22. 光从空气射入玻璃中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫作光的折射. 如图(1)，我们把入射角$α$的正弦值和折射角$β$的正弦值之比称为折射率$n$，即$n=\frac{\sinα}{\sinβ}$. 如图(2)，矩形$ABCD$为某透明玻璃，一束光线从点$O$以俯角$45°$的方向射向玻璃上的点$P$，折射后到达玻璃底部的点$Q$，测得$OA=4$，$AB=2\sqrt{14}$，$BQ=8$.
（1）该透明玻璃的折射率$n=$.
（2）有同样的光线从点$E$以俯角$60°$的方向射向该玻璃上的点$F$，折射后到达玻璃底部的点$G$，测得$EA=\sqrt{3}$. 若其他条件都不变，求$BG$的长.

22. (1) $\dfrac{3}{2}$.
(2) $\sqrt{7}+1$.

【分析】
（1）求折射率$n$需先得到入射角$α$和折射角$β$的正弦值：根据俯角$45°$可知入射角$α=45°$，可直接算出$\sinα$；再通过几何关系求出折射光线的水平、竖直位移，结合勾股定理得到折射光线长度，即可算出$\sinβ$，代入公式求解$n$。
（2）先根据俯角$60°$算出点$F$的位置和入射角的正弦值，结合折射率求出折射角的正切值，再根据玻璃厚度算出折射光线的水平位移，相加即可得到$BG$的长度。
【解析】
（1）界面$AD$为水平方向，法线为竖直方向，入射光线俯角为$45°$，因此入射角$α=45°$，$\sinα=\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
点$O$在$A$正上方，$OA=4$，入射光线俯角$45°$，因此$AP=OA=4$。
折射光线$PQ$的竖直位移为$AB=2\sqrt{14}$，水平位移为$BQ-AP=8-4=4$，由勾股定理得$PQ=\sqrt{4^2+(2\sqrt{14})^2}=6\sqrt{2}$，因此$\sinβ=\frac{水平位移}{PQ}=\frac{4}{6\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{3}$。
代入折射率公式得$n=\frac{\sinα}{\sinβ}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{3}}=\frac{3}{2}$。
（2）点$E$在$A$正上方，$EA=\sqrt{3}$，入射光线俯角为$60°$，由$\tan60°=\frac{EA}{AF}$得$AF=\frac{EA}{\tan60°}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=1$。
此时入射角为入射光线与竖直法线的夹角，即$α=90°-60°=30°$，$\sinα=\sin30°=\frac{1}{2}$。
由$n=\frac{\sinα}{\sinβ}$得$\sinβ=\frac{\sinα}{n}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}}=\frac{1}{3}$，因此$\cosβ=\sqrt{1-\sin^2β}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，$\tanβ=\frac{\sinβ}{\cosβ}=\frac{1}{2\sqrt{2}}$。
设折射光线水平位移为$\Delta x$，竖直位移为$AB=2\sqrt{14}$，由$\tanβ=\frac{\Delta x}{AB}$得$\Delta x=AB·\tanβ=2\sqrt{14}×\frac{1}{2\sqrt{2}}=\sqrt{7}$。
因此$BG=AF+\Delta x=1+\sqrt{7}$。
【答案】
（1）$\dfrac{3}{2}$；（2）$\sqrt{7}+1$
【知识点】
光的折射定律，解直角三角形，三角函数计算
【点评】
本题结合物理光的折射场景考查三角函数的实际应用，需要准确理解入射角、折射角的定义，结合几何关系求解线段长度，注重跨学科知识的融合应用。
【难度系数】
0.6