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1.在平面直角坐标系中，若点$M(m,n)$与点$Q(-2,3)$关于原点对称，则点$P(m -n,n)$所在的象限是（）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
D
解析
【分析】
解题时先根据“关于原点对称的点，横、纵坐标都互为相反数”的性质，求出m、n的值；再将m、n代入点P的坐标表达式，计算得到点P的横、纵坐标；最后根据平面直角坐标系各象限内点的坐标符号特征，判断点P所在象限即可。
【解析】
∵ 点$M(m,n)$与点$Q(-2,3)$关于原点对称，
根据关于原点对称的点的坐标性质：关于原点对称的两个点，横、纵坐标均互为相反数，
∴ $m = -(-2) = 2$，$n = -3$，
∴ $m - n = 2 - (-3) = 5$，
∴ 点P的坐标为$(5, -3)$，
∵ 第四象限内点的坐标符号特征为$(+, -)$，
∴ 点P在第四象限。
【答案】
D
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征；象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，主要考查原点对称的坐标性质与平面直角坐标系象限的判断，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.85
解题时先根据“关于原点对称的点，横、纵坐标都互为相反数”的性质，求出m、n的值；再将m、n代入点P的坐标表达式，计算得到点P的横、纵坐标；最后根据平面直角坐标系各象限内点的坐标符号特征，判断点P所在象限即可。
【解析】
∵ 点$M(m,n)$与点$Q(-2,3)$关于原点对称，
根据关于原点对称的点的坐标性质：关于原点对称的两个点，横、纵坐标均互为相反数，
∴ $m = -(-2) = 2$，$n = -3$，
∴ $m - n = 2 - (-3) = 5$，
∴ 点P的坐标为$(5, -3)$，
∵ 第四象限内点的坐标符号特征为$(+, -)$，
∴ 点P在第四象限。
【答案】
D
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征；象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，主要考查原点对称的坐标性质与平面直角坐标系象限的判断，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.85
2.已知点$A(-1,a)$与点$B(b,2)$关于原点对称,则$a+b$的值是 ()
A.$-1$
B.$1$
C.$-2$
D.$2$
A.$-1$
B.$1$
C.$-2$
D.$2$
答案
A
解析
【分析】
解题时首先回忆关于原点对称的点的坐标性质：两个点关于原点对称时，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。我们可以利用这个性质，结合已知点A、B的坐标，先分别求出a和b的值，再代入计算a+b的结果即可。
【解析】
解：
∵关于原点对称的两个点，横、纵坐标均互为相反数，
点$A(-1,a)$与点$B(b,2)$关于原点对称，
∴$b=-(-1)=1$，$a=-2$，
∴$a+b=-2+1=-1$。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征、有理数的加法运算
【点评】
本题属于基础题，主要考查对原点对称点坐标规律的掌握情况，熟记坐标变化规则、计算时注意符号即可正确解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆关于原点对称的点的坐标性质：两个点关于原点对称时，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。我们可以利用这个性质，结合已知点A、B的坐标，先分别求出a和b的值，再代入计算a+b的结果即可。
【解析】
解：
∵关于原点对称的两个点，横、纵坐标均互为相反数，
点$A(-1,a)$与点$B(b,2)$关于原点对称，
∴$b=-(-1)=1$，$a=-2$，
∴$a+b=-2+1=-1$。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征、有理数的加法运算
【点评】
本题属于基础题，主要考查对原点对称点坐标规律的掌握情况，熟记坐标变化规则、计算时注意符号即可正确解答。
【难度系数】
0.8
3. 在平面直角坐标系中，点$A(-2,1)$与点$B(2,-1)$关于 （）
A.$x$轴对称
B.$y$轴对称
C.原点对称
D.以上都不对
A.$x$轴对称
B.$y$轴对称
C.原点对称
D.以上都不对
答案
C
解析
【分析】
解题时首先要明确平面直角坐标系中不同对称类型对应的点的坐标变化规律，再将已知两点的横、纵坐标分别对比，匹配对应的对称类型即可。首先回忆三类对称的坐标规律：①关于x轴对称的两点，横坐标相等，纵坐标互为相反数；②关于y轴对称的两点，纵坐标相等，横坐标互为相反数；③关于原点对称的两点，横、纵坐标均互为相反数。接下来逐一对两点坐标特征进行验证即可得出答案。
【解析】
我们依次验证各选项对应的坐标特征：
1. 验证x轴对称：关于x轴对称的两点横坐标相同、纵坐标互为相反数。点A横坐标为-2，点B横坐标为2，二者不相等，不符合x轴对称特征，排除A选项；
2. 验证y轴对称：关于y轴对称的两点纵坐标相同、横坐标互为相反数。点A纵坐标为1，点B纵坐标为-1，二者不相等，不符合y轴对称特征，排除B选项；
3. 验证原点对称：关于原点对称的两点横、纵坐标均互为相反数。点A的横坐标-2与点B的横坐标2互为相反数，点A的纵坐标1与点B的纵坐标-1也互为相反数，完全符合原点对称的特征。
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 原点对称的坐标特征
2. 坐标轴对称的坐标特征
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是区分不同对称类型下点的坐标变化规律，只要准确记忆相关规律，就能快速选出正确答案，做题时注意不要混淆各类对称的坐标变化特点。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确平面直角坐标系中不同对称类型对应的点的坐标变化规律，再将已知两点的横、纵坐标分别对比，匹配对应的对称类型即可。首先回忆三类对称的坐标规律：①关于x轴对称的两点，横坐标相等，纵坐标互为相反数；②关于y轴对称的两点，纵坐标相等，横坐标互为相反数；③关于原点对称的两点，横、纵坐标均互为相反数。接下来逐一对两点坐标特征进行验证即可得出答案。
【解析】
我们依次验证各选项对应的坐标特征：
1. 验证x轴对称：关于x轴对称的两点横坐标相同、纵坐标互为相反数。点A横坐标为-2，点B横坐标为2，二者不相等，不符合x轴对称特征，排除A选项；
2. 验证y轴对称：关于y轴对称的两点纵坐标相同、横坐标互为相反数。点A纵坐标为1，点B纵坐标为-1，二者不相等，不符合y轴对称特征，排除B选项；
3. 验证原点对称：关于原点对称的两点横、纵坐标均互为相反数。点A的横坐标-2与点B的横坐标2互为相反数，点A的纵坐标1与点B的纵坐标-1也互为相反数，完全符合原点对称的特征。
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 原点对称的坐标特征
2. 坐标轴对称的坐标特征
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是区分不同对称类型下点的坐标变化规律，只要准确记忆相关规律，就能快速选出正确答案，做题时注意不要混淆各类对称的坐标变化特点。
【难度系数】
0.9
4.如图,将△ABC绕点C(0,1)旋转180°得到△A'B'C,设点A的坐标为(a,b),则点A'的坐标为 ()
A.(-a,-b)
B.(-a,-b-1)
C.(-a,-b+1)
D.(-a,-b+2)
A.(-a,-b)
B.(-a,-b-1)
C.(-a,-b+1)
D.(-a,-b+2)
答案
D
解析
【分析】
首先明确将△ABC绕点C旋转180°得到△A'B'C时，点A与点A'关于点C中心对称，即点C是线段AA'的中点。接下来利用中点坐标公式，结合已知的点A和点C的坐标，列方程即可求解点A'的坐标。
【解析】
设点A'的坐标为$(x,y)$。
∵ △ABC绕点$C(0,1)$旋转180°得到△A'B'C，
∴ 点C是线段$AA'$的中点。
根据中点坐标公式：若两点坐标分别为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则它们的中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$。
已知点A坐标为$(a,b)$，中点C坐标为$(0,1)$，可得方程组：
$\begin{cases}\frac{a+x}{2}=0 \\\frac{b+y}{2}=1\end{cases}$
解第一个方程：$a+x=0$，得$x=-a$；
解第二个方程：$b+y=2$，得$y=2-b=-b+2$。
因此点A'的坐标为$(-a,-b+2)$。
【答案】
D
【知识点】
中心对称的性质；中点坐标公式；坐标与旋转变换
【点评】
本题解题核心是理解旋转180°后对应点关于旋转中心中心对称，熟练运用中点坐标公式列方程求解即可，属于常考基础题型，注意不要误将旋转中心当成原点导致计算错误。
【难度系数】
0.7
首先明确将△ABC绕点C旋转180°得到△A'B'C时，点A与点A'关于点C中心对称，即点C是线段AA'的中点。接下来利用中点坐标公式，结合已知的点A和点C的坐标，列方程即可求解点A'的坐标。
【解析】
设点A'的坐标为$(x,y)$。
∵ △ABC绕点$C(0,1)$旋转180°得到△A'B'C，
∴ 点C是线段$AA'$的中点。
根据中点坐标公式：若两点坐标分别为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则它们的中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$。
已知点A坐标为$(a,b)$，中点C坐标为$(0,1)$，可得方程组：
$\begin{cases}\frac{a+x}{2}=0 \\\frac{b+y}{2}=1\end{cases}$
解第一个方程：$a+x=0$，得$x=-a$；
解第二个方程：$b+y=2$，得$y=2-b=-b+2$。
因此点A'的坐标为$(-a,-b+2)$。
【答案】
D
【知识点】
中心对称的性质；中点坐标公式；坐标与旋转变换
【点评】
本题解题核心是理解旋转180°后对应点关于旋转中心中心对称，熟练运用中点坐标公式列方程求解即可，属于常考基础题型，注意不要误将旋转中心当成原点导致计算错误。
【难度系数】
0.7
5. 点$P(-4,3n+1)$与$Q(2m,-7)$关于原点对称，则$m+n=$.
答案
$\boldsymbol{4}$
解析
【分析】
解题时首先回忆关于原点对称的点的坐标性质：若两个点关于原点对称，则它们的横、纵坐标都互为相反数。结合题中给出的两个对称点的坐标，分别列出关于m、n的一元一次方程，求解得到m、n的值后，代入计算m+n即可。
【解析】
根据关于原点对称的点的坐标特征：关于原点对称的两个点，横、纵坐标均互为相反数。
已知点$P(-4,3n+1)$与$Q(2m,-7)$关于原点对称，因此：
1. 横坐标互为相反数：$2m = -(-4) = 4$，解得$m=2$；
2. 纵坐标互为相反数：$3n+1 = -(-7) =7$，移项得$3n=7-1=6$，解得$n=2$。
将$m=2$，$n=2$代入得：$m+n=2+2=4$。
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征、一元一次方程的解法、代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对原点对称的坐标性质的理解与应用，解题关键是牢记原点对称点的坐标变化规律，注意区分其与关于x轴、y轴对称的坐标特征的差异，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆关于原点对称的点的坐标性质：若两个点关于原点对称，则它们的横、纵坐标都互为相反数。结合题中给出的两个对称点的坐标，分别列出关于m、n的一元一次方程，求解得到m、n的值后，代入计算m+n即可。
【解析】
根据关于原点对称的点的坐标特征：关于原点对称的两个点，横、纵坐标均互为相反数。
已知点$P(-4,3n+1)$与$Q(2m,-7)$关于原点对称，因此：
1. 横坐标互为相反数：$2m = -(-4) = 4$，解得$m=2$；
2. 纵坐标互为相反数：$3n+1 = -(-7) =7$，移项得$3n=7-1=6$，解得$n=2$。
将$m=2$，$n=2$代入得：$m+n=2+2=4$。
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征、一元一次方程的解法、代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对原点对称的坐标性质的理解与应用，解题关键是牢记原点对称点的坐标变化规律，注意区分其与关于x轴、y轴对称的坐标特征的差异，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.8
6.已知点$A(-2m+4,3m-1)$关于原点的对称点位于第三象限，则$m$的取值范围是。
答案
解：
点$A(-2m+4,3m-1)$关于原点的对称点的坐标为$(2m-4, -3m+1)$。
∵该对称点位于第三象限，第三象限内点的横、纵坐标均小于0，
∴可得不等式组：
$\begin{cases}2m - 4 ＜ 0 \\-3m + 1 ＜ 0\end{cases}$
解不等式$2m - 4 ＜ 0$，得$m ＜ 2$，
解不等式$-3m + 1 ＜ 0$，得$m ＞ \frac{1}{3}$，
∴$m$的取值范围是$\frac{1}{3} ＜ m ＜ 2$。
点$A(-2m+4,3m-1)$关于原点的对称点的坐标为$(2m-4, -3m+1)$。
∵该对称点位于第三象限，第三象限内点的横、纵坐标均小于0，
∴可得不等式组：
$\begin{cases}2m - 4 ＜ 0 \\-3m + 1 ＜ 0\end{cases}$
解不等式$2m - 4 ＜ 0$，得$m ＜ 2$，
解不等式$-3m + 1 ＜ 0$，得$m ＞ \frac{1}{3}$，
∴$m$的取值范围是$\frac{1}{3} ＜ m ＜ 2$。
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按三步思路推导：第一步，依据关于原点对称的点的坐标规律，写出点A的对称点坐标；第二步，结合第三象限内点的横、纵坐标均小于0的特征，列出关于m的一元一次不等式组；第三步，分别求解两个不等式，取解集的公共部分，即可得到m的取值范围。
【解析】
首先，根据“关于原点对称的点，横、纵坐标均互为相反数”，可得点$A(-2m+4,3m-1)$关于原点的对称点坐标为$(2m-4, -3m+1)$。
已知该对称点位于第三象限，第三象限内点的横、纵坐标均小于0，因此列不等式组：
$\begin{cases}2m - 4 ＜ 0 \\-3m + 1 ＜ 0\end{cases}$
解不等式$2m - 4 ＜ 0$：
移项得$2m ＜ 4$，两边同时除以2，得$m ＜ 2$。
解不等式$-3m + 1 ＜ 0$：
移项得$-3m ＜ -1$，两边同时除以-3（不等号方向改变），得$m ＞ \frac{1}{3}$。
取两个解集的公共部分，最终得到m的取值范围。
【答案】
$\frac{1}{3} ＜ m ＜ 2$
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征；象限内点的坐标符号；一元一次不等式组的解法
【点评】
本题属于基础综合题，核心是将坐标性质与不等式求解结合，解题关键是正确推导对称点坐标，解带负系数的不等式时要注意不等号方向的变化，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以按三步思路推导：第一步，依据关于原点对称的点的坐标规律，写出点A的对称点坐标；第二步，结合第三象限内点的横、纵坐标均小于0的特征，列出关于m的一元一次不等式组；第三步，分别求解两个不等式，取解集的公共部分，即可得到m的取值范围。
【解析】
首先，根据“关于原点对称的点，横、纵坐标均互为相反数”，可得点$A(-2m+4,3m-1)$关于原点的对称点坐标为$(2m-4, -3m+1)$。
已知该对称点位于第三象限，第三象限内点的横、纵坐标均小于0，因此列不等式组：
$\begin{cases}2m - 4 ＜ 0 \\-3m + 1 ＜ 0\end{cases}$
解不等式$2m - 4 ＜ 0$：
移项得$2m ＜ 4$，两边同时除以2，得$m ＜ 2$。
解不等式$-3m + 1 ＜ 0$：
移项得$-3m ＜ -1$，两边同时除以-3（不等号方向改变），得$m ＞ \frac{1}{3}$。
取两个解集的公共部分，最终得到m的取值范围。
【答案】
$\frac{1}{3} ＜ m ＜ 2$
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征；象限内点的坐标符号；一元一次不等式组的解法
【点评】
本题属于基础综合题，核心是将坐标性质与不等式求解结合，解题关键是正确推导对称点坐标，解带负系数的不等式时要注意不等号方向的变化，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
7.点A(x,y)在第二象限内，且|x|=2，|y|=3，则点A关于原点对称的点的坐标为。
答案
解：
∵点A(x,y)在第二象限内，
∴x＜0，y＞0，
又∵|x|=2，|y|=3，
∴x=-2，y=3，即点A的坐标为(-2, 3)。
根据关于原点对称的点的坐标性质：两点关于原点对称时，横、纵坐标分别互为相反数，
∴点A关于原点对称的点的坐标为(2, -3)。
∵点A(x,y)在第二象限内，
∴x＜0，y＞0，
又∵|x|=2，|y|=3，
∴x=-2，y=3，即点A的坐标为(-2, 3)。
根据关于原点对称的点的坐标性质：两点关于原点对称时，横、纵坐标分别互为相反数，
∴点A关于原点对称的点的坐标为(2, -3)。
解析
【分析】
解题时首先需要确定点A的坐标：第一步先根据第二象限内点的坐标特征，明确横坐标为负、纵坐标为正；第二步结合绝对值的性质求出x、y的具体值，得到点A的坐标；最后利用关于原点对称的点的坐标性质，即横、纵坐标分别互为相反数，计算得到对称点的坐标。
【解析】
∵点A(x,y)在第二象限内，
∴x＜0，y＞0，
又
∵|x|=2，|y|=3，
∴x=-2，y=3，即点A的坐标为(-2, 3)。
根据关于原点对称的点的坐标性质：两点关于原点对称时，横、纵坐标分别互为相反数，
∴点A关于原点对称的点的坐标为(2, -3)。
【答案】
(2, -3)
【知识点】
象限内点的坐标特征；绝对值的性质；关于原点对称的点的坐标规律
【点评】
本题属于基础题型，综合考查平面直角坐标系的基础概念和对称点的坐标变化规律，解题时注意先准确判断点A的坐标符号，不要混淆不同对称方式对应的坐标变化规则即可顺利求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先需要确定点A的坐标：第一步先根据第二象限内点的坐标特征，明确横坐标为负、纵坐标为正；第二步结合绝对值的性质求出x、y的具体值，得到点A的坐标；最后利用关于原点对称的点的坐标性质，即横、纵坐标分别互为相反数，计算得到对称点的坐标。
【解析】
∵点A(x,y)在第二象限内，
∴x＜0，y＞0，
又
∵|x|=2，|y|=3，
∴x=-2，y=3，即点A的坐标为(-2, 3)。
根据关于原点对称的点的坐标性质：两点关于原点对称时，横、纵坐标分别互为相反数，
∴点A关于原点对称的点的坐标为(2, -3)。
【答案】
(2, -3)
【知识点】
象限内点的坐标特征；绝对值的性质；关于原点对称的点的坐标规律
【点评】
本题属于基础题型，综合考查平面直角坐标系的基础概念和对称点的坐标变化规律，解题时注意先准确判断点A的坐标符号，不要混淆不同对称方式对应的坐标变化规则即可顺利求解。
【难度系数】
0.9
8.若将等腰直角三角形AOB按如图所示放置，斜边OB与x轴重合，OB＝4，则点A关于原点对称的点的坐标为。
答案
解：过点A作AC⊥x轴于点C。
∵△AOB是等腰直角三角形，斜边OB=4，
∴AC是斜边OB上的中线，
∴OC = AC = $\frac{1}{2}$OB = 2，
∴点A的坐标为$(2, 2)$。
根据关于原点对称的点的坐标性质，两点关于原点对称时横、纵坐标均互为相反数，
∴点A关于原点对称的点的坐标为$\boldsymbol{(-2, -2)}$。
∵△AOB是等腰直角三角形，斜边OB=4，
∴AC是斜边OB上的中线，
∴OC = AC = $\frac{1}{2}$OB = 2，
∴点A的坐标为$(2, 2)$。
根据关于原点对称的点的坐标性质，两点关于原点对称时横、纵坐标均互为相反数，
∴点A关于原点对称的点的坐标为$\boldsymbol{(-2, -2)}$。
解析
【分析】
要解决本题，首先需要求出点A的坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特征得到最终结果。首先，等腰直角三角形斜边上的高同时是斜边的中线，长度等于斜边的一半，我们可以过点A作x轴的垂线，利用该性质求出点A的横、纵坐标，再根据“关于原点对称的点，横、纵坐标均互为相反数”的规律，即可得到所求点的坐标。
【解析】
过点A作AC⊥x轴于点C。
∵△AOB是等腰直角三角形，斜边OB=4，
∴AC是斜边OB上的中线，
∴OC = AC = $\frac{1}{2}$OB = 2，
∴点A的坐标为$(2, 2)$。
∵关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，
∴点A关于原点对称的点的坐标为$(-2, -2)$。
【答案】
$(-2,-2)$
【知识点】
1.等腰直角三角形的性质
2.关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，解题核心是先利用等腰直角三角形的性质确定点A的坐标，再结合原点对称的坐标规律求解，掌握相关性质和规律即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先需要求出点A的坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特征得到最终结果。首先，等腰直角三角形斜边上的高同时是斜边的中线，长度等于斜边的一半，我们可以过点A作x轴的垂线，利用该性质求出点A的横、纵坐标，再根据“关于原点对称的点，横、纵坐标均互为相反数”的规律，即可得到所求点的坐标。
【解析】
过点A作AC⊥x轴于点C。
∵△AOB是等腰直角三角形，斜边OB=4，
∴AC是斜边OB上的中线，
∴OC = AC = $\frac{1}{2}$OB = 2，
∴点A的坐标为$(2, 2)$。
∵关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，
∴点A关于原点对称的点的坐标为$(-2, -2)$。
【答案】
$(-2,-2)$
【知识点】
1.等腰直角三角形的性质
2.关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，解题核心是先利用等腰直角三角形的性质确定点A的坐标，再结合原点对称的坐标规律求解，掌握相关性质和规律即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
9. 与抛物线 $y=x^2 -2x -3$ 关于原点对称的抛物线的解析式为.
答案
$\boldsymbol{y=-x^2-2x+3}$
解析
【分析】
要解决函数图象关于原点对称的解析式问题，首先牢记关于原点对称的点的坐标规律：点(x,y)关于原点对称的点为(-x,-y)。解题思路如下：①设所求抛物线上任意一点的坐标为(x,y)，则该点关于原点的对称点一定在原抛物线上；②写出对称点的坐标，将其代入原抛物线的解析式；③整理式子得到y关于x的表达式，即为所求的对称抛物线的解析式。
【解析】
设所求抛物线上任意一点的坐标为(x,y)，则该点关于原点对称的点的坐标为(-x,-y)。
∵ 点(-x,-y)在原抛物线$y=x^2 -2x -3$上，
∴ 将x替换为-x，y替换为-y代入原解析式，得：
$-y = (-x)^2 - 2×(-x) - 3$
化简等号右侧：$-y = x^2 + 2x - 3$
两边同时乘-1，得：$y = -x^2 -2x +3$
【答案】
$\boldsymbol{y=-x^2-2x+3}$
【知识点】
1. 原点对称的点的坐标性质 2. 二次函数的对称变换
【点评】
本题考查二次函数图象关于原点对称的解析式求解，核心是利用对称点的坐标关系代入原解析式化简，掌握对称点坐标规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要解决函数图象关于原点对称的解析式问题，首先牢记关于原点对称的点的坐标规律：点(x,y)关于原点对称的点为(-x,-y)。解题思路如下：①设所求抛物线上任意一点的坐标为(x,y)，则该点关于原点的对称点一定在原抛物线上；②写出对称点的坐标，将其代入原抛物线的解析式；③整理式子得到y关于x的表达式，即为所求的对称抛物线的解析式。
【解析】
设所求抛物线上任意一点的坐标为(x,y)，则该点关于原点对称的点的坐标为(-x,-y)。
∵ 点(-x,-y)在原抛物线$y=x^2 -2x -3$上，
∴ 将x替换为-x，y替换为-y代入原解析式，得：
$-y = (-x)^2 - 2×(-x) - 3$
化简等号右侧：$-y = x^2 + 2x - 3$
两边同时乘-1，得：$y = -x^2 -2x +3$
【答案】
$\boldsymbol{y=-x^2-2x+3}$
【知识点】
1. 原点对称的点的坐标性质 2. 二次函数的对称变换
【点评】
本题考查二次函数图象关于原点对称的解析式求解，核心是利用对称点的坐标关系代入原解析式化简，掌握对称点坐标规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
10.如图，△DEF是△ABC经过某种变换得到的图形，点A与点D、点B与点E、点C与点F分别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题：
(1)请写出下列对应点的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征：
A(2,3)与D；B与E(-1,-2)；C(3,1)与F；对应点坐标的特征是横坐标、纵坐标均。
(2)若点P(a+3,4−b)与点Q(2a,2b−3)也是通过上述变换得到的对应点，求a,b的值。
(1)请写出下列对应点的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征：
A(2,3)与D；B与E(-1,-2)；C(3,1)与F；对应点坐标的特征是横坐标、纵坐标均。
(2)若点P(a+3,4−b)与点Q(2a,2b−3)也是通过上述变换得到的对应点，求a,b的值。
答案
解：
(1) $A(2,3)$与$D\boldsymbol{(-2,-3)}$；$B\boldsymbol{(1,2)}$与$E(-1,-2)$；$C(3,1)$与$F\boldsymbol{(-3,-1)}$；对应点坐标的特征是横坐标、纵坐标均互为相反数。
(2) 由上述变换的坐标特征可知，关于原点对称的对应点横、纵坐标分别互为相反数，因此列方程组：
$\begin{cases}a+3 = -2a \\4-b = -(2b-3)\end{cases}$
解第一个方程：
$a+3=-2a$
$3a=-3$
$a=-1$
解第二个方程：
$4-b=-2b+3$
$b=-1$
综上，$a=-1$，$b=-1$。
(1) $A(2,3)$与$D\boldsymbol{(-2,-3)}$；$B\boldsymbol{(1,2)}$与$E(-1,-2)$；$C(3,1)$与$F\boldsymbol{(-3,-1)}$；对应点坐标的特征是横坐标、纵坐标均互为相反数。
(2) 由上述变换的坐标特征可知，关于原点对称的对应点横、纵坐标分别互为相反数，因此列方程组：
$\begin{cases}a+3 = -2a \\4-b = -(2b-3)\end{cases}$
解第一个方程：
$a+3=-2a$
$3a=-3$
$a=-1$
解第二个方程：
$4-b=-2b+3$
$b=-1$
综上，$a=-1$，$b=-1$。
解析
【分析】
(1) 首先根据平面直角坐标系的网格读取各对应点的坐标，再对比每组对应点的横、纵坐标，总结坐标变化规律：观察可知两组点是关于原点对称的关系，对应点横、纵坐标分别互为相反数。
(2) 利用第一问总结出的对应点坐标特征，将点P和点Q的坐标代入规律，列出关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出a、b的值。
【解析】
(1) 观察坐标系网格可得：
A(2,3)的对应点D坐标为$\boldsymbol{(-2,-3)}$；
E(-1,-2)的对应点B坐标为$\boldsymbol{(1,2)}$；
C(3,1)的对应点F坐标为$\boldsymbol{(-3,-1)}$。
对比三组对应点的坐标，发现每组对应点的横坐标之和为0、纵坐标之和为0，因此对应点坐标的特征是横坐标、纵坐标均互为相反数。
(2) 根据上述变换的坐标特征，关于原点对称的对应点横、纵坐标分别互为相反数，可列方程组：
$\begin{cases}a+3 = -2a \\4-b = -(2b-3)\end{cases}$
解第一个方程：
移项合并同类项得$3a=-3$，解得$a=-1$。
解第二个方程：
去括号得$4-b=-2b+3$，移项合并同类项得$b=-1$。
【答案】
(1) $(-2,-3)$；$(1,2)$；$(-3,-1)$；互为相反数
(2) $a=-1$，$b=-1$
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征，二元一次方程组的解法
【点评】
本题从观察已知点坐标总结规律出发，再将规律应用到未知点的求解中，既考查了对原点对称坐标性质的理解，也考查了方程思想的应用，注重基础能力的考查。
【难度系数】
0.8
(1) 首先根据平面直角坐标系的网格读取各对应点的坐标，再对比每组对应点的横、纵坐标，总结坐标变化规律：观察可知两组点是关于原点对称的关系，对应点横、纵坐标分别互为相反数。
(2) 利用第一问总结出的对应点坐标特征，将点P和点Q的坐标代入规律，列出关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出a、b的值。
【解析】
(1) 观察坐标系网格可得：
A(2,3)的对应点D坐标为$\boldsymbol{(-2,-3)}$；
E(-1,-2)的对应点B坐标为$\boldsymbol{(1,2)}$；
C(3,1)的对应点F坐标为$\boldsymbol{(-3,-1)}$。
对比三组对应点的坐标，发现每组对应点的横坐标之和为0、纵坐标之和为0，因此对应点坐标的特征是横坐标、纵坐标均互为相反数。
(2) 根据上述变换的坐标特征，关于原点对称的对应点横、纵坐标分别互为相反数，可列方程组：
$\begin{cases}a+3 = -2a \\4-b = -(2b-3)\end{cases}$
解第一个方程：
移项合并同类项得$3a=-3$，解得$a=-1$。
解第二个方程：
去括号得$4-b=-2b+3$，移项合并同类项得$b=-1$。
【答案】
(1) $(-2,-3)$；$(1,2)$；$(-3,-1)$；互为相反数
(2) $a=-1$，$b=-1$
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征，二元一次方程组的解法
【点评】
本题从观察已知点坐标总结规律出发，再将规律应用到未知点的求解中，既考查了对原点对称坐标性质的理解，也考查了方程思想的应用，注重基础能力的考查。
【难度系数】
0.8
