1. 如图，$AB// CD// EF$，则下列结论正确的是（）

A.$\frac{AC}{CE}=\frac{BD}{BF}$
B.$\frac{AC}{AE}=\frac{BD}{DF}$
C.$\frac{BD}{CE}=\frac{AC}{DF}$
D.$\frac{AE}{CE}=\frac{BF}{DF}$

第1题图 第2题图

1.D

【分析】
首先回忆平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。本题中AB、CD、EF是三条平行直线，截得两条直线上的对应线段分别为：AC对应BD，CE对应DF，AE对应BF。解题时只需将各选项中的比例和定理推导的正确比例对比，判断对应线段是否匹配即可。
【解析】
根据平行线分线段成比例定理，由$AB// CD// EF$可得：
对应线段成比例，即$\frac{AC}{BD}=\frac{CE}{DF}=\frac{AE}{BF}$。
我们逐一分析选项：
选项A：由定理可得$\frac{AC}{CE}=\frac{BD}{DF}$，因此$\frac{AC}{CE}=\frac{BD}{BF}$错误；
选项B：由定理可得$\frac{AC}{AE}=\frac{BD}{BF}$，因此$\frac{AC}{AE}=\frac{BD}{DF}$错误；
选项C：由$\frac{AC}{BD}=\frac{CE}{DF}$交叉变形可得$\frac{BD}{CE}=\frac{DF}{AC}$，因此$\frac{BD}{CE}=\frac{AC}{DF}$错误；
选项D：由$\frac{AE}{BF}=\frac{CE}{DF}$交叉变形可得$\frac{AE}{CE}=\frac{BF}{DF}$，该式正确。
【答案】
D
【知识点】
平行线分线段成比例
【点评】
本题属于基础题，解题核心是准确识别平行线所截得的对应线段，只要理清对应线段的比例关系，即可快速判断选项正误，解题时要注意避免对应线段匹配错误。
【难度系数】
0.8

2.如图，直线AD，BC交于点O，AB//EF//CD.若$AO=2$，$OF=1$，$FD=2$，则$\frac{BE}{EC}$的值为.

2. $\frac{3}{2}$

【分析】
本题考查平行线分线段成比例定理的应用，解题思路如下：首先观察图形特征，确定存在一组平行线$AB// EF// CD$，且这组平行线同时截两条直线$AD$、$BC$；根据平行线分线段成比例定理，截得的对应线段成比例，由此找到与$BE$、$EC$对应的$AD$上的线段$AF$、$FD$；最后代入已知线段长度计算即可得到所求比值。
【解析】
解：$\because AB// EF// CD$，
根据平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
直线$AD$和$BC$被平行线$AB$、$EF$、$CD$所截，
$\therefore \frac{BE}{EC}=\frac{AF}{FD}$。
已知$AO=2$，$OF=1$，$FD=2$，
$\therefore AF=AO+OF=2+1=3$，
代入得$\frac{BE}{EC}=\frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
平行线分线段成比例
【点评】
本题是平行线分线段成比例的基础应用题型，解题的核心是准确找到被平行线截取的两条直线上的对应线段，避免对应关系混淆即可快速求解。
【难度系数】
0.7

3.如图,已知直线 $ l_1 $、$ l_2 $、$ l_3 $ 分别截直线 $ l_4 $ 于点A、B、C,截直线 $ l_5 $ 于点D、E、F,且 $ l_1 // l_2 // l_3 $.
(1)如果 $ AB=4 $,$ BC=8 $,$ EF=12 $,求 $ DE $ 的长;
(2)如果 $ DE:EF=2:3 $,$ AB=6 $,求 $ AC $ 的长.

3. (1)解:$\because l_1 // l_2 // l_3 ,\therefore \frac{DE}{EF}=\frac{AB}{BC}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}.\therefore DE=\frac{1}{2}EF=6.$
(2)$\because l_1 // l_2 // l_3 ,\therefore \frac{DE}{EF}=\frac{AB}{BC}=\frac{2}{3}.\therefore BC=\frac{3}{2}AB=\frac{3}{2} × 6=9.\therefore AC=AB+BC=6+9=15.$

【分析】
本题考查平行线分线段成比例定理的应用，解题思路如下：首先观察图形特征，$l_1// l_2// l_3$同时截两条直线$l_4$、$l_5$，满足平行线分线段成比例定理的使用条件。(1)问中已知$AB、BC、EF$的长度，根据定理“两条直线被一组平行线所截，所得对应线段成比例”，可得$DE$与$EF$的比等于$AB$与$BC$的比，代入数值即可求出$DE$；(2)问中已知$DE:EF$的比值，同理可得$AB$与$BC$的比值，结合$AB$的长度先求出$BC$，再根据$AC=AB+BC$即可求出$AC$的长度。
【解析】
(1) 解：$\because l_1 // l_2 // l_3$，根据平行线分线段成比例定理可得：
$\frac{DE}{EF}=\frac{AB}{BC}$
将$AB=4$，$BC=8$，$EF=12$代入得：
$\frac{DE}{12}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$
$\therefore DE=\frac{1}{2}×12=6$
(2) 解：$\because l_1 // l_2 // l_3$，根据平行线分线段成比例定理可得：
$\frac{DE}{EF}=\frac{AB}{BC}$
将$DE:EF=2:3$，$AB=6$代入得：
$\frac{6}{BC}=\frac{2}{3}$
$\therefore BC=\frac{3}{2}×6=9$
$\therefore AC=AB+BC=6+9=15$
【答案】
(1) $DE=6$；(2) $AC=15$
【知识点】
平行线分线段成比例；比例运算；线段和差计算
【点评】
本题属于平行线分线段成比例定理的基础应用题，解题关键是准确找到被平行线所截的两条直线上的对应线段，正确列出比例式求解，整体计算难度低，熟练掌握定理即可快速作答。
【难度系数】
0.8

4.如图,在$△ ABC$中,点D在边AB上,过点D作$DE// BC$,交AC于点E.若$AD=2$,$BD=3$,则$\frac{AE}{AC}$的值是 （）

A.$\frac{2}{5}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{2}{3}$

4.A

【分析】
解题时先梳理已知条件：$DE// BC$，结合平行线分线段成比例的推论，平行于三角形一边的直线截三角形另外两边，所得的对应线段成比例，因此可得$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$。接下来先计算AB的总长度，再代入AD的数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ $DE// BC$，根据平行线分线段成比例的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例，
∴ $\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$。
已知$AD=2$，$BD=3$，因此$AB=AD+BD=2+3=5$，
代入得$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{5}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
平行线分线段成比例、比例线段计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查平行线分线段成比例推论的应用，解题关键是准确识别对应成比例的线段，代入数值简单计算即可得出答案。
【难度系数】
0.8

【变式】若点$D$是直线$AB$上的点，其他条件不变，则$\frac{AE}{AC}=$。

【变式】$\frac{2}{5}$或$2$

【分析】
本题中点D在直线AB上，而非线段AB，因此需要分两种情况讨论：①点D在线段AB上；②点D在BA的延长线上。结合平行线分线段成比例的推论，分别计算两种情况下AE与AC的比值即可，注意不要漏解。
【解析】
解：由原题保留条件可知$DE// BC$，分两种情况讨论：
1. 当点D在线段AB上时：
根据平行线分线段成比例的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得对应线段成比例，可得$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$。
已知$AD:DB=2:3$，则$AB=AD+DB=2+3=5$份，因此$\frac{AE}{AC}=\frac{2}{5}$。
2. 当点D在BA的延长线上时（点A位于D、B之间）：
此时$DE// BC$交AC的延长线于点E，根据平行线分线段成比例的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边的延长线，所得对应线段成比例，可得$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$。
由$AD:DB=2:3$，得$DB=AB+AD$，即$AD:(AB+AD)=2:3$，解得$AD=2AB$，因此$\frac{AE}{AC}=\frac{2AB}{AB}=2$。
综上，$\frac{AE}{AC}$的值为$\frac{2}{5}$或$2$。
【答案】
$\frac{2}{5}$或$2$
【知识点】
平行线分线段成比例，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略“直线AB”包含点D在线段外的情况，只考虑点D在线段AB上导致漏解，解题时要注意审题，明确“直线”“线段”“射线”的区别，涉及动点在直线上的问题通常需要分情况讨论。
【难度系数】
0.6

5.如图，已知$AB// CD$，AD与BC相交于点O.若$\frac{BO}{OC}=\frac{2}{3}$，$AD=10$，则$AO=$.

5.4

【分析】
解题思路如下：首先观察已知条件$AB// CD$，结合$AD$、$BC$交于点$O$，可根据平行线分线段成比例的推论得到$AO$与$OD$的比值等于$BO$与$OC$的比值；再根据$AD=AO+OD=10$，设参数表示$AO$和$OD$的长度，列方程即可求出$AO$的长度。
【解析】
解：$\because AB// CD$，$AD$与$BC$交于点$O$
$\therefore$根据平行线分线段成比例的推论，可得$\frac{AO}{OD}=\frac{BO}{OC}=\frac{2}{3}$
设$AO=2x$，则$OD=3x$
$\because AD=AO+OD=10$
$\therefore 2x+3x=10$
解得$x=2$
$\therefore AO=2x=4$
【答案】
4
【知识点】
平行线分线段成比例、比例运算、线段和差计算
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用平行关系得到对应线段的比例关系，结合线段总长求解未知线段长度，是对平行线分线段成比例知识点的常规考查。
【难度系数】
0.8

6.如图，已知$EG // BC$，$GF // CD$，$AE = 3$，$EB = 2$，$AF = 6$，求$AD$的长.

6. 解:$\because EG // BC,\therefore \frac{AE}{EB}=\frac{AG}{GC}.\because GF // CD,\therefore \frac{AG}{GC}=\frac{AF}{FD},\therefore \frac{AE}{EB}=\frac{AF}{FD},即\frac{3}{2}=\frac{6}{FD}.\therefore FD=4.\therefore AD=AF+FD=10.$

【分析】
解题时首先观察图形中的两组平行关系，结合平行线分线段成比例的推论思考：平行于三角形一边的直线截三角形另外两边，所得对应线段成比例。第一步由EG//BC，在△ABC中得到AE与EB的比等于AG与GC的比；第二步由GF//CD，在△ACD中得到AG与GC的比等于AF与FD的比；第三步通过中间比$\frac{AG}{GC}$建立AE、EB、AF、FD的比例关系，代入已知数值求出FD长度，最后将AF和FD相加即可得到AD的长。
【解析】
解：$\because EG // BC$，根据平行线分线段成比例的推论，可得$\frac{AE}{EB}=\frac{AG}{GC}$。
$\because GF // CD$，同理可得$\frac{AG}{GC}=\frac{AF}{FD}$，
$\therefore \frac{AE}{EB}=\frac{AF}{FD}$，
将$AE=3$，$EB=2$，$AF=6$代入得：$\frac{3}{2}=\frac{6}{FD}$，
解得$FD=4$，
$\therefore AD=AF+FD=6+4=10$。
【答案】
10
【知识点】
平行线分线段成比例，比例线段计算
【点评】
本题是平行线分线段成比例的基础应用题，解题核心是通过中间比建立两组线段比例的联系，这种找中间比的方法是解决比例线段类问题的常用技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8

7. 如图，在$△ ABC$中，$DE // BC$，以下结论正确的是（）


A.$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{BD}$
B.$\frac{AE}{AC}=\frac{BD}{AB}$
C.$\frac{AE}{CE}=\frac{AD}{BD}$
D.$\frac{AC}{CE}=\frac{AD}{BD}$

7.C

【分析】
首先观察题目条件，已知DE平行于BC，属于平行于三角形一边的直线截另外两边的模型，应运用平行线分线段成比例的推论来解题。解题时先明确被截两边AB、AC上的对应线段：AD对应AE，BD对应CE，AB对应AC，再逐一比对各选项的比例关系是否符合推论即可。
【解析】
解：
∵在△ABC中，DE//BC，根据平行线分线段成比例的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例。
可得：$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{CE}$，$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，$\frac{BD}{AB}=\frac{CE}{AC}$。
逐一分析选项：
A选项：$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}≠\frac{AD}{BD}$，错误；
B选项：$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}≠\frac{BD}{AB}$，错误；
C选项：$\frac{AE}{CE}=\frac{AD}{BD}$，符合推论，正确；
D选项：$\frac{AC}{CE}=\frac{AB}{BD}≠\frac{AD}{BD}$，错误。
综上选C。
【答案】
C
【知识点】
平行线分线段成比例、比例线段识别
【点评】
本题是基础类考题，核心考查平行线分线段成比例在三角形中的应用，解题的关键是准确识别对应线段，避免因比例对应关系混淆出错。
【难度系数】
0.8