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11. 不等式组$\begin{cases}3x -9＞0, \\x＞m\end{cases}$的解集为$x＞3$，则$m$的取值范围为 ______ 。
答案
11. $m≤3$ 解析:$\begin{cases}3x-9＞0 \quad ①, \\x＞m \quad ②,\end{cases}$ 解不等式①得 $x＞3$,又
∵ 不等式组的解集为 $x＞3$,且 $x＞m$,
∴ $m≤3$.
∵ 不等式组的解集为 $x＞3$,且 $x＞m$,
∴ $m≤3$.
解析
【分析】
首先先求解不等式组中的第一个一元一次不等式，得到$x＞3$，此时不等式组转化为两个同向的大于型不等式：$x＞3$和$x＞m$。根据一元一次不等式组“同大取大”的解集确定规则，已知最终解集为$x＞3$，说明$m$的取值不能大于3；再验证端点值，当$m=3$时，两个不等式均为$x＞3$，解集仍然是$x＞3$，符合要求，由此可推出$m$的取值范围。
【解析】
解：$\begin{cases}3x-9＞0 \quad ① \\x＞m \quad ②\end{cases}$
解不等式①：移项得$3x＞9$，系数化为1得$x＞3$。
已知不等式组的解集为$x＞3$，根据“同大取大”的解集判定规则，可得$m$的取值不能大于3；当$m=3$时，不等式组的两个不等式均为$x＞3$，解集仍为$x＞3$，符合要求。
因此$m≤3$。
【答案】
$m≤3$
【知识点】
解一元一次不等式；一元一次不等式组的解集确定
【点评】
本题重点考察一元一次不等式组解集的判定规则，解题核心是熟练掌握“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”的解集规律，尤其要注意对端点值的验证，避免因忽略等号导致取值范围错误。
【难度系数】
0.7
首先先求解不等式组中的第一个一元一次不等式，得到$x＞3$，此时不等式组转化为两个同向的大于型不等式：$x＞3$和$x＞m$。根据一元一次不等式组“同大取大”的解集确定规则，已知最终解集为$x＞3$，说明$m$的取值不能大于3；再验证端点值，当$m=3$时，两个不等式均为$x＞3$，解集仍然是$x＞3$，符合要求，由此可推出$m$的取值范围。
【解析】
解：$\begin{cases}3x-9＞0 \quad ① \\x＞m \quad ②\end{cases}$
解不等式①：移项得$3x＞9$，系数化为1得$x＞3$。
已知不等式组的解集为$x＞3$，根据“同大取大”的解集判定规则，可得$m$的取值不能大于3；当$m=3$时，不等式组的两个不等式均为$x＞3$，解集仍为$x＞3$，符合要求。
因此$m≤3$。
【答案】
$m≤3$
【知识点】
解一元一次不等式；一元一次不等式组的解集确定
【点评】
本题重点考察一元一次不等式组解集的判定规则，解题核心是熟练掌握“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”的解集规律，尤其要注意对端点值的验证，避免因忽略等号导致取值范围错误。
【难度系数】
0.7
12. ★★ (达州中考)如图，$AE // CD$，$CA$平分$∠ BCD$，$∠ 2 = 35°$，$∠ D = 60°$，则$∠ B=$
$50°$
。答案
12. $50°$ 解析:
∵ $AE // CD$, $∠ 2 = 35°$,
∴ $∠ 1 = ∠ 2 = 35°$.
∵ CA 平分 $∠ BCD$,
∴ $∠ BCD = 2 ∠ 1 = 70°$.
∵ $∠ D = 60°$,
∴ $∠ B = 180° - ∠ D - ∠ BCD = 180°-60°-70°=50°$.
∵ $AE // CD$, $∠ 2 = 35°$,
∴ $∠ 1 = ∠ 2 = 35°$.
∵ CA 平分 $∠ BCD$,
∴ $∠ BCD = 2 ∠ 1 = 70°$.
∵ $∠ D = 60°$,
∴ $∠ B = 180° - ∠ D - ∠ BCD = 180°-60°-70°=50°$.
解析
【分析】
解题时先结合AE//CD的条件，利用平行线的内错角相等性质，由已知∠2的度数求出∠1的度数；再根据CA平分∠BCD的条件，借助角平分线的定义求出∠BCD的总度数；最后在△BCD中，利用三角形内角和为180°的定理，减去已知的∠D和求出的∠BCD的度数，即可得到∠B的度数。
【解析】
∵ $AE // CD$, $∠ 2 = 35°$,
∴ $∠ 1 = ∠ 2 = 35°$（两直线平行，内错角相等）。
∵ CA 平分 $∠ BCD$,
∴ $∠ BCD = 2 ∠ 1 = 70°$（角平分线的定义）。
∵ 在$△ BCD$中，$∠ D = 60°$，三角形内角和为$180°$,
∴ $∠ B = 180° - ∠ D - ∠ BCD = 180°-60°-70°=50°$。
【答案】
$50°$
【知识点】
平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何综合题，将三类基础几何知识点结合考查，难度不高，侧重检验学生对基础几何定理的掌握程度和简单逻辑推理能力，按条件逐步推导即可得出结果。
【难度系数】
0.7
解题时先结合AE//CD的条件，利用平行线的内错角相等性质，由已知∠2的度数求出∠1的度数；再根据CA平分∠BCD的条件，借助角平分线的定义求出∠BCD的总度数；最后在△BCD中，利用三角形内角和为180°的定理，减去已知的∠D和求出的∠BCD的度数，即可得到∠B的度数。
【解析】
∵ $AE // CD$, $∠ 2 = 35°$,
∴ $∠ 1 = ∠ 2 = 35°$（两直线平行，内错角相等）。
∵ CA 平分 $∠ BCD$,
∴ $∠ BCD = 2 ∠ 1 = 70°$（角平分线的定义）。
∵ 在$△ BCD$中，$∠ D = 60°$，三角形内角和为$180°$,
∴ $∠ B = 180° - ∠ D - ∠ BCD = 180°-60°-70°=50°$。
【答案】
$50°$
【知识点】
平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何综合题，将三类基础几何知识点结合考查，难度不高，侧重检验学生对基础几何定理的掌握程度和简单逻辑推理能力，按条件逐步推导即可得出结果。
【难度系数】
0.7
13. ★★★ 如图,菱形ABCD中,∠D=135°,BE⊥CD于点E,交AC于点F,FG⊥BC于点G.若△BFG的周长为6,则菱形的边长为
$6$
.答案
13. 6 解析:
∵ 菱形 ABCD 中, $∠ D = 135°$,
∴ $∠ BCD = 45°$.
∵ $BE ⊥ CD$ 于点 E,交 AC 于点 F, $FG ⊥ BC$ 于点 G,
∴ $△ BFG$和 $△ BEC$ 是等腰直角三角形. 在 $△ CGF$ 和 $△ CEF$ 中,
$\begin{cases}∠ GCF = ∠ ECF, \\ ∠ CGF = ∠ CEF = 90°, \\ CF = CF,\end{cases}$
∴ $△ CGF ≌ △ CEF (\mathrm{AAS})$,
∴ $FG = FE$,$CG = CE$.
∵ $△ BFG$ 的周长为 6,
∴ $BG+GF+BF = BG+EF+BF = BG+BE = BG+CG = BC = 6$.
∵ 菱形 ABCD 中, $∠ D = 135°$,
∴ $∠ BCD = 45°$.
∵ $BE ⊥ CD$ 于点 E,交 AC 于点 F, $FG ⊥ BC$ 于点 G,
∴ $△ BFG$和 $△ BEC$ 是等腰直角三角形. 在 $△ CGF$ 和 $△ CEF$ 中,
$\begin{cases}∠ GCF = ∠ ECF, \\ ∠ CGF = ∠ CEF = 90°, \\ CF = CF,\end{cases}$
∴ $△ CGF ≌ △ CEF (\mathrm{AAS})$,
∴ $FG = FE$,$CG = CE$.
∵ $△ BFG$ 的周长为 6,
∴ $BG+GF+BF = BG+EF+BF = BG+BE = BG+CG = BC = 6$.
解析
【分析】
解题时先从已知条件菱形和∠D=135°入手，利用菱形邻角互补的性质先求出∠BCD=45°，结合BE⊥CD、FG⊥BC的垂直条件，可判断出△BFG和△BEC都是等腰直角三角形。接下来观察到AC是菱形的对角线，平分∠BCD，F在AC上，因此可通过AAS证明△CGF和△CEF全等，得到FG=FE、CG=CE的线段等量关系。最后将△BFG的周长进行等量代换，把周长转化为菱形边长BC的长度，即可求出结果。
【解析】
∵ 菱形ABCD中，$∠D = 135°$,
∴ $∠BCD = 180°-∠D=45°$.
∵ $BE ⊥ CD$ 于点E，交AC于点F，$FG ⊥ BC$ 于点G,
∴ $△BFG$和$△BEC$是等腰直角三角形，可得$BE=CE$。
在$△CGF$ 和 $△CEF$ 中,
$\begin{cases}∠GCF = ∠ECF, \\ ∠CGF = ∠CEF = 90°, \\ CF = CF,\end{cases}$
∴ $△CGF ≌ △CEF (\mathrm{AAS})$,
∴ $FG = FE$,$CG = CE$，即$CG=BE$。
∵ $△BFG$ 的周长为6,
∴ $BG+GF+BF = BG+EF+BF = BG+BE = BG+CG = BC = 6$。
【答案】
6
【知识点】
菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是几何线段转化类的典型题，解题核心是利用角平分线构造全等三角形，将三角形的周长通过等量代换转化为菱形的边长，对逻辑推理能力有一定的考查价值。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知条件菱形和∠D=135°入手，利用菱形邻角互补的性质先求出∠BCD=45°，结合BE⊥CD、FG⊥BC的垂直条件，可判断出△BFG和△BEC都是等腰直角三角形。接下来观察到AC是菱形的对角线，平分∠BCD，F在AC上，因此可通过AAS证明△CGF和△CEF全等，得到FG=FE、CG=CE的线段等量关系。最后将△BFG的周长进行等量代换，把周长转化为菱形边长BC的长度，即可求出结果。
【解析】
∵ 菱形ABCD中，$∠D = 135°$,
∴ $∠BCD = 180°-∠D=45°$.
∵ $BE ⊥ CD$ 于点E，交AC于点F，$FG ⊥ BC$ 于点G,
∴ $△BFG$和$△BEC$是等腰直角三角形，可得$BE=CE$。
在$△CGF$ 和 $△CEF$ 中,
$\begin{cases}∠GCF = ∠ECF, \\ ∠CGF = ∠CEF = 90°, \\ CF = CF,\end{cases}$
∴ $△CGF ≌ △CEF (\mathrm{AAS})$,
∴ $FG = FE$,$CG = CE$，即$CG=BE$。
∵ $△BFG$ 的周长为6,
∴ $BG+GF+BF = BG+EF+BF = BG+BE = BG+CG = BC = 6$。
【答案】
6
【知识点】
菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是几何线段转化类的典型题，解题核心是利用角平分线构造全等三角形，将三角形的周长通过等量代换转化为菱形的边长，对逻辑推理能力有一定的考查价值。
【难度系数】
0.6
14. ★★★ 在平面直角坐标系中,若一个点的纵坐标与横坐标互为相反数,则称这个点为“相反点”,如$A(1,-1),B(-2,2)$都是“相反点”.已知二次函数$y=x^2-3x+c$,请回答下列问题:
(1)若$c=1$,则此二次函数上的“相反点”的坐标为
(2)在$0＜x＜3$的范围内,若此二次函数图象上存在两个“相反点”,则$c$的取值范围为
(1)若$c=1$,则此二次函数上的“相反点”的坐标为
$(1,-1)$
.(2)在$0＜x＜3$的范围内,若此二次函数图象上存在两个“相反点”,则$c$的取值范围为
$0＜c＜1$
.答案
14. (1)$(1,-1)$ 解析:当 $c=1$ 时,二次函数的表达式为 $y=x^2-3x+1$,根据“相反点”的定义可知,“相反点”在直线$y=-x$ 上,
∴ 联立 $\begin{cases}y=x^2-3x+1, \\ y=-x,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=1, \\ y=-1,\end{cases}$
∴ 此二次函数上的“相反点”的坐标为 $(1,-1)$,故答案为 $(1,-1)$.
(2)$0＜c＜1$ 解析:
∵ 在 $0＜x＜3$ 的范围内,此二次函数图象上存在两个“相反点”,
∴ 方程 $x^2-3x+c=-x$,即 $x^2-2x+c=0$在 $0＜x＜3$ 内存在两个不相等的实数根,
∴ $\Delta = (-2)^2-4c＞0$,解得 $c＜1$,解方程 $x^2-2x+c=0$ 可得 $x_1=1-\sqrt{1-c}$,$x_2=1+\sqrt{1-c}$.
∵ $0＜x＜3$,且 $x_1＜1$,
∴ $0＜x_1＜1$,即 $0＜1-\sqrt{1-c}＜1$,解得 $0＜c＜1$,此时 $1＜1+\sqrt{1-c}＜2$,满足要求,
∴ $c$ 的取值范围是 $0＜c＜1$.故答案为 $0＜c＜1$.
∴ 联立 $\begin{cases}y=x^2-3x+1, \\ y=-x,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=1, \\ y=-1,\end{cases}$
∴ 此二次函数上的“相反点”的坐标为 $(1,-1)$,故答案为 $(1,-1)$.
(2)$0＜c＜1$ 解析:
∵ 在 $0＜x＜3$ 的范围内,此二次函数图象上存在两个“相反点”,
∴ 方程 $x^2-3x+c=-x$,即 $x^2-2x+c=0$在 $0＜x＜3$ 内存在两个不相等的实数根,
∴ $\Delta = (-2)^2-4c＞0$,解得 $c＜1$,解方程 $x^2-2x+c=0$ 可得 $x_1=1-\sqrt{1-c}$,$x_2=1+\sqrt{1-c}$.
∵ $0＜x＜3$,且 $x_1＜1$,
∴ $0＜x_1＜1$,即 $0＜1-\sqrt{1-c}＜1$,解得 $0＜c＜1$,此时 $1＜1+\sqrt{1-c}＜2$,满足要求,
∴ $c$ 的取值范围是 $0＜c＜1$.故答案为 $0＜c＜1$.
解析
【分析】
(1) 首先明确“相反点”的定义：点的纵坐标与横坐标互为相反数，即满足关系式$y=-x$。要求二次函数上的“相反点”，只需将二次函数解析式与$y=-x$联立，求解方程组即可得到对应点的坐标。
(2) 二次函数在$0＜x＜3$范围内存在两个“相反点”，等价于联立二次函数与$y=-x$得到的一元二次方程，在$0＜x＜3$的区间内有两个不相等的实数根。首先通过判别式$\Delta＞0$保证方程有两个不等实根，再结合根的取值范围限制，最终求解得到$c$的取值范围。
【解析】
(1) 当$c=1$时，二次函数的表达式为$y=x^2-3x+1$。
根据“相反点”的定义，“相反点”满足$y=-x$，联立方程得：
$\begin{cases}y=x^2-3x+1 \\ y=-x\end{cases}$
将$y=-x$代入二次函数解析式，整理得：$x^2-2x+1=0$，即$(x-1)^2=0$，解得$x=1$。
把$x=1$代入$y=-x$，得$y=-1$，因此二次函数上的“相反点”坐标为$(1,-1)$。
(2) 二次函数上的“相反点”满足$y=-x$，联立得方程：$x^2-3x+c=-x$，整理得$x^2-2x+c=0$。
要使$0＜x＜3$范围内存在两个“相反点”，即方程$x^2-2x+c=0$在$0＜x＜3$内有两个不相等的实数根：
① 先保证有两个不等实根：判别式$\Delta=(-2)^2-4c＞0$，解得$c＜1$。
② 解一元二次方程得两根：$x_1=1-\sqrt{1-c}$，$x_2=1+\sqrt{1-c}$（$x_1＜x_2$）。
较小根$x_1$需满足$0＜x_1＜1$：即$0＜1-\sqrt{1-c}＜1$，解不等式得$c＞0$。
此时较大根$x_2=1+\sqrt{1-c}＜2＜3$，满足$0＜x_2＜3$的要求。
综上，$c$的取值范围为$0＜c＜1$。
【答案】
(1) $(1,-1)$；(2) $0＜c＜1$
【知识点】
新定义问题、二次函数与一元二次方程、一元二次方程根的判别式
【点评】
本题结合新定义考查二次函数与一元二次方程的综合应用，解题核心是将陌生的新定义转化为熟悉的方程联立问题。第二问求解时要注意，除了保证方程有两个不等实根外，还要验证两根都落在指定的取值范围内，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6
(1) 首先明确“相反点”的定义：点的纵坐标与横坐标互为相反数，即满足关系式$y=-x$。要求二次函数上的“相反点”，只需将二次函数解析式与$y=-x$联立，求解方程组即可得到对应点的坐标。
(2) 二次函数在$0＜x＜3$范围内存在两个“相反点”，等价于联立二次函数与$y=-x$得到的一元二次方程，在$0＜x＜3$的区间内有两个不相等的实数根。首先通过判别式$\Delta＞0$保证方程有两个不等实根，再结合根的取值范围限制，最终求解得到$c$的取值范围。
【解析】
(1) 当$c=1$时，二次函数的表达式为$y=x^2-3x+1$。
根据“相反点”的定义，“相反点”满足$y=-x$，联立方程得：
$\begin{cases}y=x^2-3x+1 \\ y=-x\end{cases}$
将$y=-x$代入二次函数解析式，整理得：$x^2-2x+1=0$，即$(x-1)^2=0$，解得$x=1$。
把$x=1$代入$y=-x$，得$y=-1$，因此二次函数上的“相反点”坐标为$(1,-1)$。
(2) 二次函数上的“相反点”满足$y=-x$，联立得方程：$x^2-3x+c=-x$，整理得$x^2-2x+c=0$。
要使$0＜x＜3$范围内存在两个“相反点”，即方程$x^2-2x+c=0$在$0＜x＜3$内有两个不相等的实数根：
① 先保证有两个不等实根：判别式$\Delta=(-2)^2-4c＞0$，解得$c＜1$。
② 解一元二次方程得两根：$x_1=1-\sqrt{1-c}$，$x_2=1+\sqrt{1-c}$（$x_1＜x_2$）。
较小根$x_1$需满足$0＜x_1＜1$：即$0＜1-\sqrt{1-c}＜1$，解不等式得$c＞0$。
此时较大根$x_2=1+\sqrt{1-c}＜2＜3$，满足$0＜x_2＜3$的要求。
综上，$c$的取值范围为$0＜c＜1$。
【答案】
(1) $(1,-1)$；(2) $0＜c＜1$
【知识点】
新定义问题、二次函数与一元二次方程、一元二次方程根的判别式
【点评】
本题结合新定义考查二次函数与一元二次方程的综合应用，解题核心是将陌生的新定义转化为熟悉的方程联立问题。第二问求解时要注意，除了保证方程有两个不等实根外，还要验证两根都落在指定的取值范围内，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6
三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
15. (2024·东营中考)计算: $\sqrt{12} - (π - 3.14)^0 + |2 - \sqrt{3}| - 2\sin 60°$.
15. (2024·东营中考)计算: $\sqrt{12} - (π - 3.14)^0 + |2 - \sqrt{3}| - 2\sin 60°$.
答案
15. $\sqrt{12}-(π-3.14)^0+|2-\sqrt{3}|-2\sin 60°=2\sqrt{3}-1+2-\sqrt{3}-2×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}-1+2-\sqrt{3}-\sqrt{3}=1$.
解析
【分析】
这是一道实数混合运算基础题，解题时需分步计算每一项的结果，再合并得到最终答案：第一步先化简二次根式$\sqrt{12}$；第二步根据零指数幂的性质计算$(π-3.14)^0$；第三步判断绝对值内式子的正负，化简$|2-\sqrt{3}|$；第四步代入特殊角的三角函数值$\sin60°$，最后合并同类项即可。
【解析】
解：分别计算各项的值：
$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，
$(π-3.14)^0=1$（任意非零数的0次幂等于1），
$\because 2＞\sqrt{3}$，$\therefore |2-\sqrt{3}|=2-\sqrt{3}$，
$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
将各项代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=2\sqrt{3}-1+2-\sqrt{3}-2×\frac{\sqrt{3}}{2}\\&=2\sqrt{3}-1+2-\sqrt{3}-\sqrt{3}\\&=(2\sqrt{3}-\sqrt{3}-\sqrt{3})+(-1+2)\\&=0+1\\&=1\end{aligned}$
【答案】
$1$
【知识点】
二次根式化简，零指数幂运算，特殊角三角函数值
【点评】
本题是中考高频基础题型，主要考查实数相关运算法则的掌握情况，计算时注意核对每一项的符号，细心运算即可得分。
【难度系数】
0.8
这是一道实数混合运算基础题，解题时需分步计算每一项的结果，再合并得到最终答案：第一步先化简二次根式$\sqrt{12}$；第二步根据零指数幂的性质计算$(π-3.14)^0$；第三步判断绝对值内式子的正负，化简$|2-\sqrt{3}|$；第四步代入特殊角的三角函数值$\sin60°$，最后合并同类项即可。
【解析】
解：分别计算各项的值：
$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，
$(π-3.14)^0=1$（任意非零数的0次幂等于1），
$\because 2＞\sqrt{3}$，$\therefore |2-\sqrt{3}|=2-\sqrt{3}$，
$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
将各项代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=2\sqrt{3}-1+2-\sqrt{3}-2×\frac{\sqrt{3}}{2}\\&=2\sqrt{3}-1+2-\sqrt{3}-\sqrt{3}\\&=(2\sqrt{3}-\sqrt{3}-\sqrt{3})+(-1+2)\\&=0+1\\&=1\end{aligned}$
【答案】
$1$
【知识点】
二次根式化简，零指数幂运算，特殊角三角函数值
【点评】
本题是中考高频基础题型，主要考查实数相关运算法则的掌握情况，计算时注意核对每一项的符号，细心运算即可得分。
【难度系数】
0.8
16. ★★ (2024·徐州中考)中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题：“今有甲、乙怀钱，各不知其数.甲得乙十钱，多乙余钱五倍.乙得甲十钱，适等.问甲、乙怀钱各几何？”问
题大意：甲、乙两人各有钱币若干枚.若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等.问甲、乙原来各有多少枚钱币？请用二元一次方程组解答上述问题.
题大意：甲、乙两人各有钱币若干枚.若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等.问甲、乙原来各有多少枚钱币？请用二元一次方程组解答上述问题.
答案
16. 设甲原来有钱币 $x$ 枚,乙原来有钱币 $y$ 枚,由题意,得
$\begin{cases}x+10=6(y-10), \\ x-10=y+10,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=38, \\ y=18.\end{cases}$
答:甲、乙原来各有 38 枚、18 枚钱币.
$\begin{cases}x+10=6(y-10), \\ x-10=y+10,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=38, \\ y=18.\end{cases}$
答:甲、乙原来各有 38 枚、18 枚钱币.
解析
【分析】
这是一道二元一次方程组的实际应用题，解题思路如下：首先确定两个未知量，即甲、乙原来的钱币数，直接设两个未知数分别对应这两个量；其次从题干中提取两个独立的等量关系：①乙给甲10枚后，甲的钱币数是乙的6倍；②甲给乙10枚后，两人的钱币数相等；最后根据等量关系列方程组，用消元法求解并验证结果符合实际意义即可。
【解析】
设甲原来有钱币 $x$ 枚，乙原来有钱币 $y$ 枚。
根据“乙给甲10枚后，甲的钱币数是乙的6倍”可列方程：$x+10=6(y-10)$
根据“甲给乙10枚后，两人钱币数相等”可列方程：$x-10=y+10$
联立得方程组：$\begin{cases}x+10=6(y-10)① \\ x-10=y+10②\end{cases}$
由②式变形可得：$x=y+20$ ③
将③代入①式得：$y+20+10=6(y-10)$
整理得：$y+30=6y-60$
移项计算得：$5y=90$，解得$y=18$
将$y=18$代入③式得：$x=18+20=38$
经检验，$\begin{cases}x=38 \\ y=18\end{cases}$符合题意。
答：甲、乙原来各有38枚、18枚钱币。
【答案】
甲原来有38枚钱币，乙原来有18枚钱币。
【知识点】
二元一次方程组的应用；代入消元法解方程组
【点评】
本题以中国古代数学典籍的问题为载体，既考查了学生从实际问题中提取等量关系、列方程组求解的能力，也展现了我国传统数学的成就，解题核心是准确匹配两种情境下的数量关系，整体难度不大。
【难度系数】
0.7
这是一道二元一次方程组的实际应用题，解题思路如下：首先确定两个未知量，即甲、乙原来的钱币数，直接设两个未知数分别对应这两个量；其次从题干中提取两个独立的等量关系：①乙给甲10枚后，甲的钱币数是乙的6倍；②甲给乙10枚后，两人的钱币数相等；最后根据等量关系列方程组，用消元法求解并验证结果符合实际意义即可。
【解析】
设甲原来有钱币 $x$ 枚，乙原来有钱币 $y$ 枚。
根据“乙给甲10枚后，甲的钱币数是乙的6倍”可列方程：$x+10=6(y-10)$
根据“甲给乙10枚后，两人钱币数相等”可列方程：$x-10=y+10$
联立得方程组：$\begin{cases}x+10=6(y-10)① \\ x-10=y+10②\end{cases}$
由②式变形可得：$x=y+20$ ③
将③代入①式得：$y+20+10=6(y-10)$
整理得：$y+30=6y-60$
移项计算得：$5y=90$，解得$y=18$
将$y=18$代入③式得：$x=18+20=38$
经检验，$\begin{cases}x=38 \\ y=18\end{cases}$符合题意。
答：甲、乙原来各有38枚、18枚钱币。
【答案】
甲原来有38枚钱币，乙原来有18枚钱币。
【知识点】
二元一次方程组的应用；代入消元法解方程组
【点评】
本题以中国古代数学典籍的问题为载体，既考查了学生从实际问题中提取等量关系、列方程组求解的能力，也展现了我国传统数学的成就，解题核心是准确匹配两种情境下的数量关系，整体难度不大。
【难度系数】
0.7
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. ★★★（2024·福建中考）已知实数$a,b,c,m,n$满足$3m+n=\dfrac{b}{a},mn=\dfrac{c}{a}$.
(1)求证:$b^2 -12ac$为非负数.
(2)若$a,b,c$均为奇数,则$m,n$是否可以都为整数?说明你的理由.
17. ★★★（2024·福建中考）已知实数$a,b,c,m,n$满足$3m+n=\dfrac{b}{a},mn=\dfrac{c}{a}$.
(1)求证:$b^2 -12ac$为非负数.
(2)若$a,b,c$均为奇数,则$m,n$是否可以都为整数?说明你的理由.
答案
17. (1)因为 $3m+n=\frac{b}{a}$,$mn=\frac{c}{a}$,
所以 $b=a(3m+n)$,$c=amn$.
则 $b^2-12ac=[a(3m+n)]^2-12a^2mn=a^2(9m^2+6mn+n^2)-12a^2mn=a^2(9m^2-6mn+n^2)=a^2(3m-n)^2$.
因为 $a,m,n$ 是实数,所以 $a^2(3m-n)^2≥0$,
所以 $b^2-12ac$ 为非负数.
(2)$m,n$ 不可以都为整数.
理由如下:若 $m,n$ 都为整数,其可能情况有①$m,n$ 都为奇数;②$m,n$ 都为整数,且其中至少有一个为偶数.
①当 $m,n$ 都为奇数时,$3m+n$ 必为偶数.
又因为 $3m+n=\frac{b}{a}$,所以 $b=a(3m+n)$.
因为 $a$ 为奇数,所以 $a(3m+n)$ 必为偶数,这与 $b$ 为奇数矛盾.
②当 $m,n$ 都为整数,且其中至少有一个为偶数时,$mn$ 必为偶数.
又因为 $mn=\frac{c}{a}$,所以 $c=amn$.
因为 $a$ 为奇数,所以 $amn$ 必为偶数,这与 $c$ 为奇数矛盾.
综上所述,$m,n$ 不可以都为整数.
所以 $b=a(3m+n)$,$c=amn$.
则 $b^2-12ac=[a(3m+n)]^2-12a^2mn=a^2(9m^2+6mn+n^2)-12a^2mn=a^2(9m^2-6mn+n^2)=a^2(3m-n)^2$.
因为 $a,m,n$ 是实数,所以 $a^2(3m-n)^2≥0$,
所以 $b^2-12ac$ 为非负数.
(2)$m,n$ 不可以都为整数.
理由如下:若 $m,n$ 都为整数,其可能情况有①$m,n$ 都为奇数;②$m,n$ 都为整数,且其中至少有一个为偶数.
①当 $m,n$ 都为奇数时,$3m+n$ 必为偶数.
又因为 $3m+n=\frac{b}{a}$,所以 $b=a(3m+n)$.
因为 $a$ 为奇数,所以 $a(3m+n)$ 必为偶数,这与 $b$ 为奇数矛盾.
②当 $m,n$ 都为整数,且其中至少有一个为偶数时,$mn$ 必为偶数.
又因为 $mn=\frac{c}{a}$,所以 $c=amn$.
因为 $a$ 为奇数,所以 $amn$ 必为偶数,这与 $c$ 为奇数矛盾.
综上所述,$m,n$ 不可以都为整数.
解析
【分析】
(1) 要证明$b^2 -12ac$为非负数，即需证明该式的值大于等于0。首先利用已知的$3m+n=\frac{b}{a}$、$mn=\frac{c}{a}$，将$b$、$c$用含$a$、$m$、$n$的代数式表示，再代入$b^2 -12ac$中化简，若化简结果为平方项的乘积形式，即可结合平方的非负性完成证明。
(2) 判断$a,b,c$均为奇数时$m,n$能否都为整数，可采用反证法：先假设$m,n$都为整数，再分“$m,n$均为奇数”“$m,n$中至少有一个为偶数”两类，结合奇偶性运算性质推导，若出现与已知条件矛盾的结论，即可说明假设不成立。
【解析】
(1) 证明：
已知$3m+n=\dfrac{b}{a}$，$mn=\dfrac{c}{a}$，变形可得$b=a(3m+n)$，$c=amn$。
将$b$、$c$代入$b^2-12ac$得：
$\begin{aligned}b^2-12ac&=[a(3m+n)]^2-12a· amn\\&=a^2(9m^2+6mn+n^2)-12a^2mn\\&=a^2(9m^2-6mn+n^2)\\&=a^2(3m-n)^2\end{aligned}$
因为$a$、$m$、$n$均为实数，所以$a^2≥0$，$(3m-n)^2≥0$，因此$a^2(3m-n)^2≥0$，即$b^2-12ac≥0$。
故$b^2 -12ac$为非负数。
(2) $m,n$不可以都为整数，理由如下：
假设$m,n$都为整数，分两类讨论：
①当$m,n$都为奇数时，$3m$为奇数，奇数+奇数=偶数，因此$3m+n$为偶数；结合$b=a(3m+n)$，已知$a$为奇数，奇数×偶数=偶数，可得$b$为偶数，与“$b$是奇数”的条件矛盾。
②当$m,n$中至少有一个为偶数时，偶数×任意整数为偶数，因此$mn$为偶数；结合$c=amn$，已知$a$为奇数，奇数×偶数=偶数，可得$c$为偶数，与“$c$是奇数”的条件矛盾。
综上，两种假设情况均与已知矛盾，因此$m,n$不可以都为整数。
【答案】
(1) $b^2 -12ac$为非负数，证明成立；
(2) $m,n$不可以都为整数，理由见解析。
【知识点】
代数式恒等变形，非负数的性质，整数奇偶性运算
【点评】
本题兼顾代数运算能力与逻辑推理能力的考查，第一问核心是代入化简和因式分解，第二问需要灵活运用反证法和分类讨论思想，解题时注意分类要做到不重不漏，推导时紧扣奇偶性的运算规则即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明$b^2 -12ac$为非负数，即需证明该式的值大于等于0。首先利用已知的$3m+n=\frac{b}{a}$、$mn=\frac{c}{a}$，将$b$、$c$用含$a$、$m$、$n$的代数式表示，再代入$b^2 -12ac$中化简，若化简结果为平方项的乘积形式，即可结合平方的非负性完成证明。
(2) 判断$a,b,c$均为奇数时$m,n$能否都为整数，可采用反证法：先假设$m,n$都为整数，再分“$m,n$均为奇数”“$m,n$中至少有一个为偶数”两类，结合奇偶性运算性质推导，若出现与已知条件矛盾的结论，即可说明假设不成立。
【解析】
(1) 证明：
已知$3m+n=\dfrac{b}{a}$，$mn=\dfrac{c}{a}$，变形可得$b=a(3m+n)$，$c=amn$。
将$b$、$c$代入$b^2-12ac$得：
$\begin{aligned}b^2-12ac&=[a(3m+n)]^2-12a· amn\\&=a^2(9m^2+6mn+n^2)-12a^2mn\\&=a^2(9m^2-6mn+n^2)\\&=a^2(3m-n)^2\end{aligned}$
因为$a$、$m$、$n$均为实数，所以$a^2≥0$，$(3m-n)^2≥0$，因此$a^2(3m-n)^2≥0$，即$b^2-12ac≥0$。
故$b^2 -12ac$为非负数。
(2) $m,n$不可以都为整数，理由如下：
假设$m,n$都为整数，分两类讨论：
①当$m,n$都为奇数时，$3m$为奇数，奇数+奇数=偶数，因此$3m+n$为偶数；结合$b=a(3m+n)$，已知$a$为奇数，奇数×偶数=偶数，可得$b$为偶数，与“$b$是奇数”的条件矛盾。
②当$m,n$中至少有一个为偶数时，偶数×任意整数为偶数，因此$mn$为偶数；结合$c=amn$，已知$a$为奇数，奇数×偶数=偶数，可得$c$为偶数，与“$c$是奇数”的条件矛盾。
综上，两种假设情况均与已知矛盾，因此$m,n$不可以都为整数。
【答案】
(1) $b^2 -12ac$为非负数，证明成立；
(2) $m,n$不可以都为整数，理由见解析。
【知识点】
代数式恒等变形，非负数的性质，整数奇偶性运算
【点评】
本题兼顾代数运算能力与逻辑推理能力的考查，第一问核心是代入化简和因式分解，第二问需要灵活运用反证法和分类讨论思想，解题时注意分类要做到不重不漏，推导时紧扣奇偶性的运算规则即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
18. 洗手盆上装有一种抬启式水龙头(如图①),完全开启后,洗手盆及水龙头示意图如图②,把手与水平线的夹角为$37°$,此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上,其相关数据$AM=10\ \mathrm{cm}$,$MD=6\ \mathrm{cm}$,$DE=22\ \mathrm{cm}$,求落水点C到洗手盆边的宽度$EC$.(结果取整数,参考数据:$\sin 37°\approx\frac{3}{5}$,$\cos 37°\approx\frac{4}{5}$,$\tan 37°\approx\frac{3}{4}$,$\sqrt{3}\approx1.7$)
答案
18. 过点 A 作 $AG ⊥ EC$ 于点 G,过点 M 作 $MN ⊥ AG$ 于点 N,如图所示,
则四边形 MEGN 为矩形,
∴ $EG=MN$,$NG=ME=MD+DE=6+22=28(\mathrm{cm})$,在 $\mathrm{Rt} △ AMN$ 中, $\sin ∠ AMN = \frac{AN}{AM}$,$\cos ∠ AMN = \frac{MN}{AM}$,
∴ $AN=AM×\sin 37°≈10×\frac{3}{5}=6(\mathrm{cm})$,$MN=AM×\cos 37°≈10×\frac{4}{5}=8(\mathrm{cm})$,
∴ $EG=8 \mathrm{~cm}$,$AG=AN+NG=6+28=34(\mathrm{cm})$.
∵ 在 $\mathrm{Rt} △ AGC$ 中, $∠ ACG=60°$,
∴ $CG=\frac{AG}{\tan ∠ ACG}=\frac{34}{\sqrt{3}}=\frac{34\sqrt{3}}{3}≈19.3(\mathrm{cm})$,
∴ $EC=EG+CG=8+19.3≈27(\mathrm{cm})$.答:EC 的长约为 27 cm.
解析
【分析】
本题是锐角三角函数的实际应用问题，解题核心是通过作辅助线将不规则图形转化为矩形和直角三角形求解。要求EC的长度，可将其拆分为EG和CG两段分别计算：首先过点A作AG⊥EC，过点M作MN⊥AG，可得矩形MEGN，此时EG与MN相等，NG与ME相等；先在Rt△AMN中利用37°的锐角三角函数求出AN、MN的长度，即可得到EG的长度，再结合MD、DE的长度求出AG的总长度；接着在Rt△AGC中利用60°的正切值求出CG的长度；最后将EG和CG相加即可得到EC的长度。
【解析】
过点$A$作$AG ⊥ EC$于点$G$，过点$M$作$MN ⊥ AG$于点$N$，如图所示：
则四边形$MEGN$为矩形，
$\therefore EG=MN$，$NG=ME=MD+DE=6+22=28(\mathrm{cm})$。
在$\mathrm{Rt}△ AMN$中，$∠ AMN=37°$，$AM=10\ \mathrm{cm}$，
根据锐角三角函数定义：
$AN=AM·\sin37°\approx10×\frac{3}{5}=6(\mathrm{cm})$，
$MN=AM·\cos37°\approx10×\frac{4}{5}=8(\mathrm{cm})$，
$\therefore EG=8\ \mathrm{cm}$，$AG=AN+NG=6+28=34(\mathrm{cm})$。
在$\mathrm{Rt}△ AGC$中，$∠ ACG=60°$，
$\therefore CG=\frac{AG}{\tan60°}=\frac{34}{\sqrt{3}}=\frac{34\sqrt{3}}{3}\approx19.3(\mathrm{cm})$，
$\therefore EC=EG+CG\approx8+19.3\approx27(\mathrm{cm})$。
【答案】
落水点$C$到洗手盆边的宽度$EC$约为$\boldsymbol{27\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
解直角三角形应用，矩形的性质，锐角三角函数
【点评】
本题结合生活场景考查解直角三角形的应用，需要通过作辅助线构造直角三角形和矩形，将实际问题转化为几何计算问题，解题时要熟练运用锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数值，考查了转化思想和数学运算能力，是解直角三角形的常见题型。
【难度系数】
0.7
本题是锐角三角函数的实际应用问题，解题核心是通过作辅助线将不规则图形转化为矩形和直角三角形求解。要求EC的长度，可将其拆分为EG和CG两段分别计算：首先过点A作AG⊥EC，过点M作MN⊥AG，可得矩形MEGN，此时EG与MN相等，NG与ME相等；先在Rt△AMN中利用37°的锐角三角函数求出AN、MN的长度，即可得到EG的长度，再结合MD、DE的长度求出AG的总长度；接着在Rt△AGC中利用60°的正切值求出CG的长度；最后将EG和CG相加即可得到EC的长度。
【解析】
过点$A$作$AG ⊥ EC$于点$G$，过点$M$作$MN ⊥ AG$于点$N$，如图所示：
则四边形$MEGN$为矩形，
$\therefore EG=MN$，$NG=ME=MD+DE=6+22=28(\mathrm{cm})$。
在$\mathrm{Rt}△ AMN$中，$∠ AMN=37°$，$AM=10\ \mathrm{cm}$，
根据锐角三角函数定义：
$AN=AM·\sin37°\approx10×\frac{3}{5}=6(\mathrm{cm})$，
$MN=AM·\cos37°\approx10×\frac{4}{5}=8(\mathrm{cm})$，
$\therefore EG=8\ \mathrm{cm}$，$AG=AN+NG=6+28=34(\mathrm{cm})$。
在$\mathrm{Rt}△ AGC$中，$∠ ACG=60°$，
$\therefore CG=\frac{AG}{\tan60°}=\frac{34}{\sqrt{3}}=\frac{34\sqrt{3}}{3}\approx19.3(\mathrm{cm})$，
$\therefore EC=EG+CG\approx8+19.3\approx27(\mathrm{cm})$。
【答案】
落水点$C$到洗手盆边的宽度$EC$约为$\boldsymbol{27\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
解直角三角形应用，矩形的性质，锐角三角函数
【点评】
本题结合生活场景考查解直角三角形的应用，需要通过作辅助线构造直角三角形和矩形，将实际问题转化为几何计算问题，解题时要熟练运用锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数值，考查了转化思想和数学运算能力，是解直角三角形的常见题型。
【难度系数】
0.7
