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1. 某校即将举行运动会，小明从“跳高”“跳远”“100 m 跑”“400 m 跑”四个项目中，随机选择两项，则他选择“100 m 跑”和“400 m 跑”两个项目的概率是().
A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{1}{4}$
C.$\dfrac{1}{6}$
D.$\dfrac{1}{12}$
A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{1}{4}$
C.$\dfrac{1}{6}$
D.$\dfrac{1}{12}$
答案
C
解析
【分析】
本题属于等可能情形下的概率计算问题，解题思路如下：首先明确从四个项目中选两项时，选择结果无先后顺序，先求出所有等可能的选择结果总数，再求出恰好选中“100m跑”和“400m跑”的结果数，最后根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算即可得到答案。
【解析】
我们将四个项目分别记为：A（跳高）、B（跳远）、C（100 m 跑）、D（400 m 跑）。
从四个项目中随机选择两项，所有等可能的结果为：AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6种。
其中符合“选择100 m 跑和400 m 跑两个项目”的结果只有CD这1种。
根据概率公式可得，所求概率为$\dfrac{1}{6}$。
【答案】
C
【知识点】
等可能事件概率计算、列举法求事件数
【点评】
本题是概率计算的常规基础题，解题的关键是要注意选两项时无顺序要求，列举所有结果时做到不重复、不遗漏，避免因错误计数导致结果出错。
【难度系数】
0.7
本题属于等可能情形下的概率计算问题，解题思路如下：首先明确从四个项目中选两项时，选择结果无先后顺序，先求出所有等可能的选择结果总数，再求出恰好选中“100m跑”和“400m跑”的结果数，最后根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算即可得到答案。
【解析】
我们将四个项目分别记为：A（跳高）、B（跳远）、C（100 m 跑）、D（400 m 跑）。
从四个项目中随机选择两项，所有等可能的结果为：AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6种。
其中符合“选择100 m 跑和400 m 跑两个项目”的结果只有CD这1种。
根据概率公式可得，所求概率为$\dfrac{1}{6}$。
【答案】
C
【知识点】
等可能事件概率计算、列举法求事件数
【点评】
本题是概率计算的常规基础题，解题的关键是要注意选两项时无顺序要求，列举所有结果时做到不重复、不遗漏，避免因错误计数导致结果出错。
【难度系数】
0.7
2. 若一个三位数中任两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”.用1，2，3这三个数字组成一个无重复数字的三位数，该数恰好是“平稳数”的概率为().
A.$\frac{5}{9}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{2}{9}$
A.$\frac{5}{9}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{2}{9}$
答案
C
解析
【分析】
要计算该数恰好是“平稳数”的概率，需遵循古典概型的计算思路：先求出所有可能的无重复三位数的总个数，再根据“平稳数”的定义筛选出符合条件的数的个数，最后用符合条件的个数除以总个数即可得到概率。解题时优先用列举法列出所有情况，避免漏算或错算。
【解析】
第一步：计算所有无重复数字的三位数的总个数
用1、2、3组成无重复数字的三位数，所有等可能的结果为：123、132、213、231、312、321，共6种。
第二步：筛选出“平稳数”的个数
根据“平稳数”的定义：任两个相邻数字之差的绝对值不超过1，逐一判断：
123：|1-2|=1，|2-3|=1，符合定义；
132：|1-3|=2＞1，不符合；
213：|1-3|=2＞1，不符合；
231：|3-1|=2＞1，不符合；
312：|3-1|=2＞1，不符合；
321：|3-2|=1，|2-1|=1，符合定义。
因此符合条件的平稳数共2个。
第三步：计算概率
概率$P=\frac{符合条件的情况数}{总情况数}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
1. 古典概型计算
2. 列举法计数
3. 新定义理解
【点评】
本题结合新定义考查概率的基础计算，解题的核心是准确理解“平稳数”的定义，用列举法清晰列出所有情况再逐一筛选，计算量小，只要细心就能得出正确结果。
【难度系数】
0.7
要计算该数恰好是“平稳数”的概率，需遵循古典概型的计算思路：先求出所有可能的无重复三位数的总个数，再根据“平稳数”的定义筛选出符合条件的数的个数，最后用符合条件的个数除以总个数即可得到概率。解题时优先用列举法列出所有情况，避免漏算或错算。
【解析】
第一步：计算所有无重复数字的三位数的总个数
用1、2、3组成无重复数字的三位数，所有等可能的结果为：123、132、213、231、312、321，共6种。
第二步：筛选出“平稳数”的个数
根据“平稳数”的定义：任两个相邻数字之差的绝对值不超过1，逐一判断：
123：|1-2|=1，|2-3|=1，符合定义；
132：|1-3|=2＞1，不符合；
213：|1-3|=2＞1，不符合；
231：|3-1|=2＞1，不符合；
312：|3-1|=2＞1，不符合；
321：|3-2|=1，|2-1|=1，符合定义。
因此符合条件的平稳数共2个。
第三步：计算概率
概率$P=\frac{符合条件的情况数}{总情况数}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
1. 古典概型计算
2. 列举法计数
3. 新定义理解
【点评】
本题结合新定义考查概率的基础计算，解题的核心是准确理解“平稳数”的定义，用列举法清晰列出所有情况再逐一筛选，计算量小，只要细心就能得出正确结果。
【难度系数】
0.7
3. 在如图所示的两个圆盘中，指针落在每一个数上的机会均等，那么两个指针同时落在偶数上的概率是().
A.$\frac{19}{25}$
B.$\frac{2}{5}$
C.$\frac{6}{25}$
D.$\frac{5}{25}$
A.$\frac{19}{25}$
B.$\frac{2}{5}$
C.$\frac{6}{25}$
D.$\frac{5}{25}$
答案
C
解析
【分析】
本题是两个独立转盘的概率计算问题，解题思路如下：首先明确两个转盘的指针落点都是等可能事件，且相互独立；第一步分别统计两个转盘上的偶数个数，第二步计算两个转盘所有可能的总结果数，第三步计算两个指针同时落在偶数上的符合要求的结果数，最后用符合要求的结果数除以总结果数即可得到所求概率。
【解析】
解：左侧转盘共有5个等可能的结果：1、2、3、4、5，其中偶数为2、4，共2个；
右侧转盘共有5个等可能的结果：2、3、4、5、6，其中偶数为2、4、6，共3个。
两个转盘的结果相互独立，因此总等可能结果数为 $ 5 × 5 = 25 $ 种；
两个指针同时落在偶数上的结果数为 $ 2 × 3 = 6 $ 种。
根据概率公式，所求概率 $ P = \frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}} = \frac{6}{25} $。
【答案】
C
【知识点】
概率计算公式，等可能事件，分步计数求概率
【点评】
本题属于概率基础题型，重点考查对等可能事件概率计算方法的掌握，解题时需准确识别两个转盘的偶数数量，避免因计数错误导致结果出错，熟练掌握分步计数的思路可以快速解决这类双独立事件的概率问题。
【难度系数】
0.7
本题是两个独立转盘的概率计算问题，解题思路如下：首先明确两个转盘的指针落点都是等可能事件，且相互独立；第一步分别统计两个转盘上的偶数个数，第二步计算两个转盘所有可能的总结果数，第三步计算两个指针同时落在偶数上的符合要求的结果数，最后用符合要求的结果数除以总结果数即可得到所求概率。
【解析】
解：左侧转盘共有5个等可能的结果：1、2、3、4、5，其中偶数为2、4，共2个；
右侧转盘共有5个等可能的结果：2、3、4、5、6，其中偶数为2、4、6，共3个。
两个转盘的结果相互独立，因此总等可能结果数为 $ 5 × 5 = 25 $ 种；
两个指针同时落在偶数上的结果数为 $ 2 × 3 = 6 $ 种。
根据概率公式，所求概率 $ P = \frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}} = \frac{6}{25} $。
【答案】
C
【知识点】
概率计算公式，等可能事件，分步计数求概率
【点评】
本题属于概率基础题型，重点考查对等可能事件概率计算方法的掌握，解题时需准确识别两个转盘的偶数数量，避免因计数错误导致结果出错，熟练掌握分步计数的思路可以快速解决这类双独立事件的概率问题。
【难度系数】
0.7
4. 一天晚上，小张帮助妈妈清洗两个只有颜色不同的有盖茶杯，突然停电了，小张只好把杯盖和茶杯随机搭配在一起.则颜色搭配正确的概率是.
答案
解：设两个茶杯分别为A、B，对应的杯盖分别为a、b。
所有等可能的搭配结果共2种：
① 茶杯A配杯盖a，茶杯B配杯盖b，搭配正确；
② 茶杯A配杯盖b，茶杯B配杯盖a，搭配错误。
其中颜色搭配正确的结果有1种，
因此颜色搭配正确的概率为$P=\frac{1}{2}$。
所有等可能的搭配结果共2种：
① 茶杯A配杯盖a，茶杯B配杯盖b，搭配正确；
② 茶杯A配杯盖b，茶杯B配杯盖a，搭配错误。
其中颜色搭配正确的结果有1种，
因此颜色搭配正确的概率为$P=\frac{1}{2}$。
解析
【分析】
解决本题首先要明确这是等可能情形下的概率求解问题，解题思路可分为三步：第一步，通过设字母标记茶杯和对应的杯盖，方便梳理搭配情况；第二步，用列举法列出所有等可能的杯盖与茶杯的搭配结果，确保列举时不重不漏；第三步，找出其中颜色搭配正确的结果数，再根据概率公式“P(事件发生)=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算即可。
【解析】
设两个茶杯分别为A、B，对应的杯盖分别为a、b。
所有等可能的搭配结果共2种：
① 茶杯A配杯盖a，茶杯B配杯盖b，搭配正确；
② 茶杯A配杯盖b，茶杯B配杯盖a，搭配错误。
其中颜色搭配正确的结果有1种，
因此颜色搭配正确的概率为$P=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
等可能事件概率计算；列举法求概率
【点评】
本题是概率计算的基础题，主要考查列举法的运用和概率公式的掌握，解题时只要有序列举所有可能的结果，避免重复或遗漏，就能快速求解。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确这是等可能情形下的概率求解问题，解题思路可分为三步：第一步，通过设字母标记茶杯和对应的杯盖，方便梳理搭配情况；第二步，用列举法列出所有等可能的杯盖与茶杯的搭配结果，确保列举时不重不漏；第三步，找出其中颜色搭配正确的结果数，再根据概率公式“P(事件发生)=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算即可。
【解析】
设两个茶杯分别为A、B，对应的杯盖分别为a、b。
所有等可能的搭配结果共2种：
① 茶杯A配杯盖a，茶杯B配杯盖b，搭配正确；
② 茶杯A配杯盖b，茶杯B配杯盖a，搭配错误。
其中颜色搭配正确的结果有1种，
因此颜色搭配正确的概率为$P=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
等可能事件概率计算；列举法求概率
【点评】
本题是概率计算的基础题，主要考查列举法的运用和概率公式的掌握，解题时只要有序列举所有可能的结果，避免重复或遗漏，就能快速求解。
【难度系数】
0.8
5. 一个口袋中有1个红色球、1个白色球、1个蓝色球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀后再从中随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率是。
答案
解：根据题意，所有等可能出现的结果可列举如下：
(红,红)、(红,白)、(红,蓝)、(白,红)、(白,白)、(白,蓝)、(蓝,红)、(蓝,白)、(蓝,蓝)，
总共有9种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果只有1种。
因此两次都摸到红球的概率为$P=\frac{1}{9}$。
(红,红)、(红,白)、(红,蓝)、(白,红)、(白,白)、(白,蓝)、(蓝,红)、(蓝,白)、(蓝,蓝)，
总共有9种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果只有1种。
因此两次都摸到红球的概率为$P=\frac{1}{9}$。
解析
【分析】
这是一道放回摸球类的概率计算基础题，解题时首先明确两次摸球相互独立，每次摸球都有红、白、蓝3种等可能的结果。我们可以用列举法罗列出两次摸球所有的等可能结果，再从中找出两次都摸到红球的结果数，最后根据概率的基本公式：概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数，代入计算即可得到答案。
【解析】
根据题意，所有等可能出现的结果可列举如下：
(红,红)、(红,白)、(红,蓝)、(白,红)、(白,白)、(白,蓝)、(蓝,红)、(蓝,白)、(蓝,蓝)，
总共有9种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果只有1种。
因此两次都摸到红球的概率为$P=\frac{1}{9}$。
【答案】
$\frac{1}{9}$
【知识点】
等可能概率计算；列举法求概率；放回试验特征
【点评】
本题考查概率的基础计算，解题关键是准确列举所有等可能结果，避免遗漏或重复计数，熟练掌握概率的基本计算公式即可快速求解，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
这是一道放回摸球类的概率计算基础题，解题时首先明确两次摸球相互独立，每次摸球都有红、白、蓝3种等可能的结果。我们可以用列举法罗列出两次摸球所有的等可能结果，再从中找出两次都摸到红球的结果数，最后根据概率的基本公式：概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数，代入计算即可得到答案。
【解析】
根据题意，所有等可能出现的结果可列举如下：
(红,红)、(红,白)、(红,蓝)、(白,红)、(白,白)、(白,蓝)、(蓝,红)、(蓝,白)、(蓝,蓝)，
总共有9种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果只有1种。
因此两次都摸到红球的概率为$P=\frac{1}{9}$。
【答案】
$\frac{1}{9}$
【知识点】
等可能概率计算；列举法求概率；放回试验特征
【点评】
本题考查概率的基础计算，解题关键是准确列举所有等可能结果，避免遗漏或重复计数，熟练掌握概率的基本计算公式即可快速求解，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
6. 学生在选科时，需要在历史和物理2科中选择1科，在思想政治、地理、化学、生物学4科中再选择2科.某同学从思想政治、地理、化学、生物学中随机选择2科，恰好选择地理和化学的概率为 .
答案
解：设思想政治、地理、化学、生物学分别记为A、B、C、D。
从4科中随机选择2科，所有等可能的结果为：(A,B)、(A,C)、(A,D)、(B,C)、(B,D)、(C,D)，共6种。
其中恰好选择地理和化学的结果只有1种。
因此所求概率为$P=\frac{1}{6}$。
从4科中随机选择2科，所有等可能的结果为：(A,B)、(A,C)、(A,D)、(B,C)、(B,D)、(C,D)，共6种。
其中恰好选择地理和化学的结果只有1种。
因此所求概率为$P=\frac{1}{6}$。
解析
【分析】
这是一道等可能情形下的概率计算基础题，解题思路如下：首先我们可以给4个备选科目做标记，方便后续列举；接着用枚举法不重不漏地列出从4科中任选2科的所有等可能结果，统计总结果数；再找出恰好选中地理和化学的结果数，最后根据概率的计算公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的总结果数”即可求出答案。
【解析】
设思想政治、地理、化学、生物学分别记为A、B、C、D。
从4科中随机选择2科，所有等可能的结果为：(A,B)、(A,C)、(A,D)、(B,C)、(B,D)、(C,D)，共6种。
其中恰好选择地理和化学的结果只有1种。
因此所求概率为$P=\frac{1}{6}$。
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
等可能事件概率计算，枚举法计数
【点评】
本题考查概率的基础应用，解题关键是列举所有等可能结果时做到不重复、不遗漏，熟练掌握概率的基本计算公式即可快速求解，是概率板块的常规基础题。
【难度系数】
0.8
这是一道等可能情形下的概率计算基础题，解题思路如下：首先我们可以给4个备选科目做标记，方便后续列举；接着用枚举法不重不漏地列出从4科中任选2科的所有等可能结果，统计总结果数；再找出恰好选中地理和化学的结果数，最后根据概率的计算公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的总结果数”即可求出答案。
【解析】
设思想政治、地理、化学、生物学分别记为A、B、C、D。
从4科中随机选择2科，所有等可能的结果为：(A,B)、(A,C)、(A,D)、(B,C)、(B,D)、(C,D)，共6种。
其中恰好选择地理和化学的结果只有1种。
因此所求概率为$P=\frac{1}{6}$。
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
等可能事件概率计算，枚举法计数
【点评】
本题考查概率的基础应用，解题关键是列举所有等可能结果时做到不重复、不遗漏，熟练掌握概率的基本计算公式即可快速求解，是概率板块的常规基础题。
【难度系数】
0.8
三、解答题
7. 100张彩票上分别标有1，2，3，…，100的号码，只有摸中的号码是7的倍数的彩票才获奖，小明随机摸出一张，那么他中奖的概率是多少？
7. 100张彩票上分别标有1，2，3，…，100的号码，只有摸中的号码是7的倍数的彩票才获奖，小明随机摸出一张，那么他中奖的概率是多少？
答案
解：
从100张标有1到100号码的彩票中随机摸出1张，共有100种等可能的结果。
1到100中，号码是7的倍数的数为：7、14、21、28、35、42、49、56、63、70、77、84、91、98，共14个，即中奖的结果共有14种。
根据等可能情形下的概率计算公式：
$P(\mathrm{中奖})=\frac{\mathrm{中奖的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}=\frac{14}{100}=\frac{7}{50}$
答：小明中奖的概率是$\frac{7}{50}$。
从100张标有1到100号码的彩票中随机摸出1张，共有100种等可能的结果。
1到100中，号码是7的倍数的数为：7、14、21、28、35、42、49、56、63、70、77、84、91、98，共14个，即中奖的结果共有14种。
根据等可能情形下的概率计算公式：
$P(\mathrm{中奖})=\frac{\mathrm{中奖的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}=\frac{14}{100}=\frac{7}{50}$
答：小明中奖的概率是$\frac{7}{50}$。
解析
【分析】
这是一道等可能情形下的概率计算问题，解题思路可分为三步：第一步先确定总等可能结果数，从1到100中随机摸1张彩票，共有100种机会均等的结果；第二步统计符合中奖条件的结果数，即找出1~100中所有7的倍数的个数，可通过列举法或用100除以7取整数商得到个数；第三步代入等可能事件的概率公式，用中奖结果数除以总结果数，化简后即可得到中奖概率。
【解析】
从100张标有1到100号码的彩票中随机摸出1张，共有100种等可能的结果。
1到100中，号码是7的倍数的数为：7、14、21、28、35、42、49、56、63、70、77、84、91、98，共14个，即中奖的结果共有14种。
根据等可能情形下的概率计算公式：
$P(\mathrm{中奖})=\frac{\mathrm{中奖的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}=\frac{14}{100}=\frac{7}{50}$
【答案】
$\frac{7}{50}$
【知识点】
等可能事件概率计算、倍数的判定
【点评】
本题属于概率基础题，重点考查对概率公式的理解和运用，解题的关键是准确统计符合中奖条件的结果数，避免漏数、多数7的倍数，掌握基础概念即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
这是一道等可能情形下的概率计算问题，解题思路可分为三步：第一步先确定总等可能结果数，从1到100中随机摸1张彩票，共有100种机会均等的结果；第二步统计符合中奖条件的结果数，即找出1~100中所有7的倍数的个数，可通过列举法或用100除以7取整数商得到个数；第三步代入等可能事件的概率公式，用中奖结果数除以总结果数，化简后即可得到中奖概率。
【解析】
从100张标有1到100号码的彩票中随机摸出1张，共有100种等可能的结果。
1到100中，号码是7的倍数的数为：7、14、21、28、35、42、49、56、63、70、77、84、91、98，共14个，即中奖的结果共有14种。
根据等可能情形下的概率计算公式：
$P(\mathrm{中奖})=\frac{\mathrm{中奖的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}=\frac{14}{100}=\frac{7}{50}$
【答案】
$\frac{7}{50}$
【知识点】
等可能事件概率计算、倍数的判定
【点评】
本题属于概率基础题，重点考查对概率公式的理解和运用，解题的关键是准确统计符合中奖条件的结果数，避免漏数、多数7的倍数，掌握基础概念即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
