1. （2026·亳州期末）两家商场对同一款电视机给出两种不同的优惠政策.
素材1:两家商场销售同一款型号的电视机的标价均为1200元；
素材2:甲商场的优惠条件是:第一台按原价，其余每台按六五折销售；
素材3:乙商场的优惠条件是:先用120元办张会员卡，然后所有电视机都按会员价(七折)销售.
(1)设学校购买$x$台电视机,选择甲商场时,所需费用为$y_1$元,选择乙商场时,所需费用为$y_2$元,请分别求出$y_1,y_2$与$x$之间的关系式.
(2)若学校只在一家商场购买,求该学校购买的电视机数量$x$(台)分别满足什么条件时,选择甲、乙商场购买更划算?

(1)由题意可得，$y_1 = 1\ 200+1\ 200×0.65(x-1)=780x+420$，
$y_2 = 120+1\ 200×0.7x=840x+120$.
(2)当$x＞0$,且$x$为整数时，
分三种情况:①$y_1＞y_2$,即$780x+420＞840x+120$,解得$x＜5$,所以当$0＜x＜5$时,选择乙商场更划算；
②当$y_1=y_2$,即$780x+420=840x+120$,解得$x=5$,所以当$x=5$时,选择两家商场一样划算；
③当$y_1＜y_2$,即$780x+420＜840x+120$,解得$x＞5$,所以当$x＞5$时,选择甲商场更划算.
综上,当$0＜x＜5$,$x$为整数时,选择乙商场更划算；当$x=5$时,选择两家商场一样划算；当$x＞5$,$x$为整数时,选择甲商场更划算.

【分析】
(1) 要写$y_1,y_2$与$x$的函数关系式，只需根据两个商场的优惠规则拆分总费用：甲商场总费用=1台原价费用+剩余$(x-1)$台六五折的费用；乙商场总费用=办卡费用+$x$台七折的费用，代入数值化简即可。
(2) 判断哪家商场更划算，本质是比较$y_1$和$y_2$的大小，分$y_1＞y_2$、$y_1=y_2$、$y_1＜y_2$三种情况，分别解对应的不等式或方程，再结合$x$为正整数的实际意义，即可得到不同购买数量对应的最优选择。
【解析】
(1) 根据甲商场的优惠规则：
$y_1 = 1200 + 1200×0.65(x-1)$
化简得：$y_1=780x+420$
根据乙商场的优惠规则：
$y_2 = 120 + 1200×0.7x$
化简得：$y_2=840x+120$
(2) 已知$x＞0$且$x$为整数，分三种情况讨论：
① 当$y_1＞y_2$时，即$780x+420＞840x+120$
移项合并得：$-60x＞-300$，解得$x＜5$
即当$0＜x＜5$（$x$为整数）时，选择乙商场更划算；
② 当$y_1=y_2$时，即$780x+420=840x+120$
解得$x=5$，即当$x=5$时，两家商场费用相同；
③ 当$y_1＜y_2$时，即$780x+420＜840x+120$
解得$x＞5$，即当$x＞5$（$x$为整数）时，选择甲商场更划算。
【答案】
(1) $y_1=780x+420$，$y_2=840x+120$；
(2) 当购买数量为1~4台时，选乙商场更划算；当购买数量为5台时，两家商场费用相同；当购买数量大于5台时，选甲商场更划算。
【知识点】
一次函数实际应用、一元一次不等式应用、最优方案选择
【点评】
本题结合生活中商场促销的常见场景命题，实用性较强，解题核心是先建立费用的函数模型，再通过分类讨论比较函数值大小得到最优方案，解题时需注意自变量$x$的实际意义（为正整数），避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.7

2. “五一”期间，某服装商场举行促销活动，活动方案如下：

（注：一人只能选择一种方案）
(1)小明想买一件上衣和一条裤子，已知上衣的标价为290元，小明通过计算发现，若按方案一购买这两种服装与用方案二先买上衣再买裤子的花费相同。
①求裤子的标价；
②请你帮小明设计此次购买应选择哪种方案，并说明理由。
(2)小明研究了该商场的活动方案三，发现实际售价$y$(元)可以看成标价$x$(元)的函数，请你写出，当$0＜x＜100$时，$y$关于$x$的函数表达式为，当$100≤x＜200$时，$y$关于$x$的函数表达式为，当$200≤x＜300$时，$y$关于$x$的函数表达式为。
(3)小明准备用方案一或方案三购买一件标价为$x$元$(0＜x＜200)$的服装，当$x$的取值范围是多少时，用方案三购买更合算？

(1)①设裤子的标价为$x$元，
根据题意得,$0.6(290+x)=290+x-200$,
解得$x=210$,$\therefore$ 裤子的标价为210元.
②选择方案三,理由如下：
方案一的花费为:$(290+210)×0.6=300$(元),
方案二的花费为:$290+210-200=300$(元),
方案三的花费为:$290+210-50×5=250$(元),
$\because 250＜300$,$\therefore$ 应选择方案三.
(2)$y=x\ \ \ y=x-50\ \ \ y=x-100$ 解析:当$0＜x＜100$时,$y$关于$x$的函数表达式为$y=x$,当$100≤x＜200$时,$y$关于$x$的函数表达式为$y=x-50$,当$200≤x＜300$时,$y$关于$x$的函数表达式为$y=x-100$.故答案为$y=x;y=x-50;y=x-100$.
(3)当$0＜x＜100$时,方案一购买需花费$0.6x$元,方案三需花费$x$元,$\because x＞0.6x$,$\therefore$ 用方案一购买更合算;当$100≤x＜200$时,方案一购买需花费$0.6x$元,方案三需花费$(x-50)$元,令$0.6x＞x-50$,解得$x＜125$,$\therefore$ 当$100≤x＜125$时,用方案三购买更合算;当$x=125$时,两种方案购买花费一样多;当$125＜x＜200$时,用方案一购买更合算.综上,当$100≤x＜125$时,用方案三购买更合算.

【分析】
(1)①解题关键是找到等量关系：方案一购买两件服装的花费=方案二先买上衣再买裤子的花费。方案一总花费为两件总价打六折，方案二买标价290元的上衣可获200元购物券，买裤子时可直接抵扣200元，因此设裤子标价为未知数，列一元一次方程即可求解。
②要选择最优方案，只需分别计算三种方案购买两件服装的总花费，比较花费大小，花费最少的即为最优方案。
(2)根据方案三“满100减50”的规则，分区间判断优惠力度：当标价不满100元时无优惠，满100元不满200元减50元，满200元不满300元减100元，对应写出不同区间的函数表达式即可。
(3)分$0＜x＜100$和$100≤x＜200$两个区间，分别表示出方案一、方案三的购买花费，令方案三花费小于方案一花费，解不等式得到对应x的取值范围，最后汇总结果即可。
【解析】
(1)①设裤子的标价为$x$元，
根据题意得，$0.6(290+x)=290+x-200$，
解得$x=210$，
$\therefore$ 裤子的标价为210元。
②选择方案三，理由如下：
方案一的花费为：$(290+210)×0.6=300$（元），
方案二的花费为：$290+210-200=300$（元），
方案三的花费为：$290+210-50×5=250$（元），
$\because 250＜300$，$\therefore$ 应选择方案三。
(2)当$0＜x＜100$时，没有满减优惠，$y=x$；
当$100≤x＜200$时，满足一次满100减50，$y=x-50$；
当$200≤x＜300$时，满足两次满100减50，共减100，$y=x-100$。
(3)分两种情况讨论：
①当$0＜x＜100$时，方案一花费为$0.6x$元，方案三花费为$x$元，
$\because x＞0.6x$，$\therefore$ 方案一更合算，不符合要求；
②当$100≤x＜200$时，方案一花费为$0.6x$元，方案三花费为$(x-50)$元，
若方案三更合算，则$0.6x＞x-50$，
解得$x＜125$，结合区间得$100≤x＜125$；
当$x=125$时，两种方案花费相等；当$125＜x＜200$时，方案一更合算。
综上，当$100≤x＜125$时，用方案三购买更合算。
【答案】
(1)①$\boxed{210}$元；②选择方案三，理由见解析
(2)$\boxed{y=x}$；$\boxed{y=x-50}$；$\boxed{y=x-100}$
(3)当$\boxed{100≤x＜125}$时，用方案三购买更合算
【知识点】
一元一次方程应用；分段函数；不等式实际应用
【点评】
本题结合商场促销的生活场景，综合考察了方程、分段函数、不等式的相关知识，解题时需注意根据优惠规则分区间讨论，避免漏算优惠情况，能够有效锻炼学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65