1.若$x_1,x_2$是方程$x^2 -6x -7=0$的两个根，则（）

A.$x_1+x_2=6$
B.$x_1+x_2=-6$
C.$x_1x_2=\frac{7}{6}$
D.$x_1x_2=7$

1.A

【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题思路如下：首先明确一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的内容，其次将给定方程与标准形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$对应，确定各项系数$a、b、c$的取值，再分别代入两根之和、两根之积的公式计算结果，最后将计算结果与选项对比即可选出正确答案。
【解析】
对于一元二次方程的标准形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若其两根为$x_1、x_2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$
题干中方程为$x^2 -6x -7=0$，对应可知$a=1$，$b=-6$，$c=-7$，代入公式计算：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-6}{1}=6$
$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-7}{1}=-7$
对比选项，只有A选项的结论符合计算结果。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题属于基础题型，核心考查韦达定理的直接应用，解题的关键是准确识别一元二次方程的各项系数，避免因符号记错、系数识别错误导致失分。
【难度系数】
0.9

2.若$x_1,x_2$是方程$x^2 -2x -3=0$的两根，则$x_1+x_2+x_1x_2$的值是（）

A.1
B.$-1$
C.5
D.$-5$

2.B

【分析】
本题可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，无需计算出方程的两个实根。首先明确一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中，两根之和为$-\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$，先确定题干方程中$a、b、c$的取值，分别算出两根之和与两根之积，最后代入待求式计算即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 -2x -3=0$，可知$a=1$，$b=-2$，$c=-3$。
根据一元二次方程根与系数的关系，方程的两根$x_1,x_2$满足：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-2}{1}=2$，
$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-3}{1}=-3$。
将上述结果代入待求式可得：
$x_1+x_2+x_1x_2=2+(-3)=-1$。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1.一元二次方程根与系数的关系
2.代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查韦达定理的直接应用，熟练掌握根与系数的关系可简化计算，避免求解方程的实根，提升解题效率，解题时需注意两根之和的符号不要记错。
【难度系数】
0.8

3.设$x_1,x_2$是方程$x^2 - 3x + 2 = 0$的两个根，
则$x_1 + x_2 - x_1x_2 =$.

3.1

【分析】
要解决这道题，首先回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1$、$x_2$，则两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$。我们可以先确定给定方程中$a、b、c$的取值，分别求出$x_1+x_2$和$x_1x_2$的值，再代入待求的代数式计算即可，这种方法比先解方程求根再代入计算更简便。
【解析】
解：已知一元二次方程为$x^2 - 3x + 2 = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-3$，常数项$c=2$。
根据一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-3}{1} = 3$，
$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{2}{1} = 2$。
将上述结果代入$x_1 + x_2 - x_1x_2$，得：
原式$=3 - 2 = 1$。
（也可通过解方程验证：$x^2-3x+2=0$因式分解得$(x-1)(x-2)=0$，解得$x_1=1,x_2=2$，代入得$1+2-1×2=1$，结果一致。）
【答案】
$1$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 代数式求值
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题，直接套用韦达定理公式即可快速求解，也可通过解出方程的两根代入计算，解题思路多样，难度较低。
【难度系数】
0.9

4.(教材第36页练习第2题变式)不解方程，求下列各方程的两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$：
(1)$x^2+2x+1=0$；
(2)$3x^2-2x-1=0$；
(3)$2x^2+3=7x^2+x$。

4. (1)解: $x_1 + x_2 = - 2, x_1 x_2 = 1.$
(2)解: $x_1 + x_2 = \frac{2}{3}, x_1 x_2 = -\frac{1}{3}.$
(3)解: $x_1 + x_2 = -\frac{1}{5}, x_1 x_2 = -\frac{3}{5}.$

【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用，解题思路如下：1. 先将每个方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$；2. 准确确定每个方程中$a$（二次项系数）、$b$（一次项系数）、$c$（常数项）的值，注意符号不要出错；3. 直接代入韦达定理公式：两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$计算即可。
【解析】
(1) 方程$x^2+2x+1=0$为一元二次方程的一般形式，其中$a=1$，$b=2$，$c=1$，
根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{2}{1}=-2$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{1}{1}=1$。
(2) 方程$3x^2-2x-1=0$为一元二次方程的一般形式，其中$a=3$，$b=-2$，$c=-1$，
根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-2}{3}=\frac{2}{3}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-1}{3}=-\frac{1}{3}$。
(3) 先将方程$2x^2+3=7x^2+x$整理为一般形式：
移项合并同类项得：$5x^2+x-3=0$，其中$a=5$，$b=1$，$c=-3$，
根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{1}{5}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-3}{5}=-\frac{3}{5}$。
【答案】
(1)$x_1 + x_2 = - 2, x_1 x_2 = 1$；
(2)$x_1 + x_2 = \frac{2}{3}, x_1 x_2 = -\frac{1}{3}$；
(3)$x_1 + x_2 = -\frac{1}{5}, x_1 x_2 = -\frac{3}{5}$。
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，解题的核心是先将方程化为标准一般形式，尤其要注意各项系数的符号，避免因符号判断错误导致计算失误。
【难度系数】
0.85

5.已知$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2+2x-k-1=0$的两根，且$x_1x_2=-3$，则$k$的值为（）

A.1
B.2
C.3
D.4

5.B

【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用。解题思路如下：首先回忆一元二次方程两根之积与系数的对应公式，再从题干给出的方程中提取对应系数，结合已知的两根乘积的条件列关于k的一元一次方程，最后解方程求出k的值即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1,x_2$，根据根与系数的关系可得：$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
题干中方程为$x^2+2x-k-1=0$，其中二次项系数$a=1$，常数项$c=-k-1$，已知$x_1x_2=-3$，代入公式得：
$\frac{-k-1}{1}=-3$
化简得：$-k-1=-3$
移项计算：$-k=-3+1=-2$，解得$k=2$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查韦达定理中两根之积的公式应用，解题时需注意准确识别方程的常数项，避免符号出错。
【难度系数】
0.8

6.已知关于$x$的一元二次方程$-x^2 +kx +4=0$的两个实数根之和为1，则$k$的值为（）

A.1
B.$-1$
C.1或$-1$
D.0

6.A

【分析】
解题时首先回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两个实数根的和为$-\frac{b}{a}$。我们先从给定方程中提取对应系数$a、b、c$，再根据两根之和为1的条件列等式求$k$，最后验证判别式保证方程有两个实数根即可得到结果。
【解析】
将方程$-x^2 +kx +4=0$与一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$对应，可得$a=-1$，$b=k$，$c=4$。
根据韦达定理，方程的两个实数根之和为：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{k}{-1}=k$
已知两根之和为1，因此$k=1$。
验证判别式：$\Delta =b^2-4ac=k^2-4×(-1)×4=k^2+16$，因为$k^2≥0$，所以$\Delta≥16＞0$，无论$k$取何值方程都有两个不相等的实数根，故$k=1$符合条件。
【答案】
A
【知识点】
韦达定理，一元二次方程判别式
【点评】
本题是韦达定理的基础应用题型，解题关键是准确匹配一元二次方程的各项系数，代入公式计算即可，注意养成计算后验证根的存在性的习惯。
【难度系数】
0.8

7.(苏州市中考)已知$x_1,x_2$是关于$x$的一元二次方程$x^2+2x-m=0$的两个实数根，其中$x_1=1$，则$x_2=$。

7.-3

【分析】
本题可通过两种思路求解：思路一，利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），直接根据两根之和的公式代入已知根计算另一根，计算更简便；思路二，先将已知根代入原方程求出参数m的值，再解一元二次方程得到另一个根。两种方法均符合对应学段知识要求，优先推荐使用韦达定理快速求解。
【解析】
方法一（根与系数的关系法）：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），若两根为$x_1,x_2$，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
本题中方程为$x^2+2x-m=0$，即$a=1$，$b=2$，因此$x_1+x_2=-\frac{2}{1}=-2$。
已知$x_1=1$，代入得$1+x_2=-2$，解得$x_2=-3$。
方法二（代入求参法）：
将$x_1=1$代入原方程$x^2+2x-m=0$，得$1^2+2×1 -m=0$，解得$m=3$。
则原方程为$x^2+2x-3=0$，因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=-3$。
【答案】
-3
【知识点】
1.一元二次方程根与系数的关系
2.一元二次方程的根的定义
【点评】
本题属于基础题型，两种解题方法都易掌握，运用根与系数的关系可直接快速求出未知根，无需计算参数值，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8

8. 已知 $ x_1, x_2 $ 是一元二次方程 $ x^2 - 3x - 1 = 0 $ 的两根，不解方程求下列各式的值：
(1) $ x_1^2 + x_2^2 $；
(2) $ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} $；
(3) $ (x_1 - 2)(x_2 - 2) $。

8. (1)解: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = 3^2 - 2×(-1) = 11.$
(2)解: $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \frac{3}{-1} = -3.$
(3)解: 原式$= x_1 x_2 - 2(x_1 + x_2) + 4 = -1 - 2×3 + 4 = -3.$

【分析】
本题属于不解方程求关于一元二次方程两根的代数式值的问题，解题思路如下：第一步，先根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），直接求出两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$；第二步，将待求的三个代数式分别通过配方、通分、整式乘法等方法进行恒等变形，转化为只含有$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式；第三步，将求出的两根和、两根积代入变形后的式子计算，即可得到结果，全程不需要解出方程的根。
【解析】
首先，对于一元二次方程$x^2 - 3x - 1 = 0$，其中$a=1$，$b=-3$，$c=-1$，根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 3$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = -1$。
(1) 对$x_1^2 + x_2^2$变形，由完全平方公式可得：
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$
代入$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=-1$得：
原式$= 3^2 - 2×(-1) = 9 + 2 = 11$
(2) 对$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$通分可得：
$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 + x_1}{x_1x_2}$
代入数值计算得：
原式$= \frac{3}{-1} = -3$
(3) 先展开$(x_1 - 2)(x_2 - 2)$：
$(x_1 - 2)(x_2 - 2) = x_1x_2 - 2x_1 - 2x_2 + 4 = x_1x_2 - 2(x_1 + x_2) + 4$
代入数值计算得：
原式$= -1 - 2×3 + 4 = -1 - 6 + 4 = -3$
【答案】
(1) $\boxed{11}$；(2) $\boxed{-3}$；(3) $\boxed{-3}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系；2. 代数式恒等变形；3. 完全平方公式
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，核心是掌握将待求代数式转化为仅含两根和、两根积的变形技巧，避免了解方程的繁琐运算，能够很好地考察代数式的变形能力。
【难度系数】
0.8

9.若关于$x$的一元二次方程$x^2-(2m+3)x+m^2=0$有两个不相等的实数根$x_1,x_2$，且$x_1+x_2=x_1x_2$，则$m$的值是.

9.3

【分析】
本题是一元二次方程根的相关综合题，解题思路如下：首先，一元二次方程有两个不相等的实数根，需先满足根的判别式Δ＞0，可先求出参数m的取值范围；其次，根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），分别写出两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$的表达式；再结合题目给出的$x_1+x_2=x_1x_2$的等量关系列方程求解m的取值；最后将求得的m值代入之前得到的取值范围验证，舍去不符合条件的解即可得到正确结果。
【解析】
解：
∵ 关于x的一元二次方程$x^2-(2m+3)x+m^2=0$有两个不相等的实数根
∴ 根的判别式$\Delta ＞ 0$
即$\Delta = [-(2m+3)]^2 - 4×1× m^2 = 4m^2 + 12m + 9 - 4m^2 = 12m + 9 ＞ 0$
解得：$m ＞ -\frac{3}{4}$
根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = 2m + 3$，$x_1x_2 = m^2$
∵ $x_1 + x_2 = x_1x_2$
∴ $2m + 3 = m^2$
整理得：$m^2 - 2m - 3 = 0$
因式分解得：$(m - 3)(m + 1) = 0$
解得：$m_1 = 3$，$m_2 = -1$
∵ $m ＞ -\frac{3}{4}$，$m=-1$不符合取值范围，故舍去
∴ $m = 3$
【答案】
3
【知识点】
1. 根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题属于根的判别式与根与系数关系的常规综合考题，易错点是容易忽略“两个不相等实数根”的前提条件，未验证参数的取值范围导致多解，解题时要牢记先根据根的个数确定参数范围再求解。
【难度系数】
0.6