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1. （2025·陇南期中）便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润$ y $（元）与每件销售价$ x $（元）之间的关系满足$ y = -2(x - 20)^2 + 1558 $，由于某种原因，价格只能在$ 15 ≤ x ≤ 19 $范围内，那么一周可获得最大利润是（
A.1554元
B.1556元
C.1558元
D.1560元
B
）A.1554元
B.1556元
C.1558元
D.1560元
答案
1. B 解析:$\because y=-2(x-20)^2+1558$,$\therefore$二次函数的对称轴为直线$x=20$,开口向下,$\therefore$当$x＜20$时,$y$随$x$的增大而增大.$\because 15≤ x≤19$,$\therefore$当$x=19$时,$y$取最大值,此时$y=-2×(19-20)^2+1558=1556$,即一周可获得最大利润是1556元,故选B.
解析
【分析】
本题是二次函数求实际最值的问题，解题思路如下：第一步先分析二次函数的基本性质，由二次项系数判断开口方向，由顶点式确定对称轴；第二步结合给定的销售价取值范围，判断该范围位于对称轴的哪一侧，明确函数在这个范围内的增减性；第三步根据增减性确定取得最大利润时的x值，代入函数式计算即可得到最大利润。
【解析】
∵二次函数解析式为$y = -2(x - 20)^2 + 1558$，
∴二次项系数$a=-2＜0$，函数图象开口向下，对称轴为直线$x=20$，
∴当$x＜20$时，$y$随$x$的增大而增大。
已知销售价的范围是$15 ≤ x ≤ 19$，全部在对称轴左侧，因此当$x$取该区间最大值19时，$y$取得最大值，
代入计算得：$y=-2×(19-20)^2 + 1558=-2×1 +1558=1556$（元），
即一周可获得的最大利润是1556元，故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数的图象与性质 2. 二次函数最值计算 3. 二次函数实际应用
【点评】
本题解题的易错点是忽略自变量的取值范围，直接选取顶点处的函数值作为最大值，需注意结合取值范围和函数增减性综合判断最值点，是二次函数实际应用类的典型题型。
【难度系数】
0.7
本题是二次函数求实际最值的问题，解题思路如下：第一步先分析二次函数的基本性质，由二次项系数判断开口方向，由顶点式确定对称轴；第二步结合给定的销售价取值范围，判断该范围位于对称轴的哪一侧，明确函数在这个范围内的增减性；第三步根据增减性确定取得最大利润时的x值，代入函数式计算即可得到最大利润。
【解析】
∵二次函数解析式为$y = -2(x - 20)^2 + 1558$，
∴二次项系数$a=-2＜0$，函数图象开口向下，对称轴为直线$x=20$，
∴当$x＜20$时，$y$随$x$的增大而增大。
已知销售价的范围是$15 ≤ x ≤ 19$，全部在对称轴左侧，因此当$x$取该区间最大值19时，$y$取得最大值，
代入计算得：$y=-2×(19-20)^2 + 1558=-2×1 +1558=1556$（元），
即一周可获得的最大利润是1556元，故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数的图象与性质 2. 二次函数最值计算 3. 二次函数实际应用
【点评】
本题解题的易错点是忽略自变量的取值范围，直接选取顶点处的函数值作为最大值，需注意结合取值范围和函数增减性综合判断最值点，是二次函数实际应用类的典型题型。
【难度系数】
0.7
2. 某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，该商品每月的销售量$y$(件)与销售单价$x$(元)之间满足函数表达式为$y=-5x+550$，若要求销售单价不得低于成本，为了每月所获利润最大，该商品应定的销售单价以及每月最大利润分别是 (
A.90元,4 500元
B.80元,4 500元
C.90元,4 000元
D.80元,4 000元
B
)A.90元,4 500元
B.80元,4 500元
C.90元,4 000元
D.80元,4 000元
答案
2. B 解析:设每月总利润为$w$,依题意得,$w=y(x-50)=(-5x+550)(x-50)=-5x^2+800x-27500=-5(x-80)^2+4500$,$\because -5＜0$,$\therefore$此图象开口向下.又$x≥50$,$\therefore$当$x=80$时,$w$有最大值,最大值为4500元.故选B.
解析
【分析】
这是一道利用二次函数求解销售最大利润的常规题，解题思路可按以下步骤展开：第一步，牢记利润问题的核心等量关系：总利润=单件利润×总销售量；第二步，结合已知条件，单件利润为销售单价x减去成本50元，销售量y的表达式已给出，因此可将总利润w表示为关于x的函数；第三步，所得函数为二次函数，且二次项系数为负，说明抛物线开口向下，顶点处可取得最大值；第四步，结合自变量取值要求（销售单价不低于成本，即x≥50），验证顶点横坐标是否在取值范围内，若符合则顶点对应的函数值就是最大利润，对应横坐标就是最优售价。
【解析】
设每月所获总利润为w元，根据总利润计算公式可得：
$w = (x - 50)y$
将$y=-5x+550$代入上式：
$w = (x - 50)(-5x + 550)$
展开并整理得：
$w = -5x^2 + 800x - 27500$
配方变形为顶点式：
$w = -5(x - 80)^2 + 4500$
$\because$ 二次项系数$-5 ＜ 0$，$\therefore$ 该二次函数图象开口向下，在顶点处取得最大值。
又$\because$ 销售单价不得低于成本，即$x ≥ 50$，顶点横坐标$x=80$满足该取值要求，
$\therefore$ 当$x=80$时，w取得最大值，最大值为4500元。
即销售单价定为80元时，每月最大利润为4500元。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数的应用 2. 二次函数的最值 3. 销售利润计算
【点评】
本题是二次函数解决实际最值问题的常考题型，核心考查学生对利润等量关系的掌握和二次函数最值的求解能力，熟练掌握二次函数顶点式的变形和图象性质就能快速解题。
【难度系数】
0.7
这是一道利用二次函数求解销售最大利润的常规题，解题思路可按以下步骤展开：第一步，牢记利润问题的核心等量关系：总利润=单件利润×总销售量；第二步，结合已知条件，单件利润为销售单价x减去成本50元，销售量y的表达式已给出，因此可将总利润w表示为关于x的函数；第三步，所得函数为二次函数，且二次项系数为负，说明抛物线开口向下，顶点处可取得最大值；第四步，结合自变量取值要求（销售单价不低于成本，即x≥50），验证顶点横坐标是否在取值范围内，若符合则顶点对应的函数值就是最大利润，对应横坐标就是最优售价。
【解析】
设每月所获总利润为w元，根据总利润计算公式可得：
$w = (x - 50)y$
将$y=-5x+550$代入上式：
$w = (x - 50)(-5x + 550)$
展开并整理得：
$w = -5x^2 + 800x - 27500$
配方变形为顶点式：
$w = -5(x - 80)^2 + 4500$
$\because$ 二次项系数$-5 ＜ 0$，$\therefore$ 该二次函数图象开口向下，在顶点处取得最大值。
又$\because$ 销售单价不得低于成本，即$x ≥ 50$，顶点横坐标$x=80$满足该取值要求，
$\therefore$ 当$x=80$时，w取得最大值，最大值为4500元。
即销售单价定为80元时，每月最大利润为4500元。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数的应用 2. 二次函数的最值 3. 销售利润计算
【点评】
本题是二次函数解决实际最值问题的常考题型，核心考查学生对利润等量关系的掌握和二次函数最值的求解能力，熟练掌握二次函数顶点式的变形和图象性质就能快速解题。
【难度系数】
0.7
3. ★★★ 某商品的销售利润与销售单价存在二次函数关系，且二次项系数$a=-1$，当商品单价为160元和200元时，能获得同样多的利润，要使销售商品利润最大，销售单价应定为
180
元.答案
3. 180 解析:$\because$当商品单价为160元和200元时,能获得同样多的利润,$\therefore$二次函数的对称轴为直线$x=\frac{160+200}{2}=180$,$\therefore$二次函数顶点的横坐标为180,$\therefore$当销售单价定为180元时,商品的销售利润最大.故答案为180.
解析
【分析】
首先回忆二次函数的相关性质：开口向下的二次函数，顶点处取得函数最大值，而顶点位于二次函数的对称轴上。题目给出两个不同销售单价对应的利润相等，说明这两个单价对应的点在二次函数图象上关于对称轴对称，因此只需要先求出对称轴的横坐标，该值就是利润最大时对应的销售单价。
【解析】
已知销售利润与销售单价的二次函数关系中二次项系数$a=-1＜0$，因此二次函数图象开口向下，在对称轴位置取得利润最大值。
又因为当销售单价为160元和200元时，获得的利润相同，说明这两个点关于二次函数的对称轴对称，因此对称轴为直线：
$x=\frac{160+200}{2}=180$
即当销售单价定为180元时，销售商品的利润最大。
【答案】
180
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的最值；二次函数实际应用
【点评】
本题是二次函数在利润问题中的典型基础应用，不需要推导完整的二次函数解析式，只需利用二次函数的对称性即可快速求出最值对应的单价，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
首先回忆二次函数的相关性质：开口向下的二次函数，顶点处取得函数最大值，而顶点位于二次函数的对称轴上。题目给出两个不同销售单价对应的利润相等，说明这两个单价对应的点在二次函数图象上关于对称轴对称，因此只需要先求出对称轴的横坐标，该值就是利润最大时对应的销售单价。
【解析】
已知销售利润与销售单价的二次函数关系中二次项系数$a=-1＜0$，因此二次函数图象开口向下，在对称轴位置取得利润最大值。
又因为当销售单价为160元和200元时，获得的利润相同，说明这两个点关于二次函数的对称轴对称，因此对称轴为直线：
$x=\frac{160+200}{2}=180$
即当销售单价定为180元时，销售商品的利润最大。
【答案】
180
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的最值；二次函数实际应用
【点评】
本题是二次函数在利润问题中的典型基础应用，不需要推导完整的二次函数解析式，只需利用二次函数的对称性即可快速求出最值对应的单价，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
4. ★★★某水果批发商经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，平均每天可售出500 kg，经市场调查发现，若每千克每涨价1元，平均日销量将减少20 kg，要使商场每天获利最多，那么每千克应涨价
7.5
元。答案
4. 7.5 解析:设每千克应涨价$x$元,商场每天的利润为$y$元,根据题意得,$y=(10+x)(500-20x)=-20x^2+300x+5000=-20(x^2-15x)+5000=-20(x-7.5)^2+6125$.当$x=7.5$时,$y$取得最大值,最大值为6125.所以要使商场每天获利最多,每千克应涨价7.5元.故答案为7.5.
解析
【分析】
这是一道利用二次函数求解最大利润的实际应用题，解题思路如下：首先明确总利润的核心计算关系：总利润=每千克的盈利×日均销售量；其次设涨价金额为自变量x，总利润为因变量y，结合题目给出的涨价与销量的变化规律，分别用x表示出涨价后的每千克盈利、日均销售量，进而列出y关于x的二次函数表达式；最后根据二次函数的性质，由于二次项系数为负，函数图象开口向下，顶点处可取得最大值，求出顶点的横坐标即为所求的最优涨价金额。
【解析】
设每千克应涨价$x$元，商场每天获得的利润为$y$元。
根据题意可得，涨价后每千克盈利为$(10+x)$元，
每涨价1元日销量减少20kg，因此涨价$x$元后的日均销售量为$(500-20x)$kg，
总利润的表达式为：
$\begin{aligned}y&=(10+x)(500-20x)\\&=-20x^2+300x+5000\\&=-20(x^2-15x)+5000\\&=-20(x-7.5)^2+6125\end{aligned}$
$\because -20＜0$，$\therefore$该二次函数图象开口向下，当$x=7.5$时，$y$取得最大值，即此时商场每天获利最多。
【答案】
7.5
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；利润问题计算
【点评】
本题是二次函数解决实际最值问题的典型题型，解题核心是准确梳理题目中的数量关系，正确列出利润的函数表达式，再结合二次函数的性质求解最值，计算时要注意配方的准确性。
【难度系数】
0.7
这是一道利用二次函数求解最大利润的实际应用题，解题思路如下：首先明确总利润的核心计算关系：总利润=每千克的盈利×日均销售量；其次设涨价金额为自变量x，总利润为因变量y，结合题目给出的涨价与销量的变化规律，分别用x表示出涨价后的每千克盈利、日均销售量，进而列出y关于x的二次函数表达式；最后根据二次函数的性质，由于二次项系数为负，函数图象开口向下，顶点处可取得最大值，求出顶点的横坐标即为所求的最优涨价金额。
【解析】
设每千克应涨价$x$元，商场每天获得的利润为$y$元。
根据题意可得，涨价后每千克盈利为$(10+x)$元，
每涨价1元日销量减少20kg，因此涨价$x$元后的日均销售量为$(500-20x)$kg，
总利润的表达式为：
$\begin{aligned}y&=(10+x)(500-20x)\\&=-20x^2+300x+5000\\&=-20(x^2-15x)+5000\\&=-20(x-7.5)^2+6125\end{aligned}$
$\because -20＜0$，$\therefore$该二次函数图象开口向下，当$x=7.5$时，$y$取得最大值，即此时商场每天获利最多。
【答案】
7.5
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；利润问题计算
【点评】
本题是二次函数解决实际最值问题的典型题型，解题核心是准确梳理题目中的数量关系，正确列出利润的函数表达式，再结合二次函数的性质求解最值，计算时要注意配方的准确性。
【难度系数】
0.7
5. 某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每月最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出。已知生产$ x $只玩具熊猫的成本为$ R $(元)，每只售价为$ P $(元)，且$ R $，$ P $与$ x $的表达式分别为$ R = 30x + 500 $，$ P = 170 - 2x $，每天必须生产
35
个工艺品，可以获得最大利润1 950
元。答案
5. 35 1 950 解析:设每天所获利润为$W$.$W=(170-2x)x-(500+30x)=-2x^2+140x-500=-2(x^2-70x)-500=-2(x^2-70x+35^2-35^2)-500=-2(x-35)^2+1950$.当$x=35$时,$W$有最大值1950元.
解析
【分析】
要解决这个利润最值问题，首先明确核心公式：总利润=总销售额-总成本。第一步，根据题目给出的成本R、售价P与产量x的关系式，将总销售额（P·x）和总成本R代入利润公式，得到利润关于x的函数表达式；第二步，观察得到的函数是二次函数，且二次项系数为负，函数图象开口向下，顶点处可取最大值，通过配方求出二次函数的顶点坐标；第三步，结合题目给出的最高产量限制，验证顶点横坐标是否在自变量的合法取值范围内，若符合则顶点对应的函数值就是最大利润。
【解析】
设每天获得的利润为$W$元，根据利润=总销售额-总成本，可得：
$W = P· x - R$
将$R = 30x + 500$，$P = 170 - 2x$代入上式：
$\begin{aligned}W&=(170-2x)x - (30x + 500)\\&=170x - 2x^2 -30x -500\\&=-2x^2 +140x -500\end{aligned}$
对二次函数配方：
$\begin{aligned}W&=-2(x^2 -70x) -500\\&=-2(x^2 -70x + 35^2 - 35^2) -500\\&=-2(x-35)^2 + 2×35^2 -500\\&=-2(x-35)^2 +1950\end{aligned}$
$\because$二次项系数$-2＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，当$x=35$时，$W$取得最大值。
又$\because$每月最高产量为40只，$35＜40$，符合产量要求，此时最大利润为1950元。
【答案】
35；1950
【知识点】
利润问题计算；二次函数配方；二次函数最值
【点评】
本题是二次函数在实际利润问题中的典型应用，解题的关键是正确根据数量关系建立利润的函数表达式，再结合二次函数的性质求解最值，同时要注意验证所求的自变量取值是否符合实际问题的限制条件，避免出现不符合题意的结果。
【难度系数】
0.7
要解决这个利润最值问题，首先明确核心公式：总利润=总销售额-总成本。第一步，根据题目给出的成本R、售价P与产量x的关系式，将总销售额（P·x）和总成本R代入利润公式，得到利润关于x的函数表达式；第二步，观察得到的函数是二次函数，且二次项系数为负，函数图象开口向下，顶点处可取最大值，通过配方求出二次函数的顶点坐标；第三步，结合题目给出的最高产量限制，验证顶点横坐标是否在自变量的合法取值范围内，若符合则顶点对应的函数值就是最大利润。
【解析】
设每天获得的利润为$W$元，根据利润=总销售额-总成本，可得：
$W = P· x - R$
将$R = 30x + 500$，$P = 170 - 2x$代入上式：
$\begin{aligned}W&=(170-2x)x - (30x + 500)\\&=170x - 2x^2 -30x -500\\&=-2x^2 +140x -500\end{aligned}$
对二次函数配方：
$\begin{aligned}W&=-2(x^2 -70x) -500\\&=-2(x^2 -70x + 35^2 - 35^2) -500\\&=-2(x-35)^2 + 2×35^2 -500\\&=-2(x-35)^2 +1950\end{aligned}$
$\because$二次项系数$-2＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，当$x=35$时，$W$取得最大值。
又$\because$每月最高产量为40只，$35＜40$，符合产量要求，此时最大利润为1950元。
【答案】
35；1950
【知识点】
利润问题计算；二次函数配方；二次函数最值
【点评】
本题是二次函数在实际利润问题中的典型应用，解题的关键是正确根据数量关系建立利润的函数表达式，再结合二次函数的性质求解最值，同时要注意验证所求的自变量取值是否符合实际问题的限制条件，避免出现不符合题意的结果。
【难度系数】
0.7
6. (遵义中考)为增加农民收入,助力乡村振兴.某驻村干部指导农户进行草莓种植和销售,已知草莓的种植成本为8元/千克,经市场调查发现,今年“五一”期间草莓的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)(8≤x≤40)满足的函数图象如图所示.
(1)根据图象信息,求y与x的函数表达式;
(2)求“五一”期间销售草莓获得的最大利润.
(1)根据图象信息,求y与x的函数表达式;
(2)求“五一”期间销售草莓获得的最大利润.
答案
6. (1)当$8≤ x≤32$时,设$y=kx+b(k≠0)$,则$\begin{cases}22k+b=150,\\32k+b=120,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-3,\\b=216,\end{cases}$$\therefore$当$8≤ x≤32$时,$y=-3x+216$;当$32＜ x≤40$时,$y=120$,$\therefore y=\begin{cases}-3x+216(8≤ x≤32),\\120(32＜ x≤40).\end{cases}$
(2)设利润为$W$元,当$8≤ x≤32$时,$W=(x-8)y=(x-8)·(-3x+216)=-3(x-40)^2+3072$,$\because a=-3＜0$,二次函数图象开口向下,对称轴为直线$x=40$,$\therefore$当$8≤ x≤32$时,$W$随$x$的增大而增大,$\therefore$当$x=32$时,$W_{\mathrm{最大}}=2880$;当$32＜ x≤40$时,$W=(x-8)y=120(x-8)=120x-960$,$\because W$随$x$的增大而增大,$\therefore$当$x=40$时,$W_{\mathrm{最大}}=3840$.$\because 3840＞2880$,$\therefore$最大利润为3840元.
(2)设利润为$W$元,当$8≤ x≤32$时,$W=(x-8)y=(x-8)·(-3x+216)=-3(x-40)^2+3072$,$\because a=-3＜0$,二次函数图象开口向下,对称轴为直线$x=40$,$\therefore$当$8≤ x≤32$时,$W$随$x$的增大而增大,$\therefore$当$x=32$时,$W_{\mathrm{最大}}=2880$;当$32＜ x≤40$时,$W=(x-8)y=120(x-8)=120x-960$,$\because W$随$x$的增大而增大,$\therefore$当$x=40$时,$W_{\mathrm{最大}}=3840$.$\because 3840＞2880$,$\therefore$最大利润为3840元.
解析
【分析】
（1）观察图象可知y与x是分段函数关系：$8≤x≤32$时为一次函数，$32＜x≤40$时为常数函数。先利用待定系数法，代入图象上两点坐标求出一次函数解析式，常数段直接读取图象的y值即可。
（2）销售利润=（销售单价-成本单价）×销售量，因此对应x的取值范围分两段列出利润的函数表达式，再结合一次函数、二次函数的增减性分别求出两段的最大利润，比较两个最大值后，较大的就是所求的最大利润。
【解析】
(1) 分情况求函数表达式：
①当$8≤ x≤32$时，设$y=kx+b(k≠0)$，将$B(22,150)$、$C(32,120)$代入得：
$\begin{cases}22k+b=150\\32k+b=120\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-3\\b=216\end{cases}$，即此段解析式为$y=-3x+216$；
②当$32＜ x≤40$时，由图象可得$y=120$。
综上，y与x的函数表达式为$y=\begin{cases}-3x+216(8≤ x≤32)\\120(32＜ x≤40)\end{cases}$。
(2) 设利润为$W$元，分两段计算最大利润：
①当$8≤ x≤32$时：
$W=(x-8)(-3x+216)=-3(x-40)^2+3072$
∵$a=-3＜0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=40$，
∴$8≤x≤32$范围内W随x的增大而增大，当$x=32$时，$W_{最大}=2880$元；
②当$32＜ x≤40$时：
$W=120(x-8)=120x-960$
∵$120＞0$，W随x的增大而增大，当$x=40$时，$W_{最大}=120×40-960=3840$元。
∵$3840＞2880$，因此最大利润为3840元。
【答案】
(1)$y=\begin{cases}-3x+216(8≤ x≤32)\\120(32＜ x≤40)\end{cases}$
(2)3840元
【知识点】
分段函数，待定系数法，二次函数最值
【点评】
本题结合实际销售场景考查函数的应用，需要掌握分段讨论的思想，解题关键是准确写出各段函数解析式，结合自变量的取值范围求最值，易错点是忽略自变量范围直接取二次函数顶点值求最值。
【难度系数】
0.7
（1）观察图象可知y与x是分段函数关系：$8≤x≤32$时为一次函数，$32＜x≤40$时为常数函数。先利用待定系数法，代入图象上两点坐标求出一次函数解析式，常数段直接读取图象的y值即可。
（2）销售利润=（销售单价-成本单价）×销售量，因此对应x的取值范围分两段列出利润的函数表达式，再结合一次函数、二次函数的增减性分别求出两段的最大利润，比较两个最大值后，较大的就是所求的最大利润。
【解析】
(1) 分情况求函数表达式：
①当$8≤ x≤32$时，设$y=kx+b(k≠0)$，将$B(22,150)$、$C(32,120)$代入得：
$\begin{cases}22k+b=150\\32k+b=120\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-3\\b=216\end{cases}$，即此段解析式为$y=-3x+216$；
②当$32＜ x≤40$时，由图象可得$y=120$。
综上，y与x的函数表达式为$y=\begin{cases}-3x+216(8≤ x≤32)\\120(32＜ x≤40)\end{cases}$。
(2) 设利润为$W$元，分两段计算最大利润：
①当$8≤ x≤32$时：
$W=(x-8)(-3x+216)=-3(x-40)^2+3072$
∵$a=-3＜0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=40$，
∴$8≤x≤32$范围内W随x的增大而增大，当$x=32$时，$W_{最大}=2880$元；
②当$32＜ x≤40$时：
$W=120(x-8)=120x-960$
∵$120＞0$，W随x的增大而增大，当$x=40$时，$W_{最大}=120×40-960=3840$元。
∵$3840＞2880$，因此最大利润为3840元。
【答案】
(1)$y=\begin{cases}-3x+216(8≤ x≤32)\\120(32＜ x≤40)\end{cases}$
(2)3840元
【知识点】
分段函数，待定系数法，二次函数最值
【点评】
本题结合实际销售场景考查函数的应用，需要掌握分段讨论的思想，解题关键是准确写出各段函数解析式，结合自变量的取值范围求最值，易错点是忽略自变量范围直接取二次函数顶点值求最值。
【难度系数】
0.7
7. 某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车.已知在甲、乙两地的销售利润y(万元)与销售量x(辆)之间分别满足$y_1=-x^2+10x$，$y_2=2x$，若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润是 (
A.30万元
B.40万元
C.45万元
D.46万元
D
)A.30万元
B.40万元
C.45万元
D.46万元
答案
7. D 解析:设总利润为$W$元,在甲地销售$x$辆,则在乙地销售$(15-x)$辆,根据题意得出$W=y_1+y_2=-x^2+10x+2(15-x)=-x^2+8x+30=-(x-4)^2+46$,$\therefore$最大利润为46万元,故选D.
解析
【分析】
这是一道利用二次函数求解销售最大利润的实际应用题，解题思路如下：第一步，合理设置变量，已知两地总销量为15辆，可设甲地销量为x辆，则乙地销量为总销量减去甲地销量，即(15-x)辆；第二步，总利润等于甲地利润与乙地利润之和，将两地的利润函数代入，即可得到总利润关于x的二次函数解析式；第三步，结合二次函数性质求最值，由于二次项系数为负，抛物线开口向下，顶点处可取得最大值，同时要验证顶点横坐标是否符合销售数量的实际取值范围，最终得到最大利润。
【解析】
设总利润为$W$万元，在甲地销售$x$辆（$x$为非负整数，且$0≤ x≤15$），则在乙地销售$(15-x)$辆。
根据总利润=甲地利润+乙地利润，可得：
$W=y_1+y_2$
代入已知利润公式：
$W=-x^2+10x+2(15-x)$
展开整理得：
$W=-x^2+10x+30-2x=-x^2+8x+30$
对二次函数配方：
$W=-(x^2-8x+16)+16+30=-(x-4)^2+46$
$\because$ 二次项系数$-1＜0$，抛物线开口向下
$\therefore$ 当$x=4$时，$W$取得最大值，最大值为46万元，且$x=4$满足$0≤4≤15$，符合实际销售要求。
【答案】D
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；列函数解析式
【点评】
本题是典型的二次函数实际应用类题型，解题核心是根据题意正确建立总利润的函数表达式，再结合二次函数的性质求解最值，解题时要注意变量的取值需符合实际意义。
【难度系数】
0.7
这是一道利用二次函数求解销售最大利润的实际应用题，解题思路如下：第一步，合理设置变量，已知两地总销量为15辆，可设甲地销量为x辆，则乙地销量为总销量减去甲地销量，即(15-x)辆；第二步，总利润等于甲地利润与乙地利润之和，将两地的利润函数代入，即可得到总利润关于x的二次函数解析式；第三步，结合二次函数性质求最值，由于二次项系数为负，抛物线开口向下，顶点处可取得最大值，同时要验证顶点横坐标是否符合销售数量的实际取值范围，最终得到最大利润。
【解析】
设总利润为$W$万元，在甲地销售$x$辆（$x$为非负整数，且$0≤ x≤15$），则在乙地销售$(15-x)$辆。
根据总利润=甲地利润+乙地利润，可得：
$W=y_1+y_2$
代入已知利润公式：
$W=-x^2+10x+2(15-x)$
展开整理得：
$W=-x^2+10x+30-2x=-x^2+8x+30$
对二次函数配方：
$W=-(x^2-8x+16)+16+30=-(x-4)^2+46$
$\because$ 二次项系数$-1＜0$，抛物线开口向下
$\therefore$ 当$x=4$时，$W$取得最大值，最大值为46万元，且$x=4$满足$0≤4≤15$，符合实际销售要求。
【答案】D
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；列函数解析式
【点评】
本题是典型的二次函数实际应用类题型，解题核心是根据题意正确建立总利润的函数表达式，再结合二次函数的性质求解最值，解题时要注意变量的取值需符合实际意义。
【难度系数】
0.7
8. ★★★ 某超市销售某种玩具,进货价为20元/件.根据市场调查:在一段时间内,销售单价是30元时,销售量是400件,而销售单价每上涨1元,就会少售出10件玩具,超市要完成不少于300件的销售任务,又要获得最大利润,则销售单价应定为
40
元.答案
8. 40 解析:设销售单价应定为$x$元,利润为$y$元,根据题意可得,$y=(x-20)[400-10(x-30)]=(x-20)(700-10x)=-10x^2+900x-14000=-10(x-45)^2+6250$.$\because$超市要完成不少于300件的销售任务,$\therefore 400-10(x-30)≥300$,解得$x≤40$,即当$x=40$时,销售量为300件,此时利润最大为$-10×(40-45)^2+6250=6000$(元),故销售单价应定为40元.
解析
【分析】
这是一道结合实际销售场景的利润最值问题，解题思路分为三步：第一步，明确利润计算公式：总利润=单件利润×销售总量，据此设未知数列出利润关于销售单价的函数关系式；第二步，根据“销售量不少于300件”的约束条件，列不等式求出自变量销售单价的取值范围；第三步，结合二次函数的图象性质（开口方向、增减性），在自变量的取值范围内找到使利润最大的单价即可。要注意不能直接套用二次函数顶点求最值，需优先考虑实际问题的取值限制。
【解析】
设销售单价应定为$x$元，获得的总利润为$y$元。
单件利润为$(x-20)$元，销售单价相比30元上涨了$(x-30)$元，因此销售量为$[400-10(x-30)]$件，根据总利润公式可得：
$\begin{aligned}y&=(x-20)[400-10(x-30)]\\&=(x-20)(700-10x)\\&=-10x^2+900x-14000\\&=-10(x-45)^2+6250\end{aligned}$
根据销售任务要求，销售量不少于300件，因此列不等式：
$400-10(x-30)≥300$
解不等式得：
$700-10x≥300$
$x≤40$
二次函数$y=-10(x-45)^2+6250$开口向下，对称轴为直线$x=45$，在$x≤45$时$y$随$x$的增大而增大，结合$x≤40$的取值范围，可知当$x=40$时，$y$取得最大值，此时利润为$-10×(40-45)^2+6250=6000$元，符合题意。
【答案】
40
【知识点】
二次函数最值应用，一元一次不等式求解，销售利润计算
【点评】
本题是销售利润类的典型题型，解题的关键是正确列出利润与单价的函数关系，尤其要注意结合实际销售的限制条件确定自变量的取值范围，避免忽略约束直接取二次函数顶点横坐标导致错误。
【难度系数】
0.6
这是一道结合实际销售场景的利润最值问题，解题思路分为三步：第一步，明确利润计算公式：总利润=单件利润×销售总量，据此设未知数列出利润关于销售单价的函数关系式；第二步，根据“销售量不少于300件”的约束条件，列不等式求出自变量销售单价的取值范围；第三步，结合二次函数的图象性质（开口方向、增减性），在自变量的取值范围内找到使利润最大的单价即可。要注意不能直接套用二次函数顶点求最值，需优先考虑实际问题的取值限制。
【解析】
设销售单价应定为$x$元，获得的总利润为$y$元。
单件利润为$(x-20)$元，销售单价相比30元上涨了$(x-30)$元，因此销售量为$[400-10(x-30)]$件，根据总利润公式可得：
$\begin{aligned}y&=(x-20)[400-10(x-30)]\\&=(x-20)(700-10x)\\&=-10x^2+900x-14000\\&=-10(x-45)^2+6250\end{aligned}$
根据销售任务要求，销售量不少于300件，因此列不等式：
$400-10(x-30)≥300$
解不等式得：
$700-10x≥300$
$x≤40$
二次函数$y=-10(x-45)^2+6250$开口向下，对称轴为直线$x=45$，在$x≤45$时$y$随$x$的增大而增大，结合$x≤40$的取值范围，可知当$x=40$时，$y$取得最大值，此时利润为$-10×(40-45)^2+6250=6000$元，符合题意。
【答案】
40
【知识点】
二次函数最值应用，一元一次不等式求解，销售利润计算
【点评】
本题是销售利润类的典型题型，解题的关键是正确列出利润与单价的函数关系，尤其要注意结合实际销售的限制条件确定自变量的取值范围，避免忽略约束直接取二次函数顶点横坐标导致错误。
【难度系数】
0.6
