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12.钟表上显示的时间是3时30分，此时，时针和分针的夹角的度数是().
A.$60°$
B.$75°$
C.$90°$
D.$100°$
A.$60°$
B.$75°$
C.$90°$
D.$100°$
答案
B
解析
【分析】
要计算钟表上3时30分时针与分针的夹角，首先得明确钟表刻度对应的角度：钟表一圈为360°，共分为12个大格，因此每个大格对应的角度是30°。解题时要注意：时针不会固定在整点的刻度上，会随分钟的走动向后续刻度偏移，所以需要先分别确定3时30分时分针、时针的具体位置，再计算两者的角度差即可得到夹角。
【解析】
步骤1：计算钟表每个大格的角度
钟表一圈是360°，共12个大格，因此每个大格的度数为：$360°÷12=30°$
步骤2：确定3时30分时分针的位置
分针走30分钟，指向数字6的位置。
步骤3：确定3时30分时时针的位置
3时整时，时针指向数字3；时针每小时走1个大格（30°），30分钟是0.5小时，因此30分钟时针额外走的角度为：$30°×0.5=15°$，即此时时针在数字3偏后15°的位置。
步骤4：计算夹角
数字3到数字6之间有3个大格，总角度为$3×30°=90°$，减去时针偏移的15°，可得夹角为：$90°-15°=75°$
【答案】
B
【知识点】
角的度量；钟表角度计算
【点评】
本题是钟表角度计算的基础题型，易错点是容易忽略时针会随分钟走动，误将时针当成固定指向3，算出90°的错误结果。解题的关键是明确时针、分针的转动规律，准确找到两个指针的对应位置再计算角度差。
【难度系数】
0.7
要计算钟表上3时30分时针与分针的夹角，首先得明确钟表刻度对应的角度：钟表一圈为360°，共分为12个大格，因此每个大格对应的角度是30°。解题时要注意：时针不会固定在整点的刻度上，会随分钟的走动向后续刻度偏移，所以需要先分别确定3时30分时分针、时针的具体位置，再计算两者的角度差即可得到夹角。
【解析】
步骤1：计算钟表每个大格的角度
钟表一圈是360°，共12个大格，因此每个大格的度数为：$360°÷12=30°$
步骤2：确定3时30分时分针的位置
分针走30分钟，指向数字6的位置。
步骤3：确定3时30分时时针的位置
3时整时，时针指向数字3；时针每小时走1个大格（30°），30分钟是0.5小时，因此30分钟时针额外走的角度为：$30°×0.5=15°$，即此时时针在数字3偏后15°的位置。
步骤4：计算夹角
数字3到数字6之间有3个大格，总角度为$3×30°=90°$，减去时针偏移的15°，可得夹角为：$90°-15°=75°$
【答案】
B
【知识点】
角的度量；钟表角度计算
【点评】
本题是钟表角度计算的基础题型，易错点是容易忽略时针会随分钟走动，误将时针当成固定指向3，算出90°的错误结果。解题的关键是明确时针、分针的转动规律，准确找到两个指针的对应位置再计算角度差。
【难度系数】
0.7
13.若$∠ 1=25° 12'$，$∠ 2=25.12°$，$∠ 3=25.2°$，则下列结论中正确的是().
A.$∠ 1=∠ 2$
B.$∠ 2=∠ 3$
C.$∠ 1=∠ 3$
D.$∠ 1=∠ 2=∠ 3$
A.$∠ 1=∠ 2$
B.$∠ 2=∠ 3$
C.$∠ 1=∠ 3$
D.$∠ 1=∠ 2=∠ 3$
答案
C
解析
【分析】
要判断三个角的大小关系，首先需要统一角的单位，本题中角的表示有“度+分”和“小数度”两种形式，需用到度分秒的换算规则：1°=60'，可以先把∠1的分换算为度，统一为小数度的形式后，再和∠2、∠3比较大小，即可选出正确选项。
【解析】
首先明确度和分的换算进率：$1°=60'$。
1. 换算∠1的单位：
把12'换算为度：$12'=(12÷60)°=0.2°$，因此$∠1=25°12'=25°+0.2°=25.2°$。
2. 比较三个角的大小：
已知$∠2=25.12°$，$∠3=25.2°$，可得$∠1=∠3≠∠2$。
因此正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
度分秒的换算；角的大小比较
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是牢记度分之间为60进制，不要误当成10进制计算，统一单位后再比较角的大小即可。
【难度系数】
0.7
要判断三个角的大小关系，首先需要统一角的单位，本题中角的表示有“度+分”和“小数度”两种形式，需用到度分秒的换算规则：1°=60'，可以先把∠1的分换算为度，统一为小数度的形式后，再和∠2、∠3比较大小，即可选出正确选项。
【解析】
首先明确度和分的换算进率：$1°=60'$。
1. 换算∠1的单位：
把12'换算为度：$12'=(12÷60)°=0.2°$，因此$∠1=25°12'=25°+0.2°=25.2°$。
2. 比较三个角的大小：
已知$∠2=25.12°$，$∠3=25.2°$，可得$∠1=∠3≠∠2$。
因此正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
度分秒的换算；角的大小比较
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是牢记度分之间为60进制，不要误当成10进制计算，统一单位后再比较角的大小即可。
【难度系数】
0.7
14.用10倍放大镜看$10°$的角，你观察到的角的度数是。
答案
解：角的大小只与角的两边张开的程度有关，与边的长短无关。用10倍放大镜观察角时，不会改变角的两边张开的程度，因此观察到的角的度数是$10°$。
解析
【分析】
解题时首先回忆角的大小的决定因素：角的大小只和两边张开的程度有关，和边的长度没有关系。再分析放大镜的作用：10倍放大镜只会放大角的两条边的视觉长度，不会改变两边张开的幅度，因此可推出观察到的角的度数和原角度数一致。
【解析】
角的大小只与角的两边张开的程度有关，与边的长短无关。用10倍放大镜观察角时，不会改变角的两边张开的程度，因此观察到的角的度数是$10°$。
【答案】
$10°$
【知识点】
角的基本性质
【点评】
本题是基础易错题，容易陷入“放大镜会放大所有物体尺寸”的思维误区，解题核心是抓住角的大小的本质决定因素，排除无关条件的干扰。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆角的大小的决定因素：角的大小只和两边张开的程度有关，和边的长度没有关系。再分析放大镜的作用：10倍放大镜只会放大角的两条边的视觉长度，不会改变两边张开的幅度，因此可推出观察到的角的度数和原角度数一致。
【解析】
角的大小只与角的两边张开的程度有关，与边的长短无关。用10倍放大镜观察角时，不会改变角的两边张开的程度，因此观察到的角的度数是$10°$。
【答案】
$10°$
【知识点】
角的基本性质
【点评】
本题是基础易错题，容易陷入“放大镜会放大所有物体尺寸”的思维误区，解题核心是抓住角的大小的本质决定因素，排除无关条件的干扰。
【难度系数】
0.8
15.生活中处处有数学,就看你是否有发现数学的眼光.请你去探索机械手表中蕴含的数学知识.
一块手表如图(1)所示,把它抽象成数学模型:如图(2),表带的两端用点A和点D表示,表盘与线段AD交于点B,C,O为表盘圆心.
(1)若BC为2 cm,CD:AB=3:2,B是AC中点,则手表全长AD= cm.
(2)表盘上的点B对应数字“12”,点C对应数字“6”,OE为时针,ON为分针,8:30时表盘指针状态如图(3)所示,分针ON与OC重合.
①∠EON=度;
②作射线OM,使∠EOM=30°,求此时∠BOM的度数.
一块手表如图(1)所示,把它抽象成数学模型:如图(2),表带的两端用点A和点D表示,表盘与线段AD交于点B,C,O为表盘圆心.
(1)若BC为2 cm,CD:AB=3:2,B是AC中点,则手表全长AD= cm.
(2)表盘上的点B对应数字“12”,点C对应数字“6”,OE为时针,ON为分针,8:30时表盘指针状态如图(3)所示,分针ON与OC重合.
①∠EON=度;
②作射线OM,使∠EOM=30°,求此时∠BOM的度数.
答案
(1) $\boldsymbol{7}$
(2) ① $\boldsymbol{75}$；② $∠ BOM$为$75°$或$135°$。
(2) ① $\boldsymbol{75}$；② $∠ BOM$为$75°$或$135°$。
解析
【分析】
(1) 要求AD的长度，AD由AB、BC、CD三段组成，已知BC长度，根据B是AC中点可求出AB的长度，再结合CD与AB的比例关系求出CD长度，三段相加即可得到AD的长。
(2) ① 钟面一圈为360°，平均分成12个大格，每个大格对应30°，8:30时分针指向6，时针在8和9的正中间，数出两指针间隔的大格数乘30°即可得到∠EON的度数。
② 已知∠EOM=30°，需分两种情况讨论：OM在OE与ON之间、OM在OE远离ON的一侧，结合已知角度的和差关系分别计算∠BOM的度数，避免漏解。
【解析】
(1) 解：
∵B是AC的中点，BC=2cm，
∴AB=BC=2cm。
又
∵CD:AB=3:2，
∴$CD=\frac{3}{2}AB=\frac{3}{2}×2=3\mathrm{cm}$，
∴$AD=AB+BC+CD=2+2+3=7\mathrm{cm}$。
(2) ① 解：钟面一周为360°，共12个大格，每个大格的角度为$360°÷12=30°$。
8:30时，分针指向6（与OC重合），时针指向8和9的正中间，时针和分针间隔2.5个大格，
∴$∠EON=2.5×30°=75°$。
② 解：已知点B对应数字12，点C对应数字6，故$∠BOC=180°$，即$∠BON=180°$，分两种情况讨论：
情况1：OM在OE与ON之间，
∵$∠EOM=30°$，$∠EON=75°$，
∴$∠MON=∠EON-∠EOM=75°-30°=45°$，
∴$∠BOM=∠BON-∠MON=180°-45°=135°$；
情况2：OM在OE远离ON的一侧，
∴$∠BOM=∠BON-∠EON-∠EOM=180°-75°-30°=75°$。
综上，∠BOM的度数为75°或135°。
【答案】
(1) $\boldsymbol{7}$
(2) ① $\boldsymbol{75}$；② $\boldsymbol{75°}$或$\boldsymbol{135°}$
【知识点】
线段和差计算、钟面角计算、角度和差计算
【点评】
本题以生活中常见的手表为背景，将实际问题抽象为线段和角的数学模型，既考查了基础计算能力，也提醒学生解决角度问题时要注意分类讨论，避免漏解，能够很好地锻炼学生将知识应用到实际生活的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要求AD的长度，AD由AB、BC、CD三段组成，已知BC长度，根据B是AC中点可求出AB的长度，再结合CD与AB的比例关系求出CD长度，三段相加即可得到AD的长。
(2) ① 钟面一圈为360°，平均分成12个大格，每个大格对应30°，8:30时分针指向6，时针在8和9的正中间，数出两指针间隔的大格数乘30°即可得到∠EON的度数。
② 已知∠EOM=30°，需分两种情况讨论：OM在OE与ON之间、OM在OE远离ON的一侧，结合已知角度的和差关系分别计算∠BOM的度数，避免漏解。
【解析】
(1) 解：
∵B是AC的中点，BC=2cm，
∴AB=BC=2cm。
又
∵CD:AB=3:2，
∴$CD=\frac{3}{2}AB=\frac{3}{2}×2=3\mathrm{cm}$，
∴$AD=AB+BC+CD=2+2+3=7\mathrm{cm}$。
(2) ① 解：钟面一周为360°，共12个大格，每个大格的角度为$360°÷12=30°$。
8:30时，分针指向6（与OC重合），时针指向8和9的正中间，时针和分针间隔2.5个大格，
∴$∠EON=2.5×30°=75°$。
② 解：已知点B对应数字12，点C对应数字6，故$∠BOC=180°$，即$∠BON=180°$，分两种情况讨论：
情况1：OM在OE与ON之间，
∵$∠EOM=30°$，$∠EON=75°$，
∴$∠MON=∠EON-∠EOM=75°-30°=45°$，
∴$∠BOM=∠BON-∠MON=180°-45°=135°$；
情况2：OM在OE远离ON的一侧，
∴$∠BOM=∠BON-∠EON-∠EOM=180°-75°-30°=75°$。
综上，∠BOM的度数为75°或135°。
【答案】
(1) $\boldsymbol{7}$
(2) ① $\boldsymbol{75}$；② $\boldsymbol{75°}$或$\boldsymbol{135°}$
【知识点】
线段和差计算、钟面角计算、角度和差计算
【点评】
本题以生活中常见的手表为背景，将实际问题抽象为线段和角的数学模型，既考查了基础计算能力，也提醒学生解决角度问题时要注意分类讨论，避免漏解，能够很好地锻炼学生将知识应用到实际生活的能力。
【难度系数】
0.7
16.(推理能力)(1)如图(1),当以点O为端点的射线有3条时,图中共有个角,它们分别是;
(2)如图(2),当以点O为端点的射线有4条时,图中共有个角,它们分别是;
(3)如图(3),当以点O为端点的射线有5条时,图中共有个角,它们分别是;
(4)当以点O为端点的射线有n(n为大于或等于3的正整数)条时,请你猜想共有个角.
(2)如图(2),当以点O为端点的射线有4条时,图中共有个角,它们分别是;
(3)如图(3),当以点O为端点的射线有5条时,图中共有个角,它们分别是;
(4)当以点O为端点的射线有n(n为大于或等于3的正整数)条时,请你猜想共有个角.
答案
解：
(1) $3$；$∠ AOC$，$∠ COB$，$∠ AOB$
(2) $6$；$∠ AOC$，$∠ AOD$，$∠ AOB$，$∠ COD$，$∠ COB$，$∠ DOB$
(3) $10$；$∠ AOC$，$∠ AOD$，$∠ AOE$，$∠ AOB$，$∠ COD$，$∠ COE$，$∠ COB$，$∠ DOE$，$∠ DOB$，$∠ EOB$
(4) $\dfrac{n(n-1)}{2}$
(1) $3$；$∠ AOC$，$∠ COB$，$∠ AOB$
(2) $6$；$∠ AOC$，$∠ AOD$，$∠ AOB$，$∠ COD$，$∠ COB$，$∠ DOB$
(3) $10$；$∠ AOC$，$∠ AOD$，$∠ AOE$，$∠ AOB$，$∠ COD$，$∠ COE$，$∠ COB$，$∠ DOE$，$∠ DOB$，$∠ EOB$
(4) $\dfrac{n(n-1)}{2}$
解析
【分析】
数角时可采用“固定一条边，依次和它后面的射线配对组成角”的方法，按顺序计数能避免重复或遗漏。先分别计算3条、4条、5条射线时的角的数量，再观察数量规律，归纳推导n条射线时角的总个数公式。
【解析】
(1) 图(1)中有3条射线，先以OA为边，可和OC、OB组成2个角；再以OC为边，可和OB组成1个角，总共有2+1=3个角，分别是∠AOC，∠COB，∠AOB。
(2) 图(2)中有4条射线，先以OA为边，可和OC、OD、OB组成3个角；再以OC为边，可和OD、OB组成2个角；再以OD为边，可和OB组成1个角，总共有3+2+1=6个角，分别是∠AOC，∠AOD，∠AOB，∠COD，∠COB，∠DOB。
(3) 图(3)中有5条射线，先以OA为边，可和OC、OD、OE、OB组成4个角；再以OC为边，可和OD、OE、OB组成3个角；再以OD为边，可和OE、OB组成2个角；再以OE为边，可和OB组成1个角，总共有4+3+2+1=10个角，分别是∠AOC，∠AOD，∠AOE，∠AOB，∠COD，∠COE，∠COB，∠DOE，∠DOB，∠EOB。
(4) 当有n条射线时，总角数为(n-1)+(n-2)+…+2+1，求和可得共有$\frac{n(n-1)}{2}$个角。
【答案】
(1) $3$；$∠ AOC$，$∠ COB$，$∠ AOB$
(2) $6$；$∠ AOC$，$∠ AOD$，$∠ AOB$，$∠ COD$，$∠ COB$，$∠ DOB$
(3) $10$；$∠ AOC$，$∠ AOD$，$∠ AOE$，$∠ AOB$，$∠ COD$，$∠ COE$，$∠ COB$，$∠ DOE$，$∠ DOB$，$∠ EOB$
(4) $\dfrac{n(n-1)}{2}$
【知识点】
角的计数，规律归纳
【点评】
本题考查角的有序计数及规律探究能力，按固定顺序数角可有效避免重复、遗漏的问题，通过从特殊到一般的归纳方法推导得到通用公式后，可快速求解同类型的角计数问题。
【难度系数】
0.7
数角时可采用“固定一条边，依次和它后面的射线配对组成角”的方法，按顺序计数能避免重复或遗漏。先分别计算3条、4条、5条射线时的角的数量，再观察数量规律，归纳推导n条射线时角的总个数公式。
【解析】
(1) 图(1)中有3条射线，先以OA为边，可和OC、OB组成2个角；再以OC为边，可和OB组成1个角，总共有2+1=3个角，分别是∠AOC，∠COB，∠AOB。
(2) 图(2)中有4条射线，先以OA为边，可和OC、OD、OB组成3个角；再以OC为边，可和OD、OB组成2个角；再以OD为边，可和OB组成1个角，总共有3+2+1=6个角，分别是∠AOC，∠AOD，∠AOB，∠COD，∠COB，∠DOB。
(3) 图(3)中有5条射线，先以OA为边，可和OC、OD、OE、OB组成4个角；再以OC为边，可和OD、OE、OB组成3个角；再以OD为边，可和OE、OB组成2个角；再以OE为边，可和OB组成1个角，总共有4+3+2+1=10个角，分别是∠AOC，∠AOD，∠AOE，∠AOB，∠COD，∠COE，∠COB，∠DOE，∠DOB，∠EOB。
(4) 当有n条射线时，总角数为(n-1)+(n-2)+…+2+1，求和可得共有$\frac{n(n-1)}{2}$个角。
【答案】
(1) $3$；$∠ AOC$，$∠ COB$，$∠ AOB$
(2) $6$；$∠ AOC$，$∠ AOD$，$∠ AOB$，$∠ COD$，$∠ COB$，$∠ DOB$
(3) $10$；$∠ AOC$，$∠ AOD$，$∠ AOE$，$∠ AOB$，$∠ COD$，$∠ COE$，$∠ COB$，$∠ DOE$，$∠ DOB$，$∠ EOB$
(4) $\dfrac{n(n-1)}{2}$
【知识点】
角的计数，规律归纳
【点评】
本题考查角的有序计数及规律探究能力，按固定顺序数角可有效避免重复、遗漏的问题，通过从特殊到一般的归纳方法推导得到通用公式后，可快速求解同类型的角计数问题。
【难度系数】
0.7
