例1 如图,在平面直角坐标系中,直线n过点A(0,−2),且与直线l相交于点B(3,2),直线l与y轴相交于点C。
(1)求直线n的函数表达式。
(2)若△ABC的面积为9,求点C的坐标。

(1)设直线n的函数表达式为$y=kx+b$($k≠0$)。
因为直线n过点$A(0,-2),B(3,2)$,
所以$\begin{cases}b=-2,\\3k+b=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=\dfrac{4}{3},\\b=-2,\end{cases}$
所以直线n的函数表达式为$y=\dfrac{4}{3}x-2$。
(2)因为$△ ABC$的面积为9,
所以$9=\dfrac{1}{2}· AC· 3$,所以$AC=6$。
因为$OA=2$,
所以$OC=6-2=4$或$OC=6+2=8$,
所以$C(0,4)$或$(0,-8)$。

变式1 在平面直角坐标系中，直线$y=\frac{3}{4}x+3$与x轴、y轴分别交于点A，B，点C在x轴正半轴上。若$△ ABC$是等腰三角形，则点C的坐标为。

直线$y=\frac{3}{4}x+3$与x轴、y轴分别交于点A,B,则点A的坐标为$(-4,0)$,点B的坐标为$(0,3)$,
所以$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=5$。
分三种情况考虑：
①当$BA=BC$时,$OC=OA=4$,
所以点C的坐标为$(4,0)$。
②当$AB=AC$时,
因为$AB=5,OA=4$,
所以$OC=5-4=1$,
所以点C的坐标为$(1,0)$。
③当$AC=BC$时,点C在线段AB的垂直平分线上,如图。
由图知,垂直平分线与x轴的交点在x轴的负半轴上,不符合题意。
综上所述,点C的坐标为$(4,0)$或$(1,0)$。

变式2 一次函数$y_1=ax+b$与$y_2=cx+d$($a,b,c,d$为常数,$a≠0,c≠0$)的图象如图所示,若$a - c = m(b - d)$,则$m=$。

因为两个函数的图象交点的横坐标为4,
所以$4a+b=4c+d$,
所以$4a-4c=d-b$,
所以$a-c=-\dfrac{1}{4}(b-d)$。
因为$a-c=m(b-d)$,
所以$m=-\dfrac{1}{4}$。

变式3 如图，直线$l:y=-2x+b$与坐标轴交于$A,B$两点，点$A$的坐标是$(0,4)$。
(1)求直线$l$的函数表达式和点$B$的坐标。
(2)如图，点$P$在第一象限，若$△ ABP$是等腰直角三角形且$∠ ABP=90°$，求点$P$的坐标。

(1)因为点A的坐标是$(0,4)$,
代入$y=-2x+b$,得$b=4$,
所以直线$l:y=-2x+4$。
令$y=0$,得$x_B=2$,即$B(2,0)$。
(2)如图,过点P作$PC⊥ x$轴于点C,
所以$∠ PCB=90°$,所以$∠ CBP+∠ BPC=90°$。
因为$△ ABP$是等腰直角三角形且$∠ ABP=90°$,
所以$AB=BP$,$∠ CBP+∠ ABO=90°$,
所以$∠ ABO=∠ BPC$。
在$△ ABO$和$△ BPC$中,
因为$\begin{cases}∠ ABO=∠ BPC,\\∠ AOB=∠ BCP,\\AB=BP,\end{cases}$
所以$△ ABO≌△ BPC(\mathrm{AAS})$,
所以$PC=BO=2$,$BC=AO=4$,
所以$OC=OB+BC=2+4=6$,
所以点P的坐标为$(6,2)$。