课前预习
1. 角的比较
度量法:用量角器量出角的,然后比较大小.
叠合法:把角的一边在一起,观察另一条边的位置来比较大小.
2. 角的运算
如图，
∠AOB=∠AOC+,
∠AOC=∠AOB-,
∠BOC=∠AOB-.

解：
1. 度数；重合
2. $∠ BOC$；$∠ BOC$；$∠ AOC$

【分析】
首先看第1题，回忆角的比较的两种方法：度量法的核心是通过量化的数值比较大小，因此需要用量角器测量角的度数，再比较数值大小即可；叠合法是通过位置关系比较，操作时要先把两个角的顶点对齐、一条边重合，再看另一条边的位置判断大小。再看第2题，先观察图形中射线的位置：OC在∠AOB的内部，把大角∠AOB分成了两个小角，根据角的和差关系，大角等于两个小角相加，小角等于大角减去另一个小角，即可得出对应结果。
【解析】
1. 度量法：用量角器量出角的度数，通过比较度数的大小就能判断角的大小，因此第一空填度数；
叠合法：比较时需要把角的一边重合在一起，再观察另一条边的位置判断大小，因此第二空填重合。
2. 观察图形，∠AOB由∠AOC和∠BOC共同组成，因此：
$∠ AOB=∠ AOC+∠ BOC$，
根据和差关系变形可得：$∠ AOC=∠ AOB-∠ BOC$，$∠ BOC=∠ AOB-∠ AOC$。
【答案】
1. 度数；重合
2. $∠ BOC$；$∠ BOC$；$∠ AOC$
【知识点】
角的大小比较、角的和差运算
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查角的比较方法的识记和简单角的和差关系识别，是后续学习复杂角运算的基础，掌握角的组成关系即可快速解题。
【难度系数】
0.9

课堂探究
探究点1 角的比较
【例1】如图，已知射线OB，OD在∠AOC的内部. 根据图中信息填空：

（1）∠BOD ∠AOD，∠COB ∠AOC；
（2）若∠AOD ＞ ∠BOC，则∠AOD - ∠BOD ∠BOC - ∠BOD，即∠AOB＞∠COD.
方法点拨
用叠合法比较两个角大小的注意事项
(1)两重合:两个角的顶点和其中一条边分别重合；
(2)一同侧:另一边落在重合边的同侧.

解：
（1）由射线OB在∠AOD内部，可得∠BOD ＜ ∠AOD；
由射线OB在∠AOC内部，可得∠COB ＜ ∠AOC。
（2）已知∠AOD ＞ ∠BOC，根据不等式的性质，两边同时减去∠BOD，不等号方向不变，因此∠AOD - ∠BOD ＞ ∠BOC - ∠BOD，即∠AOB ＞ ∠COD。
答案依次为：＜；＜；＞。

【分析】
解题思路：（1）判断角的大小可采用叠合法：若一个角的边都落在另一个角的内部，那么这个角小于另一个角。观察图形可知OB在∠AOD内部，∠BOD是∠AOD的一部分，即可判断二者大小；同理OB在∠AOC内部，∠COB是∠AOC的一部分，也可判断大小。（2）已知两个角的大小关系，两边同时减去同一个角∠BOD，根据不等式的基本性质，不等号方向不变，即可得到两个差的大小关系。
【解析】
（1）观察图形，射线OB在∠AOD的内部，说明∠BOD是∠AOD的一部分，因此∠BOD ＜ ∠AOD；
射线OB在∠AOC的内部，说明∠COB是∠AOC的一部分，因此∠COB ＜ ∠AOC。
（2）已知∠AOD ＞ ∠BOC，根据不等式的基本性质：不等式两边同时减去同一个量，不等号方向不变，将两个角同时减去∠BOD，可得∠AOD - ∠BOD ＞ ∠BOC - ∠BOD，即∠AOB＞∠COD。
【答案】
＜；＜；＞
【知识点】
角的大小比较；角的和差运算；不等式基本性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查角的大小比较方法以及角的和差关系，结合不等式的性质即可快速求解，掌握叠合法判断角的大小是解决此类题的关键。
【难度系数】
0.9

【变式1】用“＞”“＜”或“=”填空.
(1)若∠1=∠2,∠2=∠3,则∠1∠3;
(2)若∠α+∠β=70°,∠β+∠γ=100°,则∠α∠γ.

(1) $=$；(2) $＜$

【分析】
(1) 解题时先回忆等量代换的性质：若两个量都等于同一个量，则这两个量相等。本题中∠1和∠3都与∠2相等，可直接推导二者的关系；(2) 要比较∠α和∠γ的大小，可先根据已知的和的等式，分别用∠β表示出∠α和∠γ，再根据“减数相同时，被减数越大，差越大”的规律，判断两个角的大小关系。
【解析】
(1) 已知∠1=∠2，∠2=∠3，根据等量代换的性质，可得∠1=∠3；
(2) 由∠α+∠β=70°，根据等式的性质，两边同时减去∠β，得∠α=70°-∠β；
由∠β+∠γ=100°，同理两边同时减去∠β，得∠γ=100°-∠β；
因为70°＜100°，两个式子减去的是同一个角∠β，所以70°-∠β ＜ 100°-∠β，即∠α＜∠γ。
【答案】
(1) $=$；(2) $＜$
【知识点】
等量代换；角的运算；角的大小比较
【点评】
本题属于基础题型，重点考查等量关系的推导和简单的角的运算，解题关键是能根据已知条件灵活转化角的表达形式，熟练掌握大小比较的基本方法。
【难度系数】
0.9

探究点2 角的加减运算
【例2】计算：
(1)$98°45'36''+71°22'34''=$ ° ′ ″；
(2)$52°37'-31°45'12''=$ ° ′ ″.

(1) $\boldsymbol{170}$，$\boldsymbol{8}$，$\boldsymbol{10}$；
(2) $\boldsymbol{20}$，$\boldsymbol{51}$，$\boldsymbol{48}$。

【分析】
度、分、秒的运算是60进制，加法运算时，同单位分别相加，满60就向高一级单位进1；减法运算时，同单位分别相减，若低一级单位的数不够减，就向高一级单位借1当作60，再和原单位的数相加后继续减。
第(1)题是加法运算，先分别计算秒、分、度的和，再按60进制依次进位即可；第(2)题是减法运算，被减数没有秒位，且分位数值小于减数的分位数值，需要先依次向高一级单位借位，再按同单位相减计算。
【解析】
(1) 先计算秒位：$36''+34''=70''$，因为$70''=1'10''$，所以秒位结果为$10''$，向分位进$1'$；
再计算分位：$45'+22'+1'=68'$，因为$68'=1°8'$，所以分位结果为$8'$，向度位进$1°$；
最后计算度位：$98°+71°+1°=170°$；
因此结果为$170°8'10''$。
(2) 先对被减数变形：将$52°37'$的分位借$1'$转化为$60''$，得到$52°36'60''$，再将度位借$1°$转化为$60'$，得到$51°96'60''$；
再分别相减：
度位：$51°-31°=20°$；
分位：$96'-45'=51'$；
秒位：$60''-12''=48''$；
因此结果为$20°51'48''$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{170}$，$\boldsymbol{8}$，$\boldsymbol{10}$；
(2) $\boldsymbol{20}$，$\boldsymbol{51}$，$\boldsymbol{48}$
【知识点】
度分秒的换算；角的加减运算
【点评】
本题是角的运算基础题，核心是掌握度分秒的60进制规则，计算时注意加法的进位和减法的借位规则，只要细心计算就能得出正确结果。
【难度系数】
0.7

【变式2】如图，OC为$∠ AOB$内部的一条射线.若$∠ AOB=100°,∠ 1=25°,$则$∠ 2$的度数为.

$\boldsymbol{75°}$

【分析】
首先观察图形，明确OC是∠AOB内部的射线，因此∠AOB由∠1和∠2共同组成，三个角满足和差关系：∠AOB=∠1+∠2。已知∠AOB和∠1的度数，求∠2只需用大角的度数减去已知小角的度数即可。
【解析】
解：
∵OC在∠AOB内部，
∴∠AOB = ∠1 + ∠2，
将∠AOB=100°，∠1=25°代入得：
∠2 = ∠AOB - ∠1 = 100° - 25° = 75°。
【答案】
$\boldsymbol{75°}$
【知识点】
角的和差运算
【点评】
本题是角的运算的基础题，主要考查对图形中角的和差关系的识别，难度较低，掌握角的组成关系即可快速求解。
【难度系数】
0.9

1. 根据下面图形判断，下列式子错误的是().

A.$∠ AOB=∠ AOC+∠ COB$
B.$∠ BOC=∠ AOB-∠ AOC$
C.$∠ AOC=\frac{1}{2}∠ BOC$
D.$∠ AOC=∠ BOA-∠ COB$

（第1题）（第2题）

C

【分析】
解题时首先观察图形，明确射线OC在∠AOB的内部，因此三个角满足基本和差关系：∠AOB = ∠AOC + ∠COB。接下来逐个分析选项，将基本和差式变形验证A、B、D选项；注意题目没有给出OC平分∠AOB的条件，无法判定∠AOC和∠BOC存在二倍的数量关系，据此判断错误选项即可。
【解析】
由图可知，OC是∠AOB内部的射线，因此可得基本和差关系：$∠ AOB = ∠ AOC + ∠ COB$。
选项A：$∠ AOB = ∠ AOC + ∠ COB$，符合角的和的关系，式子正确；
选项B：将基本和差式移项可得$∠ BOC = ∠ AOB - ∠ AOC$，式子正确；
选项C：题干未说明OC是$∠ AOB$的角平分线，无法推出$∠ AOC = \frac{1}{2}∠ BOC$，式子错误；
选项D：将基本和差式移项可得$∠ AOC = ∠ AOB - ∠ COB = ∠ BOA - ∠ COB$，式子正确。
题目要求选择错误的式子，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
角的和差运算、角平分线的定义
【点评】
本题考查角的和差相关知识，解题时要结合图形明确角的位置关系，注意只有给出角平分线的条件，才能判定角被分成两个相等的小角，不能无依据默认角的数量关系。
【难度系数】
0.8

2. 如图，若$∠ AOB ＞ ∠ COD$，则$∠ AOD$与$∠ BOC$的大小关系是()。

A.$∠ AOD = ∠ BOC$
B.$∠ AOD ＜ ∠ BOC$
C.$∠ AOD ＞ ∠ BOC$
D.不能确定

C

【分析】
要比较∠AOD和∠BOC的大小，首先观察两个角的组成：二者都包含公共角∠BOD，我们可以先把两个角拆分为公共角加另一个角的形式，再结合已知的∠AOB＞∠COD的条件，两个角同时加上相等的公共角后，原有的大小关系不变，就能推导得出两个角的大小关系。
【解析】
解：由图中角的和差关系可得：
$∠ AOD = ∠ AOB + ∠ BOD$，$∠ BOC = ∠ COD + ∠ BOD$
已知$∠ AOB ＞ ∠ COD$，在两个不等式两边同时加上相等的$∠ BOD$，大小关系保持不变，因此可得：
$∠ AOB + ∠ BOD ＞ ∠ COD + ∠ BOD$
即$∠ AOD ＞ ∠ BOC$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
角的和差运算，角的大小比较
【点评】
本题是基础类题型，解题核心是准确识别角的组成，找到两个待比较角的公共部分，通过转化公共角即可快速判断大小，解题思路直观。
【难度系数】
0.8