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5.如图,回答下列问题:
(1)写出能用一个字母表示的角:;
(2)写出以B为顶点的角:;
(3)图中共有几个小于平角的角?分别把它们表示出来.
(1)写出能用一个字母表示的角:;
(2)写出以B为顶点的角:;
(3)图中共有几个小于平角的角?分别把它们表示出来.
答案
解：
(1) $∠ A$，$∠ C$
(2) $∠ ABE$，$∠ EBC$，$∠ ABC$
(3) 图中共有7个小于平角的角，分别是$∠ A$，$∠ ABE$，$∠ EBC$，$∠ ABC$，$∠ C$，$∠ AEB$，$∠ BEC$。
(1) $∠ A$，$∠ C$
(2) $∠ ABE$，$∠ EBC$，$∠ ABC$
(3) 图中共有7个小于平角的角，分别是$∠ A$，$∠ ABE$，$∠ EBC$，$∠ ABC$，$∠ C$，$∠ AEB$，$∠ BEC$。
解析
【分析】
解决这道题要明确角的表示规则和计数技巧：
1. 能用一个字母表示的角：只有顶点处仅有1个角、不会产生混淆时，才能用顶点的单个大写字母表示，只需找满足该条件的顶点即可。
2. 找以B为顶点的角：先找出所有以B为端点的射线，再将射线两两组合，按顺序列举即可避免遗漏。
3. 数小于平角的角：平角是180°的角，按顶点分类统计每个顶点处符合要求的角，再汇总，可避免重复和遗漏。
【解析】
(1) 观察图形各顶点：顶点A处只有1个角，顶点C处只有1个角，满足单个字母表示角的条件，因此能用一个字母表示的角是∠A、∠C。
(2) 以B为端点的射线有BA、BE、BC三条，每两条射线组成一个角，分别为BA与BE组成的∠ABE，BE与BC组成的∠EBC，BA与BC组成的∠ABC。
(3) 小于平角的角即度数小于180°的角，按顶点逐个统计：
顶点A：∠A，共1个；
顶点B：∠ABE、∠EBC、∠ABC，共3个；
顶点C：∠C，共1个；
顶点E：∠AEB、∠BEC，共2个；
合计$1+3+1+2=7$个，逐一列出即可。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠A}$，$\boldsymbol{∠C}$
(2) $\boldsymbol{∠ABE}$，$\boldsymbol{∠EBC}$，$\boldsymbol{∠ABC}$
(3) 共有7个小于平角的角，分别是$\boldsymbol{∠A}$，$\boldsymbol{∠ABE}$，$\boldsymbol{∠EBC}$，$\boldsymbol{∠ABC}$，$\boldsymbol{∠C}$，$\boldsymbol{∠AEB}$，$\boldsymbol{∠BEC}$。
【知识点】
角的表示方法；角的计数；平角的概念
【点评】
本题是角的基础概念题，按顶点分类计数可有效避免漏数、重复数的错误，要注意单个字母表示角的前提是该顶点处仅有一个角。
【难度系数】
0.8
解决这道题要明确角的表示规则和计数技巧：
1. 能用一个字母表示的角：只有顶点处仅有1个角、不会产生混淆时，才能用顶点的单个大写字母表示，只需找满足该条件的顶点即可。
2. 找以B为顶点的角：先找出所有以B为端点的射线，再将射线两两组合，按顺序列举即可避免遗漏。
3. 数小于平角的角：平角是180°的角，按顶点分类统计每个顶点处符合要求的角，再汇总，可避免重复和遗漏。
【解析】
(1) 观察图形各顶点：顶点A处只有1个角，顶点C处只有1个角，满足单个字母表示角的条件，因此能用一个字母表示的角是∠A、∠C。
(2) 以B为端点的射线有BA、BE、BC三条，每两条射线组成一个角，分别为BA与BE组成的∠ABE，BE与BC组成的∠EBC，BA与BC组成的∠ABC。
(3) 小于平角的角即度数小于180°的角，按顶点逐个统计：
顶点A：∠A，共1个；
顶点B：∠ABE、∠EBC、∠ABC，共3个；
顶点C：∠C，共1个；
顶点E：∠AEB、∠BEC，共2个；
合计$1+3+1+2=7$个，逐一列出即可。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠A}$，$\boldsymbol{∠C}$
(2) $\boldsymbol{∠ABE}$，$\boldsymbol{∠EBC}$，$\boldsymbol{∠ABC}$
(3) 共有7个小于平角的角，分别是$\boldsymbol{∠A}$，$\boldsymbol{∠ABE}$，$\boldsymbol{∠EBC}$，$\boldsymbol{∠ABC}$，$\boldsymbol{∠C}$，$\boldsymbol{∠AEB}$，$\boldsymbol{∠BEC}$。
【知识点】
角的表示方法；角的计数；平角的概念
【点评】
本题是角的基础概念题，按顶点分类计数可有效避免漏数、重复数的错误，要注意单个字母表示角的前提是该顶点处仅有一个角。
【难度系数】
0.8
6.若$∠ A=38°18'$，$∠ B=38.18°$，则这两个角的大小关系是().
A.$∠ A＞∠ B$
B.$∠ A=∠ B$
C.$∠ A＜∠ B$
D.无法确定
A.$∠ A＞∠ B$
B.$∠ A=∠ B$
C.$∠ A＜∠ B$
D.无法确定
答案
A
解析
【分析】
要比较两个角的大小，首先需要统一两个角的单位，我们学过度和分的换算关系是1°=60'，是60进制而非10进制，因此可以选择将两个角都换算成“度+分”的形式，或者都换算成小数形式的度，再分别比较对应部分的大小就能得出结果。
【解析】
解：角度单位的换算规则为$1°=60'$，我们用两种方法换算对比：
方法一：将$∠ B$换算为度分形式
$∠ B=38.18°=38°+0.18°$
$0.18°=0.18×60'=10.8'$
因此$∠ B=38°10.8'$
对比$∠ A=38°18'$，二者度的数值相同，分数值$18'＞10.8'$，可得$∠ A＞∠ B$。
方法二：将$∠ A$换算为小数度形式
$∠ A=38°18'=38°+18'$
$18'=18÷60=0.3°$
因此$∠ A=38.3°$
对比$∠ B=38.18°$，$38.3°＞38.18°$，可得$∠ A＞∠ B$。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
度分秒的换算；角的大小比较
【点评】
本题的核心易错点是容易误将度分的换算当成10进制，错把18'等同于0.18°从而判断两角相等，只要牢记度分秒的60进制换算规则就能快速解题。
【难度系数】
0.8
要比较两个角的大小，首先需要统一两个角的单位，我们学过度和分的换算关系是1°=60'，是60进制而非10进制，因此可以选择将两个角都换算成“度+分”的形式，或者都换算成小数形式的度，再分别比较对应部分的大小就能得出结果。
【解析】
解：角度单位的换算规则为$1°=60'$，我们用两种方法换算对比：
方法一：将$∠ B$换算为度分形式
$∠ B=38.18°=38°+0.18°$
$0.18°=0.18×60'=10.8'$
因此$∠ B=38°10.8'$
对比$∠ A=38°18'$，二者度的数值相同，分数值$18'＞10.8'$，可得$∠ A＞∠ B$。
方法二：将$∠ A$换算为小数度形式
$∠ A=38°18'=38°+18'$
$18'=18÷60=0.3°$
因此$∠ A=38.3°$
对比$∠ B=38.18°$，$38.3°＞38.18°$，可得$∠ A＞∠ B$。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
度分秒的换算；角的大小比较
【点评】
本题的核心易错点是容易误将度分的换算当成10进制，错把18'等同于0.18°从而判断两角相等，只要牢记度分秒的60进制换算规则就能快速解题。
【难度系数】
0.8
7.如图
，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为°。
，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为°。答案
$\boldsymbol{60}$
解析
【分析】
解决钟表时针与分针夹角问题，首先要明确钟表的基本特征：整个钟表盘面是周角，为360°，被平均分成12个大格，先计算出每个大格对应的角度。整时时刻分针固定指向12，时针指向对应时数，数出时针和分针间隔的大格数，用大格数乘单个大格的角度就能得到夹角度数。
【解析】
已知周角为360°，钟表盘面被平均分为12个大格，因此每个大格对应的角度为：
$360°÷12=30°$
2时整时，分针指向12，时针指向2，二者之间间隔2个大格，因此夹角为：
$2×30°=60°$
【答案】
$\boldsymbol{60}$
【知识点】
钟表角度计算、角的度量
【点评】
本题是钟表角度计算的基础题，只要牢记钟表单个大格对应30°，结合整时指针的位置数出间隔大格数即可快速求出结果。
【难度系数】
0.8
解决钟表时针与分针夹角问题，首先要明确钟表的基本特征：整个钟表盘面是周角，为360°，被平均分成12个大格，先计算出每个大格对应的角度。整时时刻分针固定指向12，时针指向对应时数，数出时针和分针间隔的大格数，用大格数乘单个大格的角度就能得到夹角度数。
【解析】
已知周角为360°，钟表盘面被平均分为12个大格，因此每个大格对应的角度为：
$360°÷12=30°$
2时整时，分针指向12，时针指向2，二者之间间隔2个大格，因此夹角为：
$2×30°=60°$
【答案】
$\boldsymbol{60}$
【知识点】
钟表角度计算、角的度量
【点评】
本题是钟表角度计算的基础题，只要牢记钟表单个大格对应30°，结合整时指针的位置数出间隔大格数即可快速求出结果。
【难度系数】
0.8
8.角度换算：
(1)$4° = \_\_\_\_\_\_'$，$2.47° = \_\_\_\_\_\_° \_\_\_\_\_\_' \_\_\_\_\_\_''$；
(2)$66' = \_\_\_\_\_\_°$，$2700'' = \_\_\_\_\_\_' = \_\_\_\_\_\_°$，$33°24'36'' = \_\_\_\_\_\_°$
(1)$4° = \_\_\_\_\_\_'$，$2.47° = \_\_\_\_\_\_° \_\_\_\_\_\_' \_\_\_\_\_\_''$；
(2)$66' = \_\_\_\_\_\_°$，$2700'' = \_\_\_\_\_\_' = \_\_\_\_\_\_°$，$33°24'36'' = \_\_\_\_\_\_°$
答案
(1) $\boldsymbol{240}$；$\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{28}$，$\boldsymbol{12}$
(2) $\boldsymbol{1.1}$；$\boldsymbol{45}$，$\boldsymbol{0.75}$；$\boldsymbol{33.41}$
(2) $\boldsymbol{1.1}$；$\boldsymbol{45}$，$\boldsymbol{0.75}$；$\boldsymbol{33.41}$
解析
【分析】
解决角度换算问题首先要牢记度、分、秒是60进制，即1°=60′，1′=60″。换算时遵循“大单位化小单位乘进率60，小单位化大单位除以进率60”的规则：①将度化为度分秒形式时，整数部分直接保留为度，小数部分依次乘60分别得到分、秒；②将分、秒化为度时，依次除以60逐层向上换算即可。
【解析】
(1) 因为1°=60′，所以$4°=4×60'=240'$；
$2.47°$的整数部分是2°，剩余$0.47°$换算成分：$0.47×60'=28.2'$，28.2′的整数部分是28′，剩余$0.2'$换算成秒：$0.2×60''=12''$，故$2.47°=2°28'12''$。
(2) 小单位化大单位除以进率60，所以$66'=66÷60°=1.1°$；
$2700''=2700÷60'=45'$，再换算成度：$45'=45÷60°=0.75°$；
先把36″换算成分：$36''=36÷60'=0.6'$，则24′36″=24.6′，再换算成度：$24.6'=24.6÷60°=0.41°$，故$33°24'36''=33°+0.41°=33.41°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{240}$；$\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{28}$，$\boldsymbol{12}$
(2) $\boldsymbol{1.1}$；$\boldsymbol{45}$，$\boldsymbol{0.75}$；$\boldsymbol{33.41}$
【知识点】
1. 度分秒换算
2. 角度单位进率
【点评】
本题是角度单位换算的基础题型，核心是掌握度分秒的60进制换算规则，计算时注意区分大、小单位转换时乘、除进率的选择，避免误按100进制计算出错。
【难度系数】
0.8
解决角度换算问题首先要牢记度、分、秒是60进制，即1°=60′，1′=60″。换算时遵循“大单位化小单位乘进率60，小单位化大单位除以进率60”的规则：①将度化为度分秒形式时，整数部分直接保留为度，小数部分依次乘60分别得到分、秒；②将分、秒化为度时，依次除以60逐层向上换算即可。
【解析】
(1) 因为1°=60′，所以$4°=4×60'=240'$；
$2.47°$的整数部分是2°，剩余$0.47°$换算成分：$0.47×60'=28.2'$，28.2′的整数部分是28′，剩余$0.2'$换算成秒：$0.2×60''=12''$，故$2.47°=2°28'12''$。
(2) 小单位化大单位除以进率60，所以$66'=66÷60°=1.1°$；
$2700''=2700÷60'=45'$，再换算成度：$45'=45÷60°=0.75°$；
先把36″换算成分：$36''=36÷60'=0.6'$，则24′36″=24.6′，再换算成度：$24.6'=24.6÷60°=0.41°$，故$33°24'36''=33°+0.41°=33.41°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{240}$；$\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{28}$，$\boldsymbol{12}$
(2) $\boldsymbol{1.1}$；$\boldsymbol{45}$，$\boldsymbol{0.75}$；$\boldsymbol{33.41}$
【知识点】
1. 度分秒换算
2. 角度单位进率
【点评】
本题是角度单位换算的基础题型，核心是掌握度分秒的60进制换算规则，计算时注意区分大、小单位转换时乘、除进率的选择，避免误按100进制计算出错。
【难度系数】
0.8
9.货轮O在航行过程中,发现灯塔A在它南偏东$60°$的方向,同时,在它北偏东$40°$方向上又发现了客轮B,则下面图形表示正确的是().
答案
$\boxed{A}$
解析
【分析】
首先明确方向角的描述规则：用“北偏东/西”“南偏东/西”描述方向时，夹角是方向线与正北或正南方向的夹角。解题时先分别梳理两个目标的位置特征：①客轮B在O点北偏东40°，说明OB与正北方向的夹角为40°，位于东北方向区域；②灯塔A在O点南偏东60°，说明OA与正南方向的夹角为60°，位于东南方向区域。再逐一比对选项排除不符合的即可。
【解析】
按照“上北下南，左西右东”的方位规则判断：
1. 先判断客轮B的位置：北偏东40°指从正北方向向东偏转40°，即OB与正北方向夹角为40°。选项B、D中OB与正东方向夹角为40°，不符合要求，排除B、D。
2. 再判断灯塔A的位置：南偏东60°指从正南方向向东偏转60°，即OA与正南方向夹角为60°。选项C中OA与正东方向夹角为60°，不符合要求，排除C。
只有选项A的两个目标位置均符合描述。
【答案】
$\boxed{A}$
【知识点】
方向角的表示，方位判断
【点评】
本题考查方向角的识别，解题核心是明确“北偏某向”“南偏某向”的夹角是相对于南北方向的，不要混淆为与东西方向的夹角，掌握规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
首先明确方向角的描述规则：用“北偏东/西”“南偏东/西”描述方向时，夹角是方向线与正北或正南方向的夹角。解题时先分别梳理两个目标的位置特征：①客轮B在O点北偏东40°，说明OB与正北方向的夹角为40°，位于东北方向区域；②灯塔A在O点南偏东60°，说明OA与正南方向的夹角为60°，位于东南方向区域。再逐一比对选项排除不符合的即可。
【解析】
按照“上北下南，左西右东”的方位规则判断：
1. 先判断客轮B的位置：北偏东40°指从正北方向向东偏转40°，即OB与正北方向夹角为40°。选项B、D中OB与正东方向夹角为40°，不符合要求，排除B、D。
2. 再判断灯塔A的位置：南偏东60°指从正南方向向东偏转60°，即OA与正南方向夹角为60°。选项C中OA与正东方向夹角为60°，不符合要求，排除C。
只有选项A的两个目标位置均符合描述。
【答案】
$\boxed{A}$
【知识点】
方向角的表示，方位判断
【点评】
本题考查方向角的识别，解题核心是明确“北偏某向”“南偏某向”的夹角是相对于南北方向的，不要混淆为与东西方向的夹角，掌握规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
10.如图,学校可能位于小明家().
A.南偏西 $60°$方向上
B.南偏西 $30°$方向上
C.南偏东 $60°$方向上
D.南偏东 $30°$方向上
A.南偏西 $60°$方向上
B.南偏西 $30°$方向上
C.南偏东 $60°$方向上
D.南偏东 $30°$方向上
答案
B
解析
【分析】
解决这道题的思路分为三步：第一步确定观测点，题目问学校位于小明家的什么方向，所以观测点是小明家，这是解题的首要前提，很多同学容易误把学校当成观测点导致出错。第二步，以小明家为中心，按照“上北下南、左西右东”的规则建立方位坐标系，确定四个正方向。第三步，判断学校所在的方位区域，再结合角度选出正确选项，首先观察到学校在小明家的南侧偏西区域，先排除偏东的C、D选项，再根据角度的偏转基准（方位角通常以南北方向为起始边）确定偏转角度即可。
【解析】
首先明确观测点为小明家，遵循“上北下南、左西右东”的方位规则，以小明家为中心绘制方位坐标：向上为北、向下为南、向左为西、向右为东。
观察学校的位置，可知学校处于小明家的南侧偏西的区域，因此排除描述为南偏东的选项C、D。
再结合方位角的描述规范，以正南方向为起始边，向西偏转的角度为30°，因此学校位于小明家南偏西30°方向上。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
方位辨识，相对位置判断，方位角描述
【点评】
本题是方位判断的基础题型，解题核心是找准观测点，牢记方位规则，避免因观测点混淆出错，掌握相对位置方向相反、角度相等的规律也能快速解题。
【难度系数】
0.7
解决这道题的思路分为三步：第一步确定观测点，题目问学校位于小明家的什么方向，所以观测点是小明家，这是解题的首要前提，很多同学容易误把学校当成观测点导致出错。第二步，以小明家为中心，按照“上北下南、左西右东”的规则建立方位坐标系，确定四个正方向。第三步，判断学校所在的方位区域，再结合角度选出正确选项，首先观察到学校在小明家的南侧偏西区域，先排除偏东的C、D选项，再根据角度的偏转基准（方位角通常以南北方向为起始边）确定偏转角度即可。
【解析】
首先明确观测点为小明家，遵循“上北下南、左西右东”的方位规则，以小明家为中心绘制方位坐标：向上为北、向下为南、向左为西、向右为东。
观察学校的位置，可知学校处于小明家的南侧偏西的区域，因此排除描述为南偏东的选项C、D。
再结合方位角的描述规范，以正南方向为起始边，向西偏转的角度为30°，因此学校位于小明家南偏西30°方向上。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
方位辨识，相对位置判断，方位角描述
【点评】
本题是方位判断的基础题型，解题核心是找准观测点，牢记方位规则，避免因观测点混淆出错，掌握相对位置方向相反、角度相等的规律也能快速解题。
【难度系数】
0.7
11.如图，A地和B地都是海上观测站，从A地发现它的北偏东$60°$方向有一艘船，同时，从B地发现这艘船在它北偏东$30°$的方向上，试在图中确定这艘船的位置。
北
↑
┼→东
A• B•
北
↑
┼→东
A• B•
答案
解：
① 分别过点A、点B作表示正北方向的射线；
② 在点A处，以正北方向的射线为始边，向东作60°的角，画出对应的射线；
③ 在点B处，以正北方向的射线为始边，向东作30°的角，画出对应的射线；
两条射线的交点即为这艘船的位置。
① 分别过点A、点B作表示正北方向的射线；
② 在点A处，以正北方向的射线为始边，向东作60°的角，画出对应的射线；
③ 在点B处，以正北方向的射线为始边，向东作30°的角，画出对应的射线；
两条射线的交点即为这艘船的位置。
解析
【分析】
要确定船的位置，可利用“两条不同射线的交点可确定唯一一点”的思路解题。首先明确“北偏东n°”的含义：以正北方向为始边，向东旋转n°得到的方向。因此我们先给两个观测站A、B分别作出正北方向的基准线，再按照题目给出的角度分别作出船相对于A、B的方向射线，两条射线的交点就是船的位置。
【解析】
① 分别过点A、点B作表示正北方向的射线；
② 在点A处，以正北方向的射线为始边，向东作60°的角，画出对应的射线；
③ 在点B处，以正北方向的射线为始边，向东作30°的角，画出对应的射线；
两条射线的交点即为这艘船的位置。
【答案】
① 分别过点A、点B作表示正北方向的射线；
② 在点A处，以正北方向的射线为始边，向东作60°的角，画出对应的射线；
③ 在点B处，以正北方向的射线为始边，向东作30°的角，画出对应的射线；
两条射线的交点即为这艘船的位置。
【知识点】
方向角的定义，角的作图，位置确定
【点评】
本题是方向角在实际场景中的典型应用题目，解题核心是准确理解方向角的含义，通过绘制两个观测点的方向射线得到交点即可确定目标位置，侧重对基础概念和基础作图能力的考查。
【难度系数】
0.8
要确定船的位置，可利用“两条不同射线的交点可确定唯一一点”的思路解题。首先明确“北偏东n°”的含义：以正北方向为始边，向东旋转n°得到的方向。因此我们先给两个观测站A、B分别作出正北方向的基准线，再按照题目给出的角度分别作出船相对于A、B的方向射线，两条射线的交点就是船的位置。
【解析】
① 分别过点A、点B作表示正北方向的射线；
② 在点A处，以正北方向的射线为始边，向东作60°的角，画出对应的射线；
③ 在点B处，以正北方向的射线为始边，向东作30°的角，画出对应的射线；
两条射线的交点即为这艘船的位置。
【答案】
① 分别过点A、点B作表示正北方向的射线；
② 在点A处，以正北方向的射线为始边，向东作60°的角，画出对应的射线；
③ 在点B处，以正北方向的射线为始边，向东作30°的角，画出对应的射线；
两条射线的交点即为这艘船的位置。
【知识点】
方向角的定义，角的作图，位置确定
【点评】
本题是方向角在实际场景中的典型应用题目，解题核心是准确理解方向角的含义，通过绘制两个观测点的方向射线得到交点即可确定目标位置，侧重对基础概念和基础作图能力的考查。
【难度系数】
0.8
