登录
7 如图所示，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=2，CD=8。连接AC，若AC⊥CD，且$\sin∠ ACB=\frac{1}{3}$，则AD长度是
10
。答案
7.10
解析
【分析】
解题时先观察图形，可知存在两个直角三角形Rt△ABC和Rt△ACD，要求AD的长度，已知CD的长度，因此需要先求出公共边AC的长度。首先在Rt△ABC中，利用锐角三角函数中正弦的定义，结合已知的$\sin∠ ACB$和AB的长度，即可算出AC的长度；再在Rt△ACD中，利用勾股定理，代入AC和CD的长度就能求出AD的长度。
【解析】
解：在Rt△ABC中，$∠ B=90°$，
根据正弦的定义，$\sin∠ ACB=\frac{AB}{AC}$，
已知$\sin∠ ACB=\frac{1}{3}$，$AB=2$，
代入得：$\frac{2}{AC}=\frac{1}{3}$，解得$AC=6$。
又$\because AC⊥ CD$，$\therefore ∠ ACD=90°$，即△ACD为直角三角形，
根据勾股定理可得：$AD^2=AC^2+CD^2$，
将$AC=6$，$CD=8$代入得：
$AD^2=6^2+8^2=36+64=100$，
$\because AD$为线段长度，为正数，$\therefore AD=10$。
【答案】
10
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理
【点评】
本题是基础的几何计算类题目，解题的关键是明确两个直角三角形的公共边AC为过渡量，先通过解直角三角形求出AC，再用勾股定理计算目标边的长度，解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形，可知存在两个直角三角形Rt△ABC和Rt△ACD，要求AD的长度，已知CD的长度，因此需要先求出公共边AC的长度。首先在Rt△ABC中，利用锐角三角函数中正弦的定义，结合已知的$\sin∠ ACB$和AB的长度，即可算出AC的长度；再在Rt△ACD中，利用勾股定理，代入AC和CD的长度就能求出AD的长度。
【解析】
解：在Rt△ABC中，$∠ B=90°$，
根据正弦的定义，$\sin∠ ACB=\frac{AB}{AC}$，
已知$\sin∠ ACB=\frac{1}{3}$，$AB=2$，
代入得：$\frac{2}{AC}=\frac{1}{3}$，解得$AC=6$。
又$\because AC⊥ CD$，$\therefore ∠ ACD=90°$，即△ACD为直角三角形，
根据勾股定理可得：$AD^2=AC^2+CD^2$，
将$AC=6$，$CD=8$代入得：
$AD^2=6^2+8^2=36+64=100$，
$\because AD$为线段长度，为正数，$\therefore AD=10$。
【答案】
10
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理
【点评】
本题是基础的几何计算类题目，解题的关键是明确两个直角三角形的公共边AC为过渡量，先通过解直角三角形求出AC，再用勾股定理计算目标边的长度，解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7
8. 如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,且b=30,∠B=25°,求这个直角三角形的其他元素.(参考数据:sin25°≈0.423,cos25°≈0.906,tan25°≈0.466,边长精确到1)
答案
8. 解:在$\mathrm{Rt}△ABC$中,$∠B=25°,∠C=90°$,
$\therefore ∠A=180°-∠C-∠B=65°$.
$\because \sin B=\frac{b}{c},b=30,\therefore c=\frac{b}{\sin B}=\frac{30}{\sin 25°}\approx71$.
$\because \tan B=\frac{b}{a},b=30,\therefore a=\frac{b}{\tan B}=\frac{30}{\tan 25°}\approx64$.
综上,$∠A=65°,c\approx71,a\approx64$.
$\therefore ∠A=180°-∠C-∠B=65°$.
$\because \sin B=\frac{b}{c},b=30,\therefore c=\frac{b}{\sin B}=\frac{30}{\sin 25°}\approx71$.
$\because \tan B=\frac{b}{a},b=30,\therefore a=\frac{b}{\tan B}=\frac{30}{\tan 25°}\approx64$.
综上,$∠A=65°,c\approx71,a\approx64$.
解析
【分析】
本题属于解直角三角形的基础题型，已知直角三角形的一个锐角和一条直角边，解题思路如下：①首先利用三角形内角和定理，结合直角为90°的特点，先求出未知锐角∠A的度数；②再根据已知边和已知角的位置关系选择合适的锐角三角函数：已知∠B和它的对边b，求斜边c可选用正弦函数（sinB=对边/斜边=b/c），求∠B的邻边a可选用正切函数（tanB=对边/邻边=b/a），代入已知数值和参考数据计算，结果按要求精确到1即可。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=25°$，
$\therefore ∠ A=180°-∠ C-∠ B=180°-90°-25°=65°$。
$\because \sin B=\frac{b}{c}$，$b=30$，
$\therefore c=\frac{b}{\sin B}=\frac{30}{\sin 25°}\approx\frac{30}{0.423}\approx71$。
$\because \tan B=\frac{b}{a}$，$b=30$，
$\therefore a=\frac{b}{\tan B}=\frac{30}{\tan 25°}\approx\frac{30}{0.466}\approx64$。
【答案】
$∠ A=65°$，$c\approx71$，$a\approx64$
【知识点】
直角三角形内角性质，锐角三角函数，解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形的常规基础题，解题核心是根据已知边、角的位置关系选择正确的三角函数关系式，计算时注意选取对应参考数据，最终结果按要求保留精度即可。
【难度系数】
0.8
本题属于解直角三角形的基础题型，已知直角三角形的一个锐角和一条直角边，解题思路如下：①首先利用三角形内角和定理，结合直角为90°的特点，先求出未知锐角∠A的度数；②再根据已知边和已知角的位置关系选择合适的锐角三角函数：已知∠B和它的对边b，求斜边c可选用正弦函数（sinB=对边/斜边=b/c），求∠B的邻边a可选用正切函数（tanB=对边/邻边=b/a），代入已知数值和参考数据计算，结果按要求精确到1即可。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=25°$，
$\therefore ∠ A=180°-∠ C-∠ B=180°-90°-25°=65°$。
$\because \sin B=\frac{b}{c}$，$b=30$，
$\therefore c=\frac{b}{\sin B}=\frac{30}{\sin 25°}\approx\frac{30}{0.423}\approx71$。
$\because \tan B=\frac{b}{a}$，$b=30$，
$\therefore a=\frac{b}{\tan B}=\frac{30}{\tan 25°}\approx\frac{30}{0.466}\approx64$。
【答案】
$∠ A=65°$，$c\approx71$，$a\approx64$
【知识点】
直角三角形内角性质，锐角三角函数，解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形的常规基础题，解题核心是根据已知边、角的位置关系选择正确的三角函数关系式，计算时注意选取对应参考数据，最终结果按要求保留精度即可。
【难度系数】
0.8
9 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$∠ C=90°$，$b=3$，$S_{△ ABC}=\frac{9}{2}\sqrt{3}$，解这个直角三角形。
答案
9. 解:$\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 中,$∠C=90°,b=3,S_{△ ABC}=\frac{9}{2}\sqrt{3},\therefore \frac{1}{2}ab=\frac{9}{2}\sqrt{3},\therefore a=3\sqrt{3}$,
$\therefore \tan A=\frac{a}{b}=\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3},\therefore ∠A=60°$,
$\therefore ∠B=180°-∠A-∠C=180°-60°-90°=30°$,
$\therefore c=2b=6$.
$\therefore \tan A=\frac{a}{b}=\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3},\therefore ∠A=60°$,
$\therefore ∠B=180°-∠A-∠C=180°-60°-90°=30°$,
$\therefore c=2b=6$.
解析
【分析】
解直角三角形需要求出三角形所有未知的边和角，本题已知直角三角形的直角∠C、直角边b和面积，解题思路如下：① 先利用直角三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ab$，代入已知的b和面积求出另一条直角边a；② 再根据正切的定义$\tan A=\frac{a}{b}$，结合特殊角的三角函数值求出∠A的度数；③ 利用直角三角形两锐角互余的性质求出∠B的度数；④ 最后根据特殊直角三角形的边角关系或勾股定理求出斜边c，完成求解。
【解析】
解：$\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$∠ C=90°$，$b=3$，$S_{△ ABC}=\frac{9}{2}\sqrt{3}$
$\therefore$ 由三角形面积公式得$\frac{1}{2}ab=\frac{9}{2}\sqrt{3}$，代入$b=3$解得$a=3\sqrt{3}$
$\therefore \tan A=\frac{a}{b}=\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$
$\because$ ∠A为锐角，$\tan60°=\sqrt{3}$，$\therefore ∠A=60°$
$\therefore ∠B=180°-∠A-∠C=180°-60°-90°=30°$
$\because$ 直角三角形中30°角对的直角边等于斜边的一半，∠B对的边为$b=3$
$\therefore c=2b=6$
【答案】
$a=3\sqrt{3}$，$∠A=60°$，$∠B=30°$，$c=6$
【知识点】
1. 直角三角形面积公式
2. 解直角三角形
3. 特殊角的三角函数值
【点评】
本题是解直角三角形的常规基础题，核心考查直角三角形的面积公式、边角关系以及特殊角三角函数值的应用，解题逻辑清晰，按步骤推导即可得到全部未知量。
【难度系数】
0.8
解直角三角形需要求出三角形所有未知的边和角，本题已知直角三角形的直角∠C、直角边b和面积，解题思路如下：① 先利用直角三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ab$，代入已知的b和面积求出另一条直角边a；② 再根据正切的定义$\tan A=\frac{a}{b}$，结合特殊角的三角函数值求出∠A的度数；③ 利用直角三角形两锐角互余的性质求出∠B的度数；④ 最后根据特殊直角三角形的边角关系或勾股定理求出斜边c，完成求解。
【解析】
解：$\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$∠ C=90°$，$b=3$，$S_{△ ABC}=\frac{9}{2}\sqrt{3}$
$\therefore$ 由三角形面积公式得$\frac{1}{2}ab=\frac{9}{2}\sqrt{3}$，代入$b=3$解得$a=3\sqrt{3}$
$\therefore \tan A=\frac{a}{b}=\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$
$\because$ ∠A为锐角，$\tan60°=\sqrt{3}$，$\therefore ∠A=60°$
$\therefore ∠B=180°-∠A-∠C=180°-60°-90°=30°$
$\because$ 直角三角形中30°角对的直角边等于斜边的一半，∠B对的边为$b=3$
$\therefore c=2b=6$
【答案】
$a=3\sqrt{3}$，$∠A=60°$，$∠B=30°$，$c=6$
【知识点】
1. 直角三角形面积公式
2. 解直角三角形
3. 特殊角的三角函数值
【点评】
本题是解直角三角形的常规基础题，核心考查直角三角形的面积公式、边角关系以及特殊角三角函数值的应用，解题逻辑清晰，按步骤推导即可得到全部未知量。
【难度系数】
0.8
10“天幕”是大家特别喜欢的一种露营设备，既起到遮阳防雨的作用，又开放通风.图1是一种“天幕”，图2是其截面示意图，其截面示意图为轴对称图形，$AC=AD=2\ \mathrm{m}$，$CD⊥ AB$于点$O$，$AB⊥ BF$于点$B$，$EF⊥ BF$于点$F$，天晴时打开“天幕”遮阳，$∠ CAD=120°$.
(1)求遮阳宽度$CD$的长；
(2)将拉绳$AE$固定在天幕杆$EF$上，若支杆$AB$与天幕杆$EF$的横向距离$BF=\frac{3\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{m}$，求拉绳$AE$的长.
(1)求遮阳宽度$CD$的长；
(2)将拉绳$AE$固定在天幕杆$EF$上，若支杆$AB$与天幕杆$EF$的横向距离$BF=\frac{3\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{m}$，求拉绳$AE$的长.
答案
10. 解:(1)$\because AC=AD=2\ \mathrm{m},∠CAD=120°,OA⊥ CD$,
$\therefore ∠OCA=∠ODA=\frac{180°-120°}{2}=30°,OC=OD=\frac{1}{2}CD$,
$\therefore OC=AC· \cos 30°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}(\mathrm{m})$,
$\therefore CD=2OC=2\sqrt{3}\ \mathrm{m}$.
(2)如图,过点 E 作 $EG⊥ AB$,垂足为 G,
则 $EG=BF=\frac{3\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{m},∠AEG=∠ADO=30°$,
$\therefore AE=\frac{EG}{\cos 30°}=\frac{3\sqrt{3}}{2}×\frac{2}{\sqrt{3}}=3(\mathrm{m})$,
故拉绳 $AE$ 的长为 $3\ \mathrm{m}$.
解析
【分析】
(1) 已知$△ ACD$是等腰三角形且$AO⊥ CD$，首先利用等腰三角形“三线合一”的性质，可得$OC=OD$，同时可求出底角$∠ ACD=30°$，再在$\mathrm{Rt}△ AOC$中利用三角函数求出$OC$的长度，即可得到$CD$的总长。
(2) 要求$AE$的长度，需要将$AE$置于直角三角形中求解，因此过$E$作$EG⊥ AB$于$G$，可证四边形$BGEF$是矩形，得$EG=BF$；再由$CD// EG$推出$∠ AEG=30°$，最后在$\mathrm{Rt}△ AEG$中利用三角函数即可求出$AE$的长度。
【解析】
(1) $\because AC=AD=2\ \mathrm{m},∠CAD=120°,OA⊥ CD$,
$\therefore ∠OCA=∠ODA=\frac{180°-120°}{2}=30°,OC=OD=\frac{1}{2}CD$,
在$\mathrm{Rt}△ AOC$中，$OC=AC· \cos 30°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}(\mathrm{m})$,
$\therefore CD=2OC=2\sqrt{3}\ \mathrm{m}$.
(2) 如图,过点 E 作 $EG⊥ AB$,垂足为 G,
则四边形$BGEF$为矩形，$\therefore EG=BF=\frac{3\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{m}$,
$\because CD⊥AB,EG⊥AB,\therefore CD// EG$,
$\therefore ∠AEG=∠ADO=30°$,
在$\mathrm{Rt}△ AEG$中，$AE=\frac{EG}{\cos 30°}=\frac{3\sqrt{3}}{2}×\frac{2}{\sqrt{3}}=3(\mathrm{m})$.
【答案】
(1) 遮阳宽度$CD$的长为$2\sqrt{3}\ \mathrm{m}$；
(2) 拉绳$AE$的长为$3\ \mathrm{m}$.
【知识点】
等腰三角形的性质，解直角三角形，矩形的性质
【点评】
本题以生活中的露营设备为命题背景，将几何知识和实际应用结合，解题的关键是合理构造直角三角形，把已知条件转化到直角三角形中求解，能较好地考查学生将实际问题转化为数学问题的应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 已知$△ ACD$是等腰三角形且$AO⊥ CD$，首先利用等腰三角形“三线合一”的性质，可得$OC=OD$，同时可求出底角$∠ ACD=30°$，再在$\mathrm{Rt}△ AOC$中利用三角函数求出$OC$的长度，即可得到$CD$的总长。
(2) 要求$AE$的长度，需要将$AE$置于直角三角形中求解，因此过$E$作$EG⊥ AB$于$G$，可证四边形$BGEF$是矩形，得$EG=BF$；再由$CD// EG$推出$∠ AEG=30°$，最后在$\mathrm{Rt}△ AEG$中利用三角函数即可求出$AE$的长度。
【解析】
(1) $\because AC=AD=2\ \mathrm{m},∠CAD=120°,OA⊥ CD$,
$\therefore ∠OCA=∠ODA=\frac{180°-120°}{2}=30°,OC=OD=\frac{1}{2}CD$,
在$\mathrm{Rt}△ AOC$中，$OC=AC· \cos 30°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}(\mathrm{m})$,
$\therefore CD=2OC=2\sqrt{3}\ \mathrm{m}$.
(2) 如图,过点 E 作 $EG⊥ AB$,垂足为 G,
则四边形$BGEF$为矩形，$\therefore EG=BF=\frac{3\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{m}$,
$\because CD⊥AB,EG⊥AB,\therefore CD// EG$,
$\therefore ∠AEG=∠ADO=30°$,
在$\mathrm{Rt}△ AEG$中，$AE=\frac{EG}{\cos 30°}=\frac{3\sqrt{3}}{2}×\frac{2}{\sqrt{3}}=3(\mathrm{m})$.
【答案】
(1) 遮阳宽度$CD$的长为$2\sqrt{3}\ \mathrm{m}$；
(2) 拉绳$AE$的长为$3\ \mathrm{m}$.
【知识点】
等腰三角形的性质，解直角三角形，矩形的性质
【点评】
本题以生活中的露营设备为命题背景，将几何知识和实际应用结合，解题的关键是合理构造直角三角形，把已知条件转化到直角三角形中求解，能较好地考查学生将实际问题转化为数学问题的应用能力。
【难度系数】
0.7
