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25 如图，在$△ ABC$中，已知$AB=AC=5$，$\cos B=\dfrac{4}{5}$。$P$为边$BC$上一动点（不与点$B$、$C$重合），过点$P$作射线$PM$，交$AC$于点$M$，使$∠ APM=∠ B$。
（1）找出图中的相似三角形，并证明。
（2）设$BP=x$，$CM=y$，求$y$与$x$的函数表达式，并指出这个函数中自变量$x$的取值范围。
（3）当$△ PCM$为直角三角形时，求$PB$的长。
（1）找出图中的相似三角形，并证明。
（2）设$BP=x$，$CM=y$，求$y$与$x$的函数表达式，并指出这个函数中自变量$x$的取值范围。
（3）当$△ PCM$为直角三角形时，求$PB$的长。
答案
25. (1) $△ ABP ∽ △ PCM$，$△ APM ∽ △ ACP$. 证明略.
(2) $y=-\dfrac{1}{5}x^2 +\dfrac{8}{5}x (0＜x＜8)$. 提示：由 $AB=AC=5$，$\cos B=\dfrac{4}{5}$，得 $BC=8$. 又由 $△ ABP ∽ △ PCM$，得 $\dfrac{AB}{BP} =\dfrac{PC}{CM}$，即 $\dfrac{5}{x} =\dfrac{8-x}{y}$.
(3) 4 或 $\dfrac{25}{4}$. 提示：由(1)知，当$△ PCM$ 是直角三角形时，$△ ABP$ 也是直角三角形，即得 $∠ APB=90°$ 或 $∠ BAP=90°$. 当 $∠ APB=90°$ 时，$BP=\dfrac{1}{2} BC=4$；当 $∠ BAP=90°$ 时，$∠ MPC=90°$. 在 $\mathrm{Rt}△ ABP$ 中，$BP=\dfrac{AB}{\cos B} =\dfrac{25}{4}$.
(2) $y=-\dfrac{1}{5}x^2 +\dfrac{8}{5}x (0＜x＜8)$. 提示：由 $AB=AC=5$，$\cos B=\dfrac{4}{5}$，得 $BC=8$. 又由 $△ ABP ∽ △ PCM$，得 $\dfrac{AB}{BP} =\dfrac{PC}{CM}$，即 $\dfrac{5}{x} =\dfrac{8-x}{y}$.
(3) 4 或 $\dfrac{25}{4}$. 提示：由(1)知，当$△ PCM$ 是直角三角形时，$△ ABP$ 也是直角三角形，即得 $∠ APB=90°$ 或 $∠ BAP=90°$. 当 $∠ APB=90°$ 时，$BP=\dfrac{1}{2} BC=4$；当 $∠ BAP=90°$ 时，$∠ MPC=90°$. 在 $\mathrm{Rt}△ ABP$ 中，$BP=\dfrac{AB}{\cos B} =\dfrac{25}{4}$.
解析
【分析】
（1）找相似三角形可从角相等入手：首先由AB=AC得∠B=∠C，结合∠APM=∠B，利用外角性质推导角相等证明△ABP∽△PCM；再由∠APM=∠C，公共角∠PAM=∠CAP，证明△APM∽△ACP。
（2）先通过等腰三角形三线合一和锐角三角函数求出BC的长度，再利用△ABP∽△PCM的对应边成比例，代入BP=x、CM=y、PC=BC-x，整理即可得到y与x的函数关系式，结合P不与B、C重合得自变量取值范围。
（3）由△ABP∽△PCM可知△PCM为直角三角形时△ABP也为直角三角形，分两种情况讨论：①∠APB=90°，利用等腰三角形三线合一求BP；②∠BAP=90°，利用锐角三角函数求BP，再验证结果是否符合P的范围即可。
【解析】
（1）相似三角形为$\boldsymbol{△ ABP ∽ △ PCM}$，$\boldsymbol{△ APM ∽ △ ACP}$，证明如下：
① 证明$△ ABP ∽ △ PCM$：
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ B=∠ C$，
∵ $∠ APC$是$△ ABP$的外角，
∴ $∠ APC=∠ B+∠ BAP$，
又
∵ $∠ APC=∠ APM+∠ MPC$，且已知$∠ APM=∠ B$，
∴ $∠ BAP=∠ MPC$，
又
∵ $∠ B=∠ C$，
∴ $△ ABP ∽ △ PCM$。
② 证明$△ APM ∽ △ ACP$：
∵ $∠ APM=∠ B$，$∠ B=∠ C$，
∴ $∠ APM=∠ C$，
又
∵ $∠ PAM=∠ CAP$（公共角），
∴ $△ APM ∽ △ ACP$。
（2）求$y$与$x$的函数表达式：
过点$A$作$AD ⊥ BC$于点$D$，
∵ $AB=AC=5$，$AD ⊥ BC$，
∴ $BD=DC=\frac{1}{2}BC$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$\cos B=\frac{BD}{AB}=\frac{4}{5}$，
∴ $BD=AB · \cos B=5 × \frac{4}{5}=4$，
∴ $BC=2BD=8$，则$PC=BC-BP=8-x$，
由（1）知$△ ABP ∽ △ PCM$，
∴ $\frac{AB}{PC}=\frac{BP}{CM}$，
代入$AB=5$，$BP=x$，$PC=8-x$，$CM=y$，得：
$\frac{5}{8-x}=\frac{x}{y}$，整理得$y=\frac{x(8-x)}{5}=-\frac{1}{5}x^2+\frac{8}{5}x$，
∵ $P$不与$B$、$C$重合，
∴ 自变量$x$的取值范围是$0＜x＜8$。
（3）当$△ PCM$为直角三角形时，由$△ ABP ∽ △ PCM$，可知$△ ABP$也为直角三角形，分两种情况讨论：
① 当$∠ APB=90°$时：
∵ $AB=AC$，$AP ⊥ BC$，
∴ $P$为$BC$中点，
∴ $BP=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2} × 8=4$。
② 当$∠ BAP=90°$时：
在$\mathrm{Rt}△ ABP$中，$\cos B=\frac{AB}{BP}=\frac{4}{5}$，
∴ $BP=\frac{AB}{\cos B}=\frac{5}{\frac{4}{5}}=\frac{25}{4}$，
验证：$\frac{25}{4}=6.25＜8$，符合$x$的取值范围。
综上，$PB$的长为$4$或$\frac{25}{4}$。
【答案】
(1) $△ ABP ∽ △ PCM$，$△ APM ∽ △ ACP$；
(2) $y=-\dfrac{1}{5}x^2 +\dfrac{8}{5}x \quad (0＜x＜8)$；
(3) $PB$的长为$4$或$\dfrac{25}{4}$。
【知识点】
相似三角形判定与性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数的应用
【点评】
本题属于几何综合题，围绕动点问题展开，综合考查了三角形相似、等腰三角形、直角三角形及锐角三角函数的相关知识，解题时需注意运用分类讨论思想分析直角三角形的直角顶点情况，避免漏解，同时要结合动点的取值范围验证结果是否合理。
【难度系数】
0.6
（1）找相似三角形可从角相等入手：首先由AB=AC得∠B=∠C，结合∠APM=∠B，利用外角性质推导角相等证明△ABP∽△PCM；再由∠APM=∠C，公共角∠PAM=∠CAP，证明△APM∽△ACP。
（2）先通过等腰三角形三线合一和锐角三角函数求出BC的长度，再利用△ABP∽△PCM的对应边成比例，代入BP=x、CM=y、PC=BC-x，整理即可得到y与x的函数关系式，结合P不与B、C重合得自变量取值范围。
（3）由△ABP∽△PCM可知△PCM为直角三角形时△ABP也为直角三角形，分两种情况讨论：①∠APB=90°，利用等腰三角形三线合一求BP；②∠BAP=90°，利用锐角三角函数求BP，再验证结果是否符合P的范围即可。
【解析】
（1）相似三角形为$\boldsymbol{△ ABP ∽ △ PCM}$，$\boldsymbol{△ APM ∽ △ ACP}$，证明如下：
① 证明$△ ABP ∽ △ PCM$：
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ B=∠ C$，
∵ $∠ APC$是$△ ABP$的外角，
∴ $∠ APC=∠ B+∠ BAP$，
又
∵ $∠ APC=∠ APM+∠ MPC$，且已知$∠ APM=∠ B$，
∴ $∠ BAP=∠ MPC$，
又
∵ $∠ B=∠ C$，
∴ $△ ABP ∽ △ PCM$。
② 证明$△ APM ∽ △ ACP$：
∵ $∠ APM=∠ B$，$∠ B=∠ C$，
∴ $∠ APM=∠ C$，
又
∵ $∠ PAM=∠ CAP$（公共角），
∴ $△ APM ∽ △ ACP$。
（2）求$y$与$x$的函数表达式：
过点$A$作$AD ⊥ BC$于点$D$，
∵ $AB=AC=5$，$AD ⊥ BC$，
∴ $BD=DC=\frac{1}{2}BC$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$\cos B=\frac{BD}{AB}=\frac{4}{5}$，
∴ $BD=AB · \cos B=5 × \frac{4}{5}=4$，
∴ $BC=2BD=8$，则$PC=BC-BP=8-x$，
由（1）知$△ ABP ∽ △ PCM$，
∴ $\frac{AB}{PC}=\frac{BP}{CM}$，
代入$AB=5$，$BP=x$，$PC=8-x$，$CM=y$，得：
$\frac{5}{8-x}=\frac{x}{y}$，整理得$y=\frac{x(8-x)}{5}=-\frac{1}{5}x^2+\frac{8}{5}x$，
∵ $P$不与$B$、$C$重合，
∴ 自变量$x$的取值范围是$0＜x＜8$。
（3）当$△ PCM$为直角三角形时，由$△ ABP ∽ △ PCM$，可知$△ ABP$也为直角三角形，分两种情况讨论：
① 当$∠ APB=90°$时：
∵ $AB=AC$，$AP ⊥ BC$，
∴ $P$为$BC$中点，
∴ $BP=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2} × 8=4$。
② 当$∠ BAP=90°$时：
在$\mathrm{Rt}△ ABP$中，$\cos B=\frac{AB}{BP}=\frac{4}{5}$，
∴ $BP=\frac{AB}{\cos B}=\frac{5}{\frac{4}{5}}=\frac{25}{4}$，
验证：$\frac{25}{4}=6.25＜8$，符合$x$的取值范围。
综上，$PB$的长为$4$或$\frac{25}{4}$。
【答案】
(1) $△ ABP ∽ △ PCM$，$△ APM ∽ △ ACP$；
(2) $y=-\dfrac{1}{5}x^2 +\dfrac{8}{5}x \quad (0＜x＜8)$；
(3) $PB$的长为$4$或$\dfrac{25}{4}$。
【知识点】
相似三角形判定与性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数的应用
【点评】
本题属于几何综合题，围绕动点问题展开，综合考查了三角形相似、等腰三角形、直角三角形及锐角三角函数的相关知识，解题时需注意运用分类讨论思想分析直角三角形的直角顶点情况，避免漏解，同时要结合动点的取值范围验证结果是否合理。
【难度系数】
0.6
