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14 计算：
(1) $18°32' + 26°29'$；(2) $35°46' - 10°16'$。
(1) $18°32' + 26°29'$；(2) $35°46' - 10°16'$。
答案
14. (1) 45°1' (2) 25°30'
解析
【分析】
解决度分秒的加减运算问题，首先要明确度、分之间是60进制，即1°=60'。运算规则为：相同单位分别相加减，分相加满60就向度进1，分相减不够时从度借1当60再计算。这两道题仅涉及度和分的运算，只需按规则分别计算度、分的结果，再处理进位即可。
【解析】
(1) 计算$18°32' + 26°29'$
① 相同单位分别相加：度的部分$18°+26°=44°$，分的部分$32'+29'=61'$
② 处理分的进位：因为$60'=1°$，所以$61'=1°1'$
③ 合并结果：$44°+1°1'=45°1'$
(2) 计算$35°46' - 10°16'$
① 相同单位分别相减：度的部分$35°-10°=25°$，分的部分$46'-16'=30'$
② 合并结果得$25°30'$
【答案】
(1) $45°1'$；(2) $25°30'$
【知识点】
1. 度分秒的进制
2. 度分秒的加减运算
【点评】
本题是度分秒运算的基础题，核心是掌握度分秒60进制的运算规则，运算时注意对齐相同单位，做好进位、借位处理即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解决度分秒的加减运算问题，首先要明确度、分之间是60进制，即1°=60'。运算规则为：相同单位分别相加减，分相加满60就向度进1，分相减不够时从度借1当60再计算。这两道题仅涉及度和分的运算，只需按规则分别计算度、分的结果，再处理进位即可。
【解析】
(1) 计算$18°32' + 26°29'$
① 相同单位分别相加：度的部分$18°+26°=44°$，分的部分$32'+29'=61'$
② 处理分的进位：因为$60'=1°$，所以$61'=1°1'$
③ 合并结果：$44°+1°1'=45°1'$
(2) 计算$35°46' - 10°16'$
① 相同单位分别相减：度的部分$35°-10°=25°$，分的部分$46'-16'=30'$
② 合并结果得$25°30'$
【答案】
(1) $45°1'$；(2) $25°30'$
【知识点】
1. 度分秒的进制
2. 度分秒的加减运算
【点评】
本题是度分秒运算的基础题，核心是掌握度分秒60进制的运算规则，运算时注意对齐相同单位，做好进位、借位处理即可快速求解。
【难度系数】
0.9
15 [2025宁波期末]如图，O是直线EF上一点，射线OA,OB,OC在直线EF的上方，射线OD在直线EF的下方，且OF平分$∠ COD$，$∠ AOC=∠ BOD=90°$。
（1）若$∠ DOF=20°$，求$∠ AOB$的度数；
（2）若OA平分$∠ BOE$，求$∠ DOF$的度数.
（1）若$∠ DOF=20°$，求$∠ AOB$的度数；
（2）若OA平分$∠ BOE$，求$∠ DOF$的度数.
答案
15. (1) 因为 OF 平分∠COD,∠DOF=20°,所以∠COD=2∠DOF=40°. 又因为∠AOC=∠BOD=90°,所以∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC=90°. 所以∠AOB=∠COD=40°
(2) 设∠DOF = x, 则∠DOF = ∠COF = x, ∠DOC = 2∠DOF = 2x. 所以∠AOB = ∠COD = 2x. 因为 OA 平分∠BOE,所以∠AOE=∠AOB=2x. 因为∠AOC=90°,所以∠BOC=90°-2x. 因为∠AOE+∠AOB+∠BOC+∠COF=180°,所以 2x+2x+90°-2x+x=180°. 所以 x=30°. 所以∠DOF=30°
(2) 设∠DOF = x, 则∠DOF = ∠COF = x, ∠DOC = 2∠DOF = 2x. 所以∠AOB = ∠COD = 2x. 因为 OA 平分∠BOE,所以∠AOE=∠AOB=2x. 因为∠AOC=90°,所以∠BOC=90°-2x. 因为∠AOE+∠AOB+∠BOC+∠COF=180°,所以 2x+2x+90°-2x+x=180°. 所以 x=30°. 所以∠DOF=30°
解析
【分析】
（1）求解第一问时，先根据角平分线的定义，由已知∠DOF的度数求出∠COD的度数；再观察图形可知∠AOC和∠BOD均为90°，二者都包含公共角∠BOC，根据同角的余角相等，即可推出∠AOB与∠COD相等，进而得到∠AOB的度数。
（2）求解第二问时，先设∠DOF为x，结合角平分线的性质用含x的式子表示出∠COF、∠COD，再由（1）的结论得到∠AOB=∠COD=2x；接着根据OA平分∠BOE得到∠AOE=∠AOB=2x，最后结合平角为180°，将直线EF上的相关角相加等于180°列方程求解即可。
【解析】
（1）
∵ OF平分∠COD，∠DOF=20°，
∴ ∠COD=2∠DOF=2×20°=40°。
又
∵ ∠AOC=∠BOD=90°，
∴ ∠AOB + ∠BOC = 90°，∠COD + ∠BOC = 90°，
∴ ∠AOB = ∠COD = 40°。
（2）设∠DOF = x，
∵ OF平分∠COD，
∴ ∠COF = ∠DOF = x，∠COD = 2∠DOF = 2x。
由（1）的规律可得∠AOB = ∠COD = 2x，
∵ OA平分∠BOE，
∴ ∠AOE = ∠AOB = 2x。
∵ ∠AOC = 90°，
∴ ∠BOC = ∠AOC - ∠AOB = 90° - 2x。
∵ EF是直线，∠EOF=180°，
∴ ∠AOE + ∠AOB + ∠BOC + ∠COF = 180°，
代入得：$2x + 2x + (90° - 2x) + x = 180°$，
整理得$3x = 90°$，
解得$x = 30°$，即∠DOF=30°。
【答案】
（1）$\boxed{40°}$；（2）$\boxed{30°}$
【知识点】
角平分线的定义，同角的余角相等，平角的性质
【点评】
本题属于角度计算的常规题型，解题核心是准确梳理图形中角的和差关系，第二问运用设未知数列方程的方法求解，体现了方程思想在几何计算中的应用，难度适中。
【难度系数】
0.7
（1）求解第一问时，先根据角平分线的定义，由已知∠DOF的度数求出∠COD的度数；再观察图形可知∠AOC和∠BOD均为90°，二者都包含公共角∠BOC，根据同角的余角相等，即可推出∠AOB与∠COD相等，进而得到∠AOB的度数。
（2）求解第二问时，先设∠DOF为x，结合角平分线的性质用含x的式子表示出∠COF、∠COD，再由（1）的结论得到∠AOB=∠COD=2x；接着根据OA平分∠BOE得到∠AOE=∠AOB=2x，最后结合平角为180°，将直线EF上的相关角相加等于180°列方程求解即可。
【解析】
（1）
∵ OF平分∠COD，∠DOF=20°，
∴ ∠COD=2∠DOF=2×20°=40°。
又
∵ ∠AOC=∠BOD=90°，
∴ ∠AOB + ∠BOC = 90°，∠COD + ∠BOC = 90°，
∴ ∠AOB = ∠COD = 40°。
（2）设∠DOF = x，
∵ OF平分∠COD，
∴ ∠COF = ∠DOF = x，∠COD = 2∠DOF = 2x。
由（1）的规律可得∠AOB = ∠COD = 2x，
∵ OA平分∠BOE，
∴ ∠AOE = ∠AOB = 2x。
∵ ∠AOC = 90°，
∴ ∠BOC = ∠AOC - ∠AOB = 90° - 2x。
∵ EF是直线，∠EOF=180°，
∴ ∠AOE + ∠AOB + ∠BOC + ∠COF = 180°，
代入得：$2x + 2x + (90° - 2x) + x = 180°$，
整理得$3x = 90°$，
解得$x = 30°$，即∠DOF=30°。
【答案】
（1）$\boxed{40°}$；（2）$\boxed{30°}$
【知识点】
角平分线的定义，同角的余角相等，平角的性质
【点评】
本题属于角度计算的常规题型，解题核心是准确梳理图形中角的和差关系，第二问运用设未知数列方程的方法求解，体现了方程思想在几何计算中的应用，难度适中。
【难度系数】
0.7
16 在一个不透明的布袋中，装有一个简单几何体模型，甲、乙两人在摸后分别描述了它的一个特征，甲：它有曲面；乙：它有顶点。该几何体模型可能是（
A.球
B.三棱锥
C.圆锥
D.圆柱
C
）A.球
B.三棱锥
C.圆锥
D.圆柱
答案
16. C
解析
【分析】
解题时首先明确题干给出的两个筛选条件：①几何体有曲面；②几何体有顶点。接下来只需逐一分析每个选项中几何体的特征，同时满足两个条件的选项即为正确答案。
【解析】
我们对各选项逐一分析：
A. 球：表面是曲面，但没有顶点，不满足乙描述的特征，排除；
B. 三棱锥：所有面都是平面，没有曲面，不满足甲描述的特征，排除；
C. 圆锥：侧面为曲面，且有1个顶点，同时满足甲、乙描述的两个特征，符合要求；
D. 圆柱：侧面是曲面，但没有顶点，不满足乙描述的特征，排除。
【答案】
C
【知识点】
常见几何体的特征
【点评】
本题属于基础题，主要考查对常见几何体基本特征的掌握，结合题干给出的特征逐一排查即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确题干给出的两个筛选条件：①几何体有曲面；②几何体有顶点。接下来只需逐一分析每个选项中几何体的特征，同时满足两个条件的选项即为正确答案。
【解析】
我们对各选项逐一分析：
A. 球：表面是曲面，但没有顶点，不满足乙描述的特征，排除；
B. 三棱锥：所有面都是平面，没有曲面，不满足甲描述的特征，排除；
C. 圆锥：侧面为曲面，且有1个顶点，同时满足甲、乙描述的两个特征，符合要求；
D. 圆柱：侧面是曲面，但没有顶点，不满足乙描述的特征，排除。
【答案】
C
【知识点】
常见几何体的特征
【点评】
本题属于基础题，主要考查对常见几何体基本特征的掌握，结合题干给出的特征逐一排查即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
17 如图，$BC=3AB$，D为线段AC的中点，E为线段AD的三等分点(靠近点A)。若$BC=a$，则线段BE的长为（
A.$\frac{1}{9}a$
B.$\frac{2}{9}a$
C.$\frac{1}{27}a$
D.$\frac{2}{27}a$
A
）A.$\frac{1}{9}a$
B.$\frac{2}{9}a$
C.$\frac{1}{27}a$
D.$\frac{2}{27}a$
答案
17. A
解析
【分析】
解题时先从已知条件$BC=3AB$和$BC=a$入手，先求出$AB$的长度，再计算线段$AC$的总长度；接着根据$D$是$AC$中点的性质求出$AD$的长度，再结合$E$是$AD$靠近$A$的三等分点求出$AE$的长度，最后利用线段的差关系$BE=AB-AE$即可求出结果。
【解析】
解：已知$BC=3AB$，$BC=a$，
$\therefore AB=\frac{1}{3}BC=\frac{1}{3}a$，
线段$AC$的长度为：$AC=AB+BC=\frac{1}{3}a + a=\frac{4}{3}a$，
$\because D$是$AC$的中点，
$\therefore AD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×\frac{4}{3}a=\frac{2}{3}a$，
$\because E$是$AD$的三等分点（靠近点$A$），
$\therefore AE=\frac{1}{3}AD=\frac{1}{3}×\frac{2}{3}a=\frac{2}{9}a$，
$\therefore BE=AB - AE=\frac{1}{3}a - \frac{2}{9}a=\frac{3}{9}a - \frac{2}{9}a=\frac{1}{9}a$。
【答案】
A
【知识点】
线段和差计算，线段中点的定义，线段三等分点的定义
【点评】
本题侧重考察线段相关概念的应用，解题的核心是按照已知条件逐步推导各段线段的长度，再结合线段的和差关系得到目标线段长度，解题思路清晰，属于常规基础题。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件$BC=3AB$和$BC=a$入手，先求出$AB$的长度，再计算线段$AC$的总长度；接着根据$D$是$AC$中点的性质求出$AD$的长度，再结合$E$是$AD$靠近$A$的三等分点求出$AE$的长度，最后利用线段的差关系$BE=AB-AE$即可求出结果。
【解析】
解：已知$BC=3AB$，$BC=a$，
$\therefore AB=\frac{1}{3}BC=\frac{1}{3}a$，
线段$AC$的长度为：$AC=AB+BC=\frac{1}{3}a + a=\frac{4}{3}a$，
$\because D$是$AC$的中点，
$\therefore AD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×\frac{4}{3}a=\frac{2}{3}a$，
$\because E$是$AD$的三等分点（靠近点$A$），
$\therefore AE=\frac{1}{3}AD=\frac{1}{3}×\frac{2}{3}a=\frac{2}{9}a$，
$\therefore BE=AB - AE=\frac{1}{3}a - \frac{2}{9}a=\frac{3}{9}a - \frac{2}{9}a=\frac{1}{9}a$。
【答案】
A
【知识点】
线段和差计算，线段中点的定义，线段三等分点的定义
【点评】
本题侧重考察线段相关概念的应用，解题的核心是按照已知条件逐步推导各段线段的长度，再结合线段的和差关系得到目标线段长度，解题思路清晰，属于常规基础题。
【难度系数】
0.7
18 如图，O 是直线 AB 与 CD 的公共点，$∠ AOE=∠ DOF=90°$，OB 平分$∠ DOG$。给出下列结论：① 当$∠ AOF = 60°$时，$∠ DOE=60°$；② OD 为$∠ EOG$的平分线；③ 与$∠ BOD$相等的角有三个；④ $∠ COG=∠ AOB-2∠ EOF$。其中，一定正确的有 (
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
B
)A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案
18. B 解析:因为∠AOE=∠DOF=90°,所以易得∠BOE=∠COF=90°. 所以∠AOF+∠EOF=90°,∠DOE+∠BOD=90°,∠AOC+∠AOF=90°,∠EOF+∠DOE=90°. 所以∠EOF=∠BOD,∠AOF=∠DOE,∠AOC=∠EOF. 所以当∠AOF=60°时,∠DOE=60°.故①正确. 因为 OB 平分∠DOG,所以∠BOD=∠BOG. 所以∠BOD=∠BOG=∠EOF=∠AOC.故③正确. 因为∠DOE 和∠DOG 的大小关系不确定,所以 OD 为∠EOG 的平分线这一结论不一定正确,即②不一定正确. 因为∠COG=∠AOB-∠AOC-∠BOG,所以∠COG=∠AOB-2∠EOF.故④正确. 综上所述,正确的结论是①③④,共3个.
解析
【分析】
解题时先从已知的直角条件入手，结合平角的性质，推导互余的角，利用同角的余角相等得到多组相等的角，再结合OB平分∠DOG的条件，逐一验证4个结论是否恒成立，注意“一定正确”要求结论在任意符合题意的角度下都成立，无法确定恒成立的结论不选。
【解析】
解：
∵∠AOE=∠DOF=90°，
∴∠BOE=180°-∠AOE=90°，∠COF=180°-∠DOF=90°，
可得以下互余关系：
∠AOF+∠EOF=90°，∠DOE+∠BOD=90°，∠AOF+∠AOC=90°，∠EOF+∠DOE=90°，
根据同角的余角相等，可推出：∠AOF=∠DOE，∠EOF=∠BOD，∠AOC=∠EOF。
①当∠AOF=60°时，由∠AOF=∠DOE，可得∠DOE=60°，故①正确；
②已知OB平分∠DOG，
∴∠BOD=∠BOG，但题中没有给出∠DOE与∠DOG的固定数量关系，无法确定∠DOE=∠DOG，因此OD不一定是∠EOG的平分线，故②不一定正确；
③由前面推导得∠BOD=∠EOF=∠AOC，结合角平分线性质∠BOD=∠BOG，可知与∠BOD相等的角有∠EOF、∠AOC、∠BOG，共3个，故③正确；
④∠COG=∠AOB-∠AOC-∠BOG，又∠AOC=∠BOG=∠EOF，代入得∠COG=∠AOB-2∠EOF，故④正确。
综上，一定正确的结论是①③④，共3个。
【答案】
B
【知识点】
余角的性质，角平分线的定义，角的运算
【点评】
本题综合考查角的相关性质的应用，解题的核心是先通过同角的余角相等找到多组相等的角，再结合角平分线定义逐一验证结论，要注意区分恒成立和仅在特殊条件下成立的结论。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知的直角条件入手，结合平角的性质，推导互余的角，利用同角的余角相等得到多组相等的角，再结合OB平分∠DOG的条件，逐一验证4个结论是否恒成立，注意“一定正确”要求结论在任意符合题意的角度下都成立，无法确定恒成立的结论不选。
【解析】
解：
∵∠AOE=∠DOF=90°，
∴∠BOE=180°-∠AOE=90°，∠COF=180°-∠DOF=90°，
可得以下互余关系：
∠AOF+∠EOF=90°，∠DOE+∠BOD=90°，∠AOF+∠AOC=90°，∠EOF+∠DOE=90°，
根据同角的余角相等，可推出：∠AOF=∠DOE，∠EOF=∠BOD，∠AOC=∠EOF。
①当∠AOF=60°时，由∠AOF=∠DOE，可得∠DOE=60°，故①正确；
②已知OB平分∠DOG，
∴∠BOD=∠BOG，但题中没有给出∠DOE与∠DOG的固定数量关系，无法确定∠DOE=∠DOG，因此OD不一定是∠EOG的平分线，故②不一定正确；
③由前面推导得∠BOD=∠EOF=∠AOC，结合角平分线性质∠BOD=∠BOG，可知与∠BOD相等的角有∠EOF、∠AOC、∠BOG，共3个，故③正确；
④∠COG=∠AOB-∠AOC-∠BOG，又∠AOC=∠BOG=∠EOF，代入得∠COG=∠AOB-2∠EOF，故④正确。
综上，一定正确的结论是①③④，共3个。
【答案】
B
【知识点】
余角的性质，角平分线的定义，角的运算
【点评】
本题综合考查角的相关性质的应用，解题的核心是先通过同角的余角相等找到多组相等的角，再结合角平分线定义逐一验证结论，要注意区分恒成立和仅在特殊条件下成立的结论。
【难度系数】
0.6
19 高速公路的建设带动我国经济的快速发展，在高速公路的建设中，通常要从大山中开挖隧道，其中蕴含的数学原理是
.
.
答案
19. 两点之间线段最短
解析
【分析】
解题时首先要将实际场景转化为数学模型：把隧道连接的大山两端的两个位置看作平面内的两个点，思考开挖隧道前后通行路径的变化：未挖隧道时需绕山走折线或曲线，路程更长；挖隧道后走的是直线路径，路程更短。结合所学的线段相关性质，就能对应到对应的数学原理。
【解析】
我们将隧道需要连通的两个地点抽象为平面上的两个点，开挖隧道的目的是缩短两地之间的通行路程。根据线段的性质：两点的所有连线中，线段最短，因此开挖隧道直接连通两点的做法，依据的就是该数学原理。
【答案】
两点之间线段最短
【知识点】
线段的基本性质；几何知识的实际应用
【点评】
本题是几何基本原理在生活中的常见应用，解题的核心是能将实际生活场景抽象为简单的几何模型，结合已学的基础几何性质作答，体现了数学在实际生产生活中的实用价值。
【难度系数】
0.8
解题时首先要将实际场景转化为数学模型：把隧道连接的大山两端的两个位置看作平面内的两个点，思考开挖隧道前后通行路径的变化：未挖隧道时需绕山走折线或曲线，路程更长；挖隧道后走的是直线路径，路程更短。结合所学的线段相关性质，就能对应到对应的数学原理。
【解析】
我们将隧道需要连通的两个地点抽象为平面上的两个点，开挖隧道的目的是缩短两地之间的通行路程。根据线段的性质：两点的所有连线中，线段最短，因此开挖隧道直接连通两点的做法，依据的就是该数学原理。
【答案】
两点之间线段最短
【知识点】
线段的基本性质；几何知识的实际应用
【点评】
本题是几何基本原理在生活中的常见应用，解题的核心是能将实际生活场景抽象为简单的几何模型，结合已学的基础几何性质作答，体现了数学在实际生产生活中的实用价值。
【难度系数】
0.8
20 如图，C，D是线段AB上的两点.若$AC=4$，$CD=5$，$DB=3$，则图中所有线段的长度之和是
41
.答案
20. 41
解析
【分析】
要计算图中所有线段的长度之和，首先要先找出图中所有的线段，做到不重不漏。已知部分线段的长度，我们可以利用线段的和差关系先求出未知线段的长度，再将所有线段的长度相加即可得到结果。
【解析】
首先列出图中所有的线段：$AC、AD、AB、CD、CB、DB$。
根据已知条件$AC=4$，$CD=5$，$DB=3$，结合线段和差计算各线段长度：
1. $AD=AC+CD=4+5=9$
2. $AB=AC+CD+DB=4+5+3=12$
3. $CB=CD+DB=5+3=8$
再将所有线段长度求和：
$AC+AD+AB+CD+CB+DB=4+9+12+5+8+3=41$
【答案】
41
【知识点】
线段的计数；线段长度计算
【点评】
本题的核心是准确数出所有线段，再利用线段的和差关系计算每条线段的长度，最后求和，解题时要注意不要漏数或多数线段，计算时仔细即可得分。
【难度系数】
0.8
要计算图中所有线段的长度之和，首先要先找出图中所有的线段，做到不重不漏。已知部分线段的长度，我们可以利用线段的和差关系先求出未知线段的长度，再将所有线段的长度相加即可得到结果。
【解析】
首先列出图中所有的线段：$AC、AD、AB、CD、CB、DB$。
根据已知条件$AC=4$，$CD=5$，$DB=3$，结合线段和差计算各线段长度：
1. $AD=AC+CD=4+5=9$
2. $AB=AC+CD+DB=4+5+3=12$
3. $CB=CD+DB=5+3=8$
再将所有线段长度求和：
$AC+AD+AB+CD+CB+DB=4+9+12+5+8+3=41$
【答案】
41
【知识点】
线段的计数；线段长度计算
【点评】
本题的核心是准确数出所有线段，再利用线段的和差关系计算每条线段的长度，最后求和，解题时要注意不要漏数或多数线段，计算时仔细即可得分。
【难度系数】
0.8
21 若一个角的补角加上$24°$，恰好等于这个角的5倍，则这个角的余角的度数为
56°
.答案
21. 56°
解析
【分析】
解答本题首先要明确补角和余角的定义：若两个角的和为180°，则这两个角互为补角；若两个角的和为90°，则这两个角互为余角。解题时先设这个角的度数为x，根据补角的定义表示出它的补角，再结合题目给出的“补角加24°等于这个角的5倍”的等量关系列出一元一次方程，解出这个角的度数后，再根据余角的定义计算它的余角即可。
【解析】
设这个角的度数为$ x° $，则它的补角为$ (180 - x)° $。
根据题意列方程：
$ (180 - x) + 24 = 5x $
整理得：$ 204 - x = 5x $
移项合并同类项得：$ 6x = 204 $
解得：$ x = 34 $
因此这个角的度数为34°，它的余角为$ 90° - 34° = 56° $。
【答案】
56°
【知识点】
补角的定义，余角的定义，一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础题型，重点考查余角、补角的概念以及利用方程思想解决角度计算问题，解题的关键是准确理解相关概念，找准等量关系正确列方程，注意最终要求的是这个角的余角，不要误把求得的原角的度数直接作为答案。
【难度系数】
0.7
解答本题首先要明确补角和余角的定义：若两个角的和为180°，则这两个角互为补角；若两个角的和为90°，则这两个角互为余角。解题时先设这个角的度数为x，根据补角的定义表示出它的补角，再结合题目给出的“补角加24°等于这个角的5倍”的等量关系列出一元一次方程，解出这个角的度数后，再根据余角的定义计算它的余角即可。
【解析】
设这个角的度数为$ x° $，则它的补角为$ (180 - x)° $。
根据题意列方程：
$ (180 - x) + 24 = 5x $
整理得：$ 204 - x = 5x $
移项合并同类项得：$ 6x = 204 $
解得：$ x = 34 $
因此这个角的度数为34°，它的余角为$ 90° - 34° = 56° $。
【答案】
56°
【知识点】
补角的定义，余角的定义，一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础题型，重点考查余角、补角的概念以及利用方程思想解决角度计算问题，解题的关键是准确理解相关概念，找准等量关系正确列方程，注意最终要求的是这个角的余角，不要误把求得的原角的度数直接作为答案。
【难度系数】
0.7
22 如图，P 为线段 AB 上一点，线段 AP 与 BP 的长度之比为 3：2，M 为线段 AB 的中点，N 为线段 AP 的中点.
（1）当线段 AB 的长为 10 时，求线段 MN 的长；
（2）当线段 MN 的长为 a 时，求线段 AB 的长（用含 a 的代数式表示）.
（1）当线段 AB 的长为 10 时，求线段 MN 的长；
（2）当线段 MN 的长为 a 时，求线段 AB 的长（用含 a 的代数式表示）.
答案
22. (1) 因为 AB=10,线段 AP 与 BP 的长度之比为 3:2,所以 AP=10×3/(3+2)=6,BP=10×2/(3+2)=4. 因为 M 为线段 AB 的中点,N 为线段 AP 的中点,所以 AM=1/2 AB=5,AN=1/2 AP=3. 所以 MN=AM-AN=5-3=2
(2) 设 AP=3x,BP=2x,则 AB=5x. 因为 M 为线段 AB 的中点,N 为线段 AP 的中点,所以 AM=1/2 AB=5/2 x,AN=1/2 AP=3/2 x. 所以 MN=AM-AN=5/2 x - 3/2 x = x. 又因为 MN=a,所以 x=a. 所以 AB=5a
(2) 设 AP=3x,BP=2x,则 AB=5x. 因为 M 为线段 AB 的中点,N 为线段 AP 的中点,所以 AM=1/2 AB=5/2 x,AN=1/2 AP=3/2 x. 所以 MN=AM-AN=5/2 x - 3/2 x = x. 又因为 MN=a,所以 x=a. 所以 AB=5a
解析
【分析】
（1）首先根据AB的总长和AP与BP的长度比，先计算出AP的长度；再利用线段中点的性质，分别求出AB中点分得的线段AM、AP中点分得的线段AN的长度，最后通过线段的差$MN=AM-AN$即可算出MN的长度。
（2）可通过设参数表示各线段长度，根据$AP:BP=3:2$设$AP=3x$、$BP=2x$，得到$AB=5x$；再结合中点性质用x分别表示AM和AN，推导得出MN和x的关系，结合已知$MN=a$求出x的值，即可得到AB的长度。
【解析】
(1) 已知$AB=10$，线段AP与BP的长度之比为$3:2$，
所以$AP=10×\frac{3}{3+2}=6$，
因为M为线段AB的中点，所以$AM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$，
又因为N为线段AP的中点，所以$AN=\frac{1}{2}AP=\frac{1}{2}×6=3$，
因此$MN=AM-AN=5-3=2$。
(2) 设$AP=3x$，$BP=2x$，则$AB=AP+BP=3x+2x=5x$，
因为M为线段AB的中点，所以$AM=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}x$，
因为N为线段AP的中点，所以$AN=\frac{1}{2}AP=\frac{3}{2}x$，
所以$MN=AM-AN=\frac{5}{2}x-\frac{3}{2}x=x$，
已知$MN=a$，所以$x=a$，
因此$AB=5x=5a$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；(2) $\boldsymbol{5a}$
【知识点】
线段中点的性质，线段的和差计算，比例线段应用
【点评】
本题是典型的线段计算类题型，解题核心是结合线段比例关系和中点性质，梳理清楚所求线段与已知条件的数量关系，第二问使用参数法可以更清晰地呈现各线段的关联，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
（1）首先根据AB的总长和AP与BP的长度比，先计算出AP的长度；再利用线段中点的性质，分别求出AB中点分得的线段AM、AP中点分得的线段AN的长度，最后通过线段的差$MN=AM-AN$即可算出MN的长度。
（2）可通过设参数表示各线段长度，根据$AP:BP=3:2$设$AP=3x$、$BP=2x$，得到$AB=5x$；再结合中点性质用x分别表示AM和AN，推导得出MN和x的关系，结合已知$MN=a$求出x的值，即可得到AB的长度。
【解析】
(1) 已知$AB=10$，线段AP与BP的长度之比为$3:2$，
所以$AP=10×\frac{3}{3+2}=6$，
因为M为线段AB的中点，所以$AM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$，
又因为N为线段AP的中点，所以$AN=\frac{1}{2}AP=\frac{1}{2}×6=3$，
因此$MN=AM-AN=5-3=2$。
(2) 设$AP=3x$，$BP=2x$，则$AB=AP+BP=3x+2x=5x$，
因为M为线段AB的中点，所以$AM=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}x$，
因为N为线段AP的中点，所以$AN=\frac{1}{2}AP=\frac{3}{2}x$，
所以$MN=AM-AN=\frac{5}{2}x-\frac{3}{2}x=x$，
已知$MN=a$，所以$x=a$，
因此$AB=5x=5a$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；(2) $\boldsymbol{5a}$
【知识点】
线段中点的性质，线段的和差计算，比例线段应用
【点评】
本题是典型的线段计算类题型，解题核心是结合线段比例关系和中点性质，梳理清楚所求线段与已知条件的数量关系，第二问使用参数法可以更清晰地呈现各线段的关联，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
