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20. 如图，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在格点上. 请用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图：(保留作图痕迹，不必写作法)
(1) 在图(1)中的边AC上找到一点D，连接BD，使tan∠ABD=1.
(2) 在图(2)中的边AC上找到一点E，连接BE，使tan∠ABE=$\frac{1}{2}$.
(3) 在图(3)中的边AC上找到一点F，连接BF，使tan∠CBF=$\frac{1}{2}$.
(1) 在图(1)中的边AC上找到一点D，连接BD，使tan∠ABD=1.
(2) 在图(2)中的边AC上找到一点E，连接BE，使tan∠ABE=$\frac{1}{2}$.
(3) 在图(3)中的边AC上找到一点F，连接BF，使tan∠CBF=$\frac{1}{2}$.
答案
20. (1) 如图(1)，D 即为所求作的点. 提示：D 为 AC 中点.
(2) 如图(2)，E 即为所求作的点. 提示：E 为 AC 与格线的交点.
(3) 如图(3)，F 即为所求作的点. 提示：取格点 J ，作射线 BJ 交 AC 于点 F.
解析
【分析】
解题的核心依据是正切的定义：直角三角形中锐角的正切值等于对边与邻边的比值，结合网格边长为1的特点，构造出对应边长比的直角三角形，再找到所作直线与AC的交点即可。
(1) 要使$\tan∠ ABD=1$，需$∠ ABD$所在直角三角形的对边、邻边长度相等，对应比值为1，AC的中点D满足该要求；
(2) 要使$\tan∠ ABE=\frac{1}{2}$，需$∠ ABE$所在直角三角形的对边与邻边长度比为$1:2$，AC与格线的交点E满足该比例关系；
(3) 要使$\tan∠ CBF=\frac{1}{2}$，先构造与BC夹角正切为$\frac{1}{2}$的直线，找到对应格点J，连接BJ得到该直线，其与AC的交点即为F。
【解析】
(1) 由$\tan∠ ABD=1$，根据正切定义可知$∠ ABD$对应的直角三角形两直角边长度相等。找到AC的中点D，连接BD，此时$∠ ABD$所在直角三角形的两直角边均为2，比值为1，满足$\tan∠ ABD=1$，且D在AC边上，符合要求。
(2) 由$\tan∠ ABE=\frac{1}{2}$，可知对应直角三角形对边与邻边的长度比为$1:2$。找到AC与横向格线的交点E，连接BE，此时$∠ ABE$所在直角三角形的对边长为1、邻边长为2，比值为$\frac{1}{2}$，满足条件，且E在AC边上，符合要求。
(3) 取格点J（使线段BJ的竖直高度差为1、水平长度差为2），作射线BJ，射线与AC的交点即为F。此时$∠ CBF$所在直角三角形的对边为1、邻边为2，$\tan∠ CBF=\frac{1}{2}$，且F在AC边上，符合要求。
【答案】
(1) 如图(1)，D即为所求作的点（D为AC中点）；
(2) 如图(2)，E即为所求作的点（E为AC与格线的交点）；
(3) 如图(3)，F即为所求作的点（取格点J，作射线BJ交AC于点F）。
【知识点】
正切的定义；网格作图；直线相交性质
【点评】
本题将锐角三角函数与网格作图结合考查，需要学生灵活运用正切的定义，将正切值转化为直角三角形直角边的长度比，再结合网格的边长特点找到对应点，侧重考查对基础知识的运用和实操能力。
【难度系数】
0.6
解题的核心依据是正切的定义：直角三角形中锐角的正切值等于对边与邻边的比值，结合网格边长为1的特点，构造出对应边长比的直角三角形，再找到所作直线与AC的交点即可。
(1) 要使$\tan∠ ABD=1$，需$∠ ABD$所在直角三角形的对边、邻边长度相等，对应比值为1，AC的中点D满足该要求；
(2) 要使$\tan∠ ABE=\frac{1}{2}$，需$∠ ABE$所在直角三角形的对边与邻边长度比为$1:2$，AC与格线的交点E满足该比例关系；
(3) 要使$\tan∠ CBF=\frac{1}{2}$，先构造与BC夹角正切为$\frac{1}{2}$的直线，找到对应格点J，连接BJ得到该直线，其与AC的交点即为F。
【解析】
(1) 由$\tan∠ ABD=1$，根据正切定义可知$∠ ABD$对应的直角三角形两直角边长度相等。找到AC的中点D，连接BD，此时$∠ ABD$所在直角三角形的两直角边均为2，比值为1，满足$\tan∠ ABD=1$，且D在AC边上，符合要求。
(2) 由$\tan∠ ABE=\frac{1}{2}$，可知对应直角三角形对边与邻边的长度比为$1:2$。找到AC与横向格线的交点E，连接BE，此时$∠ ABE$所在直角三角形的对边长为1、邻边长为2，比值为$\frac{1}{2}$，满足条件，且E在AC边上，符合要求。
(3) 取格点J（使线段BJ的竖直高度差为1、水平长度差为2），作射线BJ，射线与AC的交点即为F。此时$∠ CBF$所在直角三角形的对边为1、邻边为2，$\tan∠ CBF=\frac{1}{2}$，且F在AC边上，符合要求。
【答案】
(1) 如图(1)，D即为所求作的点（D为AC中点）；
(2) 如图(2)，E即为所求作的点（E为AC与格线的交点）；
(3) 如图(3)，F即为所求作的点（取格点J，作射线BJ交AC于点F）。
【知识点】
正切的定义；网格作图；直线相交性质
【点评】
本题将锐角三角函数与网格作图结合考查，需要学生灵活运用正切的定义，将正切值转化为直角三角形直角边的长度比，再结合网格的边长特点找到对应点，侧重考查对基础知识的运用和实操能力。
【难度系数】
0.6
21. 如图，在四边形ABCD中，已知$∠ ADC = 135°$，$∠ DCB = 120°$，$AD = \sqrt{6}$，$DC = 5 - \sqrt{3}$，$BC = 6$. 求AB的长. 
答案
21. $2\sqrt{19}$. 提示：如图，过点 A 作 $AE// CD$，交 BC 于点 E. 过点 C 作 $CF ⊥ AE$，过点 D 作 $DG ⊥ AE$，过点 B 作 $BH ⊥ AE$，垂足分别为 F 、G 、H. $AH=\sqrt{3}+(5-\sqrt{3})+3=8$，$BH=3\sqrt{3}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，$AB=\sqrt{8^2+(2\sqrt{3})^2}=2\sqrt{19}$.
解析
【分析】
本题要求不规则四边形中AB的长度，直接无法求解，需通过作辅助线将四边形转化为特殊直角三角形和矩形求解。首先通过作平行线构造出与已知角度相关的特殊角，再作多条垂线得到直角三角形和矩形，利用特殊角的三角函数值分别求出直角三角形ABH的两条直角边长度，最后用勾股定理计算AB即可。
【解析】
解：过点A作$AE// CD$，交BC于点E，过点D作$DG⊥ AE$于G，过点C作$CF⊥ AE$于F，过点B作$BH⊥ AE$，交AE的延长线于H。
1. 求AG、DG的长度：
$\because AE// CD$，$DG⊥ AE$，$\therefore ∠ CDG=90°$，
$\because ∠ ADC=135°$，$\therefore ∠ ADG=135°-90°=45°$，
$\therefore △ ADG$为等腰直角三角形，
$\because AD=\sqrt{6}$，$\therefore AG=DG=AD·\sin45°=\sqrt{6}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{3}$。
2. 求矩形DGFC的边长：
$\because DG⊥ AE$，$CF⊥ AE$，$AE// CD$，$\therefore$四边形DGFC是矩形，
$\therefore CF=DG=\sqrt{3}$，$GF=DC=5-\sqrt{3}$。
3. 求EF、CE的长度：
$\because ∠ DCB=120°$，$∠ DCF=90°$，$\therefore ∠ FCE=120°-90°=30°$，
在$Rt△ CFE$中，$CF=\sqrt{3}$，$∠ FCE=30°$，
$\therefore EF=CF·\tan30°=\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}=1$，$CE=2EF=2$。
4. 求BH、EH的长度：
$\because ∠ CEF=90°-30°=60°$，$\therefore ∠ BEH=∠ CEF=60°$，
$\because BC=6$，$\therefore BE=BC-CE=6-2=4$，
在$Rt△ BEH$中，$BH=BE·\sin60°=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$，$EH=BE·\cos60°=4×\frac{1}{2}=2$。
5. 计算AB的长度：
$AH=AG+GF+EF+EH=\sqrt{3}+(5-\sqrt{3})+1+2=8$，
在$Rt△ ABH$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AH^2+BH^2}=\sqrt{8^2+(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{64+12}=\sqrt{76}=2\sqrt{19}$。
【答案】
$2\sqrt{19}$
【知识点】
勾股定理，特殊角的三角函数，矩形的性质
【点评】
本题通过构造辅助线将不规则四边形的求解问题转化为特殊直角三角形和矩形的计算问题，核心是利用特殊角度的边角关系求出对应线段长度，解题过程体现了转化的数学思想，需要熟练掌握特殊直角三角形的性质和辅助线的构造方法。
【难度系数】
0.6
本题要求不规则四边形中AB的长度，直接无法求解，需通过作辅助线将四边形转化为特殊直角三角形和矩形求解。首先通过作平行线构造出与已知角度相关的特殊角，再作多条垂线得到直角三角形和矩形，利用特殊角的三角函数值分别求出直角三角形ABH的两条直角边长度，最后用勾股定理计算AB即可。
【解析】
解：过点A作$AE// CD$，交BC于点E，过点D作$DG⊥ AE$于G，过点C作$CF⊥ AE$于F，过点B作$BH⊥ AE$，交AE的延长线于H。
1. 求AG、DG的长度：
$\because AE// CD$，$DG⊥ AE$，$\therefore ∠ CDG=90°$，
$\because ∠ ADC=135°$，$\therefore ∠ ADG=135°-90°=45°$，
$\therefore △ ADG$为等腰直角三角形，
$\because AD=\sqrt{6}$，$\therefore AG=DG=AD·\sin45°=\sqrt{6}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{3}$。
2. 求矩形DGFC的边长：
$\because DG⊥ AE$，$CF⊥ AE$，$AE// CD$，$\therefore$四边形DGFC是矩形，
$\therefore CF=DG=\sqrt{3}$，$GF=DC=5-\sqrt{3}$。
3. 求EF、CE的长度：
$\because ∠ DCB=120°$，$∠ DCF=90°$，$\therefore ∠ FCE=120°-90°=30°$，
在$Rt△ CFE$中，$CF=\sqrt{3}$，$∠ FCE=30°$，
$\therefore EF=CF·\tan30°=\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}=1$，$CE=2EF=2$。
4. 求BH、EH的长度：
$\because ∠ CEF=90°-30°=60°$，$\therefore ∠ BEH=∠ CEF=60°$，
$\because BC=6$，$\therefore BE=BC-CE=6-2=4$，
在$Rt△ BEH$中，$BH=BE·\sin60°=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$，$EH=BE·\cos60°=4×\frac{1}{2}=2$。
5. 计算AB的长度：
$AH=AG+GF+EF+EH=\sqrt{3}+(5-\sqrt{3})+1+2=8$，
在$Rt△ ABH$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AH^2+BH^2}=\sqrt{8^2+(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{64+12}=\sqrt{76}=2\sqrt{19}$。
【答案】
$2\sqrt{19}$
【知识点】
勾股定理，特殊角的三角函数，矩形的性质
【点评】
本题通过构造辅助线将不规则四边形的求解问题转化为特殊直角三角形和矩形的计算问题，核心是利用特殊角度的边角关系求出对应线段长度，解题过程体现了转化的数学思想，需要熟练掌握特殊直角三角形的性质和辅助线的构造方法。
【难度系数】
0.6
