8. 如图，在$△ ABC$中，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，且$DE// AC$，$EF// AB$，若$BD=2AD$，则$\frac{CF}{AF}$的值为（）

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{2}{3}$

8.A

【分析】
解题时首先观察题干给出的两组平行条件，结合平行线分线段成比例的相关定理思考：第一步，由DE//AC可得到AB边上的线段比BD:AD与BC边上的线段比BE:EC相等，代入已知BD=2AD可求出BE:EC的比值；第二步，由EF//AB可得到AC边上的线段比CF:AF与BC边上的线段比EC:BE相等，通过已求得的BE与EC的比值转换，即可求出CF:AF的结果。
【解析】
∵ DE//AC，根据平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例
∴ $\frac{BD}{AD}=\frac{BE}{EC}$
已知$BD=2AD$，即$\frac{BD}{AD}=\frac{2}{1}$，因此$\frac{BE}{EC}=\frac{2}{1}$，可得$\frac{EC}{BE}=\frac{1}{2}$
又
∵ EF//AB，同理可得：
$\frac{CF}{AF}=\frac{EC}{BE}$
将$\frac{EC}{BE}=\frac{1}{2}$代入得：$\frac{CF}{AF}=\frac{1}{2}$
【答案】
A
【知识点】
平行线分线段成比例，比例式转换
【点评】
本题是平行线分线段成比例的基础应用题型，解题核心是利用两组平行线构造的比例关系，通过中间比进行等量转换得到所求线段比，熟练掌握定理内容即可快速求解。
【难度系数】
0.8

9.如图,用数轴和带有刻度的直尺作图,图中过点B和8的两条线段(两条线段的另一端在刻度尺上分别对应3和5)平行.若点A在数轴上表示的数是－2,且点A与刻度尺上的0刻度重合,则AB的长是.

9.6

【分析】
解题时首先观察到图中两条线段平行，可应用平行线分线段成比例定理求解。第一步先计算点A到数轴上表示8的点的总长度，第二步根据平行线分线段成比例得到AB与总长度的比值等于刻度尺上3和5的比值，最后代入计算即可得到AB的长度。
【解析】
首先计算点A（表示的数为-2）到数轴上表示8的点的距离：
$8 - (-2) = 10$
因为过点B和8的两条线段平行，根据平行线分线段成比例定理，可得：
$\frac{AB}{10} = \frac{3}{5}$
解得：
$AB = 10 × \frac{3}{5} = 6$
【答案】
6
【知识点】
平行线分线段成比例；数轴上两点间距离
【点评】
本题是平行线分线段成比例的基础应用题型，需要结合数轴的性质计算线段总长，解题的核心是准确找到成比例的对应线段，避免比例对应错误。
【难度系数】
0.7

10.在$△ ABC$中,点D在BC上,点E在AC上,AD与BE交于点F.
(1)如图1,D是BC的中点,F是AD的中点,DG//BE交AC于点G,求证:$\frac{AE}{EC}=\frac{1}{2}$.
(2)如图2,若$\frac{BD}{DC}=\frac{1}{4}$,$\frac{AF}{FD}=\frac{3}{2}$,求$\frac{AE}{EC}$的值.

10. (1)证明:$\because D$是$BC$的中点,$\therefore CD=BD. \because DG // BE,\therefore \frac{CD}{BD}=\frac{CG}{EG}=1,\therefore CG=EG. \because F$是$AD$的中点,$\therefore AF=DF. \because DG // BE,\therefore \frac{AE}{EG}=\frac{AF}{FD}=1,\therefore AE=EG,\therefore AE=EG=CG,\therefore \frac{AE}{EC}=\frac{AE}{EG+CG}=\frac{1}{2}.$
(2)解:如图2,过点$D$作$DH // BE$交$AC$于点$H$,$\because \frac{BD}{DC}=\frac{1}{4},DH // BE,\therefore \frac{HE}{CH}=\frac{BD}{DC}=\frac{1}{4},\therefore CH=4HE. \because \frac{AF}{FD}=\frac{3}{2},DH // BE,\therefore \frac{AE}{HE}=\frac{AF}{DF}=\frac{3}{2},\therefore AE=\frac{3}{2}HE,\therefore \frac{AE}{EC}=\frac{\frac{3}{2}HE}{HE+4HE}=\frac{3}{10}.$

【分析】
(1) 要证明$\frac{AE}{EC}=\frac{1}{2}$，可利用平行线分线段成比例的推论结合已知中点条件推导：首先由$DG//BE$、D是BC中点，可得$EG=CG$；再由$DG//BE$、F是AD中点，可得$AE=EG$，进而得到$AE=EG=CG$，即可求出比值。
(2) 要求$\frac{AE}{EC}$的值，参考第一问的思路，过D作$DH//BE$构造平行关系，两次运用平行线分线段成比例，分别得到HE与CH、AE与HE的比例关系，再将EC转化为$HE+CH$，代入计算即可得到结果。
【解析】
(1) 证明：$\because D$是$BC$的中点，$\therefore CD=BD$。
$\because DG // BE$，根据平行线分线段成比例，$\therefore \frac{CD}{BD}=\frac{CG}{EG}=1$，即$CG=EG$。
$\because F$是$AD$的中点，$\therefore AF=DF$。
$\because DG // BE$，根据平行线分线段成比例，$\therefore \frac{AE}{EG}=\frac{AF}{FD}=1$，即$AE=EG$。
$\therefore AE=EG=CG$，$\therefore \frac{AE}{EC}=\frac{AE}{EG+CG}=\frac{1}{2}$。
(2) 解：过点$D$作$DH // BE$交$AC$于点$H$，
$\because \frac{BD}{DC}=\frac{1}{4},DH // BE$，根据平行线分线段成比例，$\therefore \frac{HE}{CH}=\frac{BD}{DC}=\frac{1}{4}$，即$CH=4HE$。
$\because \frac{AF}{FD}=\frac{3}{2},DH // BE$，根据平行线分线段成比例，$\therefore \frac{AE}{HE}=\frac{AF}{DF}=\frac{3}{2}$，即$AE=\frac{3}{2}HE$。
$\therefore \frac{AE}{EC}=\frac{\frac{3}{2}HE}{HE+4HE}=\frac{3}{10}$。
【答案】
(1)证明:$\because D$是$BC$的中点,$\therefore CD=BD. \because DG // BE,\therefore \frac{CD}{BD}=\frac{CG}{EG}=1,\therefore CG=EG. \because F$是$AD$的中点,$\therefore AF=DF. \because DG // BE,\therefore \frac{AE}{EG}=\frac{AF}{FD}=1,\therefore AE=EG,\therefore AE=EG=CG,\therefore \frac{AE}{EC}=\frac{AE}{EG+CG}=\frac{1}{2}.$
(2)解:如图2,过点$D$作$DH // BE$交$AC$于点$H$,$\because \frac{BD}{DC}=\frac{1}{4},DH // BE,\therefore \frac{HE}{CH}=\frac{BD}{DC}=\frac{1}{4},\therefore CH=4HE. \because \frac{AF}{FD}=\frac{3}{2},DH // BE,\therefore \frac{AE}{HE}=\frac{AF}{DF}=\frac{3}{2},\therefore AE=\frac{3}{2}HE,\therefore \frac{AE}{EC}=\frac{\frac{3}{2}HE}{HE+4HE}=\frac{3}{10}.$
【知识点】
平行线分线段成比例、比例运算、辅助线构造
【点评】
本题是比例线段应用的典型题型，第一问可直接利用已知平行线和中点条件推导，第二问需要借鉴第一问的思路构造平行线，将未知线段比转化为已知比例的线段关系求解，掌握构造平行线的辅助线方法是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.6

1.如图，在$△ ABC$中，D、E分别是BC、AC上的点，连结AD、BE交于点G。若$\frac{AG}{AD}=\frac{3}{4}$，$\frac{BD}{BC}=\frac{2}{5}$，则$\frac{AE}{AC}$的值为。

1. $\frac{6}{11}$

【分析】
要求$\frac{AE}{AC}$的值，可通过作平行线构造平行线分线段成比例的基本图形，将已知的线段比例关系和待求比例关联起来。我们过点D作DF//BE交AC于F，首先利用$\frac{AG}{AD}=\frac{3}{4}$推出AE和EF的比例关系，再利用$\frac{BD}{BC}=\frac{2}{5}$推出EF和EC的比例关系，最后通过统一份数即可求出$\frac{AE}{AC}$的比值。
【解析】
解：过点$D$作$DF// BE$，交$AC$于点$F$。
1. 求$AE$与$EF$的关系：
∵ $DF// BE$，根据平行线分线段成比例定理，在$△ ADF$中，$\frac{AG}{GD}=\frac{AE}{EF}$。
已知$\frac{AG}{AD}=\frac{3}{4}$，则$AG:GD=3:(4-3)=3:1$，
∴ $\frac{AE}{EF}=\frac{3}{1}$，即$AE=3EF$。
2. 求$EC$与$EF$的关系：
∵ $DF// BE$，根据平行线分线段成比例定理，在$△ BEC$中，$\frac{BD}{DC}=\frac{EF}{FC}$。
已知$\frac{BD}{BC}=\frac{2}{5}$，则$BD:DC=2:(5-2)=2:3$，
∴ $\frac{EF}{FC}=\frac{2}{3}$，即$FC=\frac{3}{2}EF$。
因此$EC=EF+FC=EF+\frac{3}{2}EF=\frac{5}{2}EF$。
3. 计算$\frac{AE}{AC}$：
$AC=AE+EC=3EF+\frac{5}{2}EF=\frac{11}{2}EF$，
∴ $\frac{AE}{AC}=\frac{3EF}{\frac{11}{2}EF}=\frac{6}{11}$。
【答案】
$\frac{6}{11}$
【知识点】
1. 平行线分线段成比例定理
2. 比例的运算
【点评】
本题是平行线分线段成比例的常见应用题型，解题核心是合理构造平行线辅助线，搭建已知比例和待求比例之间的桥梁，通过份数法计算可以有效降低运算难度，需熟练掌握构造平行线转化线段比例的技巧。
【难度系数】
0.6

2. 对于平行线，我们有这样的结论，如图①，$AB// CD$，$AD$、$BC$交于点$O$，则$\frac{AO}{DO}=\frac{BO}{CO}$。
请你利用该结论解答下列问题：
如图②，在$△ ABC$中，点$D$在线段$BC$上，$∠ BAD=75°,∠ CAD=30°,AD=2,BD=2DC$，求$AC$的长。

2. 解:过点$C$作$CE // AB$交$AD$的延长线于$E$,则$\frac{BD}{DC}=\frac{AD}{DE}. \because BD=2DC,AD=2,\therefore DE=1. \because CE // AB,\therefore ∠ E=∠ BAD=75°. 又\because ∠ CAD=30°,\therefore ∠ ACE=75°,\therefore ∠ E=∠ ACE,\therefore AC=AE=3.$

【分析】
本题要求AC的长，已知线段比例关系和角度条件，结合题干给出的平行线分线段成比例的结论，首先需要构造符合结论的平行线模型：过点C作CE平行于AB，交AD的延长线于E。第一步先利用平行线分线段成比例求出DE的长度，得到AE的总长；第二步利用平行线的内错角相等得到∠E的度数，再结合三角形内角和求出∠ACE的度数，通过等角对等边得到AC与AE的等量关系，即可求出AC的长度。
【解析】
过点$C$作$CE // AB$交$AD$的延长线于$E$，根据题干给出的平行线分线段成比例结论，可得$\frac{BD}{DC}=\frac{AD}{DE}$。
$\because BD=2DC$，$AD=2$，
$\therefore \frac{2DC}{DC}=\frac{2}{DE}$，解得$DE=1$。
$\because CE // AB$，
$\therefore ∠ E = ∠ BAD = 75°$（两直线平行，内错角相等）。
又$\because ∠ CAD=30°$，在$△ ACE$中，$∠ ACE = 180° - ∠ CAD - ∠ E = 180° - 30° - 75° =75°$，
$\therefore ∠ E = ∠ ACE$，
$\therefore AC=AE$（等角对等边）。
$\because AE=AD + DE = 2 + 1 = 3$，
$\therefore AC=3$。
【答案】
$3$
【知识点】
平行线分线段成比例；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题的关键是合理构造平行线辅助线，结合题干给出的比例结论转化线段关系，再通过角度推导得到等腰三角形，进而求解线段长度，考查了知识迁移应用和辅助线构造的能力。
【难度系数】
0.6