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2.如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB//CD，AB = 2 m，CD = 5 m，点P到CD的距离是3 m，则P到AB的距离是（）
A.$\frac{5}{6}$ m
B.$\frac{6}{7}$ m
C.$\frac{6}{5}$ m
D.$\frac{10}{3}$ m
A.$\frac{5}{6}$ m
B.$\frac{6}{7}$ m
C.$\frac{6}{5}$ m
D.$\frac{10}{3}$ m
答案
C
解析
【分析】
首先观察到AB平行于CD，可判定△PAB与△PCD相似，根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于对应边的相似比。我们设P到AB的距离为未知数，结合已知的AB、CD长度，以及P到CD的距离，列比例式即可求解。
【解析】
∵AB//CD，
∴∠PAB=∠C，∠PBA=∠D，
∴△PAB∽△PCD（两角分别相等的两个三角形相似）。
设点P到AB的距离为$ h \, \mathrm{m} $，
根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{h}{\mathrm{点}P\mathrm{到}CD\mathrm{的距离}} = \frac{AB}{CD}$
代入已知数据$ AB=2\,\mathrm{m} $，$ CD=5\,\mathrm{m} $，点P到CD的距离为$ 3\,\mathrm{m} $，得：
$\frac{h}{3} = \frac{2}{5}$
解得$ h = \frac{6}{5}\,\mathrm{m} $。
【答案】
C
【知识点】
1. 相似三角形的判定
2. 相似三角形的性质
3. 比例计算
【点评】
本题是相似三角形在投影问题中的典型应用，解题的关键是利用平行条件快速判定三角形相似，再结合相似三角形对应高与对应边的比例关系列式计算，熟练掌握相似三角形的核心性质就能快速解题。
【难度系数】
0.7
首先观察到AB平行于CD，可判定△PAB与△PCD相似，根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于对应边的相似比。我们设P到AB的距离为未知数，结合已知的AB、CD长度，以及P到CD的距离，列比例式即可求解。
【解析】
∵AB//CD，
∴∠PAB=∠C，∠PBA=∠D，
∴△PAB∽△PCD（两角分别相等的两个三角形相似）。
设点P到AB的距离为$ h \, \mathrm{m} $，
根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{h}{\mathrm{点}P\mathrm{到}CD\mathrm{的距离}} = \frac{AB}{CD}$
代入已知数据$ AB=2\,\mathrm{m} $，$ CD=5\,\mathrm{m} $，点P到CD的距离为$ 3\,\mathrm{m} $，得：
$\frac{h}{3} = \frac{2}{5}$
解得$ h = \frac{6}{5}\,\mathrm{m} $。
【答案】
C
【知识点】
1. 相似三角形的判定
2. 相似三角形的性质
3. 比例计算
【点评】
本题是相似三角形在投影问题中的典型应用，解题的关键是利用平行条件快速判定三角形相似，再结合相似三角形对应高与对应边的比例关系列式计算，熟练掌握相似三角形的核心性质就能快速解题。
【难度系数】
0.7
1.如图所示，小华在地面上放置一个平面镜E来测量铁塔AB的高度，镜子与铁塔的距离EB = 20 m，镜子与小华的距离为ED=2 m时，小华刚好从镜子中看到铁塔顶端点A，已知小华的眼睛距地面的高度CD =1.5 m，则铁塔AB的高度是 m. 
答案
解：
由光的反射定律可得∠CED = ∠AEB，
∵ CD⊥DB，AB⊥DB，
∴ ∠CDE = ∠ABE = 90°，
∴ △CDE ∽ △ABE，
∴ $\frac{CD}{AB}=\frac{DE}{BE}$，
将CD=1.5 m，DE=2 m，BE=20 m代入得：
$\frac{1.5}{AB}=\frac{2}{20}$，
解得 AB = 15。
答：铁塔AB的高度是15 m。
由光的反射定律可得∠CED = ∠AEB，
∵ CD⊥DB，AB⊥DB，
∴ ∠CDE = ∠ABE = 90°，
∴ △CDE ∽ △ABE，
∴ $\frac{CD}{AB}=\frac{DE}{BE}$，
将CD=1.5 m，DE=2 m，BE=20 m代入得：
$\frac{1.5}{AB}=\frac{2}{20}$，
解得 AB = 15。
答：铁塔AB的高度是15 m。
解析
【分析】
这是利用相似三角形测量物体高度的实际问题，解题思路如下：首先依据光的反射定律得到∠CED=∠AEB，再结合CD、AB均垂直于地面，可得到两个相等的直角，由此可证明△CDE与△ABE相似；再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知线段的长度，即可求出铁塔AB的高度。
【解析】
由光的反射定律可得∠CED = ∠AEB，
∵ CD⊥DB，AB⊥DB，
∴ ∠CDE = ∠ABE = 90°，
∴ △CDE ∽ △ABE，
∴ $\frac{CD}{AB}=\frac{DE}{BE}$，
将CD=1.5 m，DE=2 m，BE=20 m代入得：
$\frac{1.5}{AB}=\frac{2}{20}$，
交叉计算得$2AB=1.5×20=30$，
解得 AB = 15。
【答案】
15
【知识点】
相似三角形判定，相似三角形性质，相似的实际应用
【点评】
本题是相似三角形结合生活常识的基础应用题，解题关键是准确找到相似三角形，将实际测量问题转化为相似三角形的比例计算问题，能够锻炼学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.8
这是利用相似三角形测量物体高度的实际问题，解题思路如下：首先依据光的反射定律得到∠CED=∠AEB，再结合CD、AB均垂直于地面，可得到两个相等的直角，由此可证明△CDE与△ABE相似；再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知线段的长度，即可求出铁塔AB的高度。
【解析】
由光的反射定律可得∠CED = ∠AEB，
∵ CD⊥DB，AB⊥DB，
∴ ∠CDE = ∠ABE = 90°，
∴ △CDE ∽ △ABE，
∴ $\frac{CD}{AB}=\frac{DE}{BE}$，
将CD=1.5 m，DE=2 m，BE=20 m代入得：
$\frac{1.5}{AB}=\frac{2}{20}$，
交叉计算得$2AB=1.5×20=30$，
解得 AB = 15。
【答案】
15
【知识点】
相似三角形判定，相似三角形性质，相似的实际应用
【点评】
本题是相似三角形结合生活常识的基础应用题，解题关键是准确找到相似三角形，将实际测量问题转化为相似三角形的比例计算问题，能够锻炼学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.8
2.如图,一条河的两岸有一段是平行的,在河的南岸边每隔5 m有一棵树,在北岸边每隔50 m有一根电线杆,小丽站在离南岸边15 m的点P处看北岸,发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住,并且这两棵树之间还有三棵树,则河的宽度为 m.
答案
解：设河的宽度为$ x \, \mathrm{m} $。
由题意可知，南岸被遮住的两棵树之间的距离为$(3+1) × 5 = 20 \, \mathrm{m}$，北岸相邻两根电线杆的间距为$ 50 \, \mathrm{m} $。
因为河的两岸平行，所以点$ P $与南岸两棵树构成的三角形，和点$ P $与北岸相邻两根电线杆构成的三角形相似。
根据相似三角形对应高的比等于相似比，列方程得：
$\frac{20}{50} = \frac{15}{15+x}$
解得：$ x = 22.5 $。
经检验，$ x=22.5 $是原方程的解，且符合实际意义。
答：河的宽度为$\boldsymbol{22.5}$ m。
由题意可知，南岸被遮住的两棵树之间的距离为$(3+1) × 5 = 20 \, \mathrm{m}$，北岸相邻两根电线杆的间距为$ 50 \, \mathrm{m} $。
因为河的两岸平行，所以点$ P $与南岸两棵树构成的三角形，和点$ P $与北岸相邻两根电线杆构成的三角形相似。
根据相似三角形对应高的比等于相似比，列方程得：
$\frac{20}{50} = \frac{15}{15+x}$
解得：$ x = 22.5 $。
经检验，$ x=22.5 $是原方程的解，且符合实际意义。
答：河的宽度为$\boldsymbol{22.5}$ m。
解析
【分析】
首先梳理已知条件：南岸树间距为5m，被遮挡的两棵树之间还有3棵树，北岸相邻电线杆间距50m，点P距离南岸15m。解题时先计算南岸被遮挡两棵树的间距，再由两岸平行可得P点分别与两岸两点构成的两个三角形相似，相似三角形对应高的比等于相似比，对应高分别是P到南岸的距离、P到北岸的距离，据此列比例方程求解，最后检验解的合理性即可。
【解析】
解：设河的宽度为$ x \, \mathrm{m} $。
由题意得，南岸被遮住的两棵树的间距为$(3+1)×5=20\,\mathrm{m}$，北岸相邻两根电线杆间距为$50\,\mathrm{m}$。
∵河的两岸平行，
∴点P与南岸两棵树构成的三角形和点P与北岸两根电线杆构成的三角形相似。
根据相似三角形对应高的比等于相似比，列方程得：
$\frac{20}{50}=\frac{15}{15+x}$
解方程：
$20(15+x)=50×15$
$300+20x=750$
$20x=450$
$x=22.5$
经检验，$x=22.5$是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
$\boldsymbol{22.5}$
【知识点】
相似三角形的应用，比例方程求解
【点评】
本题结合生活中的测量场景考查相似三角形的实际应用，解题核心是准确找到相似三角形的对应边与对应高的比例关系，难度较低，属于基础应用题。
【难度系数】
0.7
首先梳理已知条件：南岸树间距为5m，被遮挡的两棵树之间还有3棵树，北岸相邻电线杆间距50m，点P距离南岸15m。解题时先计算南岸被遮挡两棵树的间距，再由两岸平行可得P点分别与两岸两点构成的两个三角形相似，相似三角形对应高的比等于相似比，对应高分别是P到南岸的距离、P到北岸的距离，据此列比例方程求解，最后检验解的合理性即可。
【解析】
解：设河的宽度为$ x \, \mathrm{m} $。
由题意得，南岸被遮住的两棵树的间距为$(3+1)×5=20\,\mathrm{m}$，北岸相邻两根电线杆间距为$50\,\mathrm{m}$。
∵河的两岸平行，
∴点P与南岸两棵树构成的三角形和点P与北岸两根电线杆构成的三角形相似。
根据相似三角形对应高的比等于相似比，列方程得：
$\frac{20}{50}=\frac{15}{15+x}$
解方程：
$20(15+x)=50×15$
$300+20x=750$
$20x=450$
$x=22.5$
经检验，$x=22.5$是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
$\boldsymbol{22.5}$
【知识点】
相似三角形的应用，比例方程求解
【点评】
本题结合生活中的测量场景考查相似三角形的实际应用，解题核心是准确找到相似三角形的对应边与对应高的比例关系，难度较低，属于基础应用题。
【难度系数】
0.7
3.如图，测量小玻璃管口径的量具为$△ ABC$，已知AB的长为10 cm，AC被分为60等份.如果小玻璃管口DE正好对着量具的20等份处($DE// AB$)，那么小玻璃管口径DE的长是（）
A.$\frac{20}{3}$ cm
B.$\frac{19}{3}$ cm
C.7 cm
D.6 cm
A.$\frac{20}{3}$ cm
B.$\frac{19}{3}$ cm
C.7 cm
D.6 cm
答案
A
解析
【分析】
解题时首先观察到$DE// AB$，结合公共角$∠ C$，可判定$△ CDE$与$△ CAB$相似；再根据相似三角形对应边成比例的性质，找到$CD$与$CA$的长度比，代入$AB$的已知长度，即可求出$DE$的数值。
【解析】
$\because DE// AB$，
$\therefore ∠ CDE=∠ A$（两直线平行，同位角相等），
又$\because ∠ C$是$△ CDE$和$△ CAB$的公共角，
$\therefore △ CDE ∽ △ CAB$（两角分别相等的两个三角形相似）。
由题意可知，$AC$被分为60等份，$DE$对应20等份处，因此$CD:CA=(60-20):60=40:60=2:3$。
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{CD}{CA}=\frac{DE}{AB}$
已知$AB=10\ \mathrm{cm}$，代入得：
$\frac{2}{3}=\frac{DE}{10}$
解得$DE=\frac{20}{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、平行线的性质
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的基础应用题，解题核心是利用平行条件构造相似三角形，再结合比例关系计算未知边长，侧重考查学生将实际问题转化为几何模型的能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察到$DE// AB$，结合公共角$∠ C$，可判定$△ CDE$与$△ CAB$相似；再根据相似三角形对应边成比例的性质，找到$CD$与$CA$的长度比，代入$AB$的已知长度，即可求出$DE$的数值。
【解析】
$\because DE// AB$，
$\therefore ∠ CDE=∠ A$（两直线平行，同位角相等），
又$\because ∠ C$是$△ CDE$和$△ CAB$的公共角，
$\therefore △ CDE ∽ △ CAB$（两角分别相等的两个三角形相似）。
由题意可知，$AC$被分为60等份，$DE$对应20等份处，因此$CD:CA=(60-20):60=40:60=2:3$。
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{CD}{CA}=\frac{DE}{AB}$
已知$AB=10\ \mathrm{cm}$，代入得：
$\frac{2}{3}=\frac{DE}{10}$
解得$DE=\frac{20}{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、平行线的性质
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的基础应用题，解题核心是利用平行条件构造相似三角形，再结合比例关系计算未知边长，侧重考查学生将实际问题转化为几何模型的能力。
【难度系数】
0.7
4.有五本形状为长方体的书放置在方形书架上，如图所示，其中前四本竖放，第五本斜放，点G正好在书架边框上.已知每本书的厚度为5 cm，高度为20 cm，书架长为40 cm，则FI的长为()
A.5 cm
B.$\frac{40}{17}$ cm
C.$\frac{20}{17}$ cm
D.8 cm
A.5 cm
B.$\frac{40}{17}$ cm
C.$\frac{20}{17}$ cm
D.8 cm
答案
B
解析
【分析】
解题时先观察图形，可发现Rt△ECF和Rt△FIG有公共余角，因此两个三角形相似，相似比等于斜放书本的高度与厚度的比。先确定竖放4本书的总厚度，得到底部剩余线段CI的长度，再设FI的长为x，用含x的代数式表示CF和EC的长度，最后结合勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：由题意得，∠C=∠I=90°，
∵∠EFC + ∠CEF = 90°，∠EFC + ∠GFI = 90°，
∴∠CEF=∠GFI，
∴△ECF∽△FIG。
已知每本书厚5cm，高20cm，4本竖放书的总厚度为$4×5=20\mathrm{cm}$，书架总长40cm，因此$CI=40-20=20\mathrm{cm}$。
斜放的书的边$EF=20\mathrm{cm}$，$FG=5\mathrm{cm}$，故△ECF与△FIG的相似比为$\frac{EF}{FG}=\frac{20}{5}=4$。
设$FI=x\mathrm{cm}$，则$CF=CI-FI=(20-x)\mathrm{cm}$，
由相似三角形对应边成比例得：$\frac{EC}{FI}=4$，即$EC=4FI=4x\mathrm{cm}$。
在Rt△ECF中，由勾股定理得：$EC^2+CF^2=EF^2$，
代入得：$(4x)^2+(20-x)^2=20^2$，
展开整理：$16x^2+400-40x+x^2=400$，
$17x^2-40x=0$，
$x(17x-40)=0$，
解得$x_1=0$（不符合题意，舍去），$x_2=\frac{40}{17}$。
故FI的长为$\frac{40}{17}\mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题结合实际生活中书的摆放考查几何计算，解题关键是找到相似三角形，利用相似比和勾股定理建立方程求解，体现了方程思想在几何问题中的应用。
【难度系数】
0.6
解题时先观察图形，可发现Rt△ECF和Rt△FIG有公共余角，因此两个三角形相似，相似比等于斜放书本的高度与厚度的比。先确定竖放4本书的总厚度，得到底部剩余线段CI的长度，再设FI的长为x，用含x的代数式表示CF和EC的长度，最后结合勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：由题意得，∠C=∠I=90°，
∵∠EFC + ∠CEF = 90°，∠EFC + ∠GFI = 90°，
∴∠CEF=∠GFI，
∴△ECF∽△FIG。
已知每本书厚5cm，高20cm，4本竖放书的总厚度为$4×5=20\mathrm{cm}$，书架总长40cm，因此$CI=40-20=20\mathrm{cm}$。
斜放的书的边$EF=20\mathrm{cm}$，$FG=5\mathrm{cm}$，故△ECF与△FIG的相似比为$\frac{EF}{FG}=\frac{20}{5}=4$。
设$FI=x\mathrm{cm}$，则$CF=CI-FI=(20-x)\mathrm{cm}$，
由相似三角形对应边成比例得：$\frac{EC}{FI}=4$，即$EC=4FI=4x\mathrm{cm}$。
在Rt△ECF中，由勾股定理得：$EC^2+CF^2=EF^2$，
代入得：$(4x)^2+(20-x)^2=20^2$，
展开整理：$16x^2+400-40x+x^2=400$，
$17x^2-40x=0$，
$x(17x-40)=0$，
解得$x_1=0$（不符合题意，舍去），$x_2=\frac{40}{17}$。
故FI的长为$\frac{40}{17}\mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题结合实际生活中书的摆放考查几何计算，解题关键是找到相似三角形，利用相似比和勾股定理建立方程求解，体现了方程思想在几何问题中的应用。
【难度系数】
0.6
5.相邻两根电线杆都用钢索固定在地面上，如图，一根电线杆钢索系在离地面高4 m处，另一根电线杆钢索系在离地面高6 m处，则中间两根钢索相交点P离地面高（）
A.2.4 m
B.8 m
C.3 m
D.无法确定
A.2.4 m
B.8 m
C.3 m
D.无法确定
答案
A
解析
【分析】
本题可利用相似三角形的性质求解。首先过交点P作地面的垂线，构造两组相似三角形；接着设两根电线杆的水平间距、交点P到地面的高度、P到两根电线杆的水平距离等未知量，根据相似三角形对应边成比例列出两个比例式；最后将两个比例式相加消去水平距离类的未知量，即可求出P点的高度。
【解析】
过点P作$PH⊥$地面，垂足为H，设左侧电线杆高$H_1=4\mathrm{m}$，右侧电线杆高$H_2=6\mathrm{m}$，两根电线杆水平间距为$L$，$PH=h$，P到左侧电线杆的水平距离为$d_1$，到右侧电线杆的水平距离为$d_2$，则$d_1+d_2=L$。
∵两根电线杆和$PH$都垂直于地面，
∴$PH$与两根电线杆均平行：
1. 右侧电线杆顶端与左侧电线杆底部的连线构成的三角形与$PH$所在的小三角形相似，可得$\frac{h}{H_2}=\frac{d_1}{L}$；
2. 左侧电线杆顶端与右侧电线杆底部的连线构成的三角形与$PH$所在的小三角形相似，可得$\frac{h}{H_1}=\frac{d_2}{L}$。
将两式相加得：$\frac{h}{H_1}+\frac{h}{H_2}=\frac{d_1+d_2}{L}=\frac{L}{L}=1$，
代入$H_1=4\mathrm{m}$、$H_2=6\mathrm{m}$，得$\frac{h}{4}+\frac{h}{6}=1$，
通分化简得$3h+2h=12$，解得$h=2.4\mathrm{m}$。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形判定；相似三角形性质；相似三角形应用
【点评】
本题是相似三角形实际应用的典型题型，解题时不需要求出两根电线杆的实际间距，通过设辅助未知量、利用相似比例关系消元即可求解，核心是掌握相似三角形对应边成比例的性质。
【难度系数】
0.6
本题可利用相似三角形的性质求解。首先过交点P作地面的垂线，构造两组相似三角形；接着设两根电线杆的水平间距、交点P到地面的高度、P到两根电线杆的水平距离等未知量，根据相似三角形对应边成比例列出两个比例式；最后将两个比例式相加消去水平距离类的未知量，即可求出P点的高度。
【解析】
过点P作$PH⊥$地面，垂足为H，设左侧电线杆高$H_1=4\mathrm{m}$，右侧电线杆高$H_2=6\mathrm{m}$，两根电线杆水平间距为$L$，$PH=h$，P到左侧电线杆的水平距离为$d_1$，到右侧电线杆的水平距离为$d_2$，则$d_1+d_2=L$。
∵两根电线杆和$PH$都垂直于地面，
∴$PH$与两根电线杆均平行：
1. 右侧电线杆顶端与左侧电线杆底部的连线构成的三角形与$PH$所在的小三角形相似，可得$\frac{h}{H_2}=\frac{d_1}{L}$；
2. 左侧电线杆顶端与右侧电线杆底部的连线构成的三角形与$PH$所在的小三角形相似，可得$\frac{h}{H_1}=\frac{d_2}{L}$。
将两式相加得：$\frac{h}{H_1}+\frac{h}{H_2}=\frac{d_1+d_2}{L}=\frac{L}{L}=1$，
代入$H_1=4\mathrm{m}$、$H_2=6\mathrm{m}$，得$\frac{h}{4}+\frac{h}{6}=1$，
通分化简得$3h+2h=12$，解得$h=2.4\mathrm{m}$。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形判定；相似三角形性质；相似三角形应用
【点评】
本题是相似三角形实际应用的典型题型，解题时不需要求出两根电线杆的实际间距，通过设辅助未知量、利用相似比例关系消元即可求解，核心是掌握相似三角形对应边成比例的性质。
【难度系数】
0.6
