1. 一元二次方程$x^2 -16=0$的根是 （）

A.$x=2$
B.$x=4$
C.$x_1=2,x_2=-2$
D.$x_1=4,x_2=-4$

1. D 解析: $\because x^2 -16=0$,移项,得 $x^2 = 16$,$\therefore x_1 = 4$,$x_2 = -4$,故选 D.

2. (赤峰中考)用配方法解方程$x^2 -4x -1=0$时，配方后正确的是 ()

A.$(x+2)^2=3$
B.$(x+2)^2=17$
C.$(x-2)^2=5$
D.$(x-2)^2=17$

2. C 解析: $\because x^2 -4x -1=0$,移项,得 $x^2 -4x = 1$,配方,得 $x^2 -4x+4=5$,即 $(x-2)^2=5$.故选 C.

3. (2024·东营中考)用配方法解一元二次方程$x^2 -2x -2023=0$时，将它转化为$(x+a)^2 =b$的形式，则$a^b$的值为（）

A.$-2024$
B.$2024$
C.$-1$
D.$1$

3. D 解析: $\because x^2 -2x -2023=0$,移项,得 $x^2 -2x = 2023$,配方,得 $x^2 -2x+1 = 2023+1$,即 $(x-1)^2 = 2024$,$\therefore a = -1$,$b = 2024$,$\therefore a^b = (-1)^{2024} = 1$.故选 D.

4. 将下列各式配方：
(1) $x^2 + 12x + (\quad) = (x + \_\_\_\_\_\_)^2$；
(2) $x^2 - \frac{3}{2}x + (\quad) = (x - \_\_\_\_\_\_)^2$。

4. (1)36 6 解析 $x^2 +12x +6^2 = (x+6)^2 = x^2 +12x +36$.故答案为 36;6.
(2)$\frac{9}{16}$ $\frac{3}{4}$ 解析 $x^2 -\frac{3}{2}x + (\frac{3}{4})^2 = (x-\frac{3}{4})^2 = x^2 -\frac{3}{2}x +\frac{9}{16}$.故答案为$\frac{9}{16}$;$\frac{3}{4}$.

5. 一题多变 (1)若二次三项式$x^2 +4x +m^2$是一个完全平方式，则$m=$；
(2)(2026·济南期末)已知方程$x^2 -ax -5=0$可以配方成$(x-2)^2=9$的形式，那么$a$的值为。

5. (1)-2或2 解析 $\because$ 二次三项式 $x^2 +4x +m^2$ 是一个完全平方式,$\therefore 4x = \pm 2mx$,$\therefore m = \pm 2$.
(2)4 解析 由 $(x-2)^2 = 9$ 展开得 $x^2 -4x +4 =9$,即 $x^2 -4x -5=0$,与原方程 $x^2 -ax -5=0$ 比较,得 $-a=-4$,故 $a=4$.故答案为 4.

6. 解下列方程：
(1) $x^2 - 8x = 8$；
(2) $x^2 - \frac{4}{3}x - 4 = 0$；
(3) $x(x - 4) = 2 - 8x$；
(4) $x^2 + 4\sqrt{7}x + 12 = 0$。

6. (1)$x^2 -8x +16 = 8+16$,$(x-4)^2 =24$,$x-4 = \pm 2\sqrt{6}$,解得 $x_1 = 4+2\sqrt{6}$,$x_2 = 4-2\sqrt{6}$.
(2)$x^2 -\frac{4}{3}x =4$,$x^2 -\frac{4}{3}x + (\frac{2}{3})^2 =4+ (\frac{2}{3})^2$,$(x-\frac{2}{3})^2 =\frac{40}{9}$,$x-\frac{2}{3} = \pm \frac{2}{3}\sqrt{10}$,解得 $x_1 = \frac{2}{3}\sqrt{10}+\frac{2}{3}$,$x_2 = -\frac{2}{3}\sqrt{10}+\frac{2}{3}$.
(3)$x^2 -4x = 2-8x$,$x^2 +4x =2$,$x^2 +4x +4 = 2+4$,$(x+2)^2 =6$,$x+2 = \pm \sqrt{6}$,解得 $x_1 = -2+\sqrt{6}$,$x_2 = -2-\sqrt{6}$.
(4)$x^2 +4\sqrt{7}x = -12$,$x^2 +4\sqrt{7}x + (2\sqrt{7})^2 = -12 + (2\sqrt{7})^2$,$(x+2\sqrt{7})^2 =16$,$x+2\sqrt{7} = \pm4$,解得 $x_1 =4-2\sqrt{7}$,$x_2 = -4-2\sqrt{7}$.

7. 下面是某同学解方程$x^2+5x=x+12$的部分运算过程:
解:移项,得$x^2+4x=12$,……第一步
配方,得$x^2+4x+4=12+4$,……第二步
即$(x+2)^2=16$,……第三步
两边开平方,得$x+2=4$.……第四步
(1)该同学的解答从第步开始出错；
(2)请写出正确的解答过程.

7. (1)四 解析:根据配方法解一元二次方程的过程进行解答即可.
(2)移项,得 $x^2 +4x =12$,
配方,得 $x^2 +4x +4 =12+4$,
即 $(x+2)^2 =16$,
两边开平方,得 $x+2=4$ 或 $x+2=-4$,
即 $x=2$ 或 $x=-6$.

8. 已知方程$x^2 -6x + q =0$可以配方成$(x-p)^2=7$的形式，那么$x^2 -6x + q =2$可以配方成下面的（）

A.$(x-p)^2=5$
B.$(x-p)^2=9$
C.$(x-p+2)^2=9$
D.$(x-p+2)^2=5$

8. B 解析: $\because x^2 -6x + q =0$,$\therefore x^2 -6x = -q$,$\therefore x^2 -6x +9 = -q +9$,$\therefore (x-3)^2 =9-q$.根据题意得 $p=3$,$9-q=7$,$\therefore p=3$,$q=2$,$\therefore x^2 -6x + q =2$,即 $x^2 -6x +2 =2$,$\therefore x^2 -6x =0$,$\therefore x^2 -6x +9 =9$,$\therefore (x-3)^2 =9$,即 $(x-p)^2 =9$.故选 B.

9. 一元二次方程$ax^2 = b(ab＞0)$的两个根分别是$m+1$与$2m-4$，则$\frac{b}{a}=$.

9. 4 解析: $\because x^2 = \frac{b}{a}$,$\therefore x = \pm \sqrt{\frac{b}{a}}$,$\therefore$ 方程的两个根互为相反数,$\therefore m+1+2m-4=0$,解得 $m=1$,$\therefore$ 一元二次方程 $ax^2 = b$ 的两个根分别是 2 与-2,$\therefore \sqrt{\frac{b}{a}}=2$,$\therefore \frac{b}{a}=4$.

10. 对于实数$p,q$,我们用符号$\min\{p,q\}$表示$p,q$两数中较小的数,如$\min\{1,2\}=1$,若$\min\{(x-1)^2,x^2\}=1$,则$x=$.

10. 2或-1 解析: $\because \min\{(x-1)^2,x^2\}=1$,当 $(x-1)^2=1$ 时,解得 $x=2$ 或 0,$x=0$ 时,不符合题意,$\therefore x=2$.当 $x^2=1$ 时,解得 $x=1$ 或-1,当 $x=1$ 时,不符合题意,$\therefore x=-1$.故答案为 2 或-1.

11. 新考法 如图,在一块长为16 m,宽为10 m的矩形空地中,修建2条同样宽的小路和一个底部为正方形的凉亭(图中阴影部分),正方形的边长为小路宽的2倍,剩下的部分种植草坪,要使草坪的面积为133 m²,求小路的宽度.

11. 设小路的宽度为 $x$ m,则正方形凉亭的边长为 $2x$ m. 根据题意得 $(16-x)(10-x)-2x · x =133$,整理得 $x^2 +26x -27=0$,配方得 $(x+13)^2=196$,开平方得 $x+13=\pm14$,解得 $x_1=1$,$x_2=-27$(不符合题意,舍去).所以小路的宽度为 1 m.