登录
9. (2026·六安期中)2025年7月26日至8月10日,霍邱县马店镇隆重举行了首届龙虾音乐节.某龙虾养殖大户为了发挥技术优势,一次性收购5 000 kg小龙虾,计划养殖一段时间后再出售.已知每天养殖龙虾的养殖成本相同,放养10天的总成本为83 000元,放养30天的总成本为89 000元.设这批小龙虾放养t天后的质量为a kg,销售单价为y元/kg,根据往年的行情预测,a与t的函数关系为$a=\begin{cases}5000, & 0≤ t≤20, \\50t+4000, & 20＜ t≤50,\end{cases}$ y与t的函数关系如图所示.(总成本=养殖成本+收购成本;利润=销售总额-总成本)
(1)求这批小龙虾的收购成本和每天养殖成本.
(2)求y与t之间的函数表达式.
(3)如果将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润为W元.该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大?最大利润是多少?
(1)求这批小龙虾的收购成本和每天养殖成本.
(2)求y与t之间的函数表达式.
(3)如果将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润为W元.该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大?最大利润是多少?
答案
9. (1)设这批小龙虾的收购成本为$m$元,每天养殖成本为$n$元,根据题意,得$\begin{cases}m+10n=83000,\\m+30n=89000,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=80000,\\n=300.\end{cases}$
答:这批小龙虾的收购成本为80 000元,每天养殖成本为300元.
(2)当$0≤ t≤20$时,设$y$与$t$之间的函数表达式为$y=k_1t+b_1$,由题图可知,当$t=0$时,$y=16$;当$t=20$时,$y=28$,即$\begin{cases}b_1=16,\\20k_1+b_1=28,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_1=\frac{3}{5},\\b_1=16,\end{cases}$$\therefore y$与$t$之间的函数表达式为$y=\frac{3}{5}t+16$.当$20＜ t≤50$时,设$y$与$t$之间的函数表达式为$y=k_2t+b_2$,由题图可知,当$t=20$时,$y=28$;当$t=50$时,$y=22$,即$\begin{cases}20k_2+b_2=28,\\50k_2+b_2=22,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_2=-\frac{1}{5},\\b_2=32,\end{cases}$$\therefore y$与$t$之间的函数表达式为$y=-\frac{1}{5}t+32$.综上所述,$y$与$t$之间的函数表达式为$y=\begin{cases}\frac{3}{5}t+16,0≤ t≤20,\\-\frac{1}{5}t+32,20＜ t≤50.\end{cases}$
(3)由题意可得,$W=ay-300t-80000$,当$0≤ t≤20$时,$W=5000(\frac{3}{5}t+16)-300t-80000$,即$W=2700t$,$\because 2700＞0$,$\therefore t=20$时,$W$最大,$W=54000$;当$20＜ t≤50$时,$W=(50t+4000)(-\frac{1}{5}t+32)-300t-80000$,即$W=-10t^2+500t+48000=-10(t-25)^2+54250$,$\because -10＜0$,$\therefore t=25$时,$W$最大,$W=54250$.$54000＜54250$.答:该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养25天后一次性出售所得利润最大,最大利润是54 250元.
答:这批小龙虾的收购成本为80 000元,每天养殖成本为300元.
(2)当$0≤ t≤20$时,设$y$与$t$之间的函数表达式为$y=k_1t+b_1$,由题图可知,当$t=0$时,$y=16$;当$t=20$时,$y=28$,即$\begin{cases}b_1=16,\\20k_1+b_1=28,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_1=\frac{3}{5},\\b_1=16,\end{cases}$$\therefore y$与$t$之间的函数表达式为$y=\frac{3}{5}t+16$.当$20＜ t≤50$时,设$y$与$t$之间的函数表达式为$y=k_2t+b_2$,由题图可知,当$t=20$时,$y=28$;当$t=50$时,$y=22$,即$\begin{cases}20k_2+b_2=28,\\50k_2+b_2=22,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_2=-\frac{1}{5},\\b_2=32,\end{cases}$$\therefore y$与$t$之间的函数表达式为$y=-\frac{1}{5}t+32$.综上所述,$y$与$t$之间的函数表达式为$y=\begin{cases}\frac{3}{5}t+16,0≤ t≤20,\\-\frac{1}{5}t+32,20＜ t≤50.\end{cases}$
(3)由题意可得,$W=ay-300t-80000$,当$0≤ t≤20$时,$W=5000(\frac{3}{5}t+16)-300t-80000$,即$W=2700t$,$\because 2700＞0$,$\therefore t=20$时,$W$最大,$W=54000$;当$20＜ t≤50$时,$W=(50t+4000)(-\frac{1}{5}t+32)-300t-80000$,即$W=-10t^2+500t+48000=-10(t-25)^2+54250$,$\because -10＜0$,$\therefore t=25$时,$W$最大,$W=54250$.$54000＜54250$.答:该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养25天后一次性出售所得利润最大,最大利润是54 250元.
解析
【分析】
(1) 求收购成本和每天养殖成本，可设两个未知数，根据“放养10天总成本83000元、放养30天总成本89000元”的等量关系列二元一次方程组求解即可。
(2) 由图像可知y是分段一次函数，分$0≤t≤20$和$20＜t≤50$两段，分别找出每段直线经过的两个已知点，用待定系数法代入求解即可得到两段的函数式，最后合并写成分段函数形式。
(3) 根据“利润=销售总额-总成本”的公式，销售总额为$a·y$，总成本为收购成本+每天养殖成本×t，结合a、y的分段情况，分两段分别列出利润W关于t的函数解析式：第一段是一次函数，根据一次函数增减性求最大值；第二段是二次函数，配方成顶点式结合开口方向求最大值，最后比较两段的最大值即可得到结果。
【解析】
(1) 设这批小龙虾的收购成本为$m$元，每天养殖成本为$n$元，根据题意得：
$\begin{cases}m+10n=83000\\m+30n=89000\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=80000\\n=300\end{cases}$
(2) 分两种情况讨论：
①当$0≤ t≤20$时，设$y$与$t$的函数表达式为$y=k_1t+b_1$，由图像得$t=0$时$y=16$，$t=20$时$y=28$，代入得：
$\begin{cases}b_1=16\\20k_1+b_1=28\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_1=\frac{3}{5}\\b_1=16\end{cases}$，即$y=\frac{3}{5}t+16$
②当$20＜ t≤50$时，设$y$与$t$的函数表达式为$y=k_2t+b_2$，由图像得$t=20$时$y=28$，$t=50$时$y=22$，代入得：
$\begin{cases}20k_2+b_2=28\\50k_2+b_2=22\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_2=-\frac{1}{5}\\b_2=32\end{cases}$，即$y=-\frac{1}{5}t+32$
综上，$y$与$t$的函数表达式为$y=\begin{cases}\frac{3}{5}t+16&(0≤ t≤20)\\-\frac{1}{5}t+32&(20＜ t≤50)\end{cases}$
(3) 由题意得利润$W=ay - 300t - 80000$，分两段讨论：
①当$0≤ t≤20$时，$a=5000$，代入得：
$W=5000(\frac{3}{5}t+16)-300t-80000=2700t$
$\because 2700＞0$，$W$随$t$的增大而增大，
$\therefore$ 当$t=20$时，$W_{最大}=2700×20=54000$元；
②当$20＜ t≤50$时，$a=50t+4000$，代入得：
$W=(50t+4000)(-\frac{1}{5}t+32)-300t-80000$
整理得$W=-10t^2+500t+48000=-10(t-25)^2+54250$
$\because -10＜0$，抛物线开口向下，
$\therefore$ 当$t=25$时，$W_{最大}=54250$元；
$\because 54000＜54250$，因此放养25天时利润最大。
【答案】
(1) 收购成本为80000元，每天养殖成本为300元；
(2) $y=\begin{cases}\frac{3}{5}t+16&(0≤ t≤20)\\-\frac{1}{5}t+32&(20＜ t≤50)\end{cases}$；
(3) 放养25天后一次性出售所得利润最大，最大利润是54250元。
【知识点】
二元一次方程组应用，待定系数法求一次函数，二次函数的最值
【点评】
本题是结合实际生活的分段函数应用题，综合考查了方程与函数的相关知识，解题的关键是根据题意分情况正确列出函数关系式，结合函数的增减性求解最值，能有效考查学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
(1) 求收购成本和每天养殖成本，可设两个未知数，根据“放养10天总成本83000元、放养30天总成本89000元”的等量关系列二元一次方程组求解即可。
(2) 由图像可知y是分段一次函数，分$0≤t≤20$和$20＜t≤50$两段，分别找出每段直线经过的两个已知点，用待定系数法代入求解即可得到两段的函数式，最后合并写成分段函数形式。
(3) 根据“利润=销售总额-总成本”的公式，销售总额为$a·y$，总成本为收购成本+每天养殖成本×t，结合a、y的分段情况，分两段分别列出利润W关于t的函数解析式：第一段是一次函数，根据一次函数增减性求最大值；第二段是二次函数，配方成顶点式结合开口方向求最大值，最后比较两段的最大值即可得到结果。
【解析】
(1) 设这批小龙虾的收购成本为$m$元，每天养殖成本为$n$元，根据题意得：
$\begin{cases}m+10n=83000\\m+30n=89000\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=80000\\n=300\end{cases}$
(2) 分两种情况讨论：
①当$0≤ t≤20$时，设$y$与$t$的函数表达式为$y=k_1t+b_1$，由图像得$t=0$时$y=16$，$t=20$时$y=28$，代入得：
$\begin{cases}b_1=16\\20k_1+b_1=28\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_1=\frac{3}{5}\\b_1=16\end{cases}$，即$y=\frac{3}{5}t+16$
②当$20＜ t≤50$时，设$y$与$t$的函数表达式为$y=k_2t+b_2$，由图像得$t=20$时$y=28$，$t=50$时$y=22$，代入得：
$\begin{cases}20k_2+b_2=28\\50k_2+b_2=22\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_2=-\frac{1}{5}\\b_2=32\end{cases}$，即$y=-\frac{1}{5}t+32$
综上，$y$与$t$的函数表达式为$y=\begin{cases}\frac{3}{5}t+16&(0≤ t≤20)\\-\frac{1}{5}t+32&(20＜ t≤50)\end{cases}$
(3) 由题意得利润$W=ay - 300t - 80000$，分两段讨论：
①当$0≤ t≤20$时，$a=5000$，代入得：
$W=5000(\frac{3}{5}t+16)-300t-80000=2700t$
$\because 2700＞0$，$W$随$t$的增大而增大，
$\therefore$ 当$t=20$时，$W_{最大}=2700×20=54000$元；
②当$20＜ t≤50$时，$a=50t+4000$，代入得：
$W=(50t+4000)(-\frac{1}{5}t+32)-300t-80000$
整理得$W=-10t^2+500t+48000=-10(t-25)^2+54250$
$\because -10＜0$，抛物线开口向下，
$\therefore$ 当$t=25$时，$W_{最大}=54250$元；
$\because 54000＜54250$，因此放养25天时利润最大。
【答案】
(1) 收购成本为80000元，每天养殖成本为300元；
(2) $y=\begin{cases}\frac{3}{5}t+16&(0≤ t≤20)\\-\frac{1}{5}t+32&(20＜ t≤50)\end{cases}$；
(3) 放养25天后一次性出售所得利润最大，最大利润是54250元。
【知识点】
二元一次方程组应用，待定系数法求一次函数，二次函数的最值
【点评】
本题是结合实际生活的分段函数应用题，综合考查了方程与函数的相关知识，解题的关键是根据题意分情况正确列出函数关系式，结合函数的增减性求解最值，能有效考查学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
10. 易错题 甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租,下面是两公司经理的一段对话:
说明:①汽车数量为整数;②月利润=月租车费-月维护费;③两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润.
在两公司租出的汽车数量相等的条件下,根据上述信息,解决下列问题:
(1)当每个公司租出的汽车为10辆时,甲公司的月利润是
(2)求两公司月利润差的最大值.
(3)甲公司热心公益事业,每租出1辆汽车捐出$a$元($a＞0$)给慈善机构,如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润,且当两公司租出的汽车均为17辆时,甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大,求$a$的取值范围.
说明:①汽车数量为整数;②月利润=月租车费-月维护费;③两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润.
在两公司租出的汽车数量相等的条件下,根据上述信息,解决下列问题:
(1)当每个公司租出的汽车为10辆时,甲公司的月利润是
48 000
元;当每个公司租出的汽车为37
辆时,两公司的月利润相等.(2)求两公司月利润差的最大值.
(3)甲公司热心公益事业,每租出1辆汽车捐出$a$元($a＞0$)给慈善机构,如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润,且当两公司租出的汽车均为17辆时,甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大,求$a$的取值范围.
答案
10. (1)48 000 37 解析:当每个公司租出的汽车为10辆时,甲公司的月利润为$[(50-10)×50+3000]×10-200×10=48000$(元).设每个公司租出的汽车为$x$辆时,两公司的月利润相等,由题意可得$[(50-x)×50+3000]x-200x=3500x-1850$,解得$x=37$或$x=-1$(舍去).即当每个公司租出的汽车为37辆时,两公司的月利润相等.
(2)设两公司的月利润分别为$y_甲$元,$y_乙$元,月利润差为$y$元.则$y_甲=[(50-x)×50+3000]x-200x$,$y_乙=3500x-1850$.分情况讨论:①当甲公司的利润大于乙公司时,$0＜ x＜37$,$y=y_甲-y_乙=[(50-x)×50+3000]x-200x-(3500x-1850)=-50x^2+1800x+1850=-50(x-18)^2+18050$,$\therefore$当$x=18$时,利润差最大,且为18 050元;
②当乙公司的利润大于甲公司时,$37＜ x≤50$,$y=y_乙-y_甲=3500x-1850-[(50-x)×50+3000]x+200x=50x^2-1800x-1850=50(x-18)^2-18050$.$\because 37＜ x≤50$,由二次函数的性质可知,当$x=50$时,利润差最大.即利润差$y=50×(50-18)^2-18050=33150$(元).综上,两公司月利润差的最大值为33 150元.
(3)$\because$捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司的月利润,$\therefore$利润差为$y=-50x^2+1800x+1850-ax=-50x^2+(1800-a)x+1850$,$\therefore$此二次函数图象的对称轴为直线$x=\frac{1800-a}{100}$.$\because x$只能取整数,且当两公司租出的汽车均为17辆时,月利润之差最大,$\therefore 16.5≤\frac{1800-a}{100}≤17.5$,解得$50≤ a≤150$.
易错提醒 第(3)小问,正确列出关于$a$的不等式是解题关键.由于利润差$y=-50x^2+(1800-a)x+1850$,在$x=17$时取得最大值,所以对称轴在直线$x=17$或17的左右两侧,且17与对称轴的距离必须小于0.5,否则会出现不只有$x=17$处有最大值或$x=17$处不是最大值的情况.
(2)设两公司的月利润分别为$y_甲$元,$y_乙$元,月利润差为$y$元.则$y_甲=[(50-x)×50+3000]x-200x$,$y_乙=3500x-1850$.分情况讨论:①当甲公司的利润大于乙公司时,$0＜ x＜37$,$y=y_甲-y_乙=[(50-x)×50+3000]x-200x-(3500x-1850)=-50x^2+1800x+1850=-50(x-18)^2+18050$,$\therefore$当$x=18$时,利润差最大,且为18 050元;
②当乙公司的利润大于甲公司时,$37＜ x≤50$,$y=y_乙-y_甲=3500x-1850-[(50-x)×50+3000]x+200x=50x^2-1800x-1850=50(x-18)^2-18050$.$\because 37＜ x≤50$,由二次函数的性质可知,当$x=50$时,利润差最大.即利润差$y=50×(50-18)^2-18050=33150$(元).综上,两公司月利润差的最大值为33 150元.
(3)$\because$捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司的月利润,$\therefore$利润差为$y=-50x^2+1800x+1850-ax=-50x^2+(1800-a)x+1850$,$\therefore$此二次函数图象的对称轴为直线$x=\frac{1800-a}{100}$.$\because x$只能取整数,且当两公司租出的汽车均为17辆时,月利润之差最大,$\therefore 16.5≤\frac{1800-a}{100}≤17.5$,解得$50≤ a≤150$.
易错提醒 第(3)小问,正确列出关于$a$的不等式是解题关键.由于利润差$y=-50x^2+(1800-a)x+1850$,在$x=17$时取得最大值,所以对称轴在直线$x=17$或17的左右两侧,且17与对称轴的距离必须小于0.5,否则会出现不只有$x=17$处有最大值或$x=17$处不是最大值的情况.
解析
【分析】
解题思路如下：
(1) 计算甲公司租出10辆的月利润：租出10辆意味着少租出40辆，每辆车月租上涨$40×50=2000$元，先算出此时每辆车的月租，再减去每辆200元维护费，乘以租出数量即可；求两公司利润相等的租出数量时，设租出$x$辆，分别表示出两公司的月利润，列一元二次方程求解，舍去不符合实际的负根。
(2) 求月利润差最大值：先分别写出甲、乙两公司的月利润表达式，分两种情况讨论：①甲利润高于乙时（$0＜x＜37$），列出利润差的二次函数，求该区间内的最大值；②乙利润高于甲时（$37＜x≤50$），列出利润差的二次函数，结合自变量取值范围求最大值，最后比较两个最大值得到结果。
(3) 求$a$的取值范围：捐款后甲的利润需减去每辆$a$元的捐款，得到新的利润差的二次函数，该函数开口向下，最大值在对称轴处，由于$x$为整数，且$x=17$时差最大，因此对称轴需位于16.5到17.5之间，列不等式求解即可。
【解析】
(1) 当每个公司租出10辆汽车时：
甲公司每辆车月租赁费为$3000+(50-10)×50=5000$元，
甲公司月利润为$(5000-200)×10=48000$元。
设租出$x$辆时两公司月利润相等，
甲公司月利润：$[3000+50(50-x)]x-200x=-50x^2+5300x$，
乙公司月利润：$3500x-1850$，
列方程得：$-50x^2+5300x=3500x-1850$，
整理得$x^2-36x-37=0$，解得$x=37$或$x=-1$（不符合实际，舍去）。
(2) 设租出汽车数量为$x$辆，两公司月利润差为$y$元：
① 当甲公司利润更高时，$0＜x＜37$，
$y=y_甲-y_乙=-50x^2+5300x-(3500x-1850)=-50x^2+1800x+1850=-50(x-18)^2+18050$，
$\because -50＜0$，开口向下，$\therefore x=18$时，$y$取最大值18050元。
② 当乙公司利润更高时，$37＜x≤50$，
$y=y_乙-y_甲=3500x-1850-(-50x^2+5300x)=50x^2-1800x-1850=50(x-18)^2-18050$，
$\because 50＞0$，开口向上，对称轴为$x=18$，在$37＜x≤50$区间内$y$随$x$增大而增大，
$\therefore x=50$时，$y$取最大值$50×(50-18)^2-18050=33150$元。
比较两个最大值，$33150＞18050$，因此月利润差最大值为33150元。
(3) 捐款后甲公司剩余月利润为$y_甲'=-50x^2+5300x-ax$，
此时利润差$y=y_甲'-y_乙=-50x^2+(1800-a)x+1850$，
该二次函数开口向下，对称轴为$x=\frac{1800-a}{100}$，
$\because x$为整数，且$x=17$时利润差最大，
$\therefore 16.5≤\frac{1800-a}{100}≤17.5$，
解得$50≤ a≤150$。
【答案】
(1) $\boxed{48000}$；$\boxed{37}$
(2) $\boxed{33150}$元
(3) $\boxed{50≤ a≤150}$
【知识点】
二次函数的应用；一元二次方程的应用；二次函数的最值
【点评】
本题结合实际租赁场景考查函数与方程的实际应用，需要准确梳理题目中的数量关系，注意分类讨论利润差的两种情况，第三问要结合整数自变量的取值特点确定对称轴的范围，容易在端点取值处出错，解题时需仔细审题。
【难度系数】
0.3
解题思路如下：
(1) 计算甲公司租出10辆的月利润：租出10辆意味着少租出40辆，每辆车月租上涨$40×50=2000$元，先算出此时每辆车的月租，再减去每辆200元维护费，乘以租出数量即可；求两公司利润相等的租出数量时，设租出$x$辆，分别表示出两公司的月利润，列一元二次方程求解，舍去不符合实际的负根。
(2) 求月利润差最大值：先分别写出甲、乙两公司的月利润表达式，分两种情况讨论：①甲利润高于乙时（$0＜x＜37$），列出利润差的二次函数，求该区间内的最大值；②乙利润高于甲时（$37＜x≤50$），列出利润差的二次函数，结合自变量取值范围求最大值，最后比较两个最大值得到结果。
(3) 求$a$的取值范围：捐款后甲的利润需减去每辆$a$元的捐款，得到新的利润差的二次函数，该函数开口向下，最大值在对称轴处，由于$x$为整数，且$x=17$时差最大，因此对称轴需位于16.5到17.5之间，列不等式求解即可。
【解析】
(1) 当每个公司租出10辆汽车时：
甲公司每辆车月租赁费为$3000+(50-10)×50=5000$元，
甲公司月利润为$(5000-200)×10=48000$元。
设租出$x$辆时两公司月利润相等，
甲公司月利润：$[3000+50(50-x)]x-200x=-50x^2+5300x$，
乙公司月利润：$3500x-1850$，
列方程得：$-50x^2+5300x=3500x-1850$，
整理得$x^2-36x-37=0$，解得$x=37$或$x=-1$（不符合实际，舍去）。
(2) 设租出汽车数量为$x$辆，两公司月利润差为$y$元：
① 当甲公司利润更高时，$0＜x＜37$，
$y=y_甲-y_乙=-50x^2+5300x-(3500x-1850)=-50x^2+1800x+1850=-50(x-18)^2+18050$，
$\because -50＜0$，开口向下，$\therefore x=18$时，$y$取最大值18050元。
② 当乙公司利润更高时，$37＜x≤50$，
$y=y_乙-y_甲=3500x-1850-(-50x^2+5300x)=50x^2-1800x-1850=50(x-18)^2-18050$，
$\because 50＞0$，开口向上，对称轴为$x=18$，在$37＜x≤50$区间内$y$随$x$增大而增大，
$\therefore x=50$时，$y$取最大值$50×(50-18)^2-18050=33150$元。
比较两个最大值，$33150＞18050$，因此月利润差最大值为33150元。
(3) 捐款后甲公司剩余月利润为$y_甲'=-50x^2+5300x-ax$，
此时利润差$y=y_甲'-y_乙=-50x^2+(1800-a)x+1850$，
该二次函数开口向下，对称轴为$x=\frac{1800-a}{100}$，
$\because x$为整数，且$x=17$时利润差最大，
$\therefore 16.5≤\frac{1800-a}{100}≤17.5$，
解得$50≤ a≤150$。
【答案】
(1) $\boxed{48000}$；$\boxed{37}$
(2) $\boxed{33150}$元
(3) $\boxed{50≤ a≤150}$
【知识点】
二次函数的应用；一元二次方程的应用；二次函数的最值
【点评】
本题结合实际租赁场景考查函数与方程的实际应用，需要准确梳理题目中的数量关系，注意分类讨论利润差的两种情况，第三问要结合整数自变量的取值特点确定对称轴的范围，容易在端点取值处出错，解题时需仔细审题。
【难度系数】
0.3
