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6.如图,某超市在一楼至二楼之间安装有电梯,天花板与地面平行.张强扛着箱子(人与箱子的总高度约为2.2 m)乘电梯刚好安全通过,请你根据图中数据计算两层楼之间的高约为()
A.5.5 m
B.6.2 m
C.11 m
D.2.2 m
A.5.5 m
B.6.2 m
C.11 m
D.2.2 m
答案
A
解析
【分析】
本题是相似三角形在实际生活中的应用类题目，解题思路如下：首先观察图形可知电梯坡面为AC，天花板与地面平行，我们可以通过作辅助线构造出两个相似的直角三角形；再结合题目给出的数值，找到相似三角形的对应边，利用相似三角形对应边成比例的性质列方程，即可求出两层楼的高度。
【解析】
设两层楼之间的高为$ x \, \mathrm{m} $，过点$ D $作$ DM ⊥ AB $于点$ M $。
由题意得：$ DM=4\,\mathrm{m} $，$ AM=2.2\,\mathrm{m} $，$ BC=10\,\mathrm{m} $，$ ∠ AMD=∠ ABC=90° $。
又$ \because ∠ A $是公共角，
$ \therefore △ AMD ∽ △ ABC $（两角对应相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$ \frac{AM}{AB}=\frac{DM}{BC} $，代入数据得$ \frac{2.2}{x}=\frac{4}{10} $，
解得$ x=\frac{2.2×10}{4}=5.5 $。
即两层楼之间的高约为$ 5.5\,\mathrm{m} $。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的实际应用
【点评】
本题结合生活中的电梯场景考查相似三角形的应用，解题的关键是结合平行关系构造相似三角形，找到对应边的比例关系列方程求解，贴近生活，难度较低。
【难度系数】
0.7
本题是相似三角形在实际生活中的应用类题目，解题思路如下：首先观察图形可知电梯坡面为AC，天花板与地面平行，我们可以通过作辅助线构造出两个相似的直角三角形；再结合题目给出的数值，找到相似三角形的对应边，利用相似三角形对应边成比例的性质列方程，即可求出两层楼的高度。
【解析】
设两层楼之间的高为$ x \, \mathrm{m} $，过点$ D $作$ DM ⊥ AB $于点$ M $。
由题意得：$ DM=4\,\mathrm{m} $，$ AM=2.2\,\mathrm{m} $，$ BC=10\,\mathrm{m} $，$ ∠ AMD=∠ ABC=90° $。
又$ \because ∠ A $是公共角，
$ \therefore △ AMD ∽ △ ABC $（两角对应相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$ \frac{AM}{AB}=\frac{DM}{BC} $，代入数据得$ \frac{2.2}{x}=\frac{4}{10} $，
解得$ x=\frac{2.2×10}{4}=5.5 $。
即两层楼之间的高约为$ 5.5\,\mathrm{m} $。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的实际应用
【点评】
本题结合生活中的电梯场景考查相似三角形的应用，解题的关键是结合平行关系构造相似三角形，找到对应边的比例关系列方程求解，贴近生活，难度较低。
【难度系数】
0.7
7.如图,一圆柱形油桶高1.5m,用一根2m长的木棒从桶盖小口斜插至桶底另一端的小口处,抽出木棒后,量得上面没浸油的部分为1.2m,求桶内油面高度.
答案
解：
由题意可知，$DE// BC$，
$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$，
$\therefore \dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}$。
已知$AB=2\ \mathrm{m}$，$AD=1.2\ \mathrm{m}$，$AC=1.5\ \mathrm{m}$，代入得：
$\dfrac{1.2}{2}=\dfrac{AE}{1.5}$，
解得$AE=0.9\ \mathrm{m}$，
$\therefore$ 桶内油面高度$EC=AC-AE=1.5-0.9=0.6\ \mathrm{m}$。
答：桶内油面高度为$0.6\ \mathrm{m}$。
由题意可知，$DE// BC$，
$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$，
$\therefore \dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}$。
已知$AB=2\ \mathrm{m}$，$AD=1.2\ \mathrm{m}$，$AC=1.5\ \mathrm{m}$，代入得：
$\dfrac{1.2}{2}=\dfrac{AE}{1.5}$，
解得$AE=0.9\ \mathrm{m}$，
$\therefore$ 桶内油面高度$EC=AC-AE=1.5-0.9=0.6\ \mathrm{m}$。
答：桶内油面高度为$0.6\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
解题时首先结合圆柱的特征分析：圆柱形油桶的底面和油面均为水平状态，因此$DE// BC$，可推出$△ ADE$与$△ ABC$相似；再根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的木棒总长、未浸油部分长度、油桶总高，求出小口到油面的垂直高度$AE$；最后用油桶总高减去$AE$，即可得到桶内油面的高度。
【解析】
由题意可知$DE// BC$，
$\therefore ∠ ADE=∠ ABC$，$∠ AED=∠ ACB$，
$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$，
$\therefore \dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}$。
已知$AB=2\ \mathrm{m}$，$AD=1.2\ \mathrm{m}$，$AC=1.5\ \mathrm{m}$，代入得：
$\dfrac{1.2}{2}=\dfrac{AE}{1.5}$，
解得$AE=0.9\ \mathrm{m}$，
$\therefore$ 桶内油面高度$EC=AC-AE=1.5-0.9=0.6\ \mathrm{m}$。
【答案】
$\boxed{0.6\ \mathrm{m}}$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，相似三角形的应用
【点评】
本题是相似三角形在实际生活中的基础应用，解题核心是通过平行关系判定三角形相似，再利用相似的性质建立比例式求解，计算时需注意所求为浸油部分对应的高度，不要误将$AE$作为最终结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合圆柱的特征分析：圆柱形油桶的底面和油面均为水平状态，因此$DE// BC$，可推出$△ ADE$与$△ ABC$相似；再根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的木棒总长、未浸油部分长度、油桶总高，求出小口到油面的垂直高度$AE$；最后用油桶总高减去$AE$，即可得到桶内油面的高度。
【解析】
由题意可知$DE// BC$，
$\therefore ∠ ADE=∠ ABC$，$∠ AED=∠ ACB$，
$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$，
$\therefore \dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}$。
已知$AB=2\ \mathrm{m}$，$AD=1.2\ \mathrm{m}$，$AC=1.5\ \mathrm{m}$，代入得：
$\dfrac{1.2}{2}=\dfrac{AE}{1.5}$，
解得$AE=0.9\ \mathrm{m}$，
$\therefore$ 桶内油面高度$EC=AC-AE=1.5-0.9=0.6\ \mathrm{m}$。
【答案】
$\boxed{0.6\ \mathrm{m}}$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，相似三角形的应用
【点评】
本题是相似三角形在实际生活中的基础应用，解题核心是通过平行关系判定三角形相似，再利用相似的性质建立比例式求解，计算时需注意所求为浸油部分对应的高度，不要误将$AE$作为最终结果。
【难度系数】
0.8
8.在数学活动课上，老师带领数学小组测量大树AB的高度.如图，数学小组发现大树与教学楼的距离为BC=5 m，大树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在教学楼的墙上，墙上的影子CD高为2 m，已知此时高1.2 m的竹竿在水平地面上的影子长1 m，那么这棵大树的高度是多少？
答案
解：过点D作DE⊥AB，垂足为E。
∵ AB⊥BC，DC⊥BC，DE⊥AB，
∴ 四边形BCDE是矩形，
∴ BE = CD = 2 m，DE = BC = 5 m。
由同一时刻物高与影长成比例，可得：
$\frac{AE}{DE}=\frac{1.2}{1}$
将DE=5 m代入，得AE = 1.2×5 = 6 m。
∴ AB = AE + BE = 6 + 2 = 8 m。
答：这棵大树的高度是8 m。
∵ AB⊥BC，DC⊥BC，DE⊥AB，
∴ 四边形BCDE是矩形，
∴ BE = CD = 2 m，DE = BC = 5 m。
由同一时刻物高与影长成比例，可得：
$\frac{AE}{DE}=\frac{1.2}{1}$
将DE=5 m代入，得AE = 1.2×5 = 6 m。
∴ AB = AE + BE = 6 + 2 = 8 m。
答：这棵大树的高度是8 m。
解析
【分析】
这是一道利用平行投影规律求解物体高度的实际应用题。解题思路如下：首先，落在墙上的影子CD的高度对应大树不需要投影的部分，因此我们可以通过作辅助线拆分大树高度：过D作DE垂直AB，将AB拆为AE和BE两段，其中BE和CD长度相等，剩余部分AE的影长刚好是DE（也就是BC的长度）；再利用同一时刻物高与影长成正比的规律计算AE的长度，最后将两段长度相加即可得到大树的总高度。
【解析】
过点D作DE⊥AB，垂足为E。
∵ AB⊥BC，DC⊥BC，DE⊥AB，
∴ 四边形BCDE是矩形，
∴ BE = CD = 2 m，DE = BC = 5 m。
由同一时刻平行投影中物高与影长成比例，可得：
$\frac{AE}{DE}=\frac{1.2}{1}$
将DE=5 m代入，得AE = 1.2×5 = 6 m。
∴ AB = AE + BE = 6 + 2 = 8 m。
【答案】8 m
【知识点】
相似三角形应用，矩形的性质，平行投影规律
【点评】
本题是平行投影的常见应用题型，解题核心是通过作辅助线将有遮挡的投影问题转化为标准的物高影长比例问题，理清各段长度的对应关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
这是一道利用平行投影规律求解物体高度的实际应用题。解题思路如下：首先，落在墙上的影子CD的高度对应大树不需要投影的部分，因此我们可以通过作辅助线拆分大树高度：过D作DE垂直AB，将AB拆为AE和BE两段，其中BE和CD长度相等，剩余部分AE的影长刚好是DE（也就是BC的长度）；再利用同一时刻物高与影长成正比的规律计算AE的长度，最后将两段长度相加即可得到大树的总高度。
【解析】
过点D作DE⊥AB，垂足为E。
∵ AB⊥BC，DC⊥BC，DE⊥AB，
∴ 四边形BCDE是矩形，
∴ BE = CD = 2 m，DE = BC = 5 m。
由同一时刻平行投影中物高与影长成比例，可得：
$\frac{AE}{DE}=\frac{1.2}{1}$
将DE=5 m代入，得AE = 1.2×5 = 6 m。
∴ AB = AE + BE = 6 + 2 = 8 m。
【答案】8 m
【知识点】
相似三角形应用，矩形的性质，平行投影规律
【点评】
本题是平行投影的常见应用题型，解题核心是通过作辅助线将有遮挡的投影问题转化为标准的物高影长比例问题，理清各段长度的对应关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
9.如图,小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB,他调整自己的位置,设法使斜边DF保持水平,并且边DE与点B在同一直线上,已知纸板的两条直角边DE=40 cm,EF=20 cm,测得边DF离地面的高度AC=1.5 m,CD=8 m,求树高AB.
答案
解：
∵ ∠D = ∠D，∠DEF = ∠DCB = 90°，
∴ △DEF ∽ △DCB，
∴ $\frac{DE}{DC}=\frac{EF}{CB}$。
统一单位：$DE=40\ \mathrm{cm}=0.4\ \mathrm{m}$，$EF=20\ \mathrm{cm}=0.2\ \mathrm{m}$，
将$DE=0.4\ \mathrm{m}$，$EF=0.2\ \mathrm{m}$，$CD=8\ \mathrm{m}$代入得：
$\frac{0.4}{8}=\frac{0.2}{CB}$，
解得 $CB=4\ \mathrm{m}$，
∴ $AB = AC + CB = 1.5 + 4 = 5.5\ (\mathrm{m})$。
答：树高AB为5.5m。
∵ ∠D = ∠D，∠DEF = ∠DCB = 90°，
∴ △DEF ∽ △DCB，
∴ $\frac{DE}{DC}=\frac{EF}{CB}$。
统一单位：$DE=40\ \mathrm{cm}=0.4\ \mathrm{m}$，$EF=20\ \mathrm{cm}=0.2\ \mathrm{m}$，
将$DE=0.4\ \mathrm{m}$，$EF=0.2\ \mathrm{m}$，$CD=8\ \mathrm{m}$代入得：
$\frac{0.4}{8}=\frac{0.2}{CB}$，
解得 $CB=4\ \mathrm{m}$，
∴ $AB = AC + CB = 1.5 + 4 = 5.5\ (\mathrm{m})$。
答：树高AB为5.5m。
解析
【分析】
要解决本题，首先观察图形特征：△DEF和△DCB存在公共角∠D，且两个三角形均含直角，满足相似三角形的判定条件，因此可先证明两三角形相似。再利用相似三角形对应边成比例的性质求出BC的长度，最后树高AB为人眼离地面的高度AC与BC的和，计算前要注意统一单位，避免单位不统一导致计算错误。
【解析】
解：
∵ ∠D = ∠D，∠DEF = ∠DCB = 90°，
∴ △DEF ∽ △DCB（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ 相似三角形对应边成比例，即$\frac{DE}{DC}=\frac{EF}{CB}$。
统一单位：$DE=40\ \mathrm{cm}=0.4\ \mathrm{m}$，$EF=20\ \mathrm{cm}=0.2\ \mathrm{m}$，
将$DE=0.4\ \mathrm{m}$，$EF=0.2\ \mathrm{m}$，$CD=8\ \mathrm{m}$代入比例式得：
$\frac{0.4}{8}=\frac{0.2}{CB}$，
解得 $CB=4\ \mathrm{m}$，
∴ $AB = AC + CB = 1.5 + 4 = 5.5\ (\mathrm{m})$。
【答案】
5.5 m
【知识点】
相似三角形判定；相似三角形性质；相似三角形应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量高度中的典型应用，解题核心是准确识别出相似三角形，利用相似的性质建立比例关系求解，计算时要注意先统一单位，避免因单位不一致出现运算错误。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先观察图形特征：△DEF和△DCB存在公共角∠D，且两个三角形均含直角，满足相似三角形的判定条件，因此可先证明两三角形相似。再利用相似三角形对应边成比例的性质求出BC的长度，最后树高AB为人眼离地面的高度AC与BC的和，计算前要注意统一单位，避免单位不统一导致计算错误。
【解析】
解：
∵ ∠D = ∠D，∠DEF = ∠DCB = 90°，
∴ △DEF ∽ △DCB（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ 相似三角形对应边成比例，即$\frac{DE}{DC}=\frac{EF}{CB}$。
统一单位：$DE=40\ \mathrm{cm}=0.4\ \mathrm{m}$，$EF=20\ \mathrm{cm}=0.2\ \mathrm{m}$，
将$DE=0.4\ \mathrm{m}$，$EF=0.2\ \mathrm{m}$，$CD=8\ \mathrm{m}$代入比例式得：
$\frac{0.4}{8}=\frac{0.2}{CB}$，
解得 $CB=4\ \mathrm{m}$，
∴ $AB = AC + CB = 1.5 + 4 = 5.5\ (\mathrm{m})$。
【答案】
5.5 m
【知识点】
相似三角形判定；相似三角形性质；相似三角形应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量高度中的典型应用，解题核心是准确识别出相似三角形，利用相似的性质建立比例关系求解，计算时要注意先统一单位，避免因单位不一致出现运算错误。
【难度系数】
0.7
10.如图,桥两侧河岸平行,先在河的对岸选定一个目标作为点A,再在河岸的这一边选取点B和点C,分别在AB,AC的延长线上取点D,E,使得$DE// BC$.经测量,$BC=120\ \mathrm{m}$,$DE=200\ \mathrm{m}$,且点E到河岸BC的距离为60 m.已知$AF⊥ BC$,垂足为F,请你根据提供的数据,计算桥AF的长度.
答案
解：设AF的长度为$x\ \mathrm{m}$。
$\because DE// BC$，
$\therefore △ ABC ∽ △ ADE$。
根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{BC}{DE}=\frac{AF}{AF + 60}$
将$BC=120$，$DE=200$代入得：
$\frac{120}{200}=\frac{x}{x+60}$
解得：$x=90$，
经检验，$x=90$是原方程的解，且符合题意。
答：桥AF的长度为90 m。
$\because DE// BC$，
$\therefore △ ABC ∽ △ ADE$。
根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{BC}{DE}=\frac{AF}{AF + 60}$
将$BC=120$，$DE=200$代入得：
$\frac{120}{200}=\frac{x}{x+60}$
解得：$x=90$，
经检验，$x=90$是原方程的解，且符合题意。
答：桥AF的长度为90 m。
解析
【分析】
本题是利用相似三角形解决实际测量问题，解题思路如下：1. 由$DE// BC$，可判定$△ ABC$和$△ ADE$相似；2. 根据相似三角形的性质，对应高的比等于相似比，其中$△ ABC$的对应高为$AF$，$△ ADE$的对应高为$AF$与点E到BC的距离60m之和；3. 设AF的长度为$x\ \mathrm{m}$，根据相似比列比例式，求解分式方程并检验，即可得到AF的长度。
【解析】
设AF的长度为$x\ \mathrm{m}$。
$\because DE// BC$，
$\therefore △ ABC ∽ △ ADE$。
根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{BC}{DE}=\frac{AF}{AF + 60}$
将$BC=120$，$DE=200$代入得：
$\frac{120}{200}=\frac{x}{x+60}$
交叉相乘得$120(x+60)=200x$，
整理得$80x=7200$，
解得：$x=90$，
经检验，$x=90$是原方程的解，且符合题意。
【答案】
$90\ \mathrm{m}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；分式方程的应用
【点评】
本题结合实际测量场景考查相似三角形的应用，解题核心是准确识别相似三角形，找准对应高的数量关系列比例式求解，需要注意分式方程的解要检验是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
本题是利用相似三角形解决实际测量问题，解题思路如下：1. 由$DE// BC$，可判定$△ ABC$和$△ ADE$相似；2. 根据相似三角形的性质，对应高的比等于相似比，其中$△ ABC$的对应高为$AF$，$△ ADE$的对应高为$AF$与点E到BC的距离60m之和；3. 设AF的长度为$x\ \mathrm{m}$，根据相似比列比例式，求解分式方程并检验，即可得到AF的长度。
【解析】
设AF的长度为$x\ \mathrm{m}$。
$\because DE// BC$，
$\therefore △ ABC ∽ △ ADE$。
根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{BC}{DE}=\frac{AF}{AF + 60}$
将$BC=120$，$DE=200$代入得：
$\frac{120}{200}=\frac{x}{x+60}$
交叉相乘得$120(x+60)=200x$，
整理得$80x=7200$，
解得：$x=90$，
经检验，$x=90$是原方程的解，且符合题意。
【答案】
$90\ \mathrm{m}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；分式方程的应用
【点评】
本题结合实际测量场景考查相似三角形的应用，解题核心是准确识别相似三角形，找准对应高的数量关系列比例式求解，需要注意分式方程的解要检验是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
