3. (广东中考)综合与实践
【阅读材料】
如图,在锐角$△ ABC$中,$∠ A,∠ B,∠ C$的对边长分别为$a,b,c$,则有$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$. 这是解三角形的重要结论,可用于解决实际问题.
【问题提出】万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地. 某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图,现需要知道湖中$A,B$两岛间的实际距离. 由于地形原因,无法利用测距仪直接测量,该小组对这一问题进行了探究.
【方案设计】
工具:测角仪、测距仪、无人机(只能测角度、水平面高度).
测量过程:
步骤1:如图,在空旷地找一点$C$;
步骤2:利用无人机多次测量并取平均值测得$∠ A\approx43°,∠ B\approx51°$;
步骤3:利用测距仪多次测量并取平均值测得$BC\approx341\ \mathrm{m},AC\approx388.5\ \mathrm{m}$.
【问题解决】
(1)请你利用【阅读材料】中的结论计算$A,B$两岛间的距离.
(参考数据:$\sin43°\approx0.682,\sin51°\approx0.777,\sin86°\approx0.998$)




【评价反思】
(2)设计其他方案计算$A,B$两岛间的距离. 要求:选用【方案设计】中的工具,写出你的方案和所用的数学知识.

3. 解:(1)$\because ∠ A\approx 43°,∠ B\approx 51°$,
$\therefore ∠ C=180°-∠ A-∠ B\approx 180°-43°-51°=86°$.
由题意,得$\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}$.
又$\because BC\approx 341\ \mathrm{m}$,
$\therefore AB=\frac{BC· \sin C}{\sin A}=\frac{BC· \sin 86°}{\sin 43°}\approx \frac{341× 0.998}{0.682}=499(\mathrm{m})$.
答:A,B 两岛间的距离约为 499 m.
(2)工具:测角仪、测距仪、无人机(只能测角度、水平面高度).
测量过程:
步骤 1:如图1,在空旷地找一点 C,使得 $△ ABC$ 是锐角三角形;
步骤 2:利用无人机多次测量并取平均值测得 $∠ C$ 的度数;
步骤 3:利用测距仪多次测量并取平均值测得 $BC=a\ \mathrm{m},AC=b\ \mathrm{m}$.
计算过程:
过点 A 作 $AD ⊥ BC$,如图2,
则 $∠ ADC=∠ ADB=90°$.
$\because$ 在 $Rt△ ACD$ 中,
$\sin C=\frac{AD}{AC},\cos C=\frac{CD}{AC}$,
$\therefore AD=b\sin C(\mathrm{m}),CD=b\cos C(\mathrm{m})$,
$\therefore BD=BC-CD=(a-b\cos C)(\mathrm{m})$.
$\because$ 在 $Rt△ ABD$ 中, $AD^2+BD^2=AB^2$,
$\therefore AB=\sqrt{(b\sin C)^2+(a-b\cos C)^2}(\mathrm{m})$.
答:A,B 两岛间的距离为 $\sqrt{(b\sin C)^2+(a-b\cos C)^2}\ \mathrm{m}$.(答案不唯一)