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10.(河北省中考)若一元二次方程$x(x+2)-3=0$的两根之和与两根之积分别为$m,n$,则点$(m,n)$在平面直角坐标系中位于（
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
C
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
10.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确解题步骤：第一步先将给定的一元二次方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，确定各项系数$a、b、c$的值；第二步利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），计算两根之和$m$与两根之积$n$；第三步根据平面直角坐标系各象限内点的坐标符号特征，判断点$(m,n)$所在的象限。
【解析】
首先将原方程化为一般形式：
展开$x(x+2)-3=0$，得$x^2 + 2x - 3 = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=-3$。
根据韦达定理，一元二次方程两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，因此：
两根之和$m=-\frac{b}{a}=-\frac{2}{1}=-2$
两根之积$n=\frac{c}{a}=\frac{-3}{1}=-3$
得到点的坐标为$(-2,-3)$，横、纵坐标均为负数，符合第三象限内点的坐标符号特征，因此该点位于第三象限。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于基础综合题，解题关键是先将方程化为一般形式，准确识别各项系数，再正确套用韦达定理计算，结合象限符号规则即可快速判断结果。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需明确解题步骤：第一步先将给定的一元二次方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，确定各项系数$a、b、c$的值；第二步利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），计算两根之和$m$与两根之积$n$；第三步根据平面直角坐标系各象限内点的坐标符号特征，判断点$(m,n)$所在的象限。
【解析】
首先将原方程化为一般形式：
展开$x(x+2)-3=0$，得$x^2 + 2x - 3 = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=-3$。
根据韦达定理，一元二次方程两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，因此：
两根之和$m=-\frac{b}{a}=-\frac{2}{1}=-2$
两根之积$n=\frac{c}{a}=\frac{-3}{1}=-3$
得到点的坐标为$(-2,-3)$，横、纵坐标均为负数，符合第三象限内点的坐标符号特征，因此该点位于第三象限。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于基础综合题，解题关键是先将方程化为一般形式，准确识别各项系数，再正确套用韦达定理计算，结合象限符号规则即可快速判断结果。
【难度系数】
0.8
11. 在解一元二次方程$x^2+px+q=0$时，小红看错了常数项$q$，得到方程的两个根是－3，1. 小明看错了一次项系数$p$，得到方程的两个根是5，－4. 则原来的方程是（
A. $x^2+2x-3=0$
B. $x^2+2x-20=0$
C. $x^2-2x-20=0$
D. $x^2-2x-3=0$
B
）A. $x^2+2x-3=0$
B. $x^2+2x-20=0$
C. $x^2-2x-20=0$
D. $x^2-2x-3=0$
答案
11.B
解析
【分析】
解题的核心是利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），明确看错某一系数时，另一系数对应的结论仍然成立：小红仅看错常数项$q$，说明她得到的方程的一次项系数$p$是正确的，因此可以用她的两根计算两根之和求出$p$；小明仅看错一次项系数$p$，说明他得到的方程的常数项$q$是正确的，因此可以用他的两根计算两根之积求出$q$，最后代入原方程即可得到答案。
【解析】
对于一元二次方程$x^2+px+q=0$，若两根为$x_1$、$x_2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-p$，$x_1x_2=q$
1. 求一次项系数$p$：
小红看错了$q$，但$p$是正确的，她得到的两根为-3和1，因此两根和为：
$-3+1=-2=-p$
解得$p=2$
2. 求常数项$q$：
小明看错了$p$，但$q$是正确的，他得到的两根为5和-4，因此两根积为：
$5×(-4)=-20=q$
解得$q=-20$
将$p=2$、$q=-20$代入原方程，得$x^2+2x-20=0$
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 韦达定理的应用
【点评】
本题是韦达定理的典型应用题型，解题的关键是理清“看错某一系数时，另一系数对应的根的和或积仍然正确”的逻辑，注意计算两根和时的符号问题，避免因符号混淆出错。
【难度系数】
0.7
解题的核心是利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），明确看错某一系数时，另一系数对应的结论仍然成立：小红仅看错常数项$q$，说明她得到的方程的一次项系数$p$是正确的，因此可以用她的两根计算两根之和求出$p$；小明仅看错一次项系数$p$，说明他得到的方程的常数项$q$是正确的，因此可以用他的两根计算两根之积求出$q$，最后代入原方程即可得到答案。
【解析】
对于一元二次方程$x^2+px+q=0$，若两根为$x_1$、$x_2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-p$，$x_1x_2=q$
1. 求一次项系数$p$：
小红看错了$q$，但$p$是正确的，她得到的两根为-3和1，因此两根和为：
$-3+1=-2=-p$
解得$p=2$
2. 求常数项$q$：
小明看错了$p$，但$q$是正确的，他得到的两根为5和-4，因此两根积为：
$5×(-4)=-20=q$
解得$q=-20$
将$p=2$、$q=-20$代入原方程，得$x^2+2x-20=0$
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 韦达定理的应用
【点评】
本题是韦达定理的典型应用题型，解题的关键是理清“看错某一系数时，另一系数对应的根的和或积仍然正确”的逻辑，注意计算两根和时的符号问题，避免因符号混淆出错。
【难度系数】
0.7
12.已知$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2 - 3x -5=0$的两个实数根，则$(x_1 - x_2)^2 + 3x_1x_2$的值是
14
。答案
12.14
解析
【分析】
解题时首先回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先根据方程求出两根之和与两根之积；再将所求代数式利用完全平方公式变形，转化为含有两根之和、两根之积的形式，最后整体代入数值计算即可，无需单独求解方程的两个根，可简化计算过程。
【解析】
解：
∵$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2 - 3x -5=0$的两个实数根
∴根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = 3$，$x_1x_2 = -5$
对所求代数式变形：
$(x_1 - x_2)^2 + 3x_1x_2$
$=(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 + 3x_1x_2$
$=(x_1 + x_2)^2 - x_1x_2$
将$x_1 + x_2 = 3$，$x_1x_2 = -5$代入得：
原式$=3^2 - (-5) = 9 + 5 = 14$
【答案】
14
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式变形，代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的典型基础题，解题核心是利用完全平方公式将所求代数式转化为可整体代入两根和、两根积的形式，避免解方程求根的繁琐运算，考查整体代入的思想。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先根据方程求出两根之和与两根之积；再将所求代数式利用完全平方公式变形，转化为含有两根之和、两根之积的形式，最后整体代入数值计算即可，无需单独求解方程的两个根，可简化计算过程。
【解析】
解：
∵$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2 - 3x -5=0$的两个实数根
∴根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = 3$，$x_1x_2 = -5$
对所求代数式变形：
$(x_1 - x_2)^2 + 3x_1x_2$
$=(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 + 3x_1x_2$
$=(x_1 + x_2)^2 - x_1x_2$
将$x_1 + x_2 = 3$，$x_1x_2 = -5$代入得：
原式$=3^2 - (-5) = 9 + 5 = 14$
【答案】
14
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式变形，代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的典型基础题，解题核心是利用完全平方公式将所求代数式转化为可整体代入两根和、两根积的形式，避免解方程求根的繁琐运算，考查整体代入的思想。
【难度系数】
0.8
13.已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - (2m - 1)x - 3m^2 + m = 0$.
(1)求证:无论$m$为何值,方程总有实数根;
(2)若$x_1,x_2$是方程的两个实数根,且$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = -\frac{5}{2}$,求$m$的值.
(1)求证:无论$m$为何值,方程总有实数根;
(2)若$x_1,x_2$是方程的两个实数根,且$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = -\frac{5}{2}$,求$m$的值.
答案
13. (1)证明: $\because \Delta = [-(2m - 1)]^2 - 4(-3m^2 + m) = 16m^2 - 8m + 1 = (4m - 1)^2 \ge 0, \therefore$无论$m$为何值,方程总有实数根.
(2)解: 由根与系数的关系得 $x_1 + x_2 = 2m - 1, x_1 x_2 = -3m^2 + m. \because \frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 x_2} = \frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2}{x_1 x_2} = \frac{(x_1 + x_2)^2}{x_1 x_2} - 2. \therefore \frac{(2m - 1)^2}{-3m^2 + m} - 2 = -\frac{5}{2},$ 整理,得$5m^2 - 7m + 2 = 0,$ 解得 $m = 1$ 或 $m = \frac{2}{5}$(结果已检验).
(2)解: 由根与系数的关系得 $x_1 + x_2 = 2m - 1, x_1 x_2 = -3m^2 + m. \because \frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 x_2} = \frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2}{x_1 x_2} = \frac{(x_1 + x_2)^2}{x_1 x_2} - 2. \therefore \frac{(2m - 1)^2}{-3m^2 + m} - 2 = -\frac{5}{2},$ 整理,得$5m^2 - 7m + 2 = 0,$ 解得 $m = 1$ 或 $m = \frac{2}{5}$(结果已检验).
解析
【分析】
(1)要证明无论$m$取何值一元二次方程总有实数根，只需计算方程的根的判别式$\Delta$，证明$\Delta$恒大于等于0即可。(2)已知方程两根的分式关系，首先利用根与系数的关系写出两根之和、两根之积的表达式，再将待求的分式通分、通过完全平方公式变形为用两根之和、两根之积表示的形式，代入已知条件列方程求解$m$，最后检验解是否满足分母不为0的要求即可。
【解析】
(1)证明：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a\ne0)$，根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，
本题中$a=1,b=-(2m-1),c=-3m^2+m$，
$\therefore \Delta = [-(2m - 1)]^2 - 4×1×(-3m^2 + m)$
$=4m^2-4m+1 +12m^2-4m$
$= 16m^2 - 8m + 1$
$= (4m - 1)^2$
$\because$ 任何数的平方都是非负数，即$(4m-1)^2\ge 0$，
$\therefore$ 无论$m$为何值，方程总有实数根。
(2)解：根据一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1 + x_2 = 2m - 1$，$x_1 x_2 = -3m^2 + m$，
对$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2}$变形：
$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 x_2} = \frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2}{x_1 x_2} = \frac{(x_1 + x_2)^2}{x_1 x_2} - 2$，
代入已知条件$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = -\frac{5}{2}$，得：
$\frac{(2m - 1)^2}{-3m^2 + m} - 2 = -\frac{5}{2}$，
去分母整理得$5m^2 - 7m + 2 = 0$，
因式分解得$(5m-2)(m-1)=0$，
解得 $m = 1$ 或 $m = \frac{2}{5}$，
检验：当$m=1$时，$x_1x_2=-2\ne0$；当$m=\frac{2}{5}$时，$x_1x_2=-\frac{2}{25}\ne0$，均符合题意。
【答案】
(1)无论$m$为何值，方程总有实数根；(2)$m$的值为$1$或$\frac{2}{5}$
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式 2.根与系数的关系 3.解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程的综合基础题，第一问核心是掌握判别式判断根的情况的方法，第二问需要熟练掌握两根代数式的变形技巧，结合韦达定理建立方程求解，注意求解后要检验分式的分母不为0，避免出现增根。
【难度系数】
0.65
(1)要证明无论$m$取何值一元二次方程总有实数根，只需计算方程的根的判别式$\Delta$，证明$\Delta$恒大于等于0即可。(2)已知方程两根的分式关系，首先利用根与系数的关系写出两根之和、两根之积的表达式，再将待求的分式通分、通过完全平方公式变形为用两根之和、两根之积表示的形式，代入已知条件列方程求解$m$，最后检验解是否满足分母不为0的要求即可。
【解析】
(1)证明：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a\ne0)$，根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，
本题中$a=1,b=-(2m-1),c=-3m^2+m$，
$\therefore \Delta = [-(2m - 1)]^2 - 4×1×(-3m^2 + m)$
$=4m^2-4m+1 +12m^2-4m$
$= 16m^2 - 8m + 1$
$= (4m - 1)^2$
$\because$ 任何数的平方都是非负数，即$(4m-1)^2\ge 0$，
$\therefore$ 无论$m$为何值，方程总有实数根。
(2)解：根据一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1 + x_2 = 2m - 1$，$x_1 x_2 = -3m^2 + m$，
对$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2}$变形：
$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 x_2} = \frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2}{x_1 x_2} = \frac{(x_1 + x_2)^2}{x_1 x_2} - 2$，
代入已知条件$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = -\frac{5}{2}$，得：
$\frac{(2m - 1)^2}{-3m^2 + m} - 2 = -\frac{5}{2}$，
去分母整理得$5m^2 - 7m + 2 = 0$，
因式分解得$(5m-2)(m-1)=0$，
解得 $m = 1$ 或 $m = \frac{2}{5}$，
检验：当$m=1$时，$x_1x_2=-2\ne0$；当$m=\frac{2}{5}$时，$x_1x_2=-\frac{2}{25}\ne0$，均符合题意。
【答案】
(1)无论$m$为何值，方程总有实数根；(2)$m$的值为$1$或$\frac{2}{5}$
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式 2.根与系数的关系 3.解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程的综合基础题，第一问核心是掌握判别式判断根的情况的方法，第二问需要熟练掌握两根代数式的变形技巧，结合韦达定理建立方程求解，注意求解后要检验分式的分母不为0，避免出现增根。
【难度系数】
0.65
14.(核心素养·推理能力)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - (m+2)x + 2m = 0$.
(1)求证:无论$m$取何值,方程总有两个实数根;
(2)如果方程的两个实数根分别为$x_1$、$x_2$,且$(x_1 + 2)(x_2 + 2)=18$,求$m$的值;
(3)如果方程的两个实数根分别为$x_1$、$x_2$,且等腰三角形的三边长分别为$x_1$、$x_2$、3,求$m$的值.
(1)求证:无论$m$取何值,方程总有两个实数根;
(2)如果方程的两个实数根分别为$x_1$、$x_2$,且$(x_1 + 2)(x_2 + 2)=18$,求$m$的值;
(3)如果方程的两个实数根分别为$x_1$、$x_2$,且等腰三角形的三边长分别为$x_1$、$x_2$、3,求$m$的值.
答案
14. (1)证明: $\Delta = b^2 - 4ac = [-(m + 2)]^2 - 4×2m = (m - 2)^2 \ge 0, \therefore$无论$m$取何值,方程总有两个实数根；
(2)解: 根据题意,得 $x_1 + x_2 = m + 2, x_1 x_2 = 2m, \because (x_1 + 2)(x_2 + 2) = 18, \therefore x_1 x_2 + 2(x_1 + x_2) + 4 = 18,$ 即 $2m + 2(m + 2) + 4 = 18,$ 整理,得 $4m = 10,$ 解得 $m = \frac{5}{2}$；
(3)解: 根据题意,得 ①当 $x_1 = 3$ 时, $0 ＜ x_2 ＜ 6, \because x_1、x_2$ 是方程的两个实数根, $\therefore 3 + x_2 = m + 2, 3x_2 = 2m, \therefore 3(m - 1) = 2m,$ 解得 $m = 3,$ 此时 $x_2 = 2,$ 符合题意；同理: 当 $x_2 = 3$ 时, $m = 3,$ 此时 $x_1 = 2,$ 符合题意；②当 $x_1 = x_2$ 时, 即 $b^2 - 4ac = 0,$ 由(1)可知此时 $m = 2,$ 此时方程的解为 $x_1 = x_2 = 2,$ 符合题意. 综上所述,$m$ 的值为 3 或 2.
(2)解: 根据题意,得 $x_1 + x_2 = m + 2, x_1 x_2 = 2m, \because (x_1 + 2)(x_2 + 2) = 18, \therefore x_1 x_2 + 2(x_1 + x_2) + 4 = 18,$ 即 $2m + 2(m + 2) + 4 = 18,$ 整理,得 $4m = 10,$ 解得 $m = \frac{5}{2}$；
(3)解: 根据题意,得 ①当 $x_1 = 3$ 时, $0 ＜ x_2 ＜ 6, \because x_1、x_2$ 是方程的两个实数根, $\therefore 3 + x_2 = m + 2, 3x_2 = 2m, \therefore 3(m - 1) = 2m,$ 解得 $m = 3,$ 此时 $x_2 = 2,$ 符合题意；同理: 当 $x_2 = 3$ 时, $m = 3,$ 此时 $x_1 = 2,$ 符合题意；②当 $x_1 = x_2$ 时, 即 $b^2 - 4ac = 0,$ 由(1)可知此时 $m = 2,$ 此时方程的解为 $x_1 = x_2 = 2,$ 符合题意. 综上所述,$m$ 的值为 3 或 2.
解析
【分析】
(1)要证明一元二次方程总有两个实数根，只需证明根的判别式$\Delta\ge0$恒成立，先确定方程的各项系数，代入判别式公式化简，判断其取值范围即可。
(2)已知含两根的等式求参数$m$，可利用根与系数的关系（韦达定理），先写出两根和、两根积的表达式，再将给定等式展开，代入两根和、两根积的表达式，得到关于$m$的方程，解方程即可。
(3)已知等腰三角形三边长为方程两根和3，需分类讨论：①3为腰长，即其中一个根为3，代入方程结合韦达定理求$m$，再验证是否满足三角形三边关系；②3为底边长，即两根相等（两腰相等），此时$\Delta=0$，求出$m$后再验证三边关系，最后汇总符合条件的$m$值。
【解析】
(1)证明：在方程$x^2 - (m+2)x + 2m = 0$中，$a=1$，$b=-(m+2)$，$c=2m$，
则判别式$\Delta = b^2 - 4ac = [-(m + 2)]^2 - 4×1×2m = (m - 2)^2$，
∵无论$m$取何值，$(m-2)^2\ge0$恒成立，即$\Delta\ge0$，
∴无论$m$取何值，方程总有两个实数根。
(2)解：根据根与系数的关系得：
$x_1 + x_2 = m + 2$，$x_1 x_2 = 2m$，
∵$(x_1 + 2)(x_2 + 2) = 18$，
展开得$x_1 x_2 + 2(x_1 + x_2) + 4 = 18$，
将$x_1 + x_2 = m + 2$、$x_1 x_2 = 2m$代入上式得：
$2m + 2(m + 2) + 4 = 18$，
整理得$4m = 10$，
解得$m = \frac{5}{2}$。
(3)解：分两种情况讨论：
①当3为腰长时，即$x_1=3$或$x_2=3$，
将$x=3$代入原方程得$9 - 3(m+2) + 2m = 0$，解得$m=3$，
此时方程为$x^2 -5x +6=0$，两根为2和3，三边长为2、3、3，满足三角形三边关系，符合题意；
②当3为底边长时，即$x_1=x_2$，此时$\Delta=(m-2)^2=0$，解得$m=2$，
此时方程为$x^2 -4x +4=0$，两根都为2，三边长为2、2、3，满足三角形三边关系，符合题意。
综上，$m$的值为2或3。
【答案】
(1)无论$m$取何值，方程总有两个实数根，证明成立；
(2)$m=\frac{5}{2}$；
(3)$m$的值为2或3。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 等腰三角形的性质
【点评】
本题是一元二次方程和几何的综合题，既考查了一元二次方程的相关计算，也考查了分类讨论思想的应用，解题时要注意对等腰三角形的腰和底分类，同时需验证三边是否满足三角形三边关系，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6
(1)要证明一元二次方程总有两个实数根，只需证明根的判别式$\Delta\ge0$恒成立，先确定方程的各项系数，代入判别式公式化简，判断其取值范围即可。
(2)已知含两根的等式求参数$m$，可利用根与系数的关系（韦达定理），先写出两根和、两根积的表达式，再将给定等式展开，代入两根和、两根积的表达式，得到关于$m$的方程，解方程即可。
(3)已知等腰三角形三边长为方程两根和3，需分类讨论：①3为腰长，即其中一个根为3，代入方程结合韦达定理求$m$，再验证是否满足三角形三边关系；②3为底边长，即两根相等（两腰相等），此时$\Delta=0$，求出$m$后再验证三边关系，最后汇总符合条件的$m$值。
【解析】
(1)证明：在方程$x^2 - (m+2)x + 2m = 0$中，$a=1$，$b=-(m+2)$，$c=2m$，
则判别式$\Delta = b^2 - 4ac = [-(m + 2)]^2 - 4×1×2m = (m - 2)^2$，
∵无论$m$取何值，$(m-2)^2\ge0$恒成立，即$\Delta\ge0$，
∴无论$m$取何值，方程总有两个实数根。
(2)解：根据根与系数的关系得：
$x_1 + x_2 = m + 2$，$x_1 x_2 = 2m$，
∵$(x_1 + 2)(x_2 + 2) = 18$，
展开得$x_1 x_2 + 2(x_1 + x_2) + 4 = 18$，
将$x_1 + x_2 = m + 2$、$x_1 x_2 = 2m$代入上式得：
$2m + 2(m + 2) + 4 = 18$，
整理得$4m = 10$，
解得$m = \frac{5}{2}$。
(3)解：分两种情况讨论：
①当3为腰长时，即$x_1=3$或$x_2=3$，
将$x=3$代入原方程得$9 - 3(m+2) + 2m = 0$，解得$m=3$，
此时方程为$x^2 -5x +6=0$，两根为2和3，三边长为2、3、3，满足三角形三边关系，符合题意；
②当3为底边长时，即$x_1=x_2$，此时$\Delta=(m-2)^2=0$，解得$m=2$，
此时方程为$x^2 -4x +4=0$，两根都为2，三边长为2、2、3，满足三角形三边关系，符合题意。
综上，$m$的值为2或3。
【答案】
(1)无论$m$取何值，方程总有两个实数根，证明成立；
(2)$m=\frac{5}{2}$；
(3)$m$的值为2或3。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 等腰三角形的性质
【点评】
本题是一元二次方程和几何的综合题，既考查了一元二次方程的相关计算，也考查了分类讨论思想的应用，解题时要注意对等腰三角形的腰和底分类，同时需验证三边是否满足三角形三边关系，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6
