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12. 你知道古代数学家怎样解一元二次方程吗？以$x^2 - 2x - 3 = 0$为例，大致过程如下：
第一步：将原方程变形为$x^2 - 2x = 3$，即$x(x - 2) = 3$。
第二步：构造一个长为$x$，宽为$(x - 2)$的长方形，长比宽大2，且面积为3，如图①所示。
第三步：用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，如图②所示。
第四步：计算大正方形面积用$x$表示为
(1)第四步中横线上应填入
(2)请参考古人的思考过程，解方程$x^2 - x - 1 = 0$。
第一步：将原方程变形为$x^2 - 2x = 3$，即$x(x - 2) = 3$。
第二步：构造一个长为$x$，宽为$(x - 2)$的长方形，长比宽大2，且面积为3，如图①所示。
第三步：用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，如图②所示。
第四步：计算大正方形面积用$x$表示为
$(2x-2)^2$
。由观察可得，大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，得方程$(2x-2)^2=4×3+2^2$
，两边开方可求得$x_1 = 3, x_2 = -1$。(1)第四步中横线上应填入
$(2x-2)^2$
，$(2x-2)^2=4×3+2^2$
。(2)请参考古人的思考过程，解方程$x^2 - x - 1 = 0$。
答案
12. (1)$(2x-2)^2$ $(2x-2)^2=4×3+2^2$ 解析: $\because$ 大正方形的边长是 $[x+(x-2)]$,$\therefore$ 大正方形面积是 $[x+(x-2)]^2=(2x-2)^2$;$\because$ 小正方形的边长是 $x-(x-2)=2$,长方形的面积为 3,且大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和,$\therefore (2x-2)^2=4×3+2^2=16$.
(2)第一步:将原方程变形为 $x^2 -x =1$,即 $x(x-1)=1$.第二步:构造一个长为 $x$,宽为 $(x-1)$ 的长方形,长比宽大 1,且面积为 1.第三步:用四个这样的长方形围成一个大正方形,中间是一个小正方形.第四步:计算大正方形面积用 $x$ 表示为 $[x+(x-1)]^2$.由观察可得,大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和,得方程 $[x+(x-1)]^2=4×1+1^2$,两边开方可求得 $x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$,$x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$.
(2)第一步:将原方程变形为 $x^2 -x =1$,即 $x(x-1)=1$.第二步:构造一个长为 $x$,宽为 $(x-1)$ 的长方形,长比宽大 1,且面积为 1.第三步:用四个这样的长方形围成一个大正方形,中间是一个小正方形.第四步:计算大正方形面积用 $x$ 表示为 $[x+(x-1)]^2$.由观察可得,大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和,得方程 $[x+(x-1)]^2=4×1+1^2$,两边开方可求得 $x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$,$x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$.
13. 阅读下列材料：
已知实数 $ m,n $ 满足 $ (2m^2 + n^2 + 1)(2m^2 + n^2 - 1)=80 $，试求 $ 2m^2 + n^2 $ 的值.
解：设 $ 2m^2 + n^2 = y $，则原方程可化为 $ (y+1)(y-1)=80 $，即 $ y^2=81 $，∴ $ y=\pm9 $.
∵ $ 2m^2 + n^2 ≥ 0 $，∴ $ 2m^2 + n^2 =9 $.
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化.
根据以上阅读材料内容，解决下列问题：
(1) 已知实数 $ x,y $ 满足 $ (x^2 + y^2 + 3)(x^2 + y^2 - 3)=27 $，求 $ x^2 + y^2 $ 的值.
(2) 解方程：$ x^2 - 3|x| + 2 = 0 $.
(3) 若四个连续正整数的积为 120，直接写出这四个连续的正整数：
已知实数 $ m,n $ 满足 $ (2m^2 + n^2 + 1)(2m^2 + n^2 - 1)=80 $，试求 $ 2m^2 + n^2 $ 的值.
解：设 $ 2m^2 + n^2 = y $，则原方程可化为 $ (y+1)(y-1)=80 $，即 $ y^2=81 $，∴ $ y=\pm9 $.
∵ $ 2m^2 + n^2 ≥ 0 $，∴ $ 2m^2 + n^2 =9 $.
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化.
根据以上阅读材料内容，解决下列问题：
(1) 已知实数 $ x,y $ 满足 $ (x^2 + y^2 + 3)(x^2 + y^2 - 3)=27 $，求 $ x^2 + y^2 $ 的值.
(2) 解方程：$ x^2 - 3|x| + 2 = 0 $.
(3) 若四个连续正整数的积为 120，直接写出这四个连续的正整数：
2,3,4,5
.答案
13. (1)设 $x^2 + y^2 = t$.$\because (x^2 + y^2 + 3)(x^2 + y^2 - 3) = 27$,$\therefore (t+3)(t-3)=27$,$\therefore t^2 -9=27$,$\therefore t^2=36$,$\therefore t=\pm6$.$\because t\ge0$,$\therefore t=6$,$\therefore x^2 + y^2=6$.
(2)$x^2 -3|x| +2=0$,即 $|x|^2 -3|x| +2=0$,设 $|x|=t$,则 $t\ge0$,$\therefore t^2 -3t +2=0$,$\therefore (t-\frac{3}{2})^2=\frac{1}{4}$,$\therefore t-\frac{3}{2}=\pm\frac{1}{2}$,$\therefore t_1=1$,$t_2=2$,$\therefore |x|=1$ 或 $|x|=2$,$\therefore x_1=-1$,$x_2=1$,$x_3=-2$,$x_4=2$.
(3)2,3,4,5 解析: 设最小的数为 $x$,则 $x(x+1)(x+2)(x+3)=120$,即 $(x^2 +3x)(x^2 +3x +2)=120$. 设 $x^2 +3x = y$,则 $y^2 +2y -120=0$,$\therefore y^2 +2y +1=11^2$,$\therefore (y+1)^2=11^2$,开平方得 $y+1=\pm11$,$\therefore y_1=-12$,$y_2=10$.$\because x$ 为正整数,$\therefore y=x^2 +3x=10$,即 $x^2 +3x -10=0$,$\therefore (x+\frac{3}{2})^2=\frac{49}{4}$,开平方得 $x+\frac{3}{2}=\pm\frac{7}{2}$,$\therefore x_1=2$,$x_2=-5＜0$(舍去),$\therefore$ 这四个正整数为 2,3,4,5.
(2)$x^2 -3|x| +2=0$,即 $|x|^2 -3|x| +2=0$,设 $|x|=t$,则 $t\ge0$,$\therefore t^2 -3t +2=0$,$\therefore (t-\frac{3}{2})^2=\frac{1}{4}$,$\therefore t-\frac{3}{2}=\pm\frac{1}{2}$,$\therefore t_1=1$,$t_2=2$,$\therefore |x|=1$ 或 $|x|=2$,$\therefore x_1=-1$,$x_2=1$,$x_3=-2$,$x_4=2$.
(3)2,3,4,5 解析: 设最小的数为 $x$,则 $x(x+1)(x+2)(x+3)=120$,即 $(x^2 +3x)(x^2 +3x +2)=120$. 设 $x^2 +3x = y$,则 $y^2 +2y -120=0$,$\therefore y^2 +2y +1=11^2$,$\therefore (y+1)^2=11^2$,开平方得 $y+1=\pm11$,$\therefore y_1=-12$,$y_2=10$.$\because x$ 为正整数,$\therefore y=x^2 +3x=10$,即 $x^2 +3x -10=0$,$\therefore (x+\frac{3}{2})^2=\frac{49}{4}$,开平方得 $x+\frac{3}{2}=\pm\frac{7}{2}$,$\therefore x_1=2$,$x_2=-5＜0$(舍去),$\therefore$ 这四个正整数为 2,3,4,5.
