1. 已知$\mathrm{Rt}△ ABC$，在下列情况中，$\mathrm{Rt}△ ABC$可解的是 （）

A.已知$a=3$，$∠ C=90°$
B.已知$∠ B=36°$，$∠ C=90°$
C.已知$a=3$，$∠ B=36°$
D.已知$∠ B=36°$，$∠ A=54°$

1.C

【分析】
要判断直角三角形是否可解，首先明确解直角三角形的核心要求：需要求出直角三角形除直角外的所有未知边和未知角，因此已知条件必须能同时确定三角形的形状和大小。仅知道角度的话，只能确定三角形的形状（所有满足角度条件的三角形都相似），无法确定边长大小，所以除直角外的两个已知元素中必须至少有一个是边，我们据此逐一分析选项即可。
【解析】
首先明确定义：解直角三角形是指已知直角三角形除直角外的2个元素（至少有1个是边），求出其余所有未知元素的过程。
选项A：仅已知直角$∠ C=90°$和边$a=3$，除直角外只有1个已知元素，无法求出剩余的角$∠ A$、$∠ B$和边$b$、$c$，不可解。
选项B：已知$∠ C=90°$、$∠ B=36°$，除直角外只有1个角的已知条件，虽可求出$∠ A=54°$，但无已知边长，无法确定各边的具体长度，不可解。
选项C：已知$∠ C=90°$、$a=3$、$∠ B=36°$，首先由直角三角形两锐角互余可得$∠ A=90°-36°=54°$；再根据锐角三角函数：$\tan B=\frac{b}{a}$，可得$b=3·\tan36°$；$\cos B=\frac{a}{c}$，可得$c=\frac{3}{\cos36°}$，所有未知元素均可求出，可解。
选项D：已知$∠ B=36°$、$∠ A=54°$，可推出$∠ C=90°$，但三个角都已知却无任何边长，仅能确定三角形形状，无法确定边长大小，不可解。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 解直角三角形的条件
2. 锐角三角函数
3. 直角三角形两锐角互余
【点评】
本题考查解直角三角形的判定，核心是牢记解直角三角形需要满足“除直角外有两个已知元素，且至少包含一条边”，仅已知角度的三角形只有形状确定，大小不唯一，无法求解。
【难度系数】
0.8

2. 在$△ ABC$中，已知$∠ C=90°$，$∠ A$、$∠ B$、$∠ C$的对边分别为$a$、$b$、$c$，且$a=\sqrt{3}$，$c=\sqrt{6}$。下列解该直角三角形的结果中完全正确的一组是（）

A.$∠ A=30°$，$∠ B=60°$，$b=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
B.$∠ A=30°$，$∠ B=60°$，$b=\sqrt{3}$
C.$∠ A=45°$，$∠ B=45°$，$b=\sqrt{3}$
D.$∠ A=45°$，$∠ B=45°$，$b=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$

2.C

【分析】
本题是解直角三角形的基础题型，解题思路清晰：首先利用勾股定理，结合已知的直角边a和斜边c计算出未知直角边b，排除b数值错误的选项；再通过锐角三角函数的定义求出∠A的度数，结合直角三角形两锐角互余求出∠B的度数，最终匹配正确选项即可。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°
① 计算直角边b：
根据勾股定理$a^2+b^2=c^2$，代入$a=\sqrt{3}$，$c=\sqrt{6}$得：
$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{(\sqrt{6})^2-(\sqrt{3})^2}=\sqrt{6-3}=\sqrt{3}$，因此排除b数值错误的A、D选项。
② 计算∠A的度数：
根据正弦的定义$\sin A=\frac{∠A的对边}{斜边}=\frac{a}{c}$，代入数值得：
$\sin A=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
∵∠A是锐角，且$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴∠A=45°
③ 计算∠B的度数：
∵直角三角形两锐角互余
∴∠B=90°-∠A=90°-45°=45°
综上，$∠A=45°$，$∠B=45°$，$b=\sqrt{3}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；特殊角的三角函数值；解直角三角形
【点评】
本题属于基础题，核心考查解直角三角形的基本方法，解题时只要熟练掌握勾股定理、锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值，计算细心就能顺利得出答案。
【难度系数】
0.8

3. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$c=20$，$∠ A=30°$，则$a=$，$b=$，$∠ B=$.

3. $10$，$10\sqrt{3}$，$60°$

【分析】
这是一道解直角三角形的基础题，解题思路如下：第一步先求未知锐角，已知直角三角形中∠C=90°，两锐角互余，因此用90°减去已知锐角∠A即可得到∠B的度数；第二步求直角边a，30°角所对的直角边等于斜边的一半，直接用斜边c的长度乘二分之一就能得到a的长度；第三步求直角边b，可利用勾股定理，代入a和c的长度计算即可，也可通过锐角三角函数的余弦关系求解。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$
1. 求$∠ B$：
根据直角三角形两锐角互余，可得$∠ B=90°-∠ A=90°-30°=60°$
2. 求边$a$：
$\because ∠ A=30°$，30°角所对的直角边等于斜边的一半
$\therefore a=\frac{1}{2}c=\frac{1}{2}×20=10$
3. 求边$b$：
根据勾股定理$a^2+b^2=c^2$，代入数值可得：
$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{20^2-10^2}=\sqrt{400-100}=\sqrt{300}=10\sqrt{3}$
【答案】
$10$，$10\sqrt{3}$，$60°$
【知识点】
直角三角形两锐角互余；含30°角直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，核心考察直角三角形的角、边相关性质，只要熟练掌握特殊直角三角形的特性和基本运算规则，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9

4. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A$、$∠ B$、$∠ C$的对边分别为$a$、$b$、$c$. 根据下列条件解直角三角形.
(1)已知$a=5$，$∠ B=60°$；
(2)已知$a=5\sqrt{2}$，$b=5\sqrt{6}$.

4. 解:(1)在$\mathrm{Rt}△ABC$中,$\because ∠C=90°,∠B=60°$,
$\therefore ∠A=30°$.
$\because a=5,\therefore c=2a=10,b=\sqrt{10^2-5^2}=5\sqrt{3}$.
(2)$\because ∠C=90°,a=5\sqrt{2},b=5\sqrt{6}$,
$\therefore c=\sqrt{(5\sqrt{2})^2+(5\sqrt{6})^2}=10\sqrt{2}$,
$\therefore a=\frac{1}{2}c,\therefore ∠A=30°,∠B=60°$.

【分析】
解直角三角形需利用直角三角形的三类核心关系求解：①角的关系：直角三角形两锐角互余；②边的关系：勾股定理；③边角关系：特殊直角三角形的边与角的对应性质。
(1) 已知直角和锐角$∠ B=60°$，先通过两锐角互余求出$∠ A$，再结合已知直角边$a$，利用30°角所对直角边是斜边一半的性质求斜边$c$，最后用勾股定理求$b$；
(2) 已知两条直角边$a、b$，先通过勾股定理求出斜边$c$，再根据边的比例关系判断对应锐角的度数即可。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$\because ∠C=90°,∠B=60°$，
根据直角三角形两锐角互余，得$∠ A=90°-∠ B=30°$，
$\because ∠ A=30°$所对直角边为$a=5$，30°角所对直角边是斜边的一半，$\therefore c=2a=10$，
再根据勾股定理，得$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{10^2-5^2}=5\sqrt{3}$。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$\because ∠C=90°,a=5\sqrt{2},b=5\sqrt{6}$，
根据勾股定理，得$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(5\sqrt{2})^2+(5\sqrt{6})^2}=\sqrt{50+150}=10\sqrt{2}$，
观察边的关系可得$a=\frac{1}{2}c$，即$a$为斜边$c$的一半，$\therefore a$所对的角$∠ A=30°$，
根据两锐角互余，得$∠ B=90°-∠ A=60°$。
【答案】
(1)$∠ A=30°$，$c=10$，$b=5\sqrt{3}$；
(2)$c=10\sqrt{2}$，$∠ A=30°$，$∠ B=60°$
【知识点】
直角三角形性质；勾股定理；解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，核心考查直角三角形边角关系的应用，解题时需结合已知条件选择合适的关系逐步求解，熟练掌握特殊直角三角形的边角对应规律可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.85

5. 如图,在等边三角形ABC中,点E、F在边BC上,∠EAF=30°,AH是BC边上的高,若$AH=5\sqrt{3}$,$\tan∠BAE=\frac{1}{5}$,则CF等于 ()

A.$5\sqrt{3}-1$
B.$10-\sqrt{3}$
C.$10-2\sqrt{3}$
D.$5-\sqrt{3}$

5.D

【分析】
首先利用等边三角形三线合一的性质，求出等边三角形的边长、BC边中点H分BC所得的BH、HC长度，以及∠BAH=30°；再结合已知∠EAF=30°，通过角度和差的等量关系推导得到∠BAE=∠HAF；最后利用正切的定义在直角三角形AHF中求出HF的长度，用HC减去HF即可得到CF的长度。
【解析】
1. 解：
∵△ABC是等边三角形，AH是BC边上的高
∴AH平分∠BAC，H为BC中点，∠BAH=∠CAH=30°，∠AHC=90°
在Rt△ABH中，$\tan60°=\frac{AH}{BH}$，代入$AH=5\sqrt{3}$得：
$\sqrt{3}=\frac{5\sqrt{3}}{BH}$，解得$BH=5$，因此$HC=BH=5$
2.
∵∠EAF=30°，即$∠ EAH + ∠ HAF=30°$
又
∵$∠ BAE + ∠ EAH=∠ BAH=30°$
∴$∠ BAE=∠ HAF$
3. 已知$\tan∠ BAE=\frac{1}{5}$，则$\tan∠ HAF=\frac{1}{5}$
在Rt△AHF中，$\tan∠ HAF=\frac{HF}{AH}$
代入$AH=5\sqrt{3}$得：$HF=AH×\tan∠ HAF=5\sqrt{3}×\frac{1}{5}=\sqrt{3}$
4. 因此$CF=HC-HF=5-\sqrt{3}$
【答案】
D
【知识点】
等边三角形性质，解直角三角形，正切的定义
【点评】
本题是三角形性质与解直角三角形的综合应用题，解题核心是通过角度的等量代换得到相等的角，再结合三角函数的定义求解线段长度，解题思路清晰，属于常规的中档题型。
【难度系数】
0.6

6 如图,在△ABC中,∠ABC=90°,D为BC的中点,点E在AB上,AD、CE交于点F,AE=EF=4,CF=9,则cos∠ACB的值为 ()


A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{5}{9}$
C.$\frac{5}{12}$
D.$\frac{4}{5}$

6.D 解析:如图,延长 AD 到 M,使得 DM=DF,连接 BM.

$\because BD=DC,∠BDM=∠CDF,DM=DF,\therefore △ BDM≌ △ CDF$,
$\therefore BM=CF=9,∠M=∠CFD$,
$\therefore CE// BM,\therefore ∠AFE=∠M$.
$\because EA=EF,\therefore ∠EAF=∠EFA$,
$\therefore ∠BAM=∠M,\therefore AB=BM=9$.
$\because AE=4,\therefore BE=5.\because ∠EBC=90°$,
$\therefore BC=\sqrt{EC^2-BE^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$,
$\therefore AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{9^2+12^2}=15$,
$\therefore \cos∠ACB=\frac{BC}{AC}=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}$.

【分析】
遇到中点类的几何问题，可优先考虑倍长中线构造全等三角形来转化线段和角的关系。本题我们先通过倍长DF构造全等三角形，将CF转化为BM，同时得到CE与BM平行的关系；再结合AE=EF的等腰等角性质，推导得到AB和BM相等，即可求出AB的长度；随后分别在两个直角三角形中用勾股定理求出BC、AC的长，最后根据余弦的定义计算cos∠ACB的值即可。
【解析】
如图，延长AD到M，使得DM=DF，连接BM。
∵BD=DC，∠BDM=∠CDF，DM=DF，
∴$△ BDM≌△ CDF$（SAS），
∴BM=CF=9，$∠ M=∠ CFD$，
∴$CE// BM$，$\therefore ∠ AFE=∠ M$。
∵EA=EF，$\therefore ∠ EAF=∠ EFA$，
∴$∠ BAM=∠ M$，$\therefore AB=BM=9$。
∵AE=4，$\therefore BE=AB-AE=9-4=5$。
∵$∠ EBC=90°$，$EC=EF+CF=4+9=13$，
∴$BC=\sqrt{EC^2-BE^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$，
在$Rt△ ABC$中，$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{9^2+12^2}=15$，
∴$\cos∠ ACB=\frac{BC}{AC}=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}$。
【答案】D
【知识点】
全等三角形的判定与性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【点评】
本题的核心是掌握倍长中线这一常用辅助线的作法，通过构造全等三角形实现线段关系的转化，再结合等腰三角形性质、勾股定理和三角函数定义求解，对几何辅助线的构造能力有一定考查。
【难度系数】
0.6