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4 [2026 温州瑞安期中]把一个长、宽、高分别为30 cm,20 cm,45 cm 的长方体铁块锻造成一个立方体铁块.锻造成的立方体铁块的棱长是多少厘米？
答案
4. 设锻造成的立方体铁块的棱长为 x cm. 根据题意,得 x³=30×20×45,即 x³=27 000,解得 x=30. 答:锻造成的立方体铁块的棱长是 30 cm
解析
【分析】
解决这道题的核心是抓住“锻造前后铁块的体积不变”这一等量关系。首先回忆长方体和立方体的体积计算公式：长方体体积=长×宽×高，立方体体积=棱长³。我们可以先设立方体的棱长为未知数，再根据体积相等列出方程，最后通过计算立方根求出棱长即可。
【解析】
解：设锻造成的立方体铁块的棱长为$ x $ cm。
由锻造前后铁块体积相等，可得：
$ x^3 = 30 × 20 × 45 $
计算等式右侧：$ 30 × 20 × 45 = 27000 $，即$ x^3 = 27000 $
对27000开立方，可得$ x = \sqrt[3]{27000} = 30 $
答：锻造成的立方体铁块的棱长是30 cm。
【答案】
30 cm
【知识点】
等积变换，体积计算，立方根应用
【点评】
本题是典型的等积变形应用题，解题关键是明确锻造过程中体积不发生变化，结合几何体体积公式建立等式，再利用立方根的运算求解，熟练掌握常见几何体体积公式是解题的基础。
【难度系数】
0.8
解决这道题的核心是抓住“锻造前后铁块的体积不变”这一等量关系。首先回忆长方体和立方体的体积计算公式：长方体体积=长×宽×高，立方体体积=棱长³。我们可以先设立方体的棱长为未知数，再根据体积相等列出方程，最后通过计算立方根求出棱长即可。
【解析】
解：设锻造成的立方体铁块的棱长为$ x $ cm。
由锻造前后铁块体积相等，可得：
$ x^3 = 30 × 20 × 45 $
计算等式右侧：$ 30 × 20 × 45 = 27000 $，即$ x^3 = 27000 $
对27000开立方，可得$ x = \sqrt[3]{27000} = 30 $
答：锻造成的立方体铁块的棱长是30 cm。
【答案】
30 cm
【知识点】
等积变换，体积计算，立方根应用
【点评】
本题是典型的等积变形应用题，解题关键是明确锻造过程中体积不发生变化，结合几何体体积公式建立等式，再利用立方根的运算求解，熟练掌握常见几何体体积公式是解题的基础。
【难度系数】
0.8
5 新情境 生活实际 有下列三个生活、生产现象：
① 用两个钉子就可以把木条固定在墙上；
② 植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；③ 把弯曲的公路改直，就能缩短路程。其中，可用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是 （
A.①③
B.①②
C.②③
D.③
① 用两个钉子就可以把木条固定在墙上；
② 植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；③ 把弯曲的公路改直，就能缩短路程。其中，可用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是 （
B
）A.①③
B.①②
C.②③
D.③
答案
5. B
解析
【分析】
解题时首先明确题干要求：找出能用“两点确定一条直线”解释的现象，先区分两个易混的几何基本事实：“两点确定一条直线”和“两点之间线段最短”的应用场景，再逐个分析三个现象对应的原理，最后筛选出符合要求的选项即可。
【解析】
我们逐个分析三个现象对应的几何原理：
① 用两个钉子固定木条：两个钉子可看作两个点，根据“两点确定一条直线”，两个点能确定唯一的一条直线，木条就被固定在这条直线上，符合要求；
② 定两棵树的位置确定同一行树的直线：两棵树的位置是两个点，根据“两点确定一条直线”，过这两个点的直线就是同一行树所在的直线，符合要求；
③ 弯曲公路改直缩短路程：这是利用了“两点之间线段最短”的基本事实，和“两点确定一条直线”无关，不符合要求。
因此符合要求的是①②，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
两点确定一条直线；两点之间线段最短
【点评】
本题结合生活生产场景考查几何基本事实的实际应用，需要准确区分两个易混淆的几何基本事实，体会数学在生活中的应用价值。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确题干要求：找出能用“两点确定一条直线”解释的现象，先区分两个易混的几何基本事实：“两点确定一条直线”和“两点之间线段最短”的应用场景，再逐个分析三个现象对应的原理，最后筛选出符合要求的选项即可。
【解析】
我们逐个分析三个现象对应的几何原理：
① 用两个钉子固定木条：两个钉子可看作两个点，根据“两点确定一条直线”，两个点能确定唯一的一条直线，木条就被固定在这条直线上，符合要求；
② 定两棵树的位置确定同一行树的直线：两棵树的位置是两个点，根据“两点确定一条直线”，过这两个点的直线就是同一行树所在的直线，符合要求；
③ 弯曲公路改直缩短路程：这是利用了“两点之间线段最短”的基本事实，和“两点确定一条直线”无关，不符合要求。
因此符合要求的是①②，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
两点确定一条直线；两点之间线段最短
【点评】
本题结合生活生产场景考查几何基本事实的实际应用，需要准确区分两个易混淆的几何基本事实，体会数学在生活中的应用价值。
【难度系数】
0.8
6 一条水平直线$l$上有$A,B,C$三点，$AB=12\ \mathrm{cm}$，$AC=2BC$，$D$为$BC$的中点，则$AD$的长为
10 cm 或 18 cm
.答案
6. 10 cm 或 18 cm
解析
【分析】
题目未明确点C在直线l上的具体位置，因此需分两种情况讨论：①点C在线段AB上；②点C在线段AB的延长线上。先根据AC=2BC和AB的长度求出BC的长，再结合D是BC中点的性质求出BD的长度，最后通过线段的和差关系计算AD的长度即可。
【解析】
解：分两种情况计算：
1. 当点C在线段AB上时：
∵ $AC + BC = AB$，且$AC=2BC$，$AB=12\ \mathrm{cm}$
∴ $2BC + BC = 12\ \mathrm{cm}$，解得$BC=4\ \mathrm{cm}$
∵ D是BC的中点，
∴ $BD=\frac{1}{2}BC=2\ \mathrm{cm}$
∴ $AD=AB - BD=12\ \mathrm{cm} - 2\ \mathrm{cm}=10\ \mathrm{cm}$
2. 当点C在线段AB的延长线上时：
∵ $AC - BC = AB$，且$AC=2BC$，$AB=12\ \mathrm{cm}$
∴ $2BC - BC = 12\ \mathrm{cm}$，解得$BC=12\ \mathrm{cm}$
∵ D是BC的中点，
∴ $BD=\frac{1}{2}BC=6\ \mathrm{cm}$
∴ $AD=AB + BD=12\ \mathrm{cm} + 6\ \mathrm{cm}=18\ \mathrm{cm}$
综上，AD的长为10 cm或18 cm。
【答案】
10 cm 或 18 cm
【知识点】
线段的和差计算；线段中点的定义；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是遗漏点C的位置的多种可能性导致漏解，解题时要注意直线上的点与线段的位置关系存在多种情况，需全面考虑，核心考察线段的基本运算能力和分类讨论的数学思维。
【难度系数】
0.6
题目未明确点C在直线l上的具体位置，因此需分两种情况讨论：①点C在线段AB上；②点C在线段AB的延长线上。先根据AC=2BC和AB的长度求出BC的长，再结合D是BC中点的性质求出BD的长度，最后通过线段的和差关系计算AD的长度即可。
【解析】
解：分两种情况计算：
1. 当点C在线段AB上时：
∵ $AC + BC = AB$，且$AC=2BC$，$AB=12\ \mathrm{cm}$
∴ $2BC + BC = 12\ \mathrm{cm}$，解得$BC=4\ \mathrm{cm}$
∵ D是BC的中点，
∴ $BD=\frac{1}{2}BC=2\ \mathrm{cm}$
∴ $AD=AB - BD=12\ \mathrm{cm} - 2\ \mathrm{cm}=10\ \mathrm{cm}$
2. 当点C在线段AB的延长线上时：
∵ $AC - BC = AB$，且$AC=2BC$，$AB=12\ \mathrm{cm}$
∴ $2BC - BC = 12\ \mathrm{cm}$，解得$BC=12\ \mathrm{cm}$
∵ D是BC的中点，
∴ $BD=\frac{1}{2}BC=6\ \mathrm{cm}$
∴ $AD=AB + BD=12\ \mathrm{cm} + 6\ \mathrm{cm}=18\ \mathrm{cm}$
综上，AD的长为10 cm或18 cm。
【答案】
10 cm 或 18 cm
【知识点】
线段的和差计算；线段中点的定义；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是遗漏点C的位置的多种可能性导致漏解，解题时要注意直线上的点与线段的位置关系存在多种情况，需全面考虑，核心考察线段的基本运算能力和分类讨论的数学思维。
【难度系数】
0.6
7 根据条件画出图形，并解答问题：
（1）如图，已知四个点A，B，C，D.
① 画射线AD；
② 画出一点P（保留作图痕迹），使点P到A，B，C，D四点的距离之和最小，理由是
.
（2）在（1）的条件下，图中共有条线段.
（1）如图，已知四个点A，B，C，D.
① 画射线AD；
② 画出一点P（保留作图痕迹），使点P到A，B，C，D四点的距离之和最小，理由是
.
（2）在（1）的条件下，图中共有条线段.
答案
7. (1) ① 如图所示 ② 如图所示 两点之间线段最短
(2) 7解析
【分析】
（1）① 画射线AD时，依据射线定义，以A为端点，过D向D一侧无限延伸即可；② 求到A、B、C、D四点距离和最小的点P时，可将距离和拆分为(PA+PC)+(PB+PD)，根据两点之间线段最短，PA+PC的最小值为线段AC的长度，此时P在线段AC上；PB+PD的最小值为线段BD的长度，此时P在线段BD上，因此AC和BD的交点即为所求P点。（2）数线段时按分类枚举的方法，避免漏数或多数，先分别统计同一直线上的线段数量，再加上单独的线段即可。
【解析】
（1）① 以A为端点，过点D作射线，即为所求射线AD，如图所示。
② 连接线段AC、BD，两条线段的交点即为点P，如图所示。理由：两点之间线段最短，此时PA+PC=AC，PB+PD=BD，总距离和为AC+BD，是所有可能取值中的最小值。
（2）分类计数线段：线段AC上有A、P、C三个点，共3条线段（AP、PC、AC）；线段BD上有B、P、D三个点，共3条线段（BP、PD、BD）；还有线段AD，总计3+3+1=7条。
【答案】
(1) ① 如图所示 ② 如图所示 两点之间线段最短
(2) 7
【知识点】
射线的画法；两点之间线段最短；线段计数
【点评】
本题考查基础几何作图与线段的相关性质，作图时要注意射线的端点不能出错，距离最小问题用到了线段的基本事实，线段计数需按规律枚举，养成有序计数的习惯。
【难度系数】
0.8
（1）① 画射线AD时，依据射线定义，以A为端点，过D向D一侧无限延伸即可；② 求到A、B、C、D四点距离和最小的点P时，可将距离和拆分为(PA+PC)+(PB+PD)，根据两点之间线段最短，PA+PC的最小值为线段AC的长度，此时P在线段AC上；PB+PD的最小值为线段BD的长度，此时P在线段BD上，因此AC和BD的交点即为所求P点。（2）数线段时按分类枚举的方法，避免漏数或多数，先分别统计同一直线上的线段数量，再加上单独的线段即可。
【解析】
（1）① 以A为端点，过点D作射线，即为所求射线AD，如图所示。
② 连接线段AC、BD，两条线段的交点即为点P，如图所示。理由：两点之间线段最短，此时PA+PC=AC，PB+PD=BD，总距离和为AC+BD，是所有可能取值中的最小值。
（2）分类计数线段：线段AC上有A、P、C三个点，共3条线段（AP、PC、AC）；线段BD上有B、P、D三个点，共3条线段（BP、PD、BD）；还有线段AD，总计3+3+1=7条。
【答案】
(1) ① 如图所示 ② 如图所示 两点之间线段最短
(2) 7
【知识点】
射线的画法；两点之间线段最短；线段计数
【点评】
本题考查基础几何作图与线段的相关性质，作图时要注意射线的端点不能出错，距离最小问题用到了线段的基本事实，线段计数需按规律枚举，养成有序计数的习惯。
【难度系数】
0.8
8 如图，线段$AB=48$，C，D是线段AB上的两点，$AC:CD:DB=1:2:3$，M是线段AD的中点，N是线段CB的中点，求线段MN的长。
答案
8. 因为 AB=48,AC:CD:DB=1:2:3,所以 AC=1/6 AB=1/6×48=8,CD=1/3 AB=1/3×48=16,BD=1/2 AB=1/2×48=24. 因为 M 是 AD 的中点,所以 AM=1/2 AD=1/2(AC+CD)=1/2×(8+16)=12. 因为 N 是 CB 的中点,所以 BN=1/2 CB=1/2(CD+DB)=1/2×(16+24)=20. 所以 MN=AB-AM-BN=48-12-20=16
解析
【分析】
解题时首先根据已知的线段总长AB和三段的比例关系，先按比例分配求出AC、CD、DB的长度；再结合线段中点的性质，分别求出AM和BN的长度；最后利用线段的和差关系，用AB的总长度减去AM和BN的长度，即可求出MN的长。
【解析】
解：
∵ AB=48，AC:CD:DB=1:2:3，总份数为$1+2+3=6$，
∴ $AC=\frac{1}{6}AB=\frac{1}{6}×48=8$，
$CD=\frac{2}{6}AB=\frac{1}{3}×48=16$，
$DB=\frac{3}{6}AB=\frac{1}{2}×48=24$。
∵ M是线段AD的中点，
∴ $AM=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}(AC+CD)=\frac{1}{2}×(8+16)=12$。
∵ N是线段CB的中点，
∴ $BN=\frac{1}{2}CB=\frac{1}{2}(CD+DB)=\frac{1}{2}×(16+24)=20$。
∴ $MN=AB-AM-BN=48-12-20=16$。
【答案】
16
【知识点】
线段和差计算，线段中点定义，比例线段计算
【点评】
本题属于线段计算的基础题型，解题的关键是先根据比例关系求出各分段线段的长度，再结合线段中点的性质转化线段间的数量关系，最后通过线段的和差运算即可得到结果，计算时注意厘清各线段的位置关系，避免出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据已知的线段总长AB和三段的比例关系，先按比例分配求出AC、CD、DB的长度；再结合线段中点的性质，分别求出AM和BN的长度；最后利用线段的和差关系，用AB的总长度减去AM和BN的长度，即可求出MN的长。
【解析】
解：
∵ AB=48，AC:CD:DB=1:2:3，总份数为$1+2+3=6$，
∴ $AC=\frac{1}{6}AB=\frac{1}{6}×48=8$，
$CD=\frac{2}{6}AB=\frac{1}{3}×48=16$，
$DB=\frac{3}{6}AB=\frac{1}{2}×48=24$。
∵ M是线段AD的中点，
∴ $AM=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}(AC+CD)=\frac{1}{2}×(8+16)=12$。
∵ N是线段CB的中点，
∴ $BN=\frac{1}{2}CB=\frac{1}{2}(CD+DB)=\frac{1}{2}×(16+24)=20$。
∴ $MN=AB-AM-BN=48-12-20=16$。
【答案】
16
【知识点】
线段和差计算，线段中点定义，比例线段计算
【点评】
本题属于线段计算的基础题型，解题的关键是先根据比例关系求出各分段线段的长度，再结合线段中点的性质转化线段间的数量关系，最后通过线段的和差运算即可得到结果，计算时注意厘清各线段的位置关系，避免出错。
【难度系数】
0.8
9 已知$∠A = 22°45'$，$∠B = 22.5°$，$∠C = 22°30'45''$，则$∠A$，$∠B$与$∠C$的大小关系为（
A.$∠A＞∠C＞∠B$
B.$∠A＞∠B＞∠C$
C.$∠B＞∠A＞∠C$
D.$∠B＞∠C＞∠A$
A
）A.$∠A＞∠C＞∠B$
B.$∠A＞∠B＞∠C$
C.$∠B＞∠A＞∠C$
D.$∠B＞∠C＞∠A$
答案
9. A
解析
【分析】
要比较三个角的大小，首先需要将三个角的单位统一，因为度、分、秒是60进制，我们可以把所有角都换算成度分秒的形式，再按照从高位到低位（先比度，度相同比分，分相同比秒）的顺序比较大小即可。
【解析】
根据度分秒的换算规则：$1°=60'$，$1'=60''$，先统一单位：
1. 换算$∠ B$：$∠ B=22.5°=22°+0.5°=22°+0.5×60'=22°30'$
2. 三个角的度部分都是$22°$，先比较分的大小：
$∠ A$的分是$45'$，$∠ C$的分是$30'$，$∠ B$的分是$30'$，因此$∠ A$最大。
3. 再比较$∠ C$和$∠ B$的大小：二者分都是$30'$，比较秒的大小，$∠ C$有$45''$，$∠ B$的秒为$0$，因此$∠ C＞∠ B$。
综上，三个角的大小关系为$∠ A＞∠ C＞∠ B$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
度分秒的换算；角的大小比较
【点评】
本题核心是掌握度分秒的60进制换算规则，解题时先统一单位再按高位到低位的顺序比较，注意不要将度分秒的进制误记为10进制导致换算错误。
【难度系数】
0.7
要比较三个角的大小，首先需要将三个角的单位统一，因为度、分、秒是60进制，我们可以把所有角都换算成度分秒的形式，再按照从高位到低位（先比度，度相同比分，分相同比秒）的顺序比较大小即可。
【解析】
根据度分秒的换算规则：$1°=60'$，$1'=60''$，先统一单位：
1. 换算$∠ B$：$∠ B=22.5°=22°+0.5°=22°+0.5×60'=22°30'$
2. 三个角的度部分都是$22°$，先比较分的大小：
$∠ A$的分是$45'$，$∠ C$的分是$30'$，$∠ B$的分是$30'$，因此$∠ A$最大。
3. 再比较$∠ C$和$∠ B$的大小：二者分都是$30'$，比较秒的大小，$∠ C$有$45''$，$∠ B$的秒为$0$，因此$∠ C＞∠ B$。
综上，三个角的大小关系为$∠ A＞∠ C＞∠ B$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
度分秒的换算；角的大小比较
【点评】
本题核心是掌握度分秒的60进制换算规则，解题时先统一单位再按高位到低位的顺序比较，注意不要将度分秒的进制误记为10进制导致换算错误。
【难度系数】
0.7
10 新情境 生活实际 2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为 （
A.$20°$
B.$40°$
C.$60°$
D.$80°$
C
）A.$20°$
B.$40°$
C.$60°$
D.$80°$
答案
10. C
解析
【分析】
解题时首先回忆钟面的角度分布特点：整个钟面为周角360°，被平均分成12个大格，对应12个计时数字，因此可先求出每个大格对应的角度；再确定2时整时针、分针的指向，数出二者间隔的大格数，用间隔数乘单个大格的角度即可得到所求夹角，最后匹配选项。
【解析】
解：
∵ 钟面为周角，总度数为360°，且钟面被平均分为12个大格
∴ 每个大格对应的角度为：$360° ÷ 12 = 30°$
2时整时，分针指向数字12，时针指向数字2，时针与分针之间共有2个大格
∴ 此时时针和分针的夹角为：$2 × 30° = 60°$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
钟面角计算，角的度量
【点评】
本题结合生活实际考查钟面角的相关计算，解题核心是明确钟面每个大格对应的角度，再根据具体时刻确定时针与分针的间隔数即可求解，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆钟面的角度分布特点：整个钟面为周角360°，被平均分成12个大格，对应12个计时数字，因此可先求出每个大格对应的角度；再确定2时整时针、分针的指向，数出二者间隔的大格数，用间隔数乘单个大格的角度即可得到所求夹角，最后匹配选项。
【解析】
解：
∵ 钟面为周角，总度数为360°，且钟面被平均分为12个大格
∴ 每个大格对应的角度为：$360° ÷ 12 = 30°$
2时整时，分针指向数字12，时针指向数字2，时针与分针之间共有2个大格
∴ 此时时针和分针的夹角为：$2 × 30° = 60°$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
钟面角计算，角的度量
【点评】
本题结合生活实际考查钟面角的相关计算，解题核心是明确钟面每个大格对应的角度，再根据具体时刻确定时针与分针的间隔数即可求解，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
11 若$∠α=60°45'$，则$∠α$的余角的度数为（
A.$29°55'$
B.$39°15'$
C.$29°15'$
D.$119°15'$
C
）A.$29°55'$
B.$39°15'$
C.$29°15'$
D.$119°15'$
答案
11. C
解析
【分析】
解决这道题首先要明确余角的定义：若两个角的和为90°，则这两个角互为余角，因此求∠α的余角只需用90°减去∠α的度数即可。计算时要注意度、分是60进制，1°=60'，若分位不够减，需要从度位借1°换算成60'后再计算。
【解析】
根据余角的定义，∠α的余角度数 = 90° - ∠α。
已知∠α=60°45'，将90°转化为89°60'（借1°换算为60'，方便分位相减），则：
$90°-60°45'=89°60'-60°45'=29°15'$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
余角的定义；度分秒的换算
【点评】
本题是基础计算题，重点考查余角的计算和度分秒的单位换算，解题时要注意度分秒为60进制，借位时需正确换算单位，避免误用10进制计算出错。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要明确余角的定义：若两个角的和为90°，则这两个角互为余角，因此求∠α的余角只需用90°减去∠α的度数即可。计算时要注意度、分是60进制，1°=60'，若分位不够减，需要从度位借1°换算成60'后再计算。
【解析】
根据余角的定义，∠α的余角度数 = 90° - ∠α。
已知∠α=60°45'，将90°转化为89°60'（借1°换算为60'，方便分位相减），则：
$90°-60°45'=89°60'-60°45'=29°15'$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
余角的定义；度分秒的换算
【点评】
本题是基础计算题，重点考查余角的计算和度分秒的单位换算，解题时要注意度分秒为60进制，借位时需正确换算单位，避免误用10进制计算出错。
【难度系数】
0.8
12 如图,在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西$60°$方向,同时轮船B在南偏东$20°$方向,那么$∠ AOB$的度数为
140°
.答案
12. 140°
解析
【分析】
解题时先明确方向坐标的基本规则：上北下南、左西右东，正北与正南方向在同一直线上，夹角为180°，相邻的正东、正南、正西、正北方向两两夹角为90°。要求∠AOB的度数，可先根据两个轮船的方向信息确定对应角的度数，再通过角的和差关系计算：首先轮船A在北偏西60°，说明OA和正北方向的夹角为60°；轮船B在南偏东20°，说明OB和正南方向的夹角为20°，结合正北到正南的180°平角，即可求出∠AOB的度数。
【解析】
根据方向坐标的性质，正北方向与正南方向的夹角为180°。
已知轮船A位于北偏西60°方向，即射线OA与正北方向的夹角为60°；轮船B位于南偏东20°方向，即射线OB与正南方向的夹角为20°。
因此∠AOB的度数为：
$∠ AOB=180°-60°+20°=140°$
【答案】
$140°$
【知识点】
方向角的认识，角的和差计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查方向角相关的角度计算，解题的关键是熟悉方向坐标的规则，理清各角之间的和差关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题时先明确方向坐标的基本规则：上北下南、左西右东，正北与正南方向在同一直线上，夹角为180°，相邻的正东、正南、正西、正北方向两两夹角为90°。要求∠AOB的度数，可先根据两个轮船的方向信息确定对应角的度数，再通过角的和差关系计算：首先轮船A在北偏西60°，说明OA和正北方向的夹角为60°；轮船B在南偏东20°，说明OB和正南方向的夹角为20°，结合正北到正南的180°平角，即可求出∠AOB的度数。
【解析】
根据方向坐标的性质，正北方向与正南方向的夹角为180°。
已知轮船A位于北偏西60°方向，即射线OA与正北方向的夹角为60°；轮船B位于南偏东20°方向，即射线OB与正南方向的夹角为20°。
因此∠AOB的度数为：
$∠ AOB=180°-60°+20°=140°$
【答案】
$140°$
【知识点】
方向角的认识，角的和差计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查方向角相关的角度计算，解题的关键是熟悉方向坐标的规则，理清各角之间的和差关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
13 [2026 杭州上城段测]如图,点O在直线BD上.若∠COD=95°,∠AOC=90°,则∠AOB的度数为
5°
.答案
13. 5°
解析
【分析】
首先观察图形，点O在直线BD上，因此∠COD与∠COB组成平角，和为180°，我们可以先通过这个关系求出∠COB的度数；再结合已知的∠AOC=90°，可发现∠AOC由∠COB和∠AOB共同组成，用∠AOC减去已求出的∠COB的度数，即可得到∠AOB的大小。
【解析】
解：
∵点O在直线BD上，根据平角的定义，得
$∠ COD + ∠ COB = 180°$
将$∠ COD=95°$代入，得
$∠ COB=180° - 95°=85°$
又
∵$∠ AOC=90°$，且$∠ AOC=∠ COB + ∠ AOB$
∴$∠ AOB=∠ AOC - ∠ COB=90° - 85°=5°$
【答案】
$5°$
【知识点】
平角的定义，角的和差计算
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题关键是准确识别图中的平角，理清各个角之间的和差关系，计算难度较低。
【难度系数】
0.9
首先观察图形，点O在直线BD上，因此∠COD与∠COB组成平角，和为180°，我们可以先通过这个关系求出∠COB的度数；再结合已知的∠AOC=90°，可发现∠AOC由∠COB和∠AOB共同组成，用∠AOC减去已求出的∠COB的度数，即可得到∠AOB的大小。
【解析】
解：
∵点O在直线BD上，根据平角的定义，得
$∠ COD + ∠ COB = 180°$
将$∠ COD=95°$代入，得
$∠ COB=180° - 95°=85°$
又
∵$∠ AOC=90°$，且$∠ AOC=∠ COB + ∠ AOB$
∴$∠ AOB=∠ AOC - ∠ COB=90° - 85°=5°$
【答案】
$5°$
【知识点】
平角的定义，角的和差计算
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题关键是准确识别图中的平角，理清各个角之间的和差关系，计算难度较低。
【难度系数】
0.9
