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知识点三 等式的性质
如果$a=b$，那么$a\pm c=\_\_\_\_\_\_(c≠0)$。
如果$a=b$，那么$a\pm c=\_\_\_\_\_\_(c≠0)$。
答案
$b\pm c$
解析
【分析】
这道题考查等式的基本性质，解题时首先回忆等式的性质1内容：等式两边同时加上或者减去同一个数（或整式），等式仍然成立。已知条件给出a=b，要得到a±c的对应结果，只需要在等式两边同时进行加c或减c的操作，对应写出右边的结果即可。
【解析】
根据等式的性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个数或式子，等式仍然成立。
已知a=b，将等式两边同时加c或者减c，左边变为a±c，右边相应变为b±c，因此横线处填写b±c。
【答案】
$b\pm c$
【知识点】
等式的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对等式基本性质的识记与简单应用，掌握基础概念就能快速作答。
【难度系数】
0.9
这道题考查等式的基本性质，解题时首先回忆等式的性质1内容：等式两边同时加上或者减去同一个数（或整式），等式仍然成立。已知条件给出a=b，要得到a±c的对应结果，只需要在等式两边同时进行加c或减c的操作，对应写出右边的结果即可。
【解析】
根据等式的性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个数或式子，等式仍然成立。
已知a=b，将等式两边同时加c或者减c，左边变为a±c，右边相应变为b±c，因此横线处填写b±c。
【答案】
$b\pm c$
【知识点】
等式的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对等式基本性质的识记与简单应用，掌握基础概念就能快速作答。
【难度系数】
0.9
知识点四 一元一次方程解法
解一元一次方程的一般步骤包括:去分母、去括号、
解一元一次方程的一般步骤包括:去分母、去括号、
移项
、合并同类项
、系数化为1等.通过这些步骤,可以使以x为未知数的一元一次方程逐步转化为$x=m$的形式.这个过程主要依据等式的性质和运算律等.答案
移项、合并同类项
解析
【分析】
本题考查一元一次方程求解步骤的记忆，解题时先回忆一元一次方程从原式转化为$x=m$的完整操作流程：首先去分母消除分数运算的不便，接着去括号打开含括号的项，之后需要把所有含未知数的项和常数项分别归集到方程两侧，这个操作就是移项，归集后要把同类的项合并化简，得到$ax=b(a≠0)$的形式，最后系数化为1得到解，对照已知的步骤，即可确定空缺的两个步骤。
【解析】
解一元一次方程的完整步骤依次为：1.去分母：依据等式性质2，在方程两边同乘各分母的最小公倍数去掉分母；2.去括号：依据去括号法则和乘法分配律去掉式子中的括号；3.移项：依据等式性质1，把含未知数的项移到方程左边，常数项移到方程右边（移项要变号）；4.合并同类项：依据合并同类项法则，将方程化简为$ax=b(a≠0)$的形式；5.系数化为1：依据等式性质2，在方程两边同除以未知数的系数$a$，得到$x=m$的解。因此空缺的两个步骤为移项、合并同类项。
【答案】
移项、合并同类项
【知识点】
一元一次方程的解法、等式的性质
【点评】
本题属于基础概念识记题，主要考查对一元一次方程求解步骤的掌握，熟练记忆并掌握这些步骤是正确求解一元一次方程的前提，也是后续利用方程解决实际问题的重要基础。
【难度系数】
0.9
本题考查一元一次方程求解步骤的记忆，解题时先回忆一元一次方程从原式转化为$x=m$的完整操作流程：首先去分母消除分数运算的不便，接着去括号打开含括号的项，之后需要把所有含未知数的项和常数项分别归集到方程两侧，这个操作就是移项，归集后要把同类的项合并化简，得到$ax=b(a≠0)$的形式，最后系数化为1得到解，对照已知的步骤，即可确定空缺的两个步骤。
【解析】
解一元一次方程的完整步骤依次为：1.去分母：依据等式性质2，在方程两边同乘各分母的最小公倍数去掉分母；2.去括号：依据去括号法则和乘法分配律去掉式子中的括号；3.移项：依据等式性质1，把含未知数的项移到方程左边，常数项移到方程右边（移项要变号）；4.合并同类项：依据合并同类项法则，将方程化简为$ax=b(a≠0)$的形式；5.系数化为1：依据等式性质2，在方程两边同除以未知数的系数$a$，得到$x=m$的解。因此空缺的两个步骤为移项、合并同类项。
【答案】
移项、合并同类项
【知识点】
一元一次方程的解法、等式的性质
【点评】
本题属于基础概念识记题，主要考查对一元一次方程求解步骤的掌握，熟练记忆并掌握这些步骤是正确求解一元一次方程的前提，也是后续利用方程解决实际问题的重要基础。
【难度系数】
0.9
1. 下列解方程的变形过程正确的是 （
A.由 $3x=2x-1$ 移项，得 $3x+2x=-1$
B.由 $4+3x=2x-1$ 移项，得 $3x-2x=1-4$
C.由 $\dfrac{3x-1}{2}=1+\dfrac{2x+1}{3}$ 去分母，得 $3(3x-1)=1+2(2x+1)$
D.由 $4-2(3x-1)=1$ 去括号，得 $4-6x+2=1$
D
）A.由 $3x=2x-1$ 移项，得 $3x+2x=-1$
B.由 $4+3x=2x-1$ 移项，得 $3x-2x=1-4$
C.由 $\dfrac{3x-1}{2}=1+\dfrac{2x+1}{3}$ 去分母，得 $3(3x-1)=1+2(2x+1)$
D.由 $4-2(3x-1)=1$ 去括号，得 $4-6x+2=1$
答案
D
解析
【分析】
本题考查一元一次方程求解过程中的变形规则，需要结合移项、去分母、去括号的运算法则，逐一判断每个选项的变形是否正确。思考时先回忆各变形的注意要点：移项要变号，去分母时等式两边每一项都要乘各分母的最小公倍数，去括号时要注意括号外的系数和符号，括号内每一项都要与括号外的系数相乘。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：由$3x=2x-1$移项，需将$2x$从等号右侧移到左侧，移项要变号，正确变形应为$3x-2x=-1$，选项A变形错误。
选项B：由$4+3x=2x-1$移项，将$2x$移到左侧，$4$移到右侧，未移动的项符号不变，正确变形应为$3x-2x=-1-4$，选项B中等号右侧的$-1$未移动却变号，变形错误。
选项C：由$\dfrac{3x-1}{2}=1+\dfrac{2x+1}{3}$去分母，等式两边同时乘分母的最小公倍数6，每一项都要乘6，正确变形应为$3(3x-1)=6+2(2x+1)$，选项C中常数项$1$漏乘6，变形错误。
选项D：由$4-2(3x-1)=1$去括号，括号外的系数是$-2$，分别乘括号内的$3x$和$-1$，可得$4-6x+2=1$，变形正确。
【答案】
D
【知识点】
移项法则；去分母法则；去括号法则
【点评】
本题是解一元一次方程的基础题型，重点考查变形过程中的常见易错点，需要牢记各类变形的规则，尤其注意符号变化和不要漏乘项，掌握好本题知识点能有效减少解方程时的失误。
【难度系数】
0.8
本题考查一元一次方程求解过程中的变形规则，需要结合移项、去分母、去括号的运算法则，逐一判断每个选项的变形是否正确。思考时先回忆各变形的注意要点：移项要变号，去分母时等式两边每一项都要乘各分母的最小公倍数，去括号时要注意括号外的系数和符号，括号内每一项都要与括号外的系数相乘。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：由$3x=2x-1$移项，需将$2x$从等号右侧移到左侧，移项要变号，正确变形应为$3x-2x=-1$，选项A变形错误。
选项B：由$4+3x=2x-1$移项，将$2x$移到左侧，$4$移到右侧，未移动的项符号不变，正确变形应为$3x-2x=-1-4$，选项B中等号右侧的$-1$未移动却变号，变形错误。
选项C：由$\dfrac{3x-1}{2}=1+\dfrac{2x+1}{3}$去分母，等式两边同时乘分母的最小公倍数6，每一项都要乘6，正确变形应为$3(3x-1)=6+2(2x+1)$，选项C中常数项$1$漏乘6，变形错误。
选项D：由$4-2(3x-1)=1$去括号，括号外的系数是$-2$，分别乘括号内的$3x$和$-1$，可得$4-6x+2=1$，变形正确。
【答案】
D
【知识点】
移项法则；去分母法则；去括号法则
【点评】
本题是解一元一次方程的基础题型，重点考查变形过程中的常见易错点，需要牢记各类变形的规则，尤其注意符号变化和不要漏乘项，掌握好本题知识点能有效减少解方程时的失误。
【难度系数】
0.8
2.《孙子算经》一道问题译文如下：“用绳子去量一根木材的长，绳子还余4.5尺，将绳子对折再量木材的长，绳子比木材的长短1尺，木材的长为多少尺？”若设木材的长为$x$尺，可得方程（
A.$x-4.5=2(x+1)$
B.$2(x+4.5)=x-1$
C.$2(x-4.5)=x+1$
D.$x+4.5=2(x-1)$
D
）A.$x-4.5=2(x+1)$
B.$2(x+4.5)=x-1$
C.$2(x-4.5)=x+1$
D.$x+4.5=2(x-1)$
答案
D
解析
【分析】
要列出符合题意的方程，首先需找到题目中的不变量：绳子的总长度是固定的。我们可以分别根据两种测量方式，用含木材长度x的式子表示出绳子的总长度，再令两个式子相等即可得到方程。首先第一次测量时绳子比木材长4.5尺，可直接得到绳子总长的表达式；第二次测量是绳子对折后测量，需先求出对折后绳子的长度，再乘以2得到绳子总长的另一个表达式，联立两个表达式即可。
【解析】
设木材的长为x尺：
1. 根据“用绳子量木材，绳子还余4.5尺”，可得绳子的总长度为：$x + 4.5$ 尺；
2. 根据“将绳子对折再量木材，绳子比木材短1尺”，可知对折后的绳子长度为$x - 1$尺，因此绳子的总长度为对折后长度的2倍，即：$2(x - 1)$ 尺；
3. 由于绳子总长度不变，因此可列方程：$x + 4.5 = 2(x - 1)$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程应用，等量关系确定
【点评】
本题是典型的利用一元一次方程解决实际测量的问题，解题的核心是抓住不变量建立等量关系，需要注意对折操作对应的数量关系，避免混淆两种测量方式中绳子和木材长度的大小关系。
【难度系数】
0.7
要列出符合题意的方程，首先需找到题目中的不变量：绳子的总长度是固定的。我们可以分别根据两种测量方式，用含木材长度x的式子表示出绳子的总长度，再令两个式子相等即可得到方程。首先第一次测量时绳子比木材长4.5尺，可直接得到绳子总长的表达式；第二次测量是绳子对折后测量，需先求出对折后绳子的长度，再乘以2得到绳子总长的另一个表达式，联立两个表达式即可。
【解析】
设木材的长为x尺：
1. 根据“用绳子量木材，绳子还余4.5尺”，可得绳子的总长度为：$x + 4.5$ 尺；
2. 根据“将绳子对折再量木材，绳子比木材短1尺”，可知对折后的绳子长度为$x - 1$尺，因此绳子的总长度为对折后长度的2倍，即：$2(x - 1)$ 尺；
3. 由于绳子总长度不变，因此可列方程：$x + 4.5 = 2(x - 1)$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程应用，等量关系确定
【点评】
本题是典型的利用一元一次方程解决实际测量的问题，解题的核心是抓住不变量建立等量关系，需要注意对折操作对应的数量关系，避免混淆两种测量方式中绳子和木材长度的大小关系。
【难度系数】
0.7
3. 下列结论：
① 若$x=1$是关于$x$的方程$a+bx+c=0$的一个解，则$a+b+c=0$；
② 若$a(x-1)=b(x-1)$有唯一的解，则$a≠b$；
③ 若$b=2a$，则关于$x$的方程$ax+b=0(a≠0)$的解为$x=-\dfrac{1}{2}$；
④ 若$-a+b+c=1$，且$a≠0$，则$x=-1$一定是方程$ax+b+c=1$的解；
其中正确的结论有
① 若$x=1$是关于$x$的方程$a+bx+c=0$的一个解，则$a+b+c=0$；
② 若$a(x-1)=b(x-1)$有唯一的解，则$a≠b$；
③ 若$b=2a$，则关于$x$的方程$ax+b=0(a≠0)$的解为$x=-\dfrac{1}{2}$；
④ 若$-a+b+c=1$，且$a≠0$，则$x=-1$一定是方程$ax+b+c=1$的解；
其中正确的结论有
①②④
(填序号)。答案
①②④
解析
【分析】
本题考查方程相关结论的判断，解题思路是结合方程的解的定义、一元一次方程解的情况，对4个结论逐一验证：①④可直接将未知数的值代入方程验证左右是否相等；②先整理方程，根据一元一次方程有唯一解的条件判断系数关系；③先求解方程再代入$b=2a$判断解是否正确。
【解析】
我们逐个分析每个结论：
① 把$x=1$代入方程$a+bx+c=0$，左边$=a+b×1+c=a+b+c$，右边$=0$，由方程的解的定义可知左右两边相等，即$a+b+c=0$，故①正确；
② 整理方程$a(x-1)=b(x-1)$，移项得$(a-b)(x-1)=0$，若方程有唯一解，则未知数的系数不能为0，即$a-b≠0$，也就是$a≠ b$，此时唯一解为$x=1$，故②正确；
③ 解关于$x$的方程$ax+b=0(a≠0)$，移项得$ax=-b$，解得$x=-\frac{b}{a}$，把$b=2a$代入得$x=-\frac{2a}{a}=-2$，不是$x=-\frac{1}{2}$，故③错误；
④ 把$x=-1$代入方程$ax+b+c=1$的左边，得$a×(-1)+b+c=-a+b+c$，已知$-a+b+c=1$，和右边相等，所以$x=-1$是方程的解，故④正确。
综上，正确的结论是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
方程的解的定义；一元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题需要结合方程的相关性质对每个结论逐一判断，重点考查代入验证的思想，注意分析一元一次方程解的情况时要关注系数是否为0，计算时要避免符号错误。
【难度系数】
0.6
本题考查方程相关结论的判断，解题思路是结合方程的解的定义、一元一次方程解的情况，对4个结论逐一验证：①④可直接将未知数的值代入方程验证左右是否相等；②先整理方程，根据一元一次方程有唯一解的条件判断系数关系；③先求解方程再代入$b=2a$判断解是否正确。
【解析】
我们逐个分析每个结论：
① 把$x=1$代入方程$a+bx+c=0$，左边$=a+b×1+c=a+b+c$，右边$=0$，由方程的解的定义可知左右两边相等，即$a+b+c=0$，故①正确；
② 整理方程$a(x-1)=b(x-1)$，移项得$(a-b)(x-1)=0$，若方程有唯一解，则未知数的系数不能为0，即$a-b≠0$，也就是$a≠ b$，此时唯一解为$x=1$，故②正确；
③ 解关于$x$的方程$ax+b=0(a≠0)$，移项得$ax=-b$，解得$x=-\frac{b}{a}$，把$b=2a$代入得$x=-\frac{2a}{a}=-2$，不是$x=-\frac{1}{2}$，故③错误；
④ 把$x=-1$代入方程$ax+b+c=1$的左边，得$a×(-1)+b+c=-a+b+c$，已知$-a+b+c=1$，和右边相等，所以$x=-1$是方程的解，故④正确。
综上，正确的结论是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
方程的解的定义；一元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题需要结合方程的相关性质对每个结论逐一判断，重点考查代入验证的思想，注意分析一元一次方程解的情况时要关注系数是否为0，计算时要避免符号错误。
【难度系数】
0.6
