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三、解答题(共35分)
14. (6分)将下列整式分类：
$a+b,\frac{x+y}{2},-a^2bc,0,\frac{x}{2},\frac{1}{π},-2x+1$
14. (6分)将下列整式分类：
$a+b,\frac{x+y}{2},-a^2bc,0,\frac{x}{2},\frac{1}{π},-2x+1$
答案
14.
解析
【分析】
要完成整式分类，首先要明确单项式、多项式的定义，再逐个对给出的式子进行判断。首先回忆概念：单项式是数与字母的乘积，单独的数或字母也属于单项式；多项式是几个单项式的和。之后逐个排查式子，将符合单项式定义的归入单项式集合，剩余符合多项式定义的归入多项式集合即可，注意π是常数，不是字母，判断时不要混淆。
【解析】
首先明确相关定义：
1. 单项式：由数与字母的积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式；
2. 多项式：几个单项式的和叫做多项式。
接下来逐个判断给出的整式：
$-a^2bc$是数$-1$与字母$a^2bc$的乘积，属于单项式；
$0$是单独的常数，属于单项式；
$\frac{x}{2}$是数$\frac{1}{2}$与字母$x$的乘积，属于单项式；
$\frac{1}{π}$中$π$是常数，因此$\frac{1}{π}$是单独的常数，属于单项式；
$a+b$是单项式$a$和$b$的和，属于多项式；
$\frac{x+y}{2}$可变形为$\frac{x}{2}+\frac{y}{2}$，是两个单项式的和，属于多项式；
$-2x+1$是单项式$-2x$和$1$的和，属于多项式。
将上述判断结果填入对应圈中即可。
【答案】
【知识点】
单项式的定义，多项式的定义，整式的分类
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是准确掌握单项式和多项式的概念，解题时要注意π为常数，不要将其当作字母判断，避免分类出错。
【难度系数】
0.8
要完成整式分类，首先要明确单项式、多项式的定义，再逐个对给出的式子进行判断。首先回忆概念：单项式是数与字母的乘积，单独的数或字母也属于单项式；多项式是几个单项式的和。之后逐个排查式子，将符合单项式定义的归入单项式集合，剩余符合多项式定义的归入多项式集合即可，注意π是常数，不是字母，判断时不要混淆。
【解析】
首先明确相关定义：
1. 单项式：由数与字母的积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式；
2. 多项式：几个单项式的和叫做多项式。
接下来逐个判断给出的整式：
$-a^2bc$是数$-1$与字母$a^2bc$的乘积，属于单项式；
$0$是单独的常数，属于单项式；
$\frac{x}{2}$是数$\frac{1}{2}$与字母$x$的乘积，属于单项式；
$\frac{1}{π}$中$π$是常数，因此$\frac{1}{π}$是单独的常数，属于单项式；
$a+b$是单项式$a$和$b$的和，属于多项式；
$\frac{x+y}{2}$可变形为$\frac{x}{2}+\frac{y}{2}$，是两个单项式的和，属于多项式；
$-2x+1$是单项式$-2x$和$1$的和，属于多项式。
将上述判断结果填入对应圈中即可。
【答案】
【知识点】
单项式的定义，多项式的定义，整式的分类
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是准确掌握单项式和多项式的概念，解题时要注意π为常数，不要将其当作字母判断，避免分类出错。
【难度系数】
0.8
15. (9分)已知代数式$(x+y)^2$和$x^2+2xy+y^2$。
(1)当$x=-2,y=3$时，分别计算这两个代数式的值。
(2)当$x=1,y=-4$时，分别计算这两个代数式的值。
(3)猜想：$(x+y)^2$和$x^2+2xy+y^2$有什么关系？
(1)当$x=-2,y=3$时，分别计算这两个代数式的值。
(2)当$x=1,y=-4$时，分别计算这两个代数式的值。
(3)猜想：$(x+y)^2$和$x^2+2xy+y^2$有什么关系？
答案
15. 解:(1)当$x=-2,y=3$时，
$(x+y)^2=(-2+3)^2=1$，
$x^2+2xy+y^2=(-2)^2+2×(-2)×3+3^2=4-12+9=1$。
(2)当$x=1,y=-4$时，
$(x+y)^2=(1-4)^2=9$，
$x^2+2xy+y^2=1^2+2×1×(-4)+(-4)^2=1-8+16=9$。
(3)根据(1)(2)的计算结果，猜想$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$。
$(x+y)^2=(-2+3)^2=1$，
$x^2+2xy+y^2=(-2)^2+2×(-2)×3+3^2=4-12+9=1$。
(2)当$x=1,y=-4$时，
$(x+y)^2=(1-4)^2=9$，
$x^2+2xy+y^2=1^2+2×1×(-4)+(-4)^2=1-8+16=9$。
(3)根据(1)(2)的计算结果，猜想$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$。
解析
【分析】
（1）（2）问属于代数式求值问题，解题时只需将对应x、y的取值分别代入两个代数式，遵循“先算括号内，再算乘方，后算乘除，最后算加减”的运算顺序计算结果即可；（3）问通过对比前两问两个代数式的计算结果，发现它们的值均对应相等，即可猜想出二者的等量关系。
【解析】
(1) 当$x=-2,y=3$时，
$(x+y)^2=(-2+3)^2=1^2=1$，
$x^2+2xy+y^2=(-2)^2+2×(-2)×3+3^2=4-12+9=1$。
(2) 当$x=1,y=-4$时，
$(x+y)^2=(1-4)^2=(-3)^2=9$，
$x^2+2xy+y^2=1^2+2×1×(-4)+(-4)^2=1-8+16=9$。
(3) 观察（1）（2）的计算结果，两组取值下两个代数式的值都相等，因此猜想两个代数式的关系为：$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$。
【答案】
(1) $(x+y)^2$的值为1，$x^2+2xy+y^2$的值为1；
(2) $(x+y)^2$的值为9，$x^2+2xy+y^2$的值为9；
(3) $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$
【知识点】
代数式求值、有理数混合运算、完全平方公式
【点评】
本题立足基础运算，通过代入不同值计算的方式引导学生探究完全平方公式，既考查了有理数运算、代数式求值的基本技能，也渗透了从特殊到一般的归纳探究思想，计算时注意符号处理即可得分。
【难度系数】
0.85
（1）（2）问属于代数式求值问题，解题时只需将对应x、y的取值分别代入两个代数式，遵循“先算括号内，再算乘方，后算乘除，最后算加减”的运算顺序计算结果即可；（3）问通过对比前两问两个代数式的计算结果，发现它们的值均对应相等，即可猜想出二者的等量关系。
【解析】
(1) 当$x=-2,y=3$时，
$(x+y)^2=(-2+3)^2=1^2=1$，
$x^2+2xy+y^2=(-2)^2+2×(-2)×3+3^2=4-12+9=1$。
(2) 当$x=1,y=-4$时，
$(x+y)^2=(1-4)^2=(-3)^2=9$，
$x^2+2xy+y^2=1^2+2×1×(-4)+(-4)^2=1-8+16=9$。
(3) 观察（1）（2）的计算结果，两组取值下两个代数式的值都相等，因此猜想两个代数式的关系为：$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$。
【答案】
(1) $(x+y)^2$的值为1，$x^2+2xy+y^2$的值为1；
(2) $(x+y)^2$的值为9，$x^2+2xy+y^2$的值为9；
(3) $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$
【知识点】
代数式求值、有理数混合运算、完全平方公式
【点评】
本题立足基础运算，通过代入不同值计算的方式引导学生探究完全平方公式，既考查了有理数运算、代数式求值的基本技能，也渗透了从特殊到一般的归纳探究思想，计算时注意符号处理即可得分。
【难度系数】
0.85
16. (10分)如图,在一个底为a,高为h的三角形铁皮上剪去一个半径为r的半圆。
(1)用含a,h,r的代数式表示剩下铁皮(阴影部分)的面积S。
(2)请求出当a=10,h=8,r=2时,S的值。(π取3.14)
(1)用含a,h,r的代数式表示剩下铁皮(阴影部分)的面积S。
(2)请求出当a=10,h=8,r=2时,S的值。(π取3.14)
答案
16. 解:(1)由题意可得，$S=S_{三角形}-S_{半圆}=\frac{1}{2}ah-\frac{1}{2}π r^2$。
(2)当$a=10,h=8,r=2$时，
$S=\frac{1}{2}ah-\frac{1}{2}π r^2=\frac{1}{2}×10×8-\frac{1}{2}π×2^2=40-2π=33.72$。
(2)当$a=10,h=8,r=2$时，
$S=\frac{1}{2}ah-\frac{1}{2}π r^2=\frac{1}{2}×10×8-\frac{1}{2}π×2^2=40-2π=33.72$。
解析
【分析】
要计算阴影部分的面积，首先观察图形可知，阴影部分面积等于三角形的面积减去内部挖去的半圆的面积。先回忆三角形和半圆的面积公式，分别写出两个图形的面积表达式后作差，即可得到第一问的代数式；第二问直接把给定的数值代入第一问得到的代数式，按照运算顺序计算就能求出S的具体值。
【解析】
(1) 根据面积公式，底为a、高为h的三角形面积为$\frac{1}{2}ah$；半径为r的半圆面积是整圆面积的一半，即$\frac{1}{2}πr^2$。
阴影部分面积为三角形面积减去半圆面积，因此可得：
$S=S_{三角形}-S_{半圆}=\frac{1}{2}ah-\frac{1}{2}πr^2$
(2) 把$a=10,h=8,r=2$，$π=3.14$代入上述代数式：
$S=\frac{1}{2}×10×8-\frac{1}{2}×3.14×2^2$
$=40-\frac{1}{2}×3.14×4$
$=40-6.28$
$=33.72$
【答案】
(1) $S=\frac{1}{2}ah-\frac{1}{2}πr^2$
(2) $33.72$
【知识点】
三角形面积计算，半圆面积计算，代数式求值
【点评】
本题属于基础的组合图形面积计算类题目，解题关键是明确阴影部分面积的构成，熟练掌握常见平面图形的面积公式，代入数值计算时注意运算顺序，不要漏乘半圆面积对应的$\frac{1}{2}$。
【难度系数】
0.8
要计算阴影部分的面积，首先观察图形可知，阴影部分面积等于三角形的面积减去内部挖去的半圆的面积。先回忆三角形和半圆的面积公式，分别写出两个图形的面积表达式后作差，即可得到第一问的代数式；第二问直接把给定的数值代入第一问得到的代数式，按照运算顺序计算就能求出S的具体值。
【解析】
(1) 根据面积公式，底为a、高为h的三角形面积为$\frac{1}{2}ah$；半径为r的半圆面积是整圆面积的一半，即$\frac{1}{2}πr^2$。
阴影部分面积为三角形面积减去半圆面积，因此可得：
$S=S_{三角形}-S_{半圆}=\frac{1}{2}ah-\frac{1}{2}πr^2$
(2) 把$a=10,h=8,r=2$，$π=3.14$代入上述代数式：
$S=\frac{1}{2}×10×8-\frac{1}{2}×3.14×2^2$
$=40-\frac{1}{2}×3.14×4$
$=40-6.28$
$=33.72$
【答案】
(1) $S=\frac{1}{2}ah-\frac{1}{2}πr^2$
(2) $33.72$
【知识点】
三角形面积计算，半圆面积计算，代数式求值
【点评】
本题属于基础的组合图形面积计算类题目，解题关键是明确阴影部分面积的构成，熟练掌握常见平面图形的面积公式，代入数值计算时注意运算顺序，不要漏乘半圆面积对应的$\frac{1}{2}$。
【难度系数】
0.8
17. (10分)小红同学在学习过程中遇到这样一道题:计算$4×3.14^2 - 4×3.14×3.28 + 3.28^2$。她觉得太麻烦,估计应该有可以简化计算的方法,就去请教老师。老师说:"你解决下面的问题后可能就知道该如何简化计算啦!"请你和小红一起解答老师提供的问题。
(1)填写下表。
(2)观察表格,你发现A与B有什么关系?
(3)请结合上述的有关信息,计算:
$4×3.14^2 - 4×3.14×3.28 + 3.28^2$。
(1)填写下表。
(2)观察表格,你发现A与B有什么关系?
(3)请结合上述的有关信息,计算:
$4×3.14^2 - 4×3.14×3.28 + 3.28^2$。
答案
17. 解:(1)当$x=3,y=2$时，
$B=4x^2-4xy+y^2=4×3^2-4×3×2+2^2=16$；
当$x=1,y=1$时，
$B=4x^2-4xy+y^2=4×1^2-4×1×1+1^2=1$；
当$x=5,y=3$时，
$B=4x^2-4xy+y^2=4×5^2-4×5×3+3^2=49$。
故答案为:16;1;49。
(2)$B=A^2$。
(3)$4×3.14^2-4×3.14×3.28+3.28^2=(2×3.14-3.28)^2=9$。
$B=4x^2-4xy+y^2=4×3^2-4×3×2+2^2=16$；
当$x=1,y=1$时，
$B=4x^2-4xy+y^2=4×1^2-4×1×1+1^2=1$；
当$x=5,y=3$时，
$B=4x^2-4xy+y^2=4×5^2-4×5×3+3^2=49$。
故答案为:16;1;49。
(2)$B=A^2$。
(3)$4×3.14^2-4×3.14×3.28+3.28^2=(2×3.14-3.28)^2=9$。
解析
【分析】
本题共3个小问，解题思路逐步递进：①第(1)问是代数式代入求值，只需将每组对应的x、y值代入B的表达式，按照先乘方、再乘除、最后加减的顺序计算即可；②第(2)问先对比每组A和B的数值，会发现每组B的值都是A的平方，也可以结合完全平方公式对B因式分解，验证得到B=(2x-y)²=A²；③第(3)问直接套用第(2)问发现的规律，把待计算的式子看成B的形式，对应找到A=2×3.14 - 3.28，计算A的平方即可，避免复杂的小数运算。
【解析】
(1) 分别代入x、y的值计算B：
当x=3，y=2时，$B=4x^2-4xy+y^2=4×3^2-4×3×2+2^2=36-24+4=16$；
当x=1，y=1时，$B=4x^2-4xy+y^2=4×1^2-4×1×1+1^2=4-4+1=1$；
当x=5，y=3时，$B=4x^2-4xy+y^2=4×5^2-4×5×3+3^2=100-60+9=49$。
(2) 观察每组A、B的数值：$(-3)^2=9$，$2^2=4$，$4^2=16$，$1^2=1$，$7^2=49$，可得关系：$\boldsymbol{B=A^2}$。
(3) 待计算的式子符合B的结构，对应A=2×3.14 - 3.28，因此：
$4×3.14^2 - 4×3.14×3.28 + 3.28^2=(2×3.14 - 3.28)^2=(6.28-3.28)^2=3^2=9$。
【答案】
(1) 16；1；49
(2) $B=A^2$
(3) 9
【知识点】
代数式求值，完全平方公式，简便运算
【点评】
本题采用阶梯式设问，从基础的整式计算出发，引导学生自主探究代数式之间的规律，再将规律应用到复杂运算中，既考查了整式运算的基础能力，又锻炼了观察归纳、知识迁移的能力，能帮助学生理解利用公式简化运算的思路。
【难度系数】
0.8
本题共3个小问，解题思路逐步递进：①第(1)问是代数式代入求值，只需将每组对应的x、y值代入B的表达式，按照先乘方、再乘除、最后加减的顺序计算即可；②第(2)问先对比每组A和B的数值，会发现每组B的值都是A的平方，也可以结合完全平方公式对B因式分解，验证得到B=(2x-y)²=A²；③第(3)问直接套用第(2)问发现的规律，把待计算的式子看成B的形式，对应找到A=2×3.14 - 3.28，计算A的平方即可，避免复杂的小数运算。
【解析】
(1) 分别代入x、y的值计算B：
当x=3，y=2时，$B=4x^2-4xy+y^2=4×3^2-4×3×2+2^2=36-24+4=16$；
当x=1，y=1时，$B=4x^2-4xy+y^2=4×1^2-4×1×1+1^2=4-4+1=1$；
当x=5，y=3时，$B=4x^2-4xy+y^2=4×5^2-4×5×3+3^2=100-60+9=49$。
(2) 观察每组A、B的数值：$(-3)^2=9$，$2^2=4$，$4^2=16$，$1^2=1$，$7^2=49$，可得关系：$\boldsymbol{B=A^2}$。
(3) 待计算的式子符合B的结构，对应A=2×3.14 - 3.28，因此：
$4×3.14^2 - 4×3.14×3.28 + 3.28^2=(2×3.14 - 3.28)^2=(6.28-3.28)^2=3^2=9$。
【答案】
(1) 16；1；49
(2) $B=A^2$
(3) 9
【知识点】
代数式求值，完全平方公式，简便运算
【点评】
本题采用阶梯式设问，从基础的整式计算出发，引导学生自主探究代数式之间的规律，再将规律应用到复杂运算中，既考查了整式运算的基础能力，又锻炼了观察归纳、知识迁移的能力，能帮助学生理解利用公式简化运算的思路。
【难度系数】
0.8
