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24. 某市电力总公司为了改善本市用电情况，决定对全市各农村地区全力进行电网改造. 现有四个街道A、B、C、D，正好处于一个正方形的四个顶点. 现计划在四个街道联合架设一条线路，有关人员设计了五种线路架设方案，如图中所示的实线部分. 请你计算一下，哪种设计方案最省电线.
（参考数据：$\sqrt{2}\approx1.414$，$\sqrt{3}\approx1.732$，$\sqrt{5}\approx2.236$，$\tan26.56°\approx0.500$，$\tan15°=2-\sqrt{3}$，$\cos15°=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$）
（参考数据：$\sqrt{2}\approx1.414$，$\sqrt{3}\approx1.732$，$\sqrt{5}\approx2.236$，$\tan26.56°\approx0.500$，$\tan15°=2-\sqrt{3}$，$\cos15°=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$）
答案
24. 方案四最省电线. 提示：设正方形的边长为 $a$，电线的总长度为 $L$. 由 $\tan 26.56° \approx 0.500$，得 $\cos 26.56° \approx \dfrac{2}{\sqrt{5}}$. 对五个方案分别进行计算，得 $L_1=3a$，$L_2=2\sqrt{2}a \approx 2.828a$，$L_3=2\sqrt{(\dfrac{1}{2}a)^2 +(a-\dfrac{a}{2}· \tan 15°)^2} +\dfrac{a}{\cos 15°} =2a +\dfrac{a}{\cos 15°} \approx 3.035a$，$L_4=\dfrac{2a}{\cos 30°} +(a-2· \dfrac{a}{2}· \tan 30°) \approx 2.732a$，$L_5=\dfrac{2a}{\cos 26.56°} +(a-2· \dfrac{a}{2}· \tan 26.56°) \approx (\sqrt{5}+\dfrac{1}{2})a \approx 2.736a$，其中 $L_1$、$L_2$、$L_3$、$L_4$、$L_5$ 分别表示方案一、二、三、四、五的电线总长度. 所以，方案四最省电线.
解析
【分析】
要判断哪种方案最省电线，本质是比较五种方案的线路总长度，总长度最短的方案最优。解题时首先设正方形边长为a简化计算，再结合锐角三角函数、勾股定理，分别计算每个方案的实线总长度，利用题目给出的参考数据换算为近似值，最后比较五个近似值的大小即可得出结论。
【解析】
设正方形的边长为$a$，方案一到方案五的电线总长度分别为$L_1、L_2、L_3、L_4、L_5$。
1. 方案一：实线为正方形的3条边，
$L_1=AB+BC+CD=a+a+a=3a$；
2. 方案二：实线为正方形的两条对角线，正方形对角线长为$\sqrt{2}a$，
$L_2=2×\sqrt{2}a\approx2×1.414a=2.828a$；
3. 方案三：结合图形对称性和$15°$的三角函数关系计算：
$L_3=2\sqrt{(\frac{1}{2}a)^2 +(a-\frac{a}{2}· \tan15°)^2} +\frac{a}{\cos15°}=2a+\frac{a}{\cos15°}$，
代入$\cos15°\approx0.9659$，得$L_3\approx2a+1.035a=3.035a$；
4. 方案四：结合$30°$的三角函数计算：
斜线段总长度为$\frac{2a}{\cos30°}$，中间竖线段长度为$a-2· \frac{a}{2}· \tan30°$，
因此$L_4=\frac{2a}{\cos30°}+(a-a·\tan30°)$，
代入$\cos30°\approx0.866$，$\tan30°\approx0.577$，得$L_4\approx2.309a+(a-0.577a)\approx2.732a$；
5. 方案五：结合$26.56°$的三角函数计算，由$\tan26.56°\approx0.5$得$\cos26.56°\approx\frac{2}{\sqrt{5}}\approx0.894$，
斜线段总长度为$\frac{2a}{\cos26.56°}\approx\sqrt{5}a\approx2.236a$，中间竖线段长度为$a-2· \frac{a}{2}· \tan26.56°=0.5a$，
因此$L_5\approx2.236a+0.5a=2.736a$。
比较总长度大小：$2.732a＜2.736a＜2.828a＜3a＜3.035a$，即$L_4$最小。
【答案】
方案四最省电线。
【知识点】
锐角三角函数应用，勾股定理，实数大小比较
【点评】
本题是生活中的最优方案设计类问题，需要将实际场景转化为几何计算问题，既考查了三角函数、勾股定理的基础运用，也要求学生具备一定的运算能力和建模思维，计算时合理运用题目给出的参考数据可有效提升准确率。
【难度系数】
0.6
要判断哪种方案最省电线，本质是比较五种方案的线路总长度，总长度最短的方案最优。解题时首先设正方形边长为a简化计算，再结合锐角三角函数、勾股定理，分别计算每个方案的实线总长度，利用题目给出的参考数据换算为近似值，最后比较五个近似值的大小即可得出结论。
【解析】
设正方形的边长为$a$，方案一到方案五的电线总长度分别为$L_1、L_2、L_3、L_4、L_5$。
1. 方案一：实线为正方形的3条边，
$L_1=AB+BC+CD=a+a+a=3a$；
2. 方案二：实线为正方形的两条对角线，正方形对角线长为$\sqrt{2}a$，
$L_2=2×\sqrt{2}a\approx2×1.414a=2.828a$；
3. 方案三：结合图形对称性和$15°$的三角函数关系计算：
$L_3=2\sqrt{(\frac{1}{2}a)^2 +(a-\frac{a}{2}· \tan15°)^2} +\frac{a}{\cos15°}=2a+\frac{a}{\cos15°}$，
代入$\cos15°\approx0.9659$，得$L_3\approx2a+1.035a=3.035a$；
4. 方案四：结合$30°$的三角函数计算：
斜线段总长度为$\frac{2a}{\cos30°}$，中间竖线段长度为$a-2· \frac{a}{2}· \tan30°$，
因此$L_4=\frac{2a}{\cos30°}+(a-a·\tan30°)$，
代入$\cos30°\approx0.866$，$\tan30°\approx0.577$，得$L_4\approx2.309a+(a-0.577a)\approx2.732a$；
5. 方案五：结合$26.56°$的三角函数计算，由$\tan26.56°\approx0.5$得$\cos26.56°\approx\frac{2}{\sqrt{5}}\approx0.894$，
斜线段总长度为$\frac{2a}{\cos26.56°}\approx\sqrt{5}a\approx2.236a$，中间竖线段长度为$a-2· \frac{a}{2}· \tan26.56°=0.5a$，
因此$L_5\approx2.236a+0.5a=2.736a$。
比较总长度大小：$2.732a＜2.736a＜2.828a＜3a＜3.035a$，即$L_4$最小。
【答案】
方案四最省电线。
【知识点】
锐角三角函数应用，勾股定理，实数大小比较
【点评】
本题是生活中的最优方案设计类问题，需要将实际场景转化为几何计算问题，既考查了三角函数、勾股定理的基础运用，也要求学生具备一定的运算能力和建模思维，计算时合理运用题目给出的参考数据可有效提升准确率。
【难度系数】
0.6
