1.(威海文登区三校联考)已知一个小球由桌面沿着斜坡向上前进了12 cm,此时小球距离桌面的高度为6 cm,则这个斜坡的坡度i为 ()


A.2
B.$1:2$
C.$1:\sqrt{2}$
D.$1:\sqrt{3}$

1. D

2. 如图，这是某拦河坝改造前后河床的横断面示意图，$AD// BC$，坝高$DC=8\ \mathrm{m}$，将原坡度$i=1:0.25$的迎水坡面$AB$改为坡角为$60°$的斜坡$EB$，此时，河坝面宽减少的长度$AE$等于（结果精确到$0.1\ \mathrm{m}$，参考数据：$\sqrt{3}\approx1.73$）


A.$2.2\ \mathrm{m}$
B.$2.6\ \mathrm{m}$
C.$3.2\ \mathrm{m}$
D.$3.6\ \mathrm{m}$

2. B

3.（聊城实验中学调研）如图，某校一幢综合楼的楼顶竖有一块“启智求真，健体尚美”的宣传牌CD.该校九年级(1)班在一次数学活动课中进行实地测量，在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为56°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°，AB=8 m，AE=16 m，已知斜坡AB的坡角为45°.（参考数据：$\sin 56° \approx 0.83$，$\cos 56° \approx 0.56$，$\tan 56° \approx 1.5$，$\sqrt{2} \approx 1.41$；精确到0.01 m）

(1)求综合楼的高度DE.
(2)求宣传牌的高度CD.

3. 解:(1)在Rt△DAE中,∠DAE=56°,AE=16 m,
∵ tan∠DAE=$\frac{DE}{AE}$,
∴ DE=AE·tan∠DAE≈16×1.5=24(m).
答:综合楼的高度DE约为24 m.
(2)如图,过点B作BF⊥CE于点F,作BG⊥EA,交EA的延长线于点G,
则四边形BGEF为矩形,
∴ BG=EF,BF=GE.
由题意,得∠BAG=45°,
而AB=8 m,
∴ 在Rt△ABG中,
AG=BG=AB×sin∠BAG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=4$\sqrt{2}$(m),
∴ GE=AG+AE=(4$\sqrt{2}$+16)m.
∵ ∠CBF=45°,BF⊥CE,
∴ CF=BF=GE=(4$\sqrt{2}$+16)m,
∴ CD=CF+EF-DE
=4$\sqrt{2}$+16+4$\sqrt{2}$-24≈3.28(m).
答:宣传牌的高度CD约为3.28 m.

4. 某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，文化墙PM在天桥底部正前方8米处（PB的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：$\sqrt{3}$。（参考数据：$\sqrt{2} \approx 1.414$，$\sqrt{3} \approx 1.732$）
(1)若新坡面坡角为α，求坡角α的度数.
(2)有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM是否需要拆除？请说明理由.

4. 解:(1)
∵新坡面坡角为α,新坡面的坡度为1:$\sqrt{3}$,
∴ tan α=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴ α=30°.
(2)该文化墙PM不需要拆除.
理由:如图,过点C作CD⊥AB,交AB的延长线于点D,则CD=6米,

∵ 新坡面的坡度为1:$\sqrt{3}$,
∴ tan∠CAD=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{6}{AD}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$,
解得AD=6$\sqrt{3}$米.
∵ 坡面BC的坡度为1:1,CD=6米.
∴ BD=6米,
∴ AB=AD-BD=(6$\sqrt{3}$-6)米,
又
∵ PB=8米,
∴ PA=PB-AB=8-(6$\sqrt{3}$-6)=14-6$\sqrt{3}$≈14-6×1.732≈3.6米＞3米,
∴ 该文化墙PM不需要拆除.