac{AB}{OF}=\frac{5}{3}$，即$OF=\frac{3}{5}AB$。
根据凸透镜成像性质，过焦点的光线经折射后平行于主光轴，故FD//AC，
又
∵ CD⊥AC，OF⊥AC，
∴ 四边形OFDC是矩形，
∴ CD=OF，
∴ $\frac{CD}{AB}=\frac{\frac{3}{5}AB}{AB}=\frac{3}{5}$。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，矩形的性质
【点评】
本题属于跨学科综合题，结合物理凸透镜成像规律考查数学相似、矩形相关知识的应用，解题的关键是结合光学性质找到边的位置关系和等量关系，能较好地考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.65
例3 如图是凸透镜成像示意图，CD是蜡烛AB通过凸透镜MN所成的虚像.已知蜡烛的高AB为2.6 cm,蜡烛AB与凸透镜MN的水平距离OB为3 cm,该凸透镜的焦距OF为4 cm,AE//OF,求像CD的高度.
【探究点拨】先证$△ CAE ∽ △ COF$,再证$△ OAB ∽ △ OCD$,得$\frac{AB}{CD}=\frac{OA}{OC}$,即可求出.
【规范解答】如图,由题意得,$AB // MN,AE // OF,AB // CD$,
∴ 四边形ABOE是平行四边形.
∴ $AE=OB=3\ \mathrm{cm}$.
∵ $AE // OF$,
∴ $△ CAE ∽ △ COF$,
∴ $\frac{AC}{OC}=\frac{AE}{OF}$,∴ $\frac{AC}{OC}=\frac{3}{4}$.
∵ $AB // CD$,∴ $△ OAB ∽ △ OCD$,
∴ $\frac{AB}{CD}=\frac{OA}{OC}$,∴ $\frac{2.6}{CD}=\frac{1}{4}$,
∴ $CD=10.4\ \mathrm{cm}$.
【探究点拨】先证$△ CAE ∽ △ COF$,再证$△ OAB ∽ △ OCD$,得$\frac{AB}{CD}=\frac{OA}{OC}$,即可求出.
【规范解答】如图,由题意得,$AB // MN,AE // OF,AB // CD$,
∴ 四边形ABOE是平行四边形.
∴ $AE=OB=3\ \mathrm{cm}$.
∵ $AE // OF$,
∴ $△ CAE ∽ △ COF$,
∴ $\frac{AC}{OC}=\frac{AE}{OF}$,∴ $\frac{AC}{OC}=\frac{3}{4}$.
∵ $AB // CD$,∴ $△ OAB ∽ △ OCD$,
∴ $\frac{AB}{CD}=\frac{OA}{OC}$,∴ $\frac{2.6}{CD}=\frac{1}{4}$,
∴ $CD=10.4\ \mathrm{cm}$.
答案
解：由题意得，$AB// MN$，$AE// OF$，$AB// CD$，
∴ 四边形ABOE是平行四边形。
∴ $AE=OB=3\ \mathrm{cm}$。
∵ $AE// OF$，
∴ $△ CAE ∽ △ COF$，
∴ $\frac{AC}{OC}=\frac{AE}{OF}$，
代入$AE=3\ \mathrm{cm}$，$OF=4\ \mathrm{cm}$，得$\frac{AC}{OC}=\frac{3}{4}$。
由$\frac{AC}{OC}=\frac{3}{4}$可得$\frac{OC-OA}{OC}=\frac{3}{4}$，即$\frac{OA}{OC}=\frac{1}{4}$。
∵ $AB// CD$，
∴ $△ OAB ∽ △ OCD$，
∴ $\frac{AB}{CD}=\frac{OA}{OC}$，
代入$AB=2.6\ \mathrm{cm}$，得$\frac{2.6}{CD}=\frac{1}{4}$，
解得$CD=10.4\ \mathrm{cm}$。
答：像CD的高度为$10.4\ \mathrm{cm}$。
∴ 四边形ABOE是平行四边形。
∴ $AE=OB=3\ \mathrm{cm}$。
∵ $AE// OF$，
∴ $△ CAE ∽ △ COF$，
∴ $\frac{AC}{OC}=\frac{AE}{OF}$，
代入$AE=3\ \mathrm{cm}$，$OF=4\ \mathrm{cm}$，得$\frac{AC}{OC}=\frac{3}{4}$。
由$\frac{AC}{OC}=\frac{3}{4}$可得$\frac{OC-OA}{OC}=\frac{3}{4}$，即$\frac{OA}{OC}=\frac{1}{4}$。
∵ $AB// CD$，
∴ $△ OAB ∽ △ OCD$，
∴ $\frac{AB}{CD}=\frac{OA}{OC}$，
代入$AB=2.6\ \mathrm{cm}$，得$\frac{2.6}{CD}=\frac{1}{4}$，
解得$CD=10.4\ \mathrm{cm}$。
答：像CD的高度为$10.4\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
要求像CD的高度，可利用相似三角形对应边成比例的性质求解，思考路径如下：首先根据已知的平行条件，判定四边形ABOE是平行四边形，得到AE与OB长度相等；再由AE//OF证明△CAE∽△COF，推导得出OA与OC的比值；最后根据AB//CD证明△OAB∽△OCD，利用相似三角形对应边的比例关系代入已知数值，即可求出CD的高度。
【解析】
由题意得，$AB// MN$，$AE// OF$，$AB// CD$，
∴ 四边形ABOE是平行四边形。
∴ $AE=OB=3\ \mathrm{cm}$。
∵ $AE// OF$，
∴ $△ CAE ∽ △ COF$，
∴ $\frac{AC}{OC}=\frac{AE}{OF}$，
代入$AE=3\ \mathrm{cm}$，$OF=4\ \mathrm{cm}$，得$\frac{AC}{OC}=\frac{3}{4}$。
由$\frac{AC}{OC}=\frac{3}{4}$可得$\frac{OC-OA}{OC}=\frac{3}{4}$，即$\frac{OA}{OC}=\frac{1}{4}$。
∵ $AB// CD$，
∴ $△ OAB ∽ △ OCD$，
∴ $\frac{AB}{CD}=\frac{OA}{OC}$，
代入$AB=2.6\ \mathrm{cm}$，得$\frac{2.6}{CD}=\frac{1}{4}$，
解得$CD=10.4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
像CD的高度为$10.4\ \mathrm{cm}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质
【点评】
本题结合凸透镜成像的实际情境考查几何知识的综合应用，解题核心是通过平行线找到相似三角形，推导对应边的比例关系，体现了数学知识的跨学科应用特点，能锻炼学生结合实际场景解决问题的能力。
【难度系数】
0.7
要求像CD的高度，可利用相似三角形对应边成比例的性质求解，思考路径如下：首先根据已知的平行条件，判定四边形ABOE是平行四边形，得到AE与OB长度相等；再由AE//OF证明△CAE∽△COF，推导得出OA与OC的比值；最后根据AB//CD证明△OAB∽△OCD，利用相似三角形对应边的比例关系代入已知数值，即可求出CD的高度。
【解析】
由题意得，$AB// MN$，$AE// OF$，$AB// CD$，
∴ 四边形ABOE是平行四边形。
∴ $AE=OB=3\ \mathrm{cm}$。
∵ $AE// OF$，
∴ $△ CAE ∽ △ COF$，
∴ $\frac{AC}{OC}=\frac{AE}{OF}$，
代入$AE=3\ \mathrm{cm}$，$OF=4\ \mathrm{cm}$，得$\frac{AC}{OC}=\frac{3}{4}$。
由$\frac{AC}{OC}=\frac{3}{4}$可得$\frac{OC-OA}{OC}=\frac{3}{4}$，即$\frac{OA}{OC}=\frac{1}{4}$。
∵ $AB// CD$，
∴ $△ OAB ∽ △ OCD$，
∴ $\frac{AB}{CD}=\frac{OA}{OC}$，
代入$AB=2.6\ \mathrm{cm}$，得$\frac{2.6}{CD}=\frac{1}{4}$，
解得$CD=10.4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
像CD的高度为$10.4\ \mathrm{cm}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质
【点评】
本题结合凸透镜成像的实际情境考查几何知识的综合应用，解题核心是通过平行线找到相似三角形，推导对应边的比例关系，体现了数学知识的跨学科应用特点，能锻炼学生结合实际场景解决问题的能力。
【难度系数】
0.7
1.如图，MN是凸透镜的主光轴，点O是光心，点F是焦点.若蜡烛PM的像为NB，测量得到OM：ON=5：3，蜡烛高为10 cm，则像BN的高为()
A.4 cm
B.5 cm
C.6 cm
D.7 cm
A.4 cm
B.5 cm
C.6 cm
D.7 cm
答案
C
解析
【分析】
首先结合凸透镜过光心的光线传播方向不变的特点，可知P、O、B三点共线；蜡烛PM和像NB都垂直于主光轴MN，可得两个直角相等，结合对顶角相等即可判定△PMO和△BNO相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知数据就能求出像BN的高度。
【解析】
∵ PM⊥MN，NB⊥MN，
∴ ∠PMO = ∠BNO = 90°，
∵ 过凸透镜光心的光线传播方向不变，因此P、O、B三点共线，
∴ ∠POM = ∠BON（对顶角相等），
∴ △PMO ∽ △BNO（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{PM}{BN}=\frac{OM}{ON}$，
已知$OM:ON=5:3$，$PM=10\ \mathrm{cm}$，代入得：
$\frac{10}{BN}=\frac{5}{3}$，
解得 $BN=\frac{10×3}{5}=6\ \mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题结合光学场景考查相似三角形的实际应用，解题的核心是找到隐藏的共线关系，进而判定三角形相似，再通过相似比计算未知边长，是跨学科的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
首先结合凸透镜过光心的光线传播方向不变的特点，可知P、O、B三点共线；蜡烛PM和像NB都垂直于主光轴MN，可得两个直角相等，结合对顶角相等即可判定△PMO和△BNO相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知数据就能求出像BN的高度。
【解析】
∵ PM⊥MN，NB⊥MN，
∴ ∠PMO = ∠BNO = 90°，
∵ 过凸透镜光心的光线传播方向不变，因此P、O、B三点共线，
∴ ∠POM = ∠BON（对顶角相等），
∴ △PMO ∽ △BNO（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{PM}{BN}=\frac{OM}{ON}$，
已知$OM:ON=5:3$，$PM=10\ \mathrm{cm}$，代入得：
$\frac{10}{BN}=\frac{5}{3}$，
解得 $BN=\frac{10×3}{5}=6\ \mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题结合光学场景考查相似三角形的实际应用，解题的核心是找到隐藏的共线关系，进而判定三角形相似，再通过相似比计算未知边长，是跨学科的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
