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23 如图，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC，∠AOC=30°.求∠DOE的度数.
答案
23. 因为∠COD 是直角,∠AOC=30°,所以∠BOD=180°-∠COD-∠AOC=180°-90°-30°=60°. 所以∠COB=∠COD+∠BOD=90°+60°=150°. 因为 OE 平分∠BOC,所以∠BOE=1/2 ∠BOC=75°. 所以∠DOE=∠BOE-∠BOD=75°-60°=15°
解析
【分析】
解题时先结合图形梳理已知条件：O在直线AB上说明∠AOB是180°的平角，∠COD为90°直角，OE平分∠BOC，已知∠AOC=30°。我们可以先利用平角和直角的性质求出∠BOD的度数，再计算出∠BOC的度数，接着根据角平分线的性质得到∠BOE的度数，最后通过∠BOE与∠BOD的差即可求出∠DOE的度数。
【解析】
解：
∵ ∠COD是直角，∠AOC=30°，且O在直线AB上，∠AOB=180°
∴ ∠BOD=180°-∠COD-∠AOC=180°-90°-30°=60°
∴ ∠COB=∠COD+∠BOD=90°+60°=150°
∵ OE平分∠BOC
∴ ∠BOE=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$×150°=75°
∴ ∠DOE=∠BOE-∠BOD=75°-60°=15°
【答案】
15°
【知识点】
平角的定义，角平分线的性质，角的和差计算
【点评】
本题是角的运算的基础题，解题的关键是结合图形厘清各个角之间的和差关系，熟练运用直角、平角的性质以及角平分线的定义逐步推导所求角的度数。
【难度系数】
0.8
解题时先结合图形梳理已知条件：O在直线AB上说明∠AOB是180°的平角，∠COD为90°直角，OE平分∠BOC，已知∠AOC=30°。我们可以先利用平角和直角的性质求出∠BOD的度数，再计算出∠BOC的度数，接着根据角平分线的性质得到∠BOE的度数，最后通过∠BOE与∠BOD的差即可求出∠DOE的度数。
【解析】
解：
∵ ∠COD是直角，∠AOC=30°，且O在直线AB上，∠AOB=180°
∴ ∠BOD=180°-∠COD-∠AOC=180°-90°-30°=60°
∴ ∠COB=∠COD+∠BOD=90°+60°=150°
∵ OE平分∠BOC
∴ ∠BOE=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$×150°=75°
∴ ∠DOE=∠BOE-∠BOD=75°-60°=15°
【答案】
15°
【知识点】
平角的定义，角平分线的性质，角的和差计算
【点评】
本题是角的运算的基础题，解题的关键是结合图形厘清各个角之间的和差关系，熟练运用直角、平角的性质以及角平分线的定义逐步推导所求角的度数。
【难度系数】
0.8
24 如图，OC 是$∠ AOB$的平分线，OD 是$∠ BOC$内部的一条射线.
(1) 图中共有
(2) 若$∠ AOC:∠ BOD=2:1$，试说明 OD 是$∠ BOC$的平分线；
(3) 若 OE 是$∠ BOD$的平分线，试探究$∠ COE$与$∠ AOD$之间的数量关系，并说明理由.
(1) 图中共有
6
个角；(2) 若$∠ AOC:∠ BOD=2:1$，试说明 OD 是$∠ BOC$的平分线；
(3) 若 OE 是$∠ BOD$的平分线，试探究$∠ COE$与$∠ AOD$之间的数量关系，并说明理由.
答案
24. (1) 6
(2) 因为∠AOC:∠BOD=2:1,所以设∠AOC=2k,∠BOD=k. 因为 OC 是∠AOB 的平分线,所以∠BOC=∠AOC=2k. 所以∠COD=∠BOC-∠BOD=2k-k=k. 所以∠BOD=∠COD. 所以 OD 是∠BOC 的平分线
(3) ∠AOD=2∠COE 理由:如图
,因为 OE 是∠BOD 的平分线,所以∠DOE=1/2 ∠BOD. 所以∠COE=∠COD+∠DOE=∠COD+1/2 ∠BOD.因为 OC 是∠AOB 的平分线,所以∠BOC=∠AOC. 所以∠AOD=∠AOC+∠COD=∠BOC+∠COD=∠BOD+2∠COD. 因为∠COE=∠COD+1/2 ∠BOD,所以 2∠COE=2∠COD+∠BOD. 所以∠AOD=2∠COE.
解析
【分析】
(1) 数角可按固定起始边的方法避免重复：以OA为边有3个角，以OC为边有2个不重复的角，以OD为边有1个不重复的角，相加即可得到总数；也可直接用射线数对应的角计数公式计算。
(2) 要证明OD是∠BOC的平分线，只需证明∠BOD=∠COD。结合已知的角度比例关系，以及OC平分∠AOB的条件，通过角的和差运算即可推导两个角相等。
(3) 探究∠COE和∠AOD的数量关系，可先利用角平分线的性质将两个角分别拆分为小角的和，再通过等量代换找到二者的倍数关系。
【解析】
(1) 图中共有OA、OC、OD、OB4条射线，角的总数为$3+2+1=6$个。
(2) 设参数计算：由∠AOC:∠BOD=2:1，设∠AOC=2k，∠BOD=k。
根据角平分线的定义，OC平分∠AOB，因此∠BOC=∠AOC=2k。
计算∠COD：$∠ COD=∠ BOC-∠ BOD=2k-k=k$，可得$∠ BOD=∠ COD$，因此OD是∠BOC的平分线。
(3) 推导数量关系：
因为OE是∠BOD的平分线，所以$∠ DOE=\frac{1}{2}∠ BOD$，因此$∠ COE=∠ COD+∠ DOE=∠ COD+\frac{1}{2}∠ BOD$。
因为OC是∠AOB的平分线，所以$∠ BOC=∠ AOC$，因此$∠ AOD=∠ AOC+∠ COD=∠ BOC+∠ COD=∠ BOD+∠ COD+∠ COD=∠ BOD+2∠ COD$。
观察两个角的表达式，可得$2∠ COE=2∠ COD+∠ BOD$，因此$∠ AOD=2∠ COE$。
【答案】
(1) 6
(2) 因为∠AOC:∠BOD=2:1,所以设∠AOC=2k,∠BOD=k. 因为 OC 是∠AOB 的平分线,所以∠BOC=∠AOC=2k. 所以∠COD=∠BOC-∠BOD=2k-k=k. 所以∠BOD=∠COD. 所以 OD 是∠BOC 的平分线
(3) ∠AOD=2∠COE 理由:如图,因为 OE 是∠BOD 的平分线,所以∠DOE=1/2 ∠BOD. 所以∠COE=∠COD+∠DOE=∠COD+1/2 ∠BOD.
因为 OC 是∠AOB 的平分线,所以∠BOC=∠AOC. 所以∠AOD=∠AOC+∠COD=∠BOC+∠COD=∠BOD+2∠COD. 因为∠COE=∠COD+1/2 ∠BOD,所以 2∠COE=2∠COD+∠BOD. 所以∠AOD=2∠COE.
【知识点】
角的计数；角平分线的定义；角的和差计算
【点评】
本题是角的相关性质的常规考查题型，解题核心是灵活运用角平分线的定义，通过参数设值、拆分角进行等量代换推导结论，掌握基础概念和常用解题技巧即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
(1) 数角可按固定起始边的方法避免重复：以OA为边有3个角，以OC为边有2个不重复的角，以OD为边有1个不重复的角，相加即可得到总数；也可直接用射线数对应的角计数公式计算。
(2) 要证明OD是∠BOC的平分线，只需证明∠BOD=∠COD。结合已知的角度比例关系，以及OC平分∠AOB的条件，通过角的和差运算即可推导两个角相等。
(3) 探究∠COE和∠AOD的数量关系，可先利用角平分线的性质将两个角分别拆分为小角的和，再通过等量代换找到二者的倍数关系。
【解析】
(1) 图中共有OA、OC、OD、OB4条射线，角的总数为$3+2+1=6$个。
(2) 设参数计算：由∠AOC:∠BOD=2:1，设∠AOC=2k，∠BOD=k。
根据角平分线的定义，OC平分∠AOB，因此∠BOC=∠AOC=2k。
计算∠COD：$∠ COD=∠ BOC-∠ BOD=2k-k=k$，可得$∠ BOD=∠ COD$，因此OD是∠BOC的平分线。
(3) 推导数量关系：
因为OE是∠BOD的平分线，所以$∠ DOE=\frac{1}{2}∠ BOD$，因此$∠ COE=∠ COD+∠ DOE=∠ COD+\frac{1}{2}∠ BOD$。
因为OC是∠AOB的平分线，所以$∠ BOC=∠ AOC$，因此$∠ AOD=∠ AOC+∠ COD=∠ BOC+∠ COD=∠ BOD+∠ COD+∠ COD=∠ BOD+2∠ COD$。
观察两个角的表达式，可得$2∠ COE=2∠ COD+∠ BOD$，因此$∠ AOD=2∠ COE$。
【答案】
(1) 6
(2) 因为∠AOC:∠BOD=2:1,所以设∠AOC=2k,∠BOD=k. 因为 OC 是∠AOB 的平分线,所以∠BOC=∠AOC=2k. 所以∠COD=∠BOC-∠BOD=2k-k=k. 所以∠BOD=∠COD. 所以 OD 是∠BOC 的平分线
(3) ∠AOD=2∠COE 理由:如图
,因为 OE 是∠BOD 的平分线,所以∠DOE=1/2 ∠BOD. 所以∠COE=∠COD+∠DOE=∠COD+1/2 ∠BOD.因为 OC 是∠AOB 的平分线,所以∠BOC=∠AOC. 所以∠AOD=∠AOC+∠COD=∠BOC+∠COD=∠BOD+2∠COD. 因为∠COE=∠COD+1/2 ∠BOD,所以 2∠COE=2∠COD+∠BOD. 所以∠AOD=2∠COE.
【知识点】
角的计数；角平分线的定义；角的和差计算
【点评】
本题是角的相关性质的常规考查题型，解题核心是灵活运用角平分线的定义，通过参数设值、拆分角进行等量代换推导结论，掌握基础概念和常用解题技巧即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
25 如图,数轴上点 A 表示的数为 8,B 是数轴上一点,且 AB=12.动点 P 从点 A 出发,以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,设运动时间为 t(t＞0)秒.
（1）写出数轴上点 B 表示的数
（2）动点 Q 从点 B 出发,以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动.若点 P,Q同时出发,则点 P 运动多少秒时追上点 Q?
（3）若 M 为 AP 的中点,N 为 PB 的中点,点 P 在运动的过程中,线段 MN 的长度是否发生变化?若变化,请说明理由;若不变,请你画出图形,并求出线段 MN 的长.
（1）写出数轴上点 B 表示的数
-4
,点P表示的数8-5t
(用含t的代数式表示).（2）动点 Q 从点 B 出发,以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动.若点 P,Q同时出发,则点 P 运动多少秒时追上点 Q?
（3）若 M 为 AP 的中点,N 为 PB 的中点,点 P 在运动的过程中,线段 MN 的长度是否发生变化?若变化,请说明理由;若不变,请你画出图形,并求出线段 MN 的长.
答案
25. (1) -4 8-5t
(2) 根据题意,得点 Q 在数轴上表示的数为-4-3t. 若点 P 追上点 Q,则 P,Q 两点表示的数相同. 所以-4-3t=8-5t,解得 t=6. 所以点 P 运动 6 秒时追上点 Q
(3) 线段 MN 的长度不发生变化 如图①
,当点 P 在 A,B 两点之间运动时,因为 M 为 AP 的中点,N 为 PB 的中点,所以 MN=MP+NP=1/2 AP + 1/2 BP = 1/2 (AP+BP) = 1/2 AB = 1/2 ×12=6. 如图②
,当点 P 运动到点 B 的左侧时,因为 M 为 AP 的中点,N 为 PB 的中点,所以 MN=MP-NP=1/2 AP - 1/2 BP = 1/2 (AP-BP) = 1/2 AB = 1/2 ×12=6. 所以线段 MN 的长度不发生变化,其值为 6解析
【分析】
（1）求点B对应的数：已知点A表示的数是8，AB长度为12，点B在A左侧，因此用A表示的数减去AB的长度即可得到B的数；动点P从A向左运动，速度为每秒5个单位，t秒运动的路程是5t，向左运动数值减小，因此用A的数减去运动路程即可得到P表示的数。
（2）追及问题先表示出Q点运动t秒后的数：Q从B出发向左运动，速度为每秒3个单位，因此t秒后Q的数为B的数减去运动路程；当P追上Q时，两点重合即表示的数相等，据此列方程求解即可。
（3）分两种情况讨论：①点P在A、B之间时，MN由MP和NP两段组成，利用中点性质，两段分别是AP、BP的一半，相加后等于AB的一半；②点P在B左侧时，MN为MP减NP，利用中点性质计算后仍等于AB的一半，因此长度不变。
【解析】
（1）
∵点A表示的数为8，AB=12，点B在A左侧，
∴点B表示的数为8-12=-4；
动点P从A向左运动，t秒运动的路程为5t，因此点P表示的数为8-5t。
（2）动点Q从点B（-4）向左运动，t秒后运动的路程为3t，因此点Q表示的数为-4-3t。
当P追上Q时，两点表示的数相同，列方程得：-4-3t=8-5t，
移项合并得2t=12，解得t=6。
（3）线段MN的长度不发生变化，分两种情况计算：
① 当点P在A、B两点之间运动时：
∵M为AP中点，N为PB中点，
∴MP=½AP，NP=½BP，
∴MN=MP+NP=½AP+½BP=½(AP+BP)=½AB=½×12=6。
② 当点P运动到点B的左侧时：
∵M为AP中点，N为PB中点，
∴MP=½AP，NP=½BP，
∴MN=MP-NP=½AP-½BP=½(AP-BP)=½AB=½×12=6。
综上，MN长度始终为6，不发生变化。
【答案】
(1) -4 8-5t
(2) 点P运动6秒时追上点Q
(3) 线段MN的长度不发生变化 如图①,当点 P 在 A,B 两点之间运动时,因为 M 为 AP 的中点,N 为 PB 的中点,所以 MN=MP+NP=1/2 AP + 1/2 BP = 1/2 (AP+BP) = 1/2 AB = 1/2 ×12=6. 如图②,当点 P 运动到点 B 的左侧时,因为 M 为 AP 的中点,N 为 PB 的中点,所以 MN=MP-NP=1/2 AP - 1/2 BP = 1/2 (AP-BP) = 1/2 AB = 1/2 ×12=6. 所以线段 MN 的长度不发生变化,其值为 6
【知识点】
数轴动点问题，一元一次方程应用，线段中点性质
【点评】
本题综合考查数轴上点的表示、追及问题和线段中点的应用，解题时需要分类讨论点P的位置，掌握数轴上点的平移规律和中点的线段关系是解题的关键。
【难度系数】
0.7
（1）求点B对应的数：已知点A表示的数是8，AB长度为12，点B在A左侧，因此用A表示的数减去AB的长度即可得到B的数；动点P从A向左运动，速度为每秒5个单位，t秒运动的路程是5t，向左运动数值减小，因此用A的数减去运动路程即可得到P表示的数。
（2）追及问题先表示出Q点运动t秒后的数：Q从B出发向左运动，速度为每秒3个单位，因此t秒后Q的数为B的数减去运动路程；当P追上Q时，两点重合即表示的数相等，据此列方程求解即可。
（3）分两种情况讨论：①点P在A、B之间时，MN由MP和NP两段组成，利用中点性质，两段分别是AP、BP的一半，相加后等于AB的一半；②点P在B左侧时，MN为MP减NP，利用中点性质计算后仍等于AB的一半，因此长度不变。
【解析】
（1）
∵点A表示的数为8，AB=12，点B在A左侧，
∴点B表示的数为8-12=-4；
动点P从A向左运动，t秒运动的路程为5t，因此点P表示的数为8-5t。
（2）动点Q从点B（-4）向左运动，t秒后运动的路程为3t，因此点Q表示的数为-4-3t。
当P追上Q时，两点表示的数相同，列方程得：-4-3t=8-5t，
移项合并得2t=12，解得t=6。
（3）线段MN的长度不发生变化，分两种情况计算：
① 当点P在A、B两点之间运动时：
∵M为AP中点，N为PB中点，
∴MP=½AP，NP=½BP，
∴MN=MP+NP=½AP+½BP=½(AP+BP)=½AB=½×12=6。
② 当点P运动到点B的左侧时：
∵M为AP中点，N为PB中点，
∴MP=½AP，NP=½BP，
∴MN=MP-NP=½AP-½BP=½(AP-BP)=½AB=½×12=6。
综上，MN长度始终为6，不发生变化。
【答案】
(1) -4 8-5t
(2) 点P运动6秒时追上点Q
(3) 线段MN的长度不发生变化 如图①
,当点 P 在 A,B 两点之间运动时,因为 M 为 AP 的中点,N 为 PB 的中点,所以 MN=MP+NP=1/2 AP + 1/2 BP = 1/2 (AP+BP) = 1/2 AB = 1/2 ×12=6. 如图②,当点 P 运动到点 B 的左侧时,因为 M 为 AP 的中点,N 为 PB 的中点,所以 MN=MP-NP=1/2 AP - 1/2 BP = 1/2 (AP-BP) = 1/2 AB = 1/2 ×12=6. 所以线段 MN 的长度不发生变化,其值为 6【知识点】
数轴动点问题，一元一次方程应用，线段中点性质
【点评】
本题综合考查数轴上点的表示、追及问题和线段中点的应用，解题时需要分类讨论点P的位置，掌握数轴上点的平移规律和中点的线段关系是解题的关键。
【难度系数】
0.7
