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23. 如图，小华有一张矩形纸片ABCD. 已知AB：BC=4：5，她将这张纸片沿CE折叠，点B恰好落在AD上，记此点为F.
（1）计算$\cos∠ AFE$和$\tan∠ BCE$的值.
（2）根据（1）的结果，使用计算器求出$∠ AFE$和$∠ BCE$的大小.（结果精确到$1'$）
（3）根据（2）的结果，使用计算器计算$∠ AFE+2∠ BCE$的大小，并尝试用图中的几何知识解释结果的合理性.
（1）计算$\cos∠ AFE$和$\tan∠ BCE$的值.
（2）根据（1）的结果，使用计算器求出$∠ AFE$和$∠ BCE$的大小.（结果精确到$1'$）
（3）根据（2）的结果，使用计算器计算$∠ AFE+2∠ BCE$的大小，并尝试用图中的几何知识解释结果的合理性.
答案
23. (1) $\cos ∠ AFE =\dfrac{4}{5}$；$\tan ∠ BCE =\dfrac{1}{2}$. 提示：$\cos ∠ AFE =\cos ∠ DCF =\dfrac{DC}{CF} =\dfrac{4}{5}$.
$DF=\sqrt{5^2-4^2}=3$，$AF=5-3=2$，$EB=EF=\dfrac{2}{\cos ∠ AFE} =\dfrac{5}{2}$，$\tan ∠ BCE =\dfrac{EB}{BC} =\dfrac{1}{2}$.
(2) $∠ AFE \approx 36° 52'$；$∠ BCE \approx 26° 34'$.
(3) $∠ AFE + 2∠ BCE = 90°$. 由 $∠ DCF + ∠ CFD = ∠ CFD + ∠ AFE$，得 $∠ DCF = ∠ AFE$. 又由折叠的性质，知 $∠ FCE = ∠ BCE$，故 $∠ AFE + 2∠ BCE = ∠ DCF + ∠ FCE + ∠ BCE = ∠ DCB = 90°$.
$DF=\sqrt{5^2-4^2}=3$，$AF=5-3=2$，$EB=EF=\dfrac{2}{\cos ∠ AFE} =\dfrac{5}{2}$，$\tan ∠ BCE =\dfrac{EB}{BC} =\dfrac{1}{2}$.
(2) $∠ AFE \approx 36° 52'$；$∠ BCE \approx 26° 34'$.
(3) $∠ AFE + 2∠ BCE = 90°$. 由 $∠ DCF + ∠ CFD = ∠ CFD + ∠ AFE$，得 $∠ DCF = ∠ AFE$. 又由折叠的性质，知 $∠ FCE = ∠ BCE$，故 $∠ AFE + 2∠ BCE = ∠ DCF + ∠ FCE + ∠ BCE = ∠ DCB = 90°$.
解析
【分析】
本题结合矩形性质与折叠变换的特点逐步求解：
1. 求解第一问时，先根据AB:BC的比例设参数简化计算，利用折叠后对应边、对应角相等的性质，通过同角的余角相等推导∠AFE=∠DCF，进而求cos∠AFE；再通过勾股定理、三角函数求出BE的长度，即可计算tan∠BCE。
2. 第二问直接利用反三角函数，结合计算器计算对应角度即可，注意结果精确到1'。
3. 第三问先计算角度和，再利用角的等量代换，结合矩形内角为90°的性质解释结果的合理性。
【解析】
(1) 设$AB=4k$，$BC=5k$（$k＞0$），
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $CD=AB=4k$，$AD=BC=5k$，$∠A=∠B=∠D=∠BCD=90°$，
由折叠的性质可知：$CF=BC=5k$，$EF=BE$，$∠CFE=∠B=90°$，$∠FCE=∠BCE$，
∵ $∠AFE + ∠DFC = 180° - ∠CFE = 90°$，$∠DCF + ∠DFC = 90°$，
∴ $∠AFE = ∠DCF$，
∴ $\cos∠AFE = \cos∠DCF = \frac{DC}{CF} = \frac{4k}{5k} = \frac{4}{5}$；
在Rt△DCF中，由勾股定理得：$DF = \sqrt{CF^2 - DC^2} = \sqrt{(5k)^2 - (4k)^2} = 3k$，
∴ $AF = AD - DF = 5k - 3k = 2k$，
在Rt△AEF中，$\cos∠AFE = \frac{AF}{EF} = \frac{4}{5}$，
∴ $EF = \frac{AF}{\frac{4}{5}} = \frac{2k}{\frac{4}{5}} = \frac{5k}{2}$，即$BE = \frac{5k}{2}$，
在Rt△BCE中，$\tan∠BCE = \frac{BE}{BC} = \frac{\frac{5k}{2}}{5k} = \frac{1}{2}$。
(2) 用计算器计算可得：
$∠AFE = \arccos\frac{4}{5} \approx 36°52'$，
$∠BCE = \arctan\frac{1}{2} \approx 26°34'$。
(3) 计算角度和：
$∠AFE + 2∠BCE \approx 36°52' + 2×26°34' = 36°52' + 53°8' = 90°$。
合理性解释：
由(1)可知$∠AFE = ∠DCF$，由折叠性质得$∠FCE = ∠BCE$，
∴ $∠AFE + 2∠BCE = ∠DCF + ∠FCE + ∠BCE = ∠DCB$，
∵ 矩形ABCD中$∠DCB=90°$，
∴ $∠AFE + 2∠BCE = 90°$，结果合理。
【答案】
(1) $\cos∠AFE=\frac{4}{5}$，$\tan∠BCE=\frac{1}{2}$；
(2) $∠AFE≈36°52'$，$∠BCE≈26°34'$；
(3) $∠AFE+2∠BCE=90°$，解释见解析。
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，锐角三角函数
【点评】
本题将图形折叠变换与锐角三角函数、角度计算相结合，重点考察角的转化能力与数形结合思想，解题关键是抓住折叠前后的等量关系，灵活运用直角三角形的相关性质求解。
【难度系数】
0.65
本题结合矩形性质与折叠变换的特点逐步求解：
1. 求解第一问时，先根据AB:BC的比例设参数简化计算，利用折叠后对应边、对应角相等的性质，通过同角的余角相等推导∠AFE=∠DCF，进而求cos∠AFE；再通过勾股定理、三角函数求出BE的长度，即可计算tan∠BCE。
2. 第二问直接利用反三角函数，结合计算器计算对应角度即可，注意结果精确到1'。
3. 第三问先计算角度和，再利用角的等量代换，结合矩形内角为90°的性质解释结果的合理性。
【解析】
(1) 设$AB=4k$，$BC=5k$（$k＞0$），
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $CD=AB=4k$，$AD=BC=5k$，$∠A=∠B=∠D=∠BCD=90°$，
由折叠的性质可知：$CF=BC=5k$，$EF=BE$，$∠CFE=∠B=90°$，$∠FCE=∠BCE$，
∵ $∠AFE + ∠DFC = 180° - ∠CFE = 90°$，$∠DCF + ∠DFC = 90°$，
∴ $∠AFE = ∠DCF$，
∴ $\cos∠AFE = \cos∠DCF = \frac{DC}{CF} = \frac{4k}{5k} = \frac{4}{5}$；
在Rt△DCF中，由勾股定理得：$DF = \sqrt{CF^2 - DC^2} = \sqrt{(5k)^2 - (4k)^2} = 3k$，
∴ $AF = AD - DF = 5k - 3k = 2k$，
在Rt△AEF中，$\cos∠AFE = \frac{AF}{EF} = \frac{4}{5}$，
∴ $EF = \frac{AF}{\frac{4}{5}} = \frac{2k}{\frac{4}{5}} = \frac{5k}{2}$，即$BE = \frac{5k}{2}$，
在Rt△BCE中，$\tan∠BCE = \frac{BE}{BC} = \frac{\frac{5k}{2}}{5k} = \frac{1}{2}$。
(2) 用计算器计算可得：
$∠AFE = \arccos\frac{4}{5} \approx 36°52'$，
$∠BCE = \arctan\frac{1}{2} \approx 26°34'$。
(3) 计算角度和：
$∠AFE + 2∠BCE \approx 36°52' + 2×26°34' = 36°52' + 53°8' = 90°$。
合理性解释：
由(1)可知$∠AFE = ∠DCF$，由折叠性质得$∠FCE = ∠BCE$，
∴ $∠AFE + 2∠BCE = ∠DCF + ∠FCE + ∠BCE = ∠DCB$，
∵ 矩形ABCD中$∠DCB=90°$，
∴ $∠AFE + 2∠BCE = 90°$，结果合理。
【答案】
(1) $\cos∠AFE=\frac{4}{5}$，$\tan∠BCE=\frac{1}{2}$；
(2) $∠AFE≈36°52'$，$∠BCE≈26°34'$；
(3) $∠AFE+2∠BCE=90°$，解释见解析。
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，锐角三角函数
【点评】
本题将图形折叠变换与锐角三角函数、角度计算相结合，重点考察角的转化能力与数形结合思想，解题关键是抓住折叠前后的等量关系，灵活运用直角三角形的相关性质求解。
【难度系数】
0.65
