1. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动.
| 活动主题 | 测算某景区山的高度 |
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| 测量工具 | 皮尺,测角仪,水平仪等 |
| 模型抽象 | 如图,AM是山脚的水平线,大山高BD垂直于水平线AM于点D. |
| 测量过程与数据信息 | 1. 在山脚A处测出山顶B的仰角$∠ BAM=45°$；
2. 沿着山坡前进100 m到达C处；
3. 在C处测出山顶B的仰角$∠ BCN=50°$,山坡的坡角$∠ CAM=20°$(图中所有点均在同一平面内) |
(参考数据:$\sin 20° \approx 0.34,\cos 20° \approx 0.94,\tan 20° \approx 0.36,\sin 50° \approx 0.77,\cos 50° \approx 0.64,\tan 50° \approx 1.19$)
请根据表格中提供的信息,解决下列问题:(结果保留整数)
(1)求坡面AC的水平距离和垂直距离.
(2)求山的高度,即求线段BD的长.(注:请用(1)中坡面AC的水平距离和垂直距离的整数值进行计算)

1. 解:(1)过点 C 作 $CH ⊥ AD$,垂足为 H,如图.
在 $Rt△ ACH$ 中, $∠ AHC=90°, ∠ CAH=20°, AC=100\ \mathrm{m}$.
$\because \sin ∠ CAH=\frac{CH}{AC},\cos ∠ CAH=\frac{AH}{AC}$,
$\therefore CH=AC× \sin ∠ CAH=100× \sin 20° \approx 100× 0.34=34(\mathrm{m})$,
$AH=AC× \cos ∠ CAH=100× \cos 20° \approx 100× 0.94=94(\mathrm{m})$.
答:坡面 AC 的水平距离和垂直距离分别约是 94 m 和 34 m.
(2)如图,延长 CN 交 BD 于点 G,设 $CG=x\ \mathrm{m}$,
则四边形 CHDG 是矩形,
$\therefore HD=CG=x\ \mathrm{m},GD=CH=34\ \mathrm{m}$,
$\therefore AD=AH+HD=(94+x)\ \mathrm{m}$.
$\because ∠ BAM=45°$,
$\therefore BD=AD=(94+x)\ \mathrm{m}$,
$\therefore BG=BD-DG=BD-CH$
$=94+x-34=(60+x)\ \mathrm{m}$.
在 $Rt△ BCG$ 中, $∠ CGB=90°, ∠ BCG=50°$,
$\because \tan ∠ BCG=\frac{BG}{CG}$,
$\therefore \tan 50°=\frac{BG}{CG}$,即$\frac{60+x}{x}\approx 1.19$,
解得 $x\approx 316$,
$\therefore BD=AD\approx 94+316=410(\mathrm{m})$.
答:山的高度约为 410 m.

2. 九年级数学兴趣小组想知道河对岸的两棵古树A,B之间的距离,小明同学制定了如下方案,请你帮助小明解决方案中的问题.
| 方案名称 | 测量河对岸的古树A,B之间的距离 |
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| 测量工具 | 测角仪、皮尺等 |
| 方案设计 | 如图,在河的对岸有两棵古树A,B,在河岸与AB平行的直线CE上取两点C,D. |
续表
| 测量数据 | 【步骤一】利用皮尺测量C,D两点间的距离,测得$CD=5\ \mathrm{m}$；
【步骤二】在点C处用测角仪测得$∠ ACE=32°$；
【步骤三】在点D处用测角仪测得$∠ BDE=42°,∠ ADE=37°$ |
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| 解决问题 | 河对岸的两棵古树A,B之间的距离是多少？(结果精确到$0.1\ \mathrm{m}$) |
(参考数据: $\sin 32° \approx \frac{17}{32},\cos 32° \approx \frac{17}{20},\tan 32° \approx \frac{5}{8},\sin 42° \approx \frac{27}{40},\cos 42° \approx \frac{3}{4},\tan 42° \approx \frac{9}{10}$, $\tan 37° \approx \frac{3}{4},\sin 37° \approx \frac{3}{5},\cos 37° \approx \frac{4}{5}$)

2. 解:如图,连接 AD,过点 A 作 $AF ⊥ CE$,垂足为点 F,过点 B 作 $BH ⊥ CE$,垂足为点 H.
设 $DF=x\ \mathrm{m}$.
$\because CD=5\ \mathrm{m}$,
$\therefore CF=CD+DF=(x+5)\ \mathrm{m}$.
在 $Rt△ AFD$ 中, $\tan ∠ ADF=\frac{AF}{DF}$,
$\because ∠ ADF=∠ ADE=37°$,
$\therefore AF=DF· \tan ∠ ADF=DF· \tan 37° \approx \frac{3}{4}x(\mathrm{m})$.
在 $Rt△ AFC$ 中, $\tan ∠ ACF=\frac{AF}{CF}$,
$\because ∠ ACF=∠ ACE=32°$,
$\therefore \tan 32°=\frac{AF}{CF}=\frac{\frac{3}{4}x}{x+5}\approx \frac{5}{8}$,
解得 $x=25,\therefore DF=25\ \mathrm{m}$,
$\therefore AF=\frac{3}{4}x=\frac{75}{4}\ \mathrm{m}$.
$\because AF ⊥ CE,BH ⊥ CE,\therefore AF// BH$.
又 $AB// FH,\therefore$ 四边形 ABHF 为平行四边形,
$\therefore AB=FH,BH=AF=\frac{75}{4}\ \mathrm{m}$.
在 $Rt△ BDH$ 中, $\tan ∠ BDH=\frac{BH}{DH}$.
$\because ∠ BDH=∠ BDE=42°$,
$\therefore \tan 42°=\frac{\frac{75}{4}}{DH}\approx \frac{9}{10},\therefore DH\approx \frac{\frac{75}{4}}{\frac{9}{10}}=\frac{125}{6}(\mathrm{m})$,
$\therefore FH=DF-DH=25-\frac{125}{6}=\frac{25}{6}\approx 4.2(\mathrm{m})$,
$\therefore AB=FH\approx 4.2\ \mathrm{m}$,即两棵古树 A,B 之间的距离大约是 4.2 m.