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6. 如图所示，学校举行数学文化竞赛，图中的四个点分别描述了八年级的四个班级竞赛成绩的优秀率$y$（班级优秀人数占班级参加竞赛人数的百分率）与该班参加竞赛人数$x$的情况，其中描述1班和4班两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则成绩优秀人数最多的是（
A.1班
B.2班
C.3班
D.4班
B
）A.1班
B.2班
C.3班
D.4班
答案
解析:设反比例函数的表达式为 $y=\frac{k}{x}(k＞0)$,过 2 班点,3 班点作 y 轴的平行线交反比例函数于 A,B,设 1 班点为 $(x_1,y_1)$,2 班点为 $(x_2,y_2)$,3 班点为 $(x_3,y_3)$,4 班点为 $(x_4,y_4)$,点 A 为 $(x_2,y_2')$,点 B 为 $(x_3,y_3')$,由图象可知: $y_2＞y_2',y_3＜y_3'$,依题意得, $x_1y_1,x_2y_2,x_3y_3,x_4y_4$ 分别为 1 班,2 班,3 班,4 班成绩优秀的人数.$\because$ 1 班点,A 点,B 点,4 班点在反比例函数的图象上, $\therefore k=x_1y_1=x_2y_2'=x_3y_3'=x_4y_4.\because y_2＞y_2',y_3＜y_3',\therefore x_2y_2＞x_2y_2'=k,x_3y_3＜x_3y_3'=k,\therefore x_2y_2＞x_1y_1=x_4y_4＞x_3y_3$,即 2 班成绩优秀的人数＞1 班成绩优秀的人数=4 班成绩优秀的人数＞3 班成绩优秀的人数, $\therefore$ 2 班成绩优秀的人数最多.故选 B.
解析
【分析】
解题首先要明确核心对应关系：班级成绩优秀人数=参加竞赛人数$x$×优秀率$y$，即优秀人数对应$xy$的乘积。已知1班和4班的点在同一反比例函数图象上，根据反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的性质，$k=xy$为定值，因此1班和4班的优秀人数相等，均为$k$。接下来只需比较2班、3班的$xy$乘积与$k$的大小：过2班、3班的点作垂直于$x$轴的直线，与反比例函数交于两点，这两点的$x$值分别和2班、3班的$x$值相等，通过比较对应$y$值的大小，就能推导2班、3班的$xy$和$k$的大小关系，最终判断优秀人数最多的班级。
【解析】
设反比例函数的表达式为 $y=\frac{k}{x}(k＞0)$。
班级优秀人数为参赛人数与优秀率的乘积，因此1班、2班、3班、4班的优秀人数分别为$x_1y_1$、$x_2y_2$、$x_3y_3$、$x_4y_4$（$(x_1,y_1)$为1班对应点坐标，$(x_2,y_2)$为2班对应点坐标，$(x_3,y_3)$为3班对应点坐标，$(x_4,y_4)$为4班对应点坐标）。
过2班、3班的点分别作$y$轴的平行线，交反比例函数图象于$A$、$B$两点，设$A(x_2,y_2')$，$B(x_3,y_3')$。
由于1班、$A$点、$B$点、4班均在反比例函数图象上，因此满足$k=x_1y_1=x_2y_2'=x_3y_3'=x_4y_4$，即1班和4班的优秀人数均为$k$。
由图象可得：$y_2＞y_2'$，不等式两边同乘正数$x_2$，得$x_2y_2＞x_2y_2'=k$，即2班优秀人数大于$k$；
$y_3＜y_3'$，不等式两边同乘正数$x_3$，得$x_3y_3＜x_3y_3'=k$，即3班优秀人数小于$k$。
综上可得$x_2y_2＞x_1y_1=x_4y_4＞x_3y_3$，因此2班成绩优秀人数最多。
【答案】
B
【知识点】
1. 反比例函数的性质
2. 反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合竞赛优秀率的实际场景考查反比例函数的应用，解题关键是理解优秀人数为$x$与$y$的乘积，结合反比例函数$k=xy$的定值特性，通过图象比较相同$x$对应的$y$值大小即可判断优秀人数的多少，考查了数形结合的思想，出题形式灵活。
【难度系数】
0.6
解题首先要明确核心对应关系：班级成绩优秀人数=参加竞赛人数$x$×优秀率$y$，即优秀人数对应$xy$的乘积。已知1班和4班的点在同一反比例函数图象上，根据反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的性质，$k=xy$为定值，因此1班和4班的优秀人数相等，均为$k$。接下来只需比较2班、3班的$xy$乘积与$k$的大小：过2班、3班的点作垂直于$x$轴的直线，与反比例函数交于两点，这两点的$x$值分别和2班、3班的$x$值相等，通过比较对应$y$值的大小，就能推导2班、3班的$xy$和$k$的大小关系，最终判断优秀人数最多的班级。
【解析】
设反比例函数的表达式为 $y=\frac{k}{x}(k＞0)$。
班级优秀人数为参赛人数与优秀率的乘积，因此1班、2班、3班、4班的优秀人数分别为$x_1y_1$、$x_2y_2$、$x_3y_3$、$x_4y_4$（$(x_1,y_1)$为1班对应点坐标，$(x_2,y_2)$为2班对应点坐标，$(x_3,y_3)$为3班对应点坐标，$(x_4,y_4)$为4班对应点坐标）。
过2班、3班的点分别作$y$轴的平行线，交反比例函数图象于$A$、$B$两点，设$A(x_2,y_2')$，$B(x_3,y_3')$。
由于1班、$A$点、$B$点、4班均在反比例函数图象上，因此满足$k=x_1y_1=x_2y_2'=x_3y_3'=x_4y_4$，即1班和4班的优秀人数均为$k$。
由图象可得：$y_2＞y_2'$，不等式两边同乘正数$x_2$，得$x_2y_2＞x_2y_2'=k$，即2班优秀人数大于$k$；
$y_3＜y_3'$，不等式两边同乘正数$x_3$，得$x_3y_3＜x_3y_3'=k$，即3班优秀人数小于$k$。
综上可得$x_2y_2＞x_1y_1=x_4y_4＞x_3y_3$，因此2班成绩优秀人数最多。
【答案】
B
【知识点】
1. 反比例函数的性质
2. 反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合竞赛优秀率的实际场景考查反比例函数的应用，解题关键是理解优秀人数为$x$与$y$的乘积，结合反比例函数$k=xy$的定值特性，通过图象比较相同$x$对应的$y$值大小即可判断优秀人数的多少，考查了数形结合的思想，出题形式灵活。
【难度系数】
0.6
7. ★★★(枣庄中考)为加强生态文明建设,某市环保局对一企业排污情况进行检测,结果显示:所排污水中硫化物的浓度超标,即硫化物的浓度超过最高允许的1.0 mg/L.环保局要求该企业立即整改,在15天内(含15天)排污达标.整改过程中,所排污水中硫化物的浓度y(mg/L)与时间x(天)的变化规律如图所示,其中线段AC表示前3天的变化规律,第3天时硫化物的浓度降为4.5 mg/L.从第3天起,所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系:
(1)在整改过程中,当0≤x＜3时,求硫化物的浓度y与时间x的函数表达式.
(2)在整改过程中,当x≥3时,求硫化物的浓度y与时间x的函数表达式.
(3)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天内达到不超过最高允许的1.0 mg/L?为什么?
什么？
(1)在整改过程中,当0≤x＜3时,求硫化物的浓度y与时间x的函数表达式.
(2)在整改过程中,当x≥3时,求硫化物的浓度y与时间x的函数表达式.
(3)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天内达到不超过最高允许的1.0 mg/L?为什么?
什么？
答案
(1)前三天的函数图象是线段,设函数表达式为 y=kx+b,把 $(0,12),(3,4.5)$ 代入函数表达式,得 $\begin{cases}12=b,\\4.5=3k+b,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-2.5,\\b=12,\end{cases}$ $\therefore$ 当 $0≤x＜3$ 时,硫化物的浓度 y 与时间 x 的函数表达式为 $y=-2.5x+12$.
(2)当 $x≥3$ 时,由题可得 y 与 x 成反比例函数关系,设 $y=\frac{k}{x}$,把 $(3,4.5)$ 代入函数表达式,得 $4.5=\frac{k}{3}$,解得 $k=13.5$, $\therefore$ 当 $x≥3$ 时,硫化物的浓度 y 与时间 x 的函数表达式为 $y=\frac{13.5}{x}$.
(3)能.理由如下:当 $x=15$ 时, $y=\frac{13.5}{15}=0.9$,因为 $0.9＜1$,所以该企业所排污水中硫化物的浓度,能在 15 天以内达到不超过最高允许的 1.0 mg/L.
(2)当 $x≥3$ 时,由题可得 y 与 x 成反比例函数关系,设 $y=\frac{k}{x}$,把 $(3,4.5)$ 代入函数表达式,得 $4.5=\frac{k}{3}$,解得 $k=13.5$, $\therefore$ 当 $x≥3$ 时,硫化物的浓度 y 与时间 x 的函数表达式为 $y=\frac{13.5}{x}$.
(3)能.理由如下:当 $x=15$ 时, $y=\frac{13.5}{15}=0.9$,因为 $0.9＜1$,所以该企业所排污水中硫化物的浓度,能在 15 天以内达到不超过最高允许的 1.0 mg/L.
解析
【分析】
(1) 当0≤x＜3时，浓度随时间变化的图象是线段，属于一次函数模型，采用待定系数法求解：先设一次函数表达式为y=kx+b，找到线段经过的两个已知点(0,12)和(3,4.5)，代入表达式得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可得到函数表达式。
(2) 当x≥3时，观察浓度和时间的变化规律，二者乘积为定值，符合反比例函数特征，因此设反比例函数表达式为$y=\frac{k}{x}$，将x=3、y=4.5代入求出k的值，即可得到对应函数表达式。
(3) 要判断15天内是否达标，只需将x=15代入x≥3对应的反比例函数解析式，计算得到的浓度值与最高允许值1.0mg/L比较，若小于等于1.0则达标，反之不达标。
【解析】
(1) 当0≤x＜3时，设硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为$y=kx+b$，
将点$(0,12)$、$(3,4.5)$代入表达式，得：
$\begin{cases}12=b\\4.5=3k+b\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-2.5\\b=12\end{cases}$
∴当$0≤x＜3$时，函数表达式为$y=-2.5x+12$。
(2) 当$x≥3$时，y与x成反比例函数关系，设表达式为$y=\frac{k}{x}$，
将点$(3,4.5)$代入表达式，得$4.5=\frac{k}{3}$，解得$k=13.5$，
∴当$x≥3$时，函数表达式为$y=\frac{13.5}{x}$。
(3) 能，理由如下：
当$x=15$时，代入$y=\frac{13.5}{x}$得$y=\frac{13.5}{15}=0.9$，
∵$0.9＜1.0$，
∴该企业所排污水中硫化物的浓度能在15天以内达到不超过最高允许的1.0mg/L。
【答案】
(1) $y=-2.5x+12\ (0≤x＜3)$
(2) $y=\frac{13.5}{x}\ (x≥3)$
(3) 能，当x=15时硫化物浓度为0.9mg/L，小于1.0mg/L，因此达标。
【知识点】
待定系数法求解析式、一次函数的应用、反比例函数的应用
【点评】
本题结合生态环保的实际场景考查函数的实际应用，解题核心是根据图象特征匹配对应的函数模型，通过待定系数法求出函数解析式后，代入数值计算即可完成实际问题的判断，注重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 当0≤x＜3时，浓度随时间变化的图象是线段，属于一次函数模型，采用待定系数法求解：先设一次函数表达式为y=kx+b，找到线段经过的两个已知点(0,12)和(3,4.5)，代入表达式得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可得到函数表达式。
(2) 当x≥3时，观察浓度和时间的变化规律，二者乘积为定值，符合反比例函数特征，因此设反比例函数表达式为$y=\frac{k}{x}$，将x=3、y=4.5代入求出k的值，即可得到对应函数表达式。
(3) 要判断15天内是否达标，只需将x=15代入x≥3对应的反比例函数解析式，计算得到的浓度值与最高允许值1.0mg/L比较，若小于等于1.0则达标，反之不达标。
【解析】
(1) 当0≤x＜3时，设硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为$y=kx+b$，
将点$(0,12)$、$(3,4.5)$代入表达式，得：
$\begin{cases}12=b\\4.5=3k+b\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-2.5\\b=12\end{cases}$
∴当$0≤x＜3$时，函数表达式为$y=-2.5x+12$。
(2) 当$x≥3$时，y与x成反比例函数关系，设表达式为$y=\frac{k}{x}$，
将点$(3,4.5)$代入表达式，得$4.5=\frac{k}{3}$，解得$k=13.5$，
∴当$x≥3$时，函数表达式为$y=\frac{13.5}{x}$。
(3) 能，理由如下：
当$x=15$时，代入$y=\frac{13.5}{x}$得$y=\frac{13.5}{15}=0.9$，
∵$0.9＜1.0$，
∴该企业所排污水中硫化物的浓度能在15天以内达到不超过最高允许的1.0mg/L。
【答案】
(1) $y=-2.5x+12\ (0≤x＜3)$
(2) $y=\frac{13.5}{x}\ (x≥3)$
(3) 能，当x=15时硫化物浓度为0.9mg/L，小于1.0mg/L，因此达标。
【知识点】
待定系数法求解析式、一次函数的应用、反比例函数的应用
【点评】
本题结合生态环保的实际场景考查函数的实际应用，解题核心是根据图象特征匹配对应的函数模型，通过待定系数法求出函数解析式后，代入数值计算即可完成实际问题的判断，注重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
8. 如图是一次药物临床试验中受试者服药后血液中的药物浓度$y$(微克/毫升)与用药的时间$x$(小时)变化的图象.第一次服药后对应的图象由线段$OA$和部分双曲线$AB$:$y=\frac{k}{x}$组成,服药6小时后血液中的药物浓度达到最高,16小时后开始第二次服药,服药后对应的图象由线段$BC$和部分曲线$CD$:$y=\frac{k}{x-16}+m$组成,其中$OA$与$BC$平行.血液中的药物浓度不低于5微克/毫升时有疗效.
(1)分别求受试者第16小时,第22小时血液中的药物浓度.
(2)受试者第一次服药后第二次服药前这16小时内,有疗效的持续时间达到6小时了吗?
(3)若血液中的药物浓度不高于4微克/毫升时才能进行第三次服药,问受试者第二次服药后至少经过几小时可进行第三次服药?
(1)分别求受试者第16小时,第22小时血液中的药物浓度.
(2)受试者第一次服药后第二次服药前这16小时内,有疗效的持续时间达到6小时了吗?
(3)若血液中的药物浓度不高于4微克/毫升时才能进行第三次服药,问受试者第二次服药后至少经过几小时可进行第三次服药?
答案
(1)把点 $(6,8)$ 代入双曲线 AB 的表达式 $y=\frac{k}{x}$ 得 $k=48,\therefore$ 双曲线 AB 的函数表达式为 $y=\frac{48}{x}$. 当 $x=16$ 时, $y=\frac{48}{16}=3$,即第 16 小时血液中的药物浓度为 3 微克/毫升.设直线 OA 的表达式为 $y_1=ax$,把点 $(6,8)$ 代入 $y_1=ax$ 得 $a=\frac{4}{3}.\because OA$ 与 BC 平行, $\therefore$ 设直线 BC 的表达式为 $y_2=\frac{4}{3}x+b$,把点 $B(16,3)$ 代入,得 $b=-\frac{55}{3},\therefore$ 直线 BC 的函数表达式为 $y_2=\frac{4}{3}x-\frac{55}{3}$. 当 $x=22$ 时, $y_2=11$,即第 22 小时血液中的药物浓度为 11 微克/毫升.
(2)当 $0＜x＜6$ 时,若 $y=5$,则 $5=\frac{4}{3}x$,解得 $x=\frac{15}{4}$,当 $6≤x＜16$ 时,若 $y=5$,则 $5=\frac{48}{x}$,解得 $x=\frac{48}{5},\therefore \frac{48}{5}-\frac{15}{4}=\frac{117}{20}=5.85＜6,\therefore$ 这 16 小时内药物有疗效的持续时间没有达到 6 小时.
(3)把点 $C(22,11)$ 代入 $y=\frac{48}{x-16}+m$,得 $m=3,\therefore$ 双曲线 CD 的函数表达式为 $y=\frac{48}{x-16}+3$,当 $y=4$ 时, $x=64,64-16=48,\therefore$ 受试者第二次服药后至少经过 48 小时,才能进行第三次服药.
(2)当 $0＜x＜6$ 时,若 $y=5$,则 $5=\frac{4}{3}x$,解得 $x=\frac{15}{4}$,当 $6≤x＜16$ 时,若 $y=5$,则 $5=\frac{48}{x}$,解得 $x=\frac{48}{5},\therefore \frac{48}{5}-\frac{15}{4}=\frac{117}{20}=5.85＜6,\therefore$ 这 16 小时内药物有疗效的持续时间没有达到 6 小时.
(3)把点 $C(22,11)$ 代入 $y=\frac{48}{x-16}+m$,得 $m=3,\therefore$ 双曲线 CD 的函数表达式为 $y=\frac{48}{x-16}+3$,当 $y=4$ 时, $x=64,64-16=48,\therefore$ 受试者第二次服药后至少经过 48 小时,才能进行第三次服药.
解析
【分析】
解题思路如下：
(1) 先利用点A(6,8)求出双曲线AB的解析式，代入x=16即可得到第16小时的药物浓度；再求出直线OA的斜率，由OA与BC平行可知BC斜率与OA相同，代入B点坐标求出BC的解析式，再代入x=22即可得到第22小时的药物浓度。
(2) 分两段求解：在OA段（0＜x＜6）求y=5对应的x值，在AB段（6≤x＜16）求y=5对应的x值，两个x的差值就是有疗效的持续时间，再和6小时比较即可。
(3) 先利用点C(22,11)求出双曲线CD的解析式，令y=4求出对应的x值，用该x值减去第二次服药的时间16小时，就是第二次服药后到第三次服药需要间隔的最少时间。
【解析】
(1) 把点$A(6,8)$代入双曲线AB的表达式$y=\frac{k}{x}$，得$8=\frac{k}{6}$，解得$k=48$，
∴双曲线AB的函数表达式为$y=\frac{48}{x}$。
当$x=16$时，$y=\frac{48}{16}=3$，即第16小时血液中的药物浓度为3微克/毫升。
设直线OA的表达式为$y_1=ax$，把点$(6,8)$代入$y_1=ax$，得$8=6a$，解得$a=\frac{4}{3}$。
∵OA与BC平行，
∴直线BC的斜率与OA相同，设直线BC的表达式为$y_2=\frac{4}{3}x+b$，
把点$B(16,3)$代入，得$3=\frac{4}{3}×16 + b$，解得$b=-\frac{55}{3}$，
∴直线BC的函数表达式为$y_2=\frac{4}{3}x-\frac{55}{3}$。
当$x=22$时，$y_2=\frac{4}{3}×22 - \frac{55}{3}=11$，即第22小时血液中的药物浓度为11微克/毫升。
(2) 当$0＜x＜6$时，若$y=5$，则$5=\frac{4}{3}x$，解得$x=\frac{15}{4}$；
当$6≤x＜16$时，若$y=5$，则$5=\frac{48}{x}$，解得$x=\frac{48}{5}$。
∴有疗效的持续时间为$\frac{48}{5}-\frac{15}{4}=5.85$小时，
∵$5.85＜6$，
∴这16小时内有疗效的持续时间没有达到6小时。
(3) 把点$C(22,11)$代入$y=\frac{48}{x-16}+m$，得$11=\frac{48}{22-16}+m$，解得$m=3$，
∴双曲线CD的函数表达式为$y=\frac{48}{x-16}+3$。
当$y=4$时，$4=\frac{48}{x-16}+3$，解得$x=64$，
∴第二次服药后到第三次服药的间隔时间为$64-16=48$小时，即至少经过48小时可进行第三次服药。
【答案】
(1) 第16小时血液中的药物浓度为3微克/毫升，第22小时为11微克/毫升；
(2) 有疗效的持续时间没有达到6小时；
(3) 第二次服药后至少经过48小时可进行第三次服药。
【知识点】
待定系数法求解析式、一次函数应用、反比例函数应用
【点评】
本题结合药物浓度的实际场景考查函数的综合应用，需要结合图像分段分析不同时间段对应的函数关系，重点考查信息读取能力和用函数知识解决实际问题的能力，解题时需注意自变量的实际意义，避免计算疏漏。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：
(1) 先利用点A(6,8)求出双曲线AB的解析式，代入x=16即可得到第16小时的药物浓度；再求出直线OA的斜率，由OA与BC平行可知BC斜率与OA相同，代入B点坐标求出BC的解析式，再代入x=22即可得到第22小时的药物浓度。
(2) 分两段求解：在OA段（0＜x＜6）求y=5对应的x值，在AB段（6≤x＜16）求y=5对应的x值，两个x的差值就是有疗效的持续时间，再和6小时比较即可。
(3) 先利用点C(22,11)求出双曲线CD的解析式，令y=4求出对应的x值，用该x值减去第二次服药的时间16小时，就是第二次服药后到第三次服药需要间隔的最少时间。
【解析】
(1) 把点$A(6,8)$代入双曲线AB的表达式$y=\frac{k}{x}$，得$8=\frac{k}{6}$，解得$k=48$，
∴双曲线AB的函数表达式为$y=\frac{48}{x}$。
当$x=16$时，$y=\frac{48}{16}=3$，即第16小时血液中的药物浓度为3微克/毫升。
设直线OA的表达式为$y_1=ax$，把点$(6,8)$代入$y_1=ax$，得$8=6a$，解得$a=\frac{4}{3}$。
∵OA与BC平行，
∴直线BC的斜率与OA相同，设直线BC的表达式为$y_2=\frac{4}{3}x+b$，
把点$B(16,3)$代入，得$3=\frac{4}{3}×16 + b$，解得$b=-\frac{55}{3}$，
∴直线BC的函数表达式为$y_2=\frac{4}{3}x-\frac{55}{3}$。
当$x=22$时，$y_2=\frac{4}{3}×22 - \frac{55}{3}=11$，即第22小时血液中的药物浓度为11微克/毫升。
(2) 当$0＜x＜6$时，若$y=5$，则$5=\frac{4}{3}x$，解得$x=\frac{15}{4}$；
当$6≤x＜16$时，若$y=5$，则$5=\frac{48}{x}$，解得$x=\frac{48}{5}$。
∴有疗效的持续时间为$\frac{48}{5}-\frac{15}{4}=5.85$小时，
∵$5.85＜6$，
∴这16小时内有疗效的持续时间没有达到6小时。
(3) 把点$C(22,11)$代入$y=\frac{48}{x-16}+m$，得$11=\frac{48}{22-16}+m$，解得$m=3$，
∴双曲线CD的函数表达式为$y=\frac{48}{x-16}+3$。
当$y=4$时，$4=\frac{48}{x-16}+3$，解得$x=64$，
∴第二次服药后到第三次服药的间隔时间为$64-16=48$小时，即至少经过48小时可进行第三次服药。
【答案】
(1) 第16小时血液中的药物浓度为3微克/毫升，第22小时为11微克/毫升；
(2) 有疗效的持续时间没有达到6小时；
(3) 第二次服药后至少经过48小时可进行第三次服药。
【知识点】
待定系数法求解析式、一次函数应用、反比例函数应用
【点评】
本题结合药物浓度的实际场景考查函数的综合应用，需要结合图像分段分析不同时间段对应的函数关系，重点考查信息读取能力和用函数知识解决实际问题的能力，解题时需注意自变量的实际意义，避免计算疏漏。
【难度系数】
0.6
